作一条圆锥曲线使之通过五个给定点。

令五个给定点为A,B,C,P,D。由它们中的任意一个,比如A,到另外任意两点如B,C,它们可称之为极点,作直线AB,AC,再通过第四个点P作直线TPS,PRQ平行于上述两直线。再由两个极点B,C,作通过第五个点D的两条不确直线BDT,CRD,与上述两条直线TPS,PRQ(前者与前者,后者与后者)相交于T,R。再作直线tr平行于TR,在直线PT,PR上截取正比于PT,PR的部分Pt,Pr;如果通过其端点t,r,以及极点B,C作直线Bt,Cr,并相交于d,则点d即在所求圆锥曲线上,因为(由引理20)该点d处于通过四点A,B,C,P的圆锥曲线上;当线段Rr,Tt趋于零时,点d与点D重合,所以圆锥曲线通过五个点A,B,C,P,D。
证毕。

另一种解法
将已知点中三个例如A,B,C连接,并以其中两个点B,C为极点,使具有给定大小的角ABC,ACB旋转,先令边BA,CA移至点D,然后移至点P,在这两种情形中,另两个边BL,CL分别相交于点M,N。作不定直线MN,令两个可转动角绕极点B,C转动,由此边BL,CL或BM,CM产生的相交点设为m,它将永远处于不定直线MN上;而边BA,CA,或BD,CD的交点,现设为d,将画出所需的圆锥曲线PADdB,因为(由引理21)点d在通过点B,C的圆锥曲线上,当点m与点L,M,N重合时,点d(见图)将与点A,D,P重合。所以,由此将画出通过五个点A,B,C,P,D的圆锥曲线。
推论Ⅰ.由此容易画出一直线使之在给定点B与圆锥曲线相切,令点d与点B重合,则Bd即成为所要求的切线。
推论Ⅱ.由此可以像在引理19推论中那样求出圆锥曲线的中心、直径和通径。