球自柱形桶底部孔洞中流出的水的运动。

令ACDB为柱形容器,AB为其上端开口,CD为平行于地平面的底,EF为桶底中间的圆孔,G为圆孔中心,GH为垂直于地平面的桶轴。再设柱形冰块APQB体积与桶容积相等,并且是共轴的,以均匀运动连续下落,其各部分一旦与表面AB接触,即融化为水,受其重量驱使流入桶中,并且在下落中形成水柱ABNFEM,通过孔洞EF并刚好将它填满。令冰块均匀下落的速度和在圆AB内的连续水流速度等于水下落掠过距离IH所获得的速度;令IH与HG位于同一条直线上;通过点I作直线KL平行于地平线,与冰块的两侧边相交于K和L。则水自孔洞EF流出的速度与自I流过距离IG所获得的速度相等。所以,由伽利略定理,IG比IH等于水自孔洞流出速度,比水在圆AB的流速的平方,即,等于圆AB与圆EF比值的平方;这二个圆都反比于在相同时间里等量通过它们并完全把它们填满的水流速度。我们现在考虑的是水流向地平面的速度,不考虑与之平行使水流各部分相互趋近的运动;因为它既不是由重力产生的,也不改变重力引起的使水流向地平面的运动。我们的确要假定水的各部分有些微凝聚力,它使水在下落过程中以与地平面相平行的运动相互趋近以保持单一的水柱,防止它们分袭为几个水柱;但由这种凝聚力产生的平行于地平面的运动不在我们讨论之列。
情形1.设包围着水流ABNFEM的水桶总容积都充满了冰,水像流过漏斗那样自冰中穿过。如果水只是非常接近于冰,但不与之接触;或者等价地,如果冰面足够光滑,水虽然与它接触,却可以在其上自由滑移,完全不受到阻力;则水仍将像以前一样以相同速度自孔洞EF中穿过,而水柱ABNFEM的总重量仍是把水自孔洞挤出的动力,桶底则支撑着环绕该水柱的冰的重量。
现设桶中的冰融化为水;流出的水保持不变,因为其流速仍像从前一样不变。它之所以不变小,是因为融化了的冰也倾向于下落;它之所以不变大,是因为已成为水的冰不可能克服其他水的下落而独自上升。在流动的水中同样的力永远只应产生同样的速度。
但在位于桶底的孔洞,由于流水粒子有斜向运动,必使水流速度略大于从前。因为现在水的粒子不再全部垂直地通过该孔洞,而是自桶侧边的所有方向流下,向孔洞集聚,以斜向运动通过它;并且在聚集向孔洞时汇集成一股水流,其在孔洞下侧的直径略小于在孔洞处直径;它的直径与孔洞的直径的比等于5比6,或极近于
比
,如果我的测量正确的话。我制作了一块薄平板,在中间穿凿一个孔洞,圆洞直径约为1英寸的八分之五。为了不对流出的水加速使水流更细,我没有把这块平板固定在桶底,而是固定在桶边,使水沿平行于地平面的方向涌出。然后将桶注满水,放开孔洞使水流出;在距孔洞约半英寸处极精确地测得水流的直径为
英寸。所以该圆洞的直径与水流的直径的比极近似地等于25比21。所以,水流径孔洞时自所有方面收缩,在流出水桶后该集聚作用使水流变得更小,这种变小使水流加速直到距孔洞半英寸处,在该距离处水流比孔洞处为小,而速度更大,其比值为25:25比21:21,或非常近似于17比12;即约为
比1。现在,由此实验可以肯定,在给定的时间内,自桶底孔洞流出的水量等于在相同时间内以上述速度自另一个圆洞中自由流出的水量,后者与前者直径的比为21比25。所以,通过孔洞本身的水流的下落速度近似等于一重物自桶内静止水的一半高度落下所获得的速度。但水在流出后更受到集聚作用的加速,在它到达约为孔洞直径的距离处时,所获得的速度与另一个速度的比约为
比1;一个重物差不多要从桶内静止水的全部高度处下落才能获得这一速度。
所以,在以下的讨论中,水流的直径我们以称为EF的较小孔洞表示。设另一个平面NW在孔洞EF的上方,与孔平面平行,到孔洞的距离为同一孔洞的直径,并被凿出一个更大的洞ST,其大小刚好使流过下面孔洞EF的水把它填满。所以该孔洞的直径与下面孔洞直径的比约为25比21。通过这一方法,水将垂直流过下面的孔洞;而流出的水量取决于这最后一个孔洞的大小,将极近似地与本问题的解相同。可以把两个平面之间的空间与下落的水流看做是桶底。为了使解更简单和数学化,最好只取下平面为桶底,并假设水像通过漏斗那样自冰块中流过,经过下平面上的孔洞EF流出水桶,并连续地保持其运动,而冰块保持静止。所以在以下讨论中令ST为以Z为中心的圆洞直径,桶中的水全部自该孔洞流出。而令EF为另一个孔洞直径,水流过它时把它全部充满,不论流经它的水是自上面的孔洞ST来,还是像穿过漏斗那样自桶冰块中间而来。令上孔洞ST的直径比下孔洞EF的直径约为25比21,令两个孔洞所在平面之间距离等于小孔洞的直径EF。则自孔洞ST向下流过的水的速度,与一物体自高度IZ的一半下落到该孔洞时所获得的速度相同;而两种流经孔洞EF的水流速度,都等于一物体自整个高度IG自由下落所获得的速度。

情形2.如果孔洞EF不在桶底中间,而是在其他某处,则如果孔洞大小不变,水流出的速度与从前相同。因为虽然重物沿斜线下落到同样的高度比沿垂直线下落需要的时间要长,但在这两种情形中它所获得的下落速度相同;正如伽利略所证明的那样。
情形3.水自桶侧边孔洞流出的速度也相同。因为,如果孔洞很小,使得表面AB与KL之间的间隔可以忽略不计,而沿水平方向流出的水流形成一抛物线图形;由该抛物线的通径可以知道,水流的速度等于一物体自桶内静止水高度IG或HG下落所获得的速度。因为,我通过实验发现,如果孔洞以上静止水高度为20英寸,而孔洞高出一与地平面平行的平面也是20英寸,则由此孔洞喷出的水流落在此平面上的点,到孔洞平面的垂直距离极近似于37英寸。而没有阻力的水流应落在该平面上40英寸处,抛物线状水流的通径应为80英寸。
情形4.如果水流向上喷出,其速度也与上述相同。因为向上喷出的小股水流,以垂直运动上升到GH或GI,即桶中静止水的高度;它所受到的微小空气阻力在此忽略不计;所以它喷出的速度与它从该高度下落获得的速度相等。静止水的每个粒子在所有方面都受到相等的压力(由第二编命题19),并总是屈服于该压力,倾向于以相等的力向某处涌出,不论是通过桶底的孔洞下落,或是自桶侧边的孔洞沿水平方向喷出,或是导入管道自管道上侧的小孔涌出。这一结果不仅仅是从理论推导出来的,也是由上述著名实验所证明了的,水流出的速度与本命题中所导出的结果完全相同。

情形5.不论孔洞是圆形、方形、三角形,或其他任何形状,只要面积与圆形相等,水流的速度都相等;因为水流速度不决定于孔洞形状,只决定于孔洞在平面KL以下的深度。
情形6.如果桶ABCD的下部为静止水所淹没,且静止水在桶底以上的高度为GR,则在桶内的水自孔洞EF涌入静止水的速度等于水自高度IR落下所获得的速度;因为桶内所有低于静止水表面的水的重量都受到静止水的重量的支撑而平衡,因而对桶内水的下落运动无加速作用。该情形通过实验测定水流出的时间也可以得到证明。
推论Ⅰ.因此,如果水的深度CA延长到K,使AK比CK等于桶底任意位置上的孔洞的面积与圆AB的面积的比的平方,则水流速度将等于水自高度KC自由落下所获得的速度。
推论Ⅱ.使水流的全部运动得以产生的力等于一个圆形水柱的重量,其底为孔洞EF,高度为2GI或2CK。因为在水流等于该水柱时,它由其自身重量自高度GI落下所获得的速度等于它流出的速度。
推论Ⅲ.在桶ABDC中所有水的重量比其中驱使水流出的部分的重量,等于圆AB与EF的和比圆EF的二倍。因为令IO为IH与IG的比例中项,则自孔洞EF流出的水,在水滴自I下落掠过高度IG的时间内,等于以圆EF为底,2IG为其高的柱体,即,等于以AB为底,2IO为高的柱体。因为圆EF比圆AB等于高度IH比高度IG的平方根;即等于比例中项IO比IG。而且,在水滴自I下落掠过高度IH的时间内,流出的水等于以圆AB为底,2IH为高的柱体;在水滴自I下落经过H到G掠过高度差HG的时间内,流出的水,即立方体ABNFEM内所包含的水,等于柱体的差,即等于以AB为底,2HO为高的柱体。所以,桶ABDC中所有的水比装在上述立方体ABNFEM中的下落的水,等于HG比2HO,即,等于HO+OG比2HO,或者IH+IO比2IH。但装在立方体ABGNFEM中的所有水的重量都用于把水逐出水桶;因而桶中所有水的重量比该部分使水外流的重量等于IH+IO比2IH,所以等于圆EF与AB的和比圆EF的2倍。
推论Ⅳ.桶ABDC中所有水的重量比另一部分由桶底支撑着的水的重量,等于圆AB与EF的和比这二者的差。
推论Ⅴ.该桶底支撑着的部分的重量比用于使水流出的重量等于圆AB与EF的差比小圆EF,或等于桶底面积比孔洞的二倍。
推论Ⅵ.重量中压迫桶底的部分比垂直压迫的总重量等于圆AB比圆AB与EF的和,或等于圆AB比圆AB的二倍减去桶底面积的差。因重量中压迫桶底的部分比桶中水的总重量等于圆AB与EF的差比这二者的和(由推论Ⅳ);而桶中水总重量比垂直压迫桶底的水总重量等于圆AB比圆AB与EF的差。所以,将二比例式中对应项相乘,压迫桶底的重量部分比垂直压迫桶底的所有水的重量等于圆AB比圆AB与EF的和,或比圆AB的二倍减桶底的差。

推论Ⅶ.如果在孔洞EF的中间置一小圆片PQ,它也以G为圆心,平行于地平面,则该小圆片支撑的水的重量大于以该小圆片为底,高为GH的水柱重量的三分之一。因为仍令ABNFEM为下落的水柱,其轴为GH,令所有对该水柱顺利而迅速地下落无影响的水都冻结,包括水柱周围的与小圆片之上的。令PHQ为小圆片之上冻结的水柱,其顶点为H,高为GH。设这样的水柱因其自身重量而下落。且既不依附也不压迫PHQ,而是完全没有摩擦地与之自由滑动,除在开始下落时紧挨着冰柱顶点的水柱或许会发生凹形。由于围绕着下落水柱的冻结水AMEC,BNFD,其内表面AME,BNF向着该下落水柱弯曲,因而大于以小圆片PQ为底,高GH的圆锥体;即,大于底与高与相同的柱体的三分之一。所以,小圆片所支撑的水柱的重量,大于该圆锥的重量,既大于柱体的三分之一。
推论Ⅷ.当圆PQ很小时,它所支撑的水的重量似乎小于以该圆为底,高为HG的水柱重量的三分之二。因为,在上述诸条件下,设以该小圆片为底的半椭球体,其半轴或高为HG。该图形等于柱体的三分之二,被包含在冻结水柱PHQ之内,其重量为小圆片所支撑。因为水的运动虽然是直接向下的,而该柱的外表面必定与底PQ以某种锐角相交,水在其下落中被连续加速,这种加速使水流变细。所以,由于该角小于直角,该水柱的下部将位于半椭球之内。其上部则为一锐角或集于一点;因为水流是自上而下的,水在顶点的水平运动必定无限大于它流向地平面的运动。而且该圆PQ越小,柱体的顶部越尖锐;由于圆片无限缩小时,角PHQ也无限缩小,因而柱体位于半椭球之内。所以柱体小于半椭球,或小于以该小圆片为底,高为GH的柱体的三分之二部分。所以小圆片支撑的水力等于该柱体的重量,而周围的水则被用以驱使水流出孔洞。
推论Ⅸ.(就我所知)小圆片所支撑的重量比以该小圆片为底,高为
的水柱重量,等于EF2比
,或非常接近等于圆EF比该圆减去小圆片PQ的一半的差。