设均匀介质中的重力是均匀的,并垂直指向水平面:求其中受正比于速度的阻力作用的抛体的运动。

令抛体自任意处所D沿任意直线DP方向抛出,在运动开始时的速度以长度DP表示。自点P向水平线DC作垂线PC,与DC相交于A,使DA比AC等于开始向上运动时所受到的介质阻力的垂直分量,比重力;或(等价地)使得DA与DP的乘积比AC与CP的乘积等于开始运动时的全部阻力比重力。以DC,CP为渐近线作任意双曲线GTBS与垂线DG,AB相交于G和B;作平行四边形DGKC,其边GK与AB相交于Q。取一段长度N,使它与QB的比等于DC比CP;在直线DC上任意点R作其垂线RT,与双曲线相交于T,与直线EH,GK,DP相交于I,t和V;在该垂线上取Vr等于
,或,等价地,取Rr等于
;抛体在时间DRTG内将到达点r,画出曲线DraF,即点r的轨迹;因而将在垂线AB上的点a达到其最大高度;以后即向渐近线PC趋近,它在任意点r的速度正比于曲线的切线rL。
完毕。
因为

所以RV等于
,而且Rr(即RV-Vr,或
)等于
。现在令面积RDGT表示时间,且把物体的运动(由运动定律推论Ⅱ)分为两部分,一为向上的,另一为水平的。由于阻力正比于运动,把它也分解为与这二种运动成正比且方向相反的两部分:因而表示水平方向运动的长度(由第二编命题2)正比于线段DR,而高度(由第二编命题3)正比于面积DR·AB-RDGT,即正比于线段Rr。但在运动刚开始时面积RDGT等于乘积DR·AQ,因而该线段Rr或
比DR等于AB-AQ或QB比N,即等于CP比DC;所以等于开始时向上的运动比水平的运动。由于Rr总是正比于高度,DR总是正比于水平长度,而开始运动时Rr比DR等于高度比长度,由此可以推出,Rr比DR总是等于高度比长度;所以物体将沿点r的轨迹曲线DraF运动。
证毕。
推论Ⅰ.Rr等于
;所以,如果延长RT到X,使RX等于
,即,如果作平行四边形ACPY,作DY与CP相交于Z,再延长RT与DY相交于X;则Xr等于
,因而正比于时间。
推论Ⅱ.如果按几何级数选取无数个线段CR,或等价地,取无数个线段ZX,则有同样多个线段Xr按算术级数与之对应。所以曲线DraF很容易用对数表做出。
推论Ⅲ.如果以D为顶点作一抛物线,把直径DG向下延长,其通径比2DP等于运动开始时的全部阻力比重力,则物体由处所D沿直线DP方向在均匀阻力的介质中画出曲线DraF的速度,与它由同一处所D沿同一直线DP方向在无阻力介质中画出一抛物线的速度相同。因为在运动刚开始时,该抛物线的通径为
;而Vr等于
或
。如果作一条直线与双曲线GTS相切于G,则它平行于DK,因而Tt等于
,而N等于
。所以Vr等于
,即(由于DR与DC,DV与DP成正比),等于
;通径
等于
,即(因为QB与CK,DA与AC成正比),等于
,所以通径比2DP等于DP·DA比CP·AC;即等于阻力比重力。
证毕。

推论Ⅳ.如果从任意处所D以给定速度抛出一物体,抛出方向沿着位置已定的直线DP,且在运动开始时介质阻力为已知,则可以求出物体画出的曲线DraF。因为速度已知,则容易求出抛物线的通径。再取2DP比该通径等于引力比阻力,即可求出DP。然后在DC上取A,使CP·AC比DP·DA等于重力比阻力,即求得点A,因此得到曲线DraF。
推论Ⅴ.反之,如果已知曲线DraF,则可以求出物体在每一个处所r的速度和介质的阻力。因为CP·AC与DP·DA比值已知,则开始运动时的介质阻力,以及抛物线的通径可以求出。因而也可以求出开始运动时的速度,再由切线rL的长度即可求得与它成正比的任意处所r的速度以及与该速度成正比的阻力。

推论Ⅵ.由于长度2DP比抛物线的通径等于在D处的引力比阻力,由速度的增加可知阻力也以相同比率增加,而抛物线通径以该比率的平方增加,容易推知长度2DP仅以该简单比率增加;所以它总是正比于速度;角度CDP的变化对它的增减没有影响,除非速度也变化。

推论Ⅶ.由此得到一种与该现象很近似的求曲线DraF的方法。因而可以求出被抛射物体受到的阻力和速度。由处所D沿不同角度CDP和CDp以相同速度抛出两个相等的物体,测知它们落在地平面DC上的位置F,f。然后在DP或Dp上任取一段长度表示D处的阻力,它与重力的比为任意比值,令该比值以任意长度SM表示。然后,由该假设长度DP计算出长度DF,Df;再由计算出的比值
减去由实验测出的同一比值;令该差值以垂线MN表示。通过不断设定阻力与引力的新比值SM得到新的差MN,重复两到三次,在直线SM的一侧画出正差值,另一侧画出负差值;通过点N,N,N画出规则曲线NNN,与直线SMMM相交于X,则SX就是要求的阻力与重力的实际比值。由该比值可以计算出长度DF;而那个与假设长度DP的比等于实验测出的长度DF与刚计算出的长度DF的比的长度,就是DP的实际长度。求出这些以后,就既可以得到物体画出的曲线DraF,又可以得到物体在任一处所的速度和阻力。