设物体相互间吸引力随其到中心距离的简单比值而增加,求各物体相互间的运动。

设前两个物体T和L的公共重心是D。则由定理21推论I知,它们画出以D为重心的椭圆,由问题5可以求出椭圆的大小。
设第三个物体S以加速力ST,SL吸引前两个物体T和L,它也受到它们的吸引。力ST(由运动定律推论Ⅱ)可以分解为力SD,DT;而力SL可分解为力SD和DL。力DT,DL的合力是TL,它正比于使二物体相互吸引的加速力,将该力加在物体T和L的力上,前者加于前者,后者加于后者,得到的合力仍与先前一样正比于距离DT和DL,只是比先前的力大;所以(由命题10推论Ⅰ,命题4推论Ⅰ和Ⅷ)它与先前的力一样使物体画出椭圆,但运动得更快。余下的加速力SD和DL,通过其运动力SD·T和SD·L,沿平行于DS的直线TI和LK同样吸引物体,完全不改变物体相互间的位置,只能使它们同等地趋近直线IK,该直线通过物体S的中心,且垂直于直线DS。但这种向直线IK的趋近受到阻止,物体T和L在一边,而物体S在另一边组成的系统以适当速度绕公共重心C旋转。在这种运动中,由于运动力SD·T与SD·L的和正比于距离CS,物体S倾向于重心C,并关于该中心画出椭圆;而由于CS与CD成正比,点D画出与对应的类似椭圆。受到运动SD·T和SD·L吸引力的物体T和L,如前面所说,前者对应前者,后者对应后者,同等地沿平行直线TI和LK的方向,(由运动定律推论Ⅴ和Ⅵ)绕运动点D画出各自的椭圆。
完毕。
如果再加上第四个物体V,由同样的理由可以证明,该物体与点C关于围绕公共重心B画出椭圆;而物体T,L和S绕重心D和C的运动不变,只是速度加快了。运用相同方法还可以随意加上更多的物体。
完毕。
即使物体T和L相互吸引的加速力大于或小于它们按距离比例吸引其他物体的加速力,上述情形仍成立。令所有加速吸引力相互间的比等于吸引物体距离的比,则由以前的定理容易推知,所有物体都在一个不动平面上以相同周期关于它们的公共重心B画出不同的椭圆。
完毕。