三角形的类型和大小均给定,将其三个角分别对应于同样多的相互不平行的已知直线,使每个角与一条直线相接触。

三条不定直线AB,AC,BC位置已定,现在要求这样安置三角形DEF,使角D与直线AB相接触,角E与直线AC相接触,而角F与直线BC相接触,在DE,DF和EF上作三段圆弧DRE,DGF,EMF,其张角分别等于BAC,ABC,ACB。而这些圆弧这样面对直线DE,DF,EF,使字母DRED的转动顺序与字母BACB相同,字母DGFD的顺序与ABCA相同,而字母EMFE的顺序与字母ACBA相同;然后将这些圆弧拼成整圆,令前两个圆相交于G,并设它们的中心为P和Q,连接GP,PQ,使

以G为中心,间隔Ga为半径,画一个圆与第一个圆DGE相交于a,连接aD与第二个圆DFG相交于b,再作aE与第三个圆EMF相交于c,作图形ABCdef与图形abcDEF相似而且相等,则问题得解。
因为,作FC与aD相交于n,连接aG,bG,QG,QD,PD,并画出角EaD等于角CAB,角acF等于角ACB;所以三角形anc与三角形ABC等角,因而角anc或FnC等于角ABC,进而等于角FbD;所以点n落在点b上。而且,圆心角GPD的半角GPQ等于圆周角GaD,而圆心角GQD的半角GQP等于圆周角GbD的补角,因而等于角Gba。由此,三角形GPQ与Gab相似,而且


由图中可知,

因而ab与AB相等;至此我们证明了三角形abc,ABC不仅相似,而且相等,所以,由于三角形DEF的角D,E,F分别与三角abc的边ab,ac,bc相切,做出图形ABCdef相似且相等于图形abcDEF,则问题得解。
证毕。
推论.因此,可以做出一条直线,其给定长度的部分介于三条位置已定的直线之间。设有三角形DEF,其点D向边EF趋近,随着边DE,DF变成一条直线,三角形本身也变成一条直线,其给定部分DE介于位置已定的直线AB,AC之间,而其给定部分DF介于位置已定的直线AB,BC之间;然后把上述作图法用于本情形,问题得解。