如果三条直线与一任意圆锥曲线相切,其两条直线相互平行且位置已知,则该圆锥曲线上与平行直线相平行的半径是由二平行线切点到它们被第三条切线截取的线段的比例中项。

令AF,GB为两条平行直线,与圆锥曲线ADB相切于A和B,EF为第三条直线与圆锥曲线相切于I,并与前两条切线相交于F和G,令CD为图形上平行于前两条切线的半径:则AF,CD,BG呈连续比例关系,因为,如果共轭直径AB,DM与切线FG相交于E和H,二直径相交于C,作平行四边形IKCL;由圆锥曲线性质,

所以,

或者

所以,

或者

所以,因为三角形EAF,ELI,ECH,EBG相似,

类似地,由圆锥曲线性质,

在最后二比例式中对应项相乘并化简,

证毕。
推论Ⅰ.如果两切线FG,PQ相交于O,且与两平行切线AF,BG相交于F和G,以及P和Q,则把本引理应用到EG和PQ上,

所以,

而且

或者

以及

推论Ⅱ.而且,通过点P和G以及F和Q的直线PG,FQ将与通过图形中心以及切点A,B的直线ACB相交。