在所有曲线的一有限曲率点上,切线与趋于零的弦的接触角的弦最终正比于相邻弧长对应的弦的平方。

第一种情形:令AB为弧长,AD是其切线,BD垂直于切线,是接触角的弦,直线AB是弧对应的弦。作BG垂直于弦AB,作AG垂直于切线AD,二者相交于G。再令点D,B,和G趋近于点d,b和g,设J为直线BG、AG的最后交点,此时点D,B与A重合,很明显,距离GJ可以小于任何给定的距离,但(由通过点A,B,G和通过点A,b,g的圆的特性)

但由于GJ可以小于任何给定的长度,AG和Ag的比值与单位量的差也可以小于任何给定值,所以,AB2和Ab2的比值与BD和bd的比值的差也可以小于任何给定值。所以,由引理1,最终有:

证毕。
第二种情形:令BD与AD夹角的任意给定值,BD与bd的最终比值仍与以前相同,所以AB2与Ab2的比值也相同。
证毕。
第三种情形:如果角D不曾给定,但直线BD向一给定点收敛,或由任何其他条件决定。则由相同规则决定的角D和角d仍总是趋于相等,并以小于任何给定差值相互趋近。所以,由引理1,将最终相等。所以,线段BD与bd的比值仍与以前相同。
证毕。
推论Ⅰ.因为切线AD,Ad,弧AB,Ab以及它们的正弦BC,bc最后均与弧弦AB,Ab相等,它们的平方最终也将正比于角弦BD,bd。
推论Ⅱ.它们的平方最终还将正比于弧的正矢,该正矢等分弦,并向给定点收敛,因为这些正矢正比于角弦BD,bd。
推论Ⅲ.所以,正矢正比于物体以给定速度沿轨迹运动所需时间的平方。
推论Ⅳ.因为

而最后比例:

即得到比例式:

最后也得到:

推论Ⅴ.因为DB,db最终平行于,并正比于AD,Ad的平方,最后的曲线面积ADB,Adb将(由抛物线特性)是直线三角形ADB,Adb的三分之二,而缺块AB,Ab是同一三角形的三分之一,因此,这些面积与缺块将正比于切线AD,Ad的平方,也正比于弧或弦AB,Ab的立方。