月球交会点的运动

命题1

太阳离开交会点的平均运动由太阳的平均运动与太阳在方照点以最快速度离开交会点的平均运动的几何中项决定。

令T为地球的处所,Nn为任意给定时刻的月球交会点连线,KTM为其上的垂线,TA为绕中心旋转的直线,其角速度等于太阳与交会点相互分离的角速度,使得介于静止直线Nn与旋转直线TA之间的角总是等于太阳与交会点间的距离。如果把任意直线TK分为TS和SK两部分,使它们的比等于太阳的平均小时运动比交会点在方照点的平均小时运动,再取直线TH等于TS部分与整个线段TK的比例中项,则该直线正比于太阳离开交会点的平均运动。

因为以T为中心,以TK为半径作圆NKnM,并以同一个中心,以TH和TN为半轴作椭圆NHnL;在太阳离开交会点通过弧Na的时间内,如果作直线Tba,则扇形面积NTa表示在相同时间内太阳与交会点的运动的和。所以,令极小弧aA为直线Tba按上述规律在给定时间间隔内匀速转动所掠过,则极小扇形TAa正比于在该时间内太阳与交会点向两个不同方向运动的速度的和。太阳的速度几乎是均匀的,其不等性如此之小,不会在交会点的平均运动中造成最小的不等性。这个和的另一部分,即交会点速度的平均量,在离开朔望点时按它到太阳距离正弦的平方增大(由本编命题31推论),并在到达方照点同时太阳位于K时有最大值,它与太阳速度的比等于SK比TS,即,等于(TK比TH的平方差,或)矩形KHM比TH2。但椭圆NBH将表示这两个速度的和的扇形ATa分为ABba和BTb两部分,且正比于速度。因为,延长BT到圆交于β,由点B向长轴作垂线BG,它向两边延长与圆相交于点F和f;因为空间ABba比扇形TBb等于矩形ABβ比BT2(该矩形等于TA和TB的平方差,因为直线AB在T被等分,而在B未被等分),所以当空间ABba在K处为最大时,该比值与矩形KHM比HT2相等。但上述交会点的最大平均速度与太阳速度的比也等于这一比值;因而在方照点扇形ATa被分割成正比于速度的部分。又因为矩形KHM比HT2等于FBf比BG2,且矩形ABβ等于矩形FBβ,所以在K处也是最大的小面积ABba比余下的扇形TBb等于矩形ABβ比BG2。但这些面积的比总是等于矩形ABβ比BT2;所以位于处所A的小面积ABba按BG与BT的平方比值小于它在方照点的对应小面积,即,按太阳到交会点距离的正弦的平方比值减小。所以,所有小面积ABba的和,即空间ABN,正比于在太阳离开交会点后掠过弧NA的时间内交会点的运动;而余下的空间,即椭圆扇形NTB,则正比于同一时间里的太阳平均运动。而因为交会点的平均年运动是在太阳完成其一个周期的时间内完成的,交会点离开太阳的平均运动比太阳本身的平均运动等于圆面积比椭圆面积;即,等于直线TK比直线TH,后者是TK与TS的比例中项;或者,等价地,等于比例中项TH比直线TS。