命题20 问题12

由一个已知焦点,做出通过已知点并与已知直线相切的圆锥曲线。

情形1.由已知焦点求圆锥曲线ABC,使之通过两点B,C。因为圆锥曲线类型已知,其主轴与焦点距离的比值也已知,取KB比BC以及LC比CS等于该值,以B,C为圆心,BK,CL为半径作两个圆;并在与它们相切于K和L的直线KL上作垂线SG;在SG上截取两点A与a,使GA比AS,以及GaaS等于KB比BS;再以Aa为轴,A与a为顶点做出圆锥曲线,问题得解。因为令H为所画图形的另一个焦点,由于GA:AS=Ga:aS,即有Ga-GA:aS-AS=GA:AS,或者,Aa:SH=GA:AS,所以GA与AS的比等于所画图形的主轴与焦距的比,所以,所作图形正是所要求的类型。而且,由于KB比BS,以及IC比CS相等,该图形将通过点B,C,这正是圆锥曲线所要求的。

情形2.由焦点S作圆锥曲线,使之与两条直线TR,tr相切。过该焦点作这些切线的垂线ST,St,并延长到V,v,使TV,tv等于TS,tS,在O点等分Vv,并作其不定垂线OH,并与直线VS延长线相交,在VS线上截取K,R,使VK比KS,以及VR比RS等于要画的圆锥曲线的主轴与其焦距的比,以Kk为直线作圆与OH相交于H。以S,H为焦点,VH为主轴作圆锥曲线,问题得解。因为在X等分Kk,连接HX,HS,HV,Hv,由于VK比KS等于VkkS;因而求和等于VK+Kk比KS+kS,求差等于Vk-VK比kS-KS,即等于2VX比2KX以及2KX比2SX,所以等于VX比HX以及HX比SX,而三角形VXH,HXS相似,所以VH比SH等于VX比XH,所以等于VK比KS,所以,所画圆锥曲线的主轴VH与其焦距SH的比,等于所要求的圆锥曲线的主轴与焦距的比。所以它们类型相同。而且由于VH,vH等于主轴,VS,vS被直线TR,tr垂直等分,显然(由引理15)它们与所画曲线相切。

完毕。

情形3.由焦点S作圆锥曲线,使之在给定点P与直线TR相切。在直线TR上作垂线ST,延长到V使TV等于ST,连接VR,并在直线VS延长线上截取K,k两点,使VK比SK,以及VK比Sk,等于要画的椭圆主轴比其焦距,以Kk为直径作圆周与直线VR相交于H点;再以S,H为焦点,VH为主轴,作圆锥曲线,问题得解。因为VH:SH=VK:SK,所以等于所要画的圆锥曲线的主轴比其焦距(我已在情形2中证明);所以所画曲线与所要画的曲线类型相同,而由圆锥曲线特性知,直线TR等分角VRS,与曲线在点R相切。

完毕。

情形4.由焦点S作圆锥曲线APB使之与直线TR相切,并通过切线外任一已知点P,并与以S,h为焦点,以ab为主轴的两锥曲线apb相似。在切线TR上作垂线ST,延长至V点使TV等于ST;作角hsqshq等于角VSP,SVP,以q为圆心,以其与ab的比等于SP与VS的比的长度为半径作圆周与图形apb交于P点。连接SP,作SH使SH比sh等于SP比sp,并使角PSH等于角psh,角VSH等于角psq。然后再以S,H为焦点,AB等于距离VH为主轴作圆锥曲线,问题得解。因为如果作sv使svsp等于shsq,角vsp等于角hsq,则角vsh等于角psq,三角形svhspq相似,所以vhpq等于shsq;即(因为三角形VSP,hsq相似)等于VS比SP,或等于abpq。所以vh等于ab,但由于三角形VSH,vsh相似,VH比SH等于vhsh,即所画曲线的主轴与焦距的比等于主轴ab与焦距sh的比,所以所画图形与图形apb相似,而由于三角形PSH相似于三角形psh,该图形通过点P;又由于VH等于其主轴,VS垂直于直线TR且被TR等分,因而该图形与直线TR相切。

完毕。