力随其到中心距离的平方而减小的物体,相互间沿椭圆运动;而由焦点引出的半径掠过的面积极近似于与时间成正比。
在前一命题中我们已证明了沿椭圆精确进行的运动情形。力的规律与该情形的规律相距越远,物体运动间的相互干扰越大;除非相互距离保持某种比例,否则按该命题所假设的规律相互吸引的物体不可能严格沿椭圆运动。不过,在下述诸情形中轨道与椭圆差别不大。
情形1.设若干小物体围绕某个很大的物体在距它不同距离上运动,且指向每个物体的力正比于其距离。因为(由运动定律推论Ⅳ)它们全体的公共重心或是静止,或是匀速运动,设小物体如此之小,以至于根本不能测出大物体到该重心的距离;因而大物体以无法感知的误差处静止或匀速运动状态中;而小物体绕大物体沿椭圆运动,其半径掠过的面积正比于时间;如果我们排除由大物体到公共重心间距所引入的误差,或由小物体相互间作用所引入的误差的话。可以使小物体如此缩小,使该间距和物体间的相互作用小于任意给定值;因而其轨道成为椭圆,对应于时间的面积没有不小于任意给定值的误差。
证毕。
情形2.设一个系统,其中若干小物体按上述情形绕一个极大物体运动,或设另一个相互环绕的二体系统,做匀速直线运动,同时受到另一个距离很远的极大物体的推动而偏向一侧。因为沿平行方向推动物体的加速不改变物体相互间的位置,只是在各部分维持其间的相互运动的同时,推动整个系统改变其位置,所以相互吸引物体之间的运动不会因该极大物体的吸引而有所改变,除非加速吸引力不均匀,或相互间沿吸引方向的平行线发生倾斜。所以,设所有指向该极大物体的加速吸引力反比于它和被吸引物体间距离的平方,通过增大极大物体的距离,直到由它到其他物体所作的直线长度之间的差,以及这些直线相互间的倾斜都可以小于任意给定值,则系统内各部分的运动将以不大于任意给定值的误差继续进行。因为,由于各部分间距离很小,整个被吸引的系统如同一个物体,它像一个物体一样因而受到吸引而运动;即,它的重心将关于该极大物体画出一条圆锥曲线(即如果该吸引较弱画出抛物线或双曲线,如果吸引较强则画出椭圆);而且由极大物体指向该系统的半径将正比于时间掠过面积,而由前面假设知,各部分间距离所引起的误差很小,并可以任意缩小。
证毕。
由类似的方法可以推广到更复杂的情形,以至于无限。
推论Ⅰ.在情形2中,极大物体与二体或多体系统越是趋近,则该系统内各部分相互间运动的摄动越大;因为由该极大物体作向各部分的直线相互间倾斜变大;而且这些直线比例不等性也变大。
推论Ⅱ.在各种摄动中,如果设系统所有各部分指向极大物体的加速吸引力相互之间的比不等于它们到该极大物体的距离的平方的反比,则摄动最大;尤其当这种比例不等性大于各部分到极大物体距离的不等性时更是如此。因为,如果沿平行线方向同等作用的加速力并不引起系统内部分运动的摄动,而当它不能同等作用时,当然必定要在某处引起摄动,其大小随不等性的大小而变化。作用于某些物体上较大推斥力的剩余部分并不作用于其他物体,必定会使物体间的相互位置发生改变。而这种摄动迭加到由于物体间连线的不等性和倾斜而产生摄动上,将使整个摄动更大。
推论Ⅲ.如果系统中各部分沿椭圆或圆周运动,没有明显的摄动,且它们都受到指向其他物体的加速力的作用,则该力十分微弱,或在很近处沿平行方向近于同等地作用于所有部分之上。