命题90 问题44

如果指向任意圆周上各点的向心力相等,并随距离的任意比率而增减;求使一小球被吸引的力,即,该小球位于一条与圆周平面成直角且穿过圆心的直线上某处。

设一圆周圆心为A,半径为AD,处在以直线AP为垂线的平面上;所要求的是使小球P被吸引指向同一圆周的力。由圆上任一点E向被吸引小球P作直线PE。在直线PA上取PF等于PE,并在F作垂线FK,正比于E点吸引小球P的力。再令曲线IKL为点K的轨迹。令该曲线与圆周平面相交于L。在PA上取PH等于PD,作垂线HI与曲线相交于I;则小球P指向圆周的吸引力将正比于面积AHIL乘以高度AP。

完毕。

因为,在AE上取极小线段Ee,连接Pe,又在PE,PA上取PC,Pf,二者都等于Pe。因为,在上述平面上以A为圆心,AE为半径的圆上任意点E吸引物体P的力,设正比于FK,所以该点把物体吸引向A的力正比于;整圆把物体P吸引向A的力共同正比于该圆和;而该圆又正比于半径AE与宽Ee的乘积,该乘积又(因为PE与AE,Ee与CE成正比)等于乘积PE·CE或PE·Ef;所以该圆把物体P吸引向A的力共同正比于PE·Ff;即正比于Ff·FK·AP,或正比于面积FKkf乘以AP。所以,对于以A为圆心,AD为半径的圆,把物体P吸引向A的力的总和,正比于整个面积AHIKL乘以AP。

证毕。

推论Ⅰ.如果各点的力随距离的平方减小,即,如果FK正比于,因而面积AHIKL正比于;则小球P指向圆的吸引力正比于

即,正比于

推论Ⅱ.一般地,如果在距离D的点的力反比于距离的任意次幂;即,如果FK正比于,因而面积AHIKL正比于;则小球P指向圆的吸引力正比于

推论Ⅲ.如果圆的直径无限增大,数n大于一;则小球P指向整个无限平面的吸引力反比于PAn-2,因为另一项已变为零。