令任意流体的密度正比于压力,其各部分受反比于到中心距离平方的向心力的吸引竖直向下:则如果该距离是连续正比的,则在相同距离处的流体密度也是连续正比的。

令ATV表示流体的球形底面,S是球心,SA,SB,SC,SD,SE,SF等等是连续正比的距离。作垂线AH,BI,CK,DL,EM,FN等等,正比于A,B,C,D,E,F处的介质密度;则这些处所的比重正比于
等,或者完全等价地,正比于
等。首先设这些重力由A到B,由B到C,由C到D等等都是均匀的连续的,而在点B,C,D等处形成减量台阶。将这些重力乘以高度AB,BC,CD等即得到压力AH,BI,CK等等,它们作用于底ATV(由定理15)。所以,部分A承受着AH,BI,CK,DL等直至无限的所有压力;部分B承受着除第一层AH以外的所有压力;而部分C承受着除前二层以外的所有压力;以此类推:所以第一部分A的密度AH比第二部分B的密度BI,等于AH+BI+CK+DL等等所有无限多项的和比BI+CK+DL等等所有无限多项的和。而第二部分B的密度BI比第三部分C的密度CK,等于BI+CK+DL+……的和比CK+DL+……的和。所以这些和正比于它们的差AH,BI,CK等等,因而是连续正比的。而由于在处所A,B,C等的密度正比于AH,BI,CK等,它们也是连续正比的。间隔地取值,在连续正比的距离SA,SC,SE处,密度AH,CK,EM也连续正比。由类似理由,在连续正比的任意距离SA,SD,SG处,密度AH,DL,GO也是连续正比的。现在令A,B,C,D,E等点重合,使由底A到流体顶部的比重级数变为连续的,则在连续正比的任意距离SA,SD,SG处,相应也连续正比的密度AH,DL,GO仍将维持连续正比。
证毕。
推论.如果A,E两处的流体密度为已知,则可以求出任意其他处所Q的密度。以S为中心,关于直角渐近线SQ,SX作双曲线与垂线AH,EM,QT相交于a,e和q,与渐近线SX的垂线HX,MY,TZ相交于h,m和t。作面积YmtZ比已知面积YmhX等于给定面积EeqQ比给定面积EeaA;延长直线Zt截取线段QT正比于密度。因为,如果直线SA,SE,SQ是连续正比的,则面积EeqQ,EeaA相等,而与它们正比的面积YmtZ,XhmY也相等;而直线SX,SY,SZ,即AH,EM,QT连续正比,如它们所应当的那样,如果直线SA,SE,SQ按其他次序成连续正比序列,则由于正比的双曲线面积,直线AH,EM,QT也按相同的次序构成连续正比序列。
