如果两条能动且不确定的直线BM,CM通过给定点B,C并以其为极点,由两直线的交点M引第三条位置已知的直线MN,再作另两条不确定直线BD,CD,与前两条直线在给定点B,C形成给定角MBD,MCD:则直线BD,CD的交点D将画出圆锥曲线并通过点B,C。反之,如果直线BD,CD的交点D画出圆锥曲线并通过点B,C,A,而且角DBM总是等于已知角ABC,而且角DCM总是等于给定角ACB,则点M的轨迹是一条位置已定的直线。

在直线MN上给定一点N,当可动点M落到不动点N上时,令可动点D落到不动点P上。连接CN,BN,CP,BP,由点P作直线PT,PR与BD,CD相交于T和R,并使角BPT等于给定角BNM,角CPR等于给定角CNM。因为(由设定条件)角MBD,NBP相等,角MCD,NCP也相等,移去公共角NBD和NCD,则余下的角NBM与PBT,以及NCM与PCR相等;所以三角形NBM,PBT相似,三角形NCM,PCR也相似。所以,PT比NM等于PB比NB;PR与NM等于PC比NC。而点B,C,N,P是不可移动的,所以PT和PR与NM的比是给定的,因而这两个比之间也有给定比值;所以,(由引理20)点D随可动直线BT和CR连续运动,处于通过点B,C,P的圆锥曲线上。
证毕。

反之,如果可动点处于通过点B,C,A的圆锥曲线上,角DBM总是等于给定角ABC,角DCM总是等于给定角ACB,当点D相继落到圆锥曲线上任意两个不动点p,P上时,可动点M也相继落入不动点n,N。通过点n,N作直线nN:则该直线nN为点M的连续轨迹。因为,如果可能的话,令点M位于任意曲线上,因而点D将处于通过五点B,C,A,p,P的圆锥曲线上,同时点M持续处于一条曲线上。但由前面所证明的,点D也在通过五个相同点B,C,A,p,P的圆锥曲线上,同时点M保持在一条直线上,所以两条圆锥曲线通过五个相同点,与命题20推论Ⅲ相悖。所以,点M处于一条曲线上的假设是不合理的。
证毕。