如果球体的阻力正比于速度的平方,则在正比于初速度反比于初始阻力的距离内,它们失去的运动正比于其全部,而掠过的距离正比于该时间与初速度的乘积。
因为运动所失去的部分正比于阻力与时间的乘积,所以该部分应正比于全部,阻力与应正比于运动的时间的乘积,所以时间正比于运动反比于阻力。所以在以该比值选取的时间间隔内,物体所失去的运动部分总是正比于其全部,因而余下的速度也总正比于初速度。因为速度的比值是给定的,它们所掠过的距离正比于初速度与时间的乘积。
证毕。
推论Ⅰ.如果速度相同的物体其阻力正比于直径的平方,不论均匀球体以什么样的速度运动,在掠过正比于其直径的距离后,所失去的运动部分都正比于其全部。因为每个球的运动都正比于其速度与质量的乘积,即正比于速度与其直径立方的乘积;阻力(由命题)则正比于直径的平方与速度的平方的乘积;而时间(由命题)与前者成正比,与后者成反比;所以,正比于时间与速度的距离也正比于直径。
推论Ⅱ.如果速度相同的物体的阻力正比于其直径的3/2次幂,则以任意速度运动的均匀球体在掠过正比于其直径3/2次幂的距离后,所失去的运动部分正比于其全部。
推论Ⅲ.一般而言,如果速度相同的物体受到的阻力正比于直径的任意次幂,则以任意速度运动的均匀球体,在失去其运动的部分正比于总运动量时,所掠过的距离正比于直径的立方除以该幂。令球体直径为D和E;如果在速度相等时阻力正比于Dn和En,则球体以任意速度运动并失去其运动的部分正比于全部时,所掠过的距离正比于D3-n和E3-n,而所余下的速度相互间的比值等于开始时的比值。
推论Ⅳ.如果球是不均匀的,较密的球所掠过的距离的增加正比于密度。因为在相等速度下,运动正比于密度,而时间(由命题)也正比于运动增加,所掠过的距离则正比于时间。
推论Ⅴ.如果球在不同的介质中运动,在其他条件相同时,在阻力较大的介质中,距离正比于该较大阻力减小。因为时间(由命题)的减少正比于增加的阻力,而距离正比于时间。