如果一物体受到的阻力正比于其速度的平方,在均匀介质中运动时只受其惯性力的推动;按几何级数取时间值,并将各项由小到大排列;则每个时间间隔开始时的速度是由一个几何级数的倒数;而每个时间间隔内物体越过的距离相等。

由于介质的阻力正比于速度的平方,而速度的减少正比于阻力:如果把时间分为无数相等间隔,则各间隔开始时速度的平方正比于相同速度的差。令这些时间间隔为直线CD上选取的AK,KL,LM等等,作垂线AB,Kk,Ll,Mm等等,与以C为中心,以CD,CH为直角渐近线的双曲线BklmG相交于B,k,l,m等等;则AB比Kk等于CK比CA,由相减法,AB-Kk比Kk等于AK比CA,交换之,AB-Kk比AK等于Kk比CA;所以等于AB·Kk比AB·CA。所以既然AK和AB·CA是已知的,AB-Kk正比于AB·Kk;最后,当AB与Kk重合时正比于AB2。由类似理由,Kk-Ll,Ll-Mm等等都分别正比于Kk2,Ll2等等。所以线段AB,Kk,Ll,Mm等等的平方正比于它们的差;所以,既然前面已证明速度的平方正比于它们的差,则这两个级数量是相似的。由此还可以推知这些线段掠过的面积与这些速度掠过的距离也是相似级数。所以,如果以线段AB表示第一个时间间隔AK开始时的速度,以线段Kk表示第二个时间间隔KL开始时的速度,以面积AKkB表示第一个时间内掠过的长度,由以后的速度可以由以下线段Ll,Mm等等来表示,掠过的长度可以由面积Kl,Lm等等来表示。经过组合后,如果以AM表示全部时间,即各间隔总和,以AMmB表示全部长度,即其各部分之总和,设时间AM被分割为部分AK,KL,LM等等,使得CA,CK,CL,CM等按几何级数排列,则这些时间部分也按相同几何级数排列,而对应的速度AB,Kk,Ll,Mm等等则按相同级数的倒数排列,而相应的空间Ak,Kl,Lm等等都是相等的。
证毕。
推论Ⅰ.可以推知,如果以渐近线上任意部分AD表示时间,以纵坐标AB表示该时间开始时的速度,而以纵坐标DG表示结束的速度;以邻近的双曲线面积ABGD表示掠过的全部距离;则任意物体在相同时间里以初速度AB通过无阻力介质的距离,可以由乘积AB·AD表示。
推论Ⅱ.由此,可以求出在阻抗介质中掠过的距离,方法是它与物体在无阻力介质中以均匀速度AB掠过的距离的比,等于双曲线面积ABGD比乘积AB·AD。
推论Ⅲ.也可以求出介质的阻力。在运动刚开始时,它等于一个均匀向心力,该力可以使一个物体在无阻力介质中的时间AC内获得下落速度AB。因为如果作BT与双曲线相切于B,与渐近线相交于T,则直线AT等于AC,它表示该均匀分布的阻力完成抵消速度AB所需的时间。
推论Ⅳ.由此还可以求出该阻力与重力或其他任何已知向心力的比例。
推论Ⅴ.反之,如果已知该阻力与任何已知向心力的比值,则可以求出时间AC,在该时间内与阻力相等的向心力可以产生正比于AB的速度;由此也可以求出点B,通过它可以画出以CH,CD为渐近线的双曲线;还可以求出距离ABGD,它是物体以开始运动时的速度AB在任意时间AD内掠过均匀阻力介质的距离。