一般地,以任意直线分割的卵形面积不能用求解任意多个有限项和元的方程的方法求出。
设在卵形内任意给定一点,以它为极点一条直线作连续匀速转动,同时在此直线上有一可动点以正比于卵形内直线长的平方的速度由极点向外运动。这样,该点的运动轨迹是匝数不定的螺旋线。如果该直线所分割的卵形面积可由有限方程求出,则正比于该面积的动点到极点的距离也可由同一方程确定,因而螺旋线上所有点也都可以由有限方程求出,所以位置已知的直线与该螺旋线的交点也可由有限方程求出。但每一条无限直线与螺旋线有无限多个交点,而决定这两条线某一交点的方程会在同时以同样无限多个根表示出所有的交点,因而产生与交点数相同的元。两个圆相交于两个交点,其中一个交点如果不用能决定另一个交点的二元方程就无法找到。两条圆锥曲线可以有四个交点,一般而言,如果不用能决定所有交点的四元方程,无法找出其中任何一个。因为,当分别去找这些交点时,由于所有的定律与条件都相同,使每次的计算也都相同,所以结果也总是相同,它必定是同时表达了所有交点,完全没有区别。所以,当圆锥曲线与三次曲线相交时,因为其交点多到六个,因而需要六元方程;而两条三次曲线相交点时,其交点多达九个,因而需用九元方程。若不是这样的话,则所有立体问题都可以简化为平面问题,而那些维数高于立体的问题也可以简化为立体问题了。但我在此讨论的曲线其幂次不能降低。因为表达曲线的方程幂次一旦降低,则曲线将不再是完整的曲线,而是由二条或更多条曲线的组合,它们的交点可以由不同的计算分别确定。出于相同的理由,直线与圆锥曲线的两个交点总需要二元方程求解;直线与不能化简的三次曲线的三个交点要由三元方程求出;直线与不能化简的四次曲线的四个交点需由四元方程求出。以此类推至于无限。所以,直线与螺旋线的无数个交点,由于螺旋线是简单曲线,不能简化为更多曲线,需要用元和根数都无限多的方程加以总体表达。因为所有的定律和条件都相同。因为,如果由极点作该相交线的垂线,且与相交直线一同关于极点旋转,则螺旋线的交点将相互间交替变换,第一个或最近的一个交点,在直线转过一周后变为第二个,转二周后变为第三个,以此类推:与此同时方程保持不变,只是决定相交直线位置的量的数值不断改变。所以,由于这些量在旋转一周后都回到其初始数值,方程又回到其初始形式;因而同一个方程可以表示所有交点,它有可以表示所有交点的无限多个根。所以,一般而言,一条直线与一条螺旋线的交点不能由有限方程来确定;所以,一般而言,被任意直线分割的卵形面积不能由这种方程来表示。
出于同样理由,如果描述螺旋线的极点与动点间距离正比于被切割卵形的边长,则可以证明,该边长一般不能用有限方程表达。但我在此讨论的卵形不与伸向无限远的共轭图形相切。
推论.由焦点到运动物体的半径来表示的椭圆面积,不能由有限方程给出的时间来确定,因而不能由在几何上有理的曲线作图求出。在此,说这些曲线在几何上有理,是指其所有的点都可以由方程求出长度后加以确定。其他曲线(如螺旋线,割圆曲线,摆线)我称之为几何上无理的,因为其长度是或不是数与数的比(根据欧几里得《几何原本》第十卷)在算术上称为有理的或无理的。所以,我用下述方法,以几何上无理的曲线分割正比于时间的椭圆面积。