命题23 问题15

作圆锥曲线通过四个给定点,并与给定直线相切。

情形1.设HB为已知切线,B为切点,C,D,P为另三个已知点。连接BC,作PS平行于BH,PQ平行于BC;画出平行四边形BSPQ,作BD与SP相交于T,CD与PQ相交于R。最后,作任意直线tr平行于TR,分别从PQ,PS分割出Pr,Pt正比于PR,PT,作Cr,Bt,它们的交点d(由引理20)总是落在所要画的圆锥曲线上。

另一种解法

令大小给定的角CBH绕极点B旋转,并使直线半径DC绕极点C旋转并向两边延长,角的一边BC与半径相交于点M,N,同时另一边与相同半径交于点P和D,再作不定直线MN,使半径CP或CD与角的BC边在该直线上保持相交,则角的另一边BH与半径的交点将描出所需的曲线。

因为,如果在前述问题的作图中,点A与点B重合,直线CA与CB也将重合,则直线AB的最后位置就是切线BH;所以,前述作图即与本问题作图相同。所以,BH边与半径的交点所画出的圆锥曲线将通过点C,D,P,并在B点与直线BH相切。

完毕。

情形2.设已知四点B,C,D,P均不在切线HI上。由相交于G的直线BD,CP各连接两个已知点,并与切线相交于H和I,在A分割切线,使得HA比IA等于CG和GP的比例中项与BH和HD的比例中项的乘积,再比GD和GB的比例中项与PI和IC的比例中项的乘积,则A就是切点。因为,如果平行于直线PI的HX与曲线相交于任意点X和Y,则点A(由圆锥曲线特性)将使得HA2比AI2的值等于乘积HX·HY比乘积BH·HD,或乘积CG·GP比乘积DG·GB;再乘以乘积BH·HD比乘积PI·IC。而在切点A找到之后,曲线即可以由第一种情形做出。

不过点A既可以在点H与I之间,也可以在其外,由此可画出两种曲线。