在相同条件下,通过物体作轨道切线,再由公共焦点作切线的垂线,则物体的速度反比于该垂线而正比于通径的平方根变化。

由焦点S作直线垂直于切线PR,则物体P的速度反比于量
的平方根变化。因为速度正比于给定时间间隔内掠过的无限小弧长PQ,即(由引理7)正比于切线PR,也就是(因为有比例式PR:QT=SP:SY)正比于
,或反比于SY,正比于SP·QT,而SP·QT是给定时间里掠过的面积,也就是(由命题14)正比于通径的平方根。
证毕。
推论Ⅰ.通径正比于垂线的平方以及速度的平方变化。
推论Ⅱ.在距焦点最大和最小距离处,物体的速度反比于该距离而正比于通径的平方根,因为那些垂线此时就是距离。
推论Ⅲ.在距焦点最远或最近时,沿圆锥曲线的运动速度与沿以相同距离为半径的圆周的运动速度的比,等于通径的平方根与该距离二倍的平方根的比。
推论Ⅳ.沿椭圆做环绕运动的物体,在其与公共焦点的平均距离上,其速度与以相同距离做圆周运动的物体的速度相同,即(由命题4推论Ⅳ)反比于该距离的平方。因为此时垂线就是半短轴,也是该距离与通径的比例中项。令(诸半短轴的)比值的倒数乘以诸通径的平方根的比,即得到距离比值倒数的平方根。
推论Ⅴ.在同一图形,或甚至在不同图形中,诸通径是相等的,而物体的速度反比于由焦点到切线的垂线。
推论Ⅵ.在抛物线上,速度反比于物体到图形的焦点距离变化率的平方根,相对于该变化率,椭圆速度变化较大,而双曲线变化较小,因为(由引理14推论Ⅱ)由焦点到抛物线切线的垂线正比于距离的平方根。双曲线垂线变化较小,而椭圆的变化较大。
推论Ⅶ.在抛物线中,到焦点为任意距离的物体的速度,与以相同距离沿圆周作环绕运动的物体速度的比,等于数字2的平方根比1。对于椭圆该值较小,而双曲线较大。因为(由本命题推论Ⅱ)在抛物线顶点该速度适于这个比值,而(由本命题推论Ⅳ和命题4)在同一距离上都满足该比值。所以,对于抛物线,物体在其上各处的速度也等于沿以其距离的一半做圆周运动的速度。对于椭圆速度较小,而对于双曲线该速度较大。
推论Ⅷ.沿任何一种圆锥曲线运动的物体,其速度与以其通径的一半做圆周运动物体的速度的比,等于该距离与由焦点到曲线的切线的垂线的比,这可由推论Ⅴ得证。
推论Ⅸ.因而,由于(根据命题4推论Ⅵ)沿这种圆周运动的物体的速度与沿另一任意圆周运动的另一物体的速度比,反比于它们距离之比的平方根,所以,类似地,沿圆锥曲线运动物体的速度与沿以相同距离做圆周运动物体速度的比,是该共同距离以及圆锥曲线通径的一半,与由公共焦点到曲线切线的垂线的比的比例中项。