已知曲线图形的面积,求物体沿着位于经过力的中心的平面上的曲线在任意向心力作用下上升或下降的时间。

令物体由任意处所S下落,沿着经过力的中心C的平面上的给定曲线STtR运动。连接CS,并把它分为无数相等部分,令Dd为其中之一。以C为中心,以CD,Cd为半径作圆DT,dt与曲线STtR相交于T和t。由于向心力的规律已给定,物体开始下落的高CS也已给定,则物体在任意其他高度CT的速度可以求出(由命题39)。而物体掠过短线段Tt的时间正比于该线段,即正比于角tTC的正割而反比于速度。令正比于该时间的纵坐标DN在点D垂直于直线CS,由于Dd已给定,则乘积Dd·DN,即面积DNnd,将正比于同一时间。所以,如果PNn是点N连接接触的曲线,其渐近线SQ与直线CS垂直,则面积SQPND将正比于物下落经过曲线ST所用的时间;所以求出该面积也就求出了时间。
完毕。