在相同条件下,如果将掠过的距离分为算术级数,则速度在增加一个给定量后变为几何级数。
设在渐近线CD上已知点R,作垂线RS与双曲线相交于S,令掠过的距离以双曲线面积RSED表示;则速度正比于长度GD,该长度与给定线CG组成的长度CD,当距离RSED按算术级数增加时,按几何级数减小。
因为,空间增量EDde为给定量,GD的减量短线Dd反比于ED,因而正比于CD;即正比于同一个CD与给定长度CG的和。而在掠过给定空间间隔DdeE所需的正比于速度的时间中,速度的减量正比于阻力乘以时间,即正比于两个量的和,反比于速度,这两个量中之一正比于速度,另一个正比于速度的平方;因而正比于两个量的和,其中一个是给定的,另一个正比于速度。所以,速度以及直线GD二者的减量正比于给定量与一个减小量的乘积;而因为两个减量相似,两个减小的量,即速度与线段GD,也总是相似的。
证毕。
推论Ⅰ.如果以长度GD表示速度,则掠过的距离正比于双曲线面积DESR。
推论Ⅱ.如果任意设定点R,则通过取GR比GD等于开始时的速度比掠过距离RSED后的速度,则可以求出点G。求出点G后,即可由给定速度求出距离;反之亦然。
推论Ⅲ.由于由给定时间(通过命题11)可以求出速度,而(由本命题)距离又可以由给定速度推出,所以由给定时间可以求出距离;反之亦然。