求通过任意个已知点的抛物线类曲线。

设这些点为A,B,C,D,E,F等,它们到任意给定直线HN的位置是给定的,作同样多个垂线AH,BI,CK,DL,EM,FN等。
情形1.如果点H,I,K,L,M,N等的间隔HI,IK,KL等是相等的,取b,2b,3b,4b,5b等为垂线AH,BI,CK等的一次差;其二次差为c,2C,3c,4c等;三次差为d,2d,3d,4d等;即,与AH-BI=b一样,BI-CK=2b,CK-DL=3b,DL+EM=4b,-EM+FN=5b等;于是,b-2b=c,以此类推,直至最后的差,在此为f。然后,作任意垂线RS,它可看做是所求曲线的纵坐标,为求该纵坐标长度,设间隔HI,IK,KL,LM等为单位长度,令AH
乘以
乘以
乘以
乘以+SM=t;将这一方法不断使用直至最后一根垂线ME,并在由S到A的诸项HS,IS等的前面加上负号;而在点S另一侧诸项SK,SL等的前面加上正号;正负号确定以后,RS=a+bp+cq+dr+es+ft+……
情形2.如果点H,I,K,L等的间隔HI,IK等不相等,取垂线AH,BI,CK等的一次差b,2b,3b,4b,5b等,除以这些垂线间的间隔;再取它们的二次差c,2c,3c,4c等,除以每两个垂线间的间隔;再取三次差d,2d,3d等,除以每三个垂线间的间隔;再取四次差e,2e等除以每四个垂线间的间隔,以此类推下去;即,按这种方法进行,
等,则
等,而
等。求出这些差之后,令AH=a,-HS=p,p乘以-IS=q,q乘以+SK=r,r乘以+SL=s,s乘以+SM=t;将这一办法一直使用到最后一根垂线ME;则纵坐标RS=a+bp+cq+dr+es+ft+……
推论.由此可以近似地求出所有曲线的面积;因为,只要求得了欲求其面积的曲线上的若干点,即可以设一抛物线通过这些点,该抛物线的面积即近似等于所求曲线的面积;而抛物线的面积总是可以用众所周知的几何方法求得的。