如果轮子直立于球的内表面,并绕其轴沿球上大圆滚动,则轮子边缘上任意一点自其与球接触后所掠过的曲线路径的长度,与自接触后整个时间里所通过的球的弧的一半的正矢的二倍的比,等于球与轮直径的差比球的半径。

令ABL为球,C是其中心,BPV是立于球上的轮子,E是轮子中心,B是接触点,P是轮边缘上任意一点。设该轮沿大圆ABL由A经过B向L滚动,滚动方式总是使弧AB,PB相等,同时轮边缘上给定点P画出曲线路径AP。令AP为自轮子在A与球接触后画出的全部曲线路径,则该曲线路径的长度AP比弧
的正矢的二倍等于2CE比CB。因为令直线CE(必要时延长)与轮相交于V,连接CP,BP,EP,VP;延长CP,并在其上作垂线VF。令PH,VH相交于H,与轮相切于P和V,并使PH在G分割VF,在VP上作垂线GI,HK。由中心C为任意半径作圆nom,与直线CP相交于n,轮子边缘BB相交于O,曲线路径AP相交于m;由中心V以Vo为半径作圆与VP延长线交于q。
因为滚动中总是关于接触点B转动,则直线BP垂直于轮上点P所画出的曲线AP,所以直线VP与此曲线相切于P。令圆nom的半径逐渐增加或减小,使得它最终与距离CP相等;由于趋于零的图形Pnomq与图形PFGVI相似,趋于零的短线段Pm,Pn,Po,Pq的最后比值,即曲线AP,直线CP,圆弧BP和直线VP暂时增量的比值,将分别与直线PV,PF,PG,PI的增量相等。但由于VF垂直于CF,VH垂直于CV,所以角HVG,VCF相等;角VHG(因为四边形HVEP在V与P的角是直角)等于角CEP,三角形VHG与CEP相似,因而有

由加法或减法,

以及

所以直线VP的增量,即直线BV-VP的增量,比曲线AP的增量,等于给定比值CB比2CE,所以(由引理4推论)由这些增量所产生的长度BV-VP与AP也比值相同。但如果BV是半径,VP是角BVP或
的余弦,因而BV-VP是同一个角的正矢,则在该半径为
的轮子上,BV-VP等于弧
的正矢的二倍。所以AP比弧
的正矢的二倍等于2CE比CB。
证毕。
为便于区分,我们把前一个命题中的曲线AP称为球外摆线,而后一命题中的另一个曲线称为球内摆线。
推论Ⅰ.如果画出整条摆线ASL,并在S处二等分,则PS部分的长度比长度PV(当EB是半径时,它是角VBP正弦的二倍)等于2CE比CB,因而比值是给定的。
推论Ⅱ.摆线AS半径的长度与轮子BV直径的比等于2CE比CB。