在相同假设下,不定半径SD所掠过的图形的面积DES,等于物体以图形DES的通径的一半为半径关于中心S做匀速圆运动在相同时间里所掠过的面积。

设物体C在最小时间间隔里下落一个不定小线段Cc,同时另一物体K关于中心S沿圆周OKk作匀速运动,掠过弧Kk。作垂线CD,cd与图形DES相交于D,d。连接SD,Sd,SK,Sk,作Dd与轴AS交于T,并在其上作垂线SY。
情形1.如果图形DES是圆,或直角双曲线,在O点等分其横向直径AS,则SO为其半通径。而因为

以及

即得到

但(由命题33,推论Ⅰ)

即,如果点D,d合并,取线段的最后比值。所以,

而且,落体在C的速度比物体以间隔SC关于中心S作圆运动的速度,等于AC与AO或SK的比值的平方根(由命题33);而该速度比物体沿圆OKk运动的速度等于SK与SC的比值的平方根(由命题4,推论Ⅵ);因而,第一个速度比最后一个速度,即小线段Cc比弧Kk,等于AC与SC的比值的平方根,即等于AC与CD的比值。
所以,

因而,

而且

即面积KSk等于面积SDd。所以,在每一个时间间隔中,都产生出两个相等的面积元KSk和SDd,如果它们在大小趋于零,而数目无限增多,则(由引理Ⅳ的推论)得到二者同时产生的整个面积总是相等的。
证毕。
情形2.如果图形DES是抛物线,与上述情形相同,也有

即=2:1,所以,

但落体在C点的速度等于在间隔
处作匀速圆周运动的速度(由命题34)。而该速度比沿以半径SK作圆运动的速度,即小线段Cc比弧Kk,(由命题4,推论Ⅵ)等于SK与
SC的比值的平方根;即等于SK比
。所以
等于
,所以等于
SY·Dd;即面积KSK等于面积SDd,与上述情形相同。
证毕。