在无阻力空间中,如果物体沿任意轨道环绕一不动中心运行,在最短时间里掠过极短弧长,该弧的正矢等分对应的弦,并通过力的中心:则弧中心的向心力正比于该正矢而反比于时间的平方。

因为给定时间的正矢正比于向心力(由命题1推论Ⅳ),而弧长随时间的增加作相同比率的增加,正矢将以该比率的平方增加(由引理11推论Ⅱ和推论Ⅲ),所以正比于力和时间的平方,两边同除以时间的平方,即得到力正比于正矢,反比于时间的平方。
证毕。
用引理10推论Ⅳ也能同样容易地证明该定理。
推论Ⅰ.如果物体P环绕中心S画出曲线APQ,直线ZPR与该曲线在任意点P上相切,由曲线上另一任意点Q作平行于距离SP的直线,与切线相交于R;再作QT垂直于距离SP,则向心力将反比于
,如果该立方取点P点Q重合时的值的话。因为QR等于弧QP的二倍的正矢,该弧中点是P:也等于三角形SQP的二倍,或SP·QT正比于掠过二倍弧所用的时间,因此,可用以表示时间。
推论Ⅱ.由类似的理由,向心力反比于立方
;如果SY是由力的中心伸向轨道切线PR的垂线的话。因为矩形SY·QP与SP·QT相等。
推论Ⅲ.如果轨道是圆周,或与一同心的圆周相切或相交,即,轨道在相切或相交处包含有极小角度的圆周,并与点P有相等的曲率与曲率半径;又,如果PV是该圆周上由物体通过力的中心做出的弦,则向心力反比于立方SY2·PV。因为PV就是
。
推论Ⅳ.在相同假设下,向心力正比于速度的平方,反比于弦,因为由命题1推论Ⅰ,速度是垂线SY的倒数。
推论Ⅴ.所以,如果给定任意曲线图形APQ,因而向心力连续指向的点S也给定,即可得到向心力定律:物体P受该定律支配连续偏离直线运动,维持在图形边缘上,通过连续环绕画出相同图形。即,通过计算可以知道,立方
或立方SY2·PV反比于QR向心力。下述问题将给出该定律实例。