命题20 定理15

如果球形流体的所有部分在到球心距离相等时是均匀的,置于一同心的瓶上,都被吸引向球心,则该瓶所承受的是一个柱体的重量,其底等于球的表面,而高度则等于覆盖的流体。

令DHM为瓶的表面,AEI为流体的上表面。把流体分为等厚度的同心球壳,相应的是无数个球面BFK,CGL等等;设重力只作用于每个球壳的外表面,而且对球面上相等的部分作用相等。因而上表面AEI只受到其自身重力的作用,这个力使上表面的所有部分,以及第二个表面BFK(由命题19),根据其大小而受到相等的压力。类似地,第二个表面BFK也受到其自身的重力作用,该力叠加在前一种力上使压力加倍。而第三个表面CGL则根据该力的大小,在其自身重力之外又受到这一压力的作用,使它的压力增为三倍。用类似的方法,第四个表面的压力是四倍,第五个表面的压力是五倍,以此类推。所以作用于每个表面的压力并不正比于上层流体的体积量,而是正比于到达流体上表面的层数;等于最低层乘以层数;即,等于一个体积的重量,它与上述柱体的最后的比(当层数无限增加,层厚无限减小,使由下表面到上表面的重力作用变得连续时)是相等的比。所以,下表面承受着上述柱体的重量。

证毕。

由类似理由,流体的重力按到中心的距离的任意给定比率减小,以及流体的上部稀薄,而下部稠密,都是本命题的明证。

证毕。

推论Ⅰ.瓶并未受到其上的流体全部重量的压力,只承受本命题中所述的那一部分压力;其余压力为球形流体的拱曲表面所承受。

推论Ⅱ.压力的量在到中心距离相等处总是相等的,不论表面受到的力是平行于地平面,或是垂直于它,与它斜向相交。也不论流体是由受压表面沿直线向上涌出,或是自蜿蜒曲折的洞穴和隧道斜向流出,也不论这些通道是规则或不规则的,是宽是窄。这些条件不能使压力有任何改变,这可以由将本定理应用到若干种流体的情形得到证明。

推论Ⅲ.由同一证明还可以推出(由命题19),重流体各部分自身相互间不会因为其上部重量的压力而运动,因凝聚而产生的运动除外。

推论Ⅳ.如果一个比重相同又不会压缩的另一个物体没入流体中,它将不会因其上部的重量而发生运动:它既不下沉也不上浮,外形也不改变。如果它是球体,尽管有此压力它仍保持球形,如果它是立方体,则仍保持立方体,不论它是柔软的或是流体的,也不论它是在该流体中自由游动或沉入底部。因为流体内部各部分与没入其中的部分状态相同;而具有相同的尺度、外形和比重的没入物体,其情形都与此相似。如果没入的物体保持其重量,分解而转变成流体,则这个物体如果原先是上浮的、下沉的,或受某种压力变为新形状的,都将类似地仍然上浮、下沉或变为新形状;这是因为其重力和其运动的其他原因得以维持。但是(由命题19,情形5)它现在应是静止的,保持其原形。所以与上一种情形相同。

推论Ⅴ.如果物体的比重大于包围着它的流体,它将下沉;而比重较轻的则上浮,所获得的运动和外形变化正比于其重力所出超或不足部分。因为出超或不足的部分其效果等同于一个冲击,它可以使与流体各部分取得的平衡受到作用;这与天平一边的重量增减的情形相类似。

推论Ⅵ.所以在流体内的物体有两种重力:其一是真实和绝对的,另一种是表象的,普通的和相对的。绝对重力是使物体竖直向下的全部的力;相对和普通的重力是重力的超出部分,它使物体比周围的流体更强烈地竖直向下。第一种重力使流体和物体的所有部分被吸引在适当的处所;所以它们的重力合在一起即构成总体的重量。因为全体合在一起就是重量,正如盛满液体的容器那样;全体的重量等于所有部分的重量的和,是由所有部分组成的。另一种重力并不使物体被吸引在其处所;即,通过相互比较,它们并不超出,但阻碍相互的下沉倾向,使其像没有重量那样滞留在原处。空气中的比空气轻的物体,一般被认为是没有重量的。而重于空气的物体通常是有重量的,因为它们不能为空气的重量所承担。普通重量无非是物体的重量超出空气重量的部分。因而没有重量的物体,一般也称为轻物体,它们轻于空气,被向上托起,但这只是相对地轻,不是真实的,因为它们在真空中仍是下沉的。同样,在水中,物体由其重量决定下沉或上浮,相对地表现出重或是轻;它们相对的、表象的重或轻正是它们的真实重量超出或不足于水的重量的部分。不过那些重于流体而不下沉,轻于流体而不上浮的物体,虽然它们的真实重量增加了总体重量,但一般而言,它们在水中没有相对重量。这些情形可以作类似的证明。

推论Ⅶ.已证明的结论适用于与所有其他向心力有关的场合。

推论Ⅷ.所以,如果介质受到其自重或任意其他向心力的作用,在其中运动的物体受到同一种力的更强烈的作用;则二种力的差正是运动力,在前述命题中,我都称之为向心力。但如果该物体受此力作用较轻,则力的差变为离心力,而且只能按离心力来处理。

推论Ⅸ.但是,由于流体的压力不改变没入其中的物体的形状,因而(由命题19推论)也不改变其内部各部分相互间的位置关系;因而,如果动物没入流体中,而且所有的知觉是由各部分的运动产生的,则流体既不伤害浸入的躯体,也不刺激任何感觉,除非躯体受到压迫而蜷缩。所有为流体所包围的物体系统都与此情形相同。系统的所有部分都像在真空中一样受到同一种运动的推动,只保留相对重量;除非流体或多或少地阻碍它们的运动,或在压力下被迫与之结合。