在上述假设中,落体在任意处所C的速度与它环绕以B为中心,BC为半径的圆运动的速度的比,等于物体到该圆或直角双曲线的远顶点A的距离与该图形的主半径
的比值的平方根。

令两个图形RPB,DEB的公共直径AB在O点被等分;作直线PT与图形RPB相切于P,并与公共直径AB(必要时作延长)相交于T;令SY垂直于该直线,BQ垂直于直径,设图形RPB的通径为L。由命题16推论IX知,物体沿关于中心S的曲线RPB运动时在任意处所P的速度,比它沿关于同一中心,半径为SP的圆运动的速度,等于乘积
SP与SY2的比值的平方根。因为由圆锥曲线的性质,AC·CB比CP2等于2AO比L,所以
等于L。所以这些速度相互间的比等于
与SY2的比值的平方根。又根据圆锥曲线的性质。

所以,

而且,

由此,

而且,

由于,

即得到,

现在设图形RPB的宽CP无限缩小,使点P与点C重合,点S与点B重合,直线SP与直线BC重合,直线SY与直线BQ重合;则物体沿直线CB垂直下落的速度比它沿以B为中心,BC为半径的圆运动的速度,等于
与SY2的比值的平方根,即(消去相等的比值SP比BC,以及BQ2比SY2)等于AC与AO或
的比值的平方根。
证毕。
推论Ⅰ.当点B与S重合时,TC比TS将等于AC比AO。
推论Ⅱ.以给定距离绕中心做圆周运动的物体,当其运动变为竖直向上时,可上升到距中心二倍的高度。