第7章

物体的直线上升或下降

命题32 问题24

设向心力反比于处所到中心的距离的平方;求物体在给定时间内沿直线下落的距离。

情形1.如果物体不是垂直下落,它将(根据命题13,推论I)掠过一焦点在力的中心的圆锥曲线。设该圆锥曲线为ARPB,焦点为S。首先,如果轨迹是椭圆,在长轴AB上作半圆ADB,令直线DPC通过下落物体,与主轴成直角;再作DS,PS,则面积ASD将正比于面积ASP,所以也正比于时间。保持主轴AB不变,令椭圆的宽度连续缩小,面积ASD总是正比于时间。设宽度无限缩小;此时轨道APB与主轴AB重合,焦点S与主轴顶点B重合,则物体沿直线AC下落,面积ABD也将正比于时间。所以,如果取面积ABD正比于时间,并由点D作直线DC垂直落向直线AB,则物体在给定时间内由处所A垂直下落所掠过的距离可以求出。

完毕。

情形2.如果图形RPB是双曲线,在同一主轴AB上作直角双曲线BED;因为在几块面积与高度CP和CD之间有如下关系存在:CSP:CSD=CBfD:CBED=SPfB:SDEB=CP:CD,以及面积SPfB正比于物体P通过弧PfB所用的时间而变化,面积SDEB也将正比于时间变化。令双曲线RPB的通径无限缩小,同时横轴保持不变,则弧PB将与直线CB重合,焦点S与顶点B重合,而直线SD与直线BD重合。所以面积BDEB将正比于物体C沿直线CB垂直下落所用时间而变化。

完毕。

情形3.由相似理由,如果图形RPB是抛物线,以同一顶点B作另一条抛物线BED,并使之保持不变,同时物体P沿其边缘运动的前一条抛物线随着其通径缩小并变为零而与直线CB重合,则抛物线截面BDED将正比于物体P或C落向中心S或C所用的时间而变化。

完毕。