命题20 问题4

求地球上不同区域处物体的重量并加以比较。

因为在不等长管道段中的水ACQqca的重量相等;各部分的重量正比于整段的重量,且位置相似者,相互间重量比等于总重量比,因而它们的重量相等;在各段中位置相似的相等部分,其重量的比等于管道长的反比,即反比于230比229。这种情形适用于所有与管道中的水位置相似的均匀相等的物体。它们的重量反比于管长,即反比于物体到地心的距离。所以,如果物体置于管道最顶端,或置于地球表面上,则它们的重量的比等于它们到地心距离的反比。由同样理由,置于地球表面任意其他处所的物体,其重量反比于到地球中心的距离。所以,只要假设地球是椭球体,该比值即已给定。

由此即得到定理,由赤道移向两极的物体其重量增加近似正比于二倍纬度的正矢。或者,与之等价地,正比于纬度正弦的平方;而子午线上纬度弧长也大致按相同比例增大。所以,由于巴黎纬度为48°50′,赤道纬度为00°00′,两极纬度为90°;这些弧的二倍的正矢为11,334;00,000;和20,000,半径为10,000;极地引力比赤道引力为230比229;极地引力的出超比赤道引力等于1比229;巴黎纬度的引力出超比赤道引力为比229,或等于5667比2,290,000。所以,该处总引力比另一处总引力等于2,295,667比2,290,000。所以,由于时间相等的摆长正比于引力,在巴黎纬度上秒摆摆长为3巴黎尺又分,或考虑到空气的重量,为3尺又分,而在赤道,时间相同的摆长要短1.087分。用类似的计算可制成下表。

此表表明,每度子午线长的不均匀性极小,因而在地理学上可把地球形状视为球形;如果地球密度在赤道平面附近略大于两极处的话,则尤其如此。

今天,有些到遥远的国家做天文观测的天文学家发现,摆钟在赤道附近的确比在我们这里走得慢些。首先是在1672年,M·里歇尔(6)在凯恩岛(island of Cayenne)注意到了这一点;当时是8月份,他正观测恒星沿子午线的移动,他发现他的摆钟相对于太阳的平均运动每天慢2分28秒。于是他制作了一只时间为秒的单摆,用一只优良的钟校准,并测量该单摆的长度;在整整10个月里他坚持每星期测量。回到法国后,他把这只摆的长度与巴黎的摆长(长3巴黎尺又分)作了比较,发现它短了分。

后来,我们的朋友哈雷博士,约在1677年到达圣赫勒拿岛(island of St. Helena),他发现与伦敦制作相同的摆钟到那里后变慢了。他把摆杆缩短了寸,或分;为此,由于在摆杆底部的螺纹失效,他在螺母和摆锤之间垫了一只木圈。

嗣后,在1682年,法林(M. Varin)和德斯海斯(M. des Hayes)发现,在巴黎皇家天文台摆动为一秒的单摆长度,为3尺又分。而用相同的手段在戈雷岛(island of Goree)测量时,等时摆的长度为3尺又分,比前者短了二分。同一年里,他们又在瓜达罗普和马丁尼古岛(islands of Guadaloupe and Martinico)发现,在这些岛的等时摆长为3尺又分。

以后,小M. 库普莱(M. Couplet)在1697年7月,在巴黎皇家天文台把他的摆钟与太阳的平均运动校准,使之在相当长时间里与太阳运动吻合。次年11月,他到里斯本,发现他的钟在24小时里比原先慢2分13秒;再次年3月,他到达帕雷巴(Paraiba),发现他的钟比在巴黎,24小时里慢4分12秒;他断定在里斯本的秒摆要比巴黎短分,而在帕雷巴短分。如果他计算的差值为分和分的话,他的工作将更出色:因为这些差值才对应于时间差2分13秒和4分12秒,但这位先生的观测太粗糙了,使我们无法相信。

后来在1699年和1700年,M. 德斯海斯再次航行美洲,他发现在凯恩和格林纳达(Granada)岛秒摆略短于3尺又分;而在圣·克里斯托弗岛(island of St. Christopher)为3尺分;在圣·多明戈岛(island of St. Domingo)为3尺7分。

1704年,弗勒(7)在美洲的皮尔托·贝卢(Puerto Bello)发现,那里的秒摆仅为3巴黎尺又分,比在巴黎几乎短3分;但这次观测是失败的。因为他后来到达马丁尼古岛时,发现那里的等时摆长为3巴黎尺又分。

帕雷巴在南纬6°38′;皮尔托·贝卢为北纬9°33′;凯恩、戈雷、瓜达罗普、马丁尼古、格林那达、圣·克里斯托弗和圣·多明戈诸岛分别为北纬4°55′,14°40′,15°00′,14°44′,12°06′,17°19′和19°48′,巴黎秒摆的长度比在这些纬度上的等时摆所超出的长度略大于在上表中所求出的值。所以,地球在赤道处应略高于上述推算,地心处的密度应略大于地表,除非热带地区的热也许会使摆长增加。

因为,M. 皮卡德曾发现,在冬季冰冻天气下长1英尺的铁棒,放到火中加热后,长度变为1英尺又分。后来,M·德拉希尔发现在类似严冬季节长6英尺的铁棒放到夏季阳光下曝晒后伸长为6英尺又分。前一种情形中的热比后一种强,而在后一情形中也热于人体表面;因为在夏日阳光下曝晒的金属能获得相当可观的热度。但摆钟的杆从未受过夏日阳光的曝晒,也未获得过与人体表面相等的热;因而,虽然3尺长的摆钟杆在夏天的确会比冬天略长一些,但差别很难超过分。所以,在不同环境下等时摆钟摆长的差别不能解释为热的差别;法国天文学家并没有错。虽然他们的观测之间一致性并不理想,但其间的误差是可以忽略的;他们的一致之处在于,等时摆在赤道比在巴黎天文台短,差别不小于分,不大于分。M·里歇尔在凯恩岛给出的观测是,差为分。这一差值为M·德斯海斯的观测所纠正,变为分或。其他人精度较差的观测结果约为2分。这种不一致可能部分由于观测误差,部分则由于地球内部部分的不相似性,以及山峰的高度;还部分地来自空气温度的差异。

我用的一根3尺长的铁棒,在英格兰,冬天比夏天短六分之一。因为在赤道处酷热,从M·里歇尔的观测结果分中减去这个量,尚余分,这与我们先前在本理论中得到的符合极好。M·里歇尔在凯恩岛的实验在整整10个月里每周都重复,并把他所发现的摆长与记在铁棒上的在法国的长度相比较。这种勤勉与谨慎似乎正是其他观测者所缺乏的。我们如果采用这位先生的观测,则地球在赤道比在极地处高,差值约为17英里,这证实了上述理论。