命题10 问题3

设均匀重力垂直指向地平面,阻力正比于介质密度与速度平方的乘积:求使物体沿任意给定曲线运动的各点介质密度,以及物体的速度,和各点的介质阻力。

令PQ为与纸平面垂直的平面;PFHQ为一曲线,与该平面相交于点P和Q;物体沿此曲线由F到Q经过四个点G,H,I,K;GB,HC,ID,KE是由这四点向地平面作的四条平行纵坐标,落向地平线PQ上的垂点B,C,D,E;令纵坐标间距BC,CD,DE相等。由点G和H作直线GL,HN与曲线相切于点G,H,并与纵坐标向上的延长线CH,DI相交于L和N;作出平行四边形HCDM。则物体掠过弧GH,HI的时间,正比于物体在该时间里由切点下落的高度LH,NI的平方根;而速度正比于掠过的长度GH,HI,反比于时间。令T和t表示时间,表示速度,则时间t内速度的减量为。该减量是由阻碍物体的阻力和对它加速的重力所产生的。伽利略曾证明过,掠过距离NI的落体所受重力产生的速度,可以使它在相同时间里掠过二倍的距离;即,速度:但如果物体掠过的是弧HI,这个力只使弧增加长度HI-HN,或者;所以产生速度。将这一速度加上前述减量,就可以得阻力单独产生的速度减量,即。由于在同一时间里重力使落体产生速度,则阻力比重力等于

现设横坐标CB,CD,CE为-oo,2o,纵坐标CH为P;MI为任意级数Qo+Ro2+So2+等等。则级数中第一项以后的所有项,即Ro2+So2+等等,等于NI;而纵坐标DI,EK和BG则分别为P-Qo-Ro2-So3-等等。P-2Qo-4Ro2-8So3-等等,以及P+Qo-Ro2+So3-等等。取纵坐标的差BG-CH与CH-DI的平方,再加上BC与CD的平方,即得到弧GH,HI的平方oo+QQoo-2QRo3+等等以及oo+QQoo+2QRo3+等等,它们的根就是弧GH和HI。而且,如果由纵坐标CH中减去纵坐标BG与DI的和的一半,由纵坐标DI中减去纵坐标CH与EK的和的一半,则余下Roo与Roo+3So3,这是弧GI和HK的正矢。它们正比于短线段LH和NI,因而正比于无限小时间T和t的平方:因而比值正比于的平方变化;在中代入刚才求出的,GH,HI,MI和NI的值,得到。由于2NI等于2Roo,则阻力比重力等于比2Roo,即等于

速度等于一物体自任意处所H沿切线HN方向在真空中画出抛物线的速度,该抛物线的直径为HC,通径为

阻力正比于介质密度与速度平方的乘积;因而介质密度正比于阻力,反比于速度平方;即,正比于,反比于;即正比于

完毕。

推论Ⅰ.如果将切线HN向两边延长,使它与任意纵坐标AF相交于T,则等于,因而由上述推导知可以替代。由此,阻力比重力等于3S·HT比4RR·AC;速度正比于,介质密度正比于

推论Ⅱ.由此,如果像通常那样曲线PFHQ由底或横坐标AC与纵坐标CH的关系来决定,纵坐标的值分解为收敛级数,则本问题可利用级数的前几项简单地解决;如下例所示。

例1.令PFHQ为直径PQ上的半圆,求使抛体沿此曲线运动的介质密度。

在A二等分直径PQ,并令AQ为n;AC为a;CH为e;CD为o;则DI2或AQ2-AD2nnaa-2aooo,或ee-2aooo;用我们的方法求出根,得到

在此取nn等于eeaa,则

在此级数中我用这一方法区分不同的项:不含无限小o的项为第一项;含该量一次方的为第二项,含二次方的为第三项,三次方的为第四项;以此类推以至无限。其第一项在这里是e,总是表示位于不确定量o的起点的纵坐标CH的长度,第二项是,表示CH与DN的差,被平行四边形HCDM切下的短线段MN;因而总是决定着切线HN的位置;在此,方法是取。第三项是,表示位于切线与曲线之间的短线段IN;它决定切角IHN,或曲线在H的曲率。如果该短线段IN有确定量,则它由第三项与其以后无限多个项决定。但如果该短线段无限缩短,则以后的项比第三项为无限小,可以略去。第四项决定曲率的变化;第五项是该变化的变化,等等。顺便指出,由此我们得到了一种不容轻视的方法,利用这一级数可以求解曲线的切线和曲率问题。

现在,将级数

与级数

作一比较,以代替P,Q,R和S,以代替;则得到介质和密度正比于;即(因为n为已知),正比于,即,正比于切线HT的长度,它由PQ上的垂直半径截得;而阻力比重力等于3a比2n,即,等于3AC比圆的直径PQ;速度则正比于。所以,如果物体自处所F以一适当速度沿平行于PQ的直线运动,介质中各点H的密度正比于切线HT的长度,且注意点H处的阻力比重力等于3AC比PQ,则物体将画出圆的四分之一FHQ。

完毕。

但如果同一物体由处所P沿垂直于PQ的直线运动,且在开始时沿着半圆PFQ的弧,则必须在圆心A的另一侧选取AC或a;所以它的符号也应改变,以-a代替+a。对应的介质密度正比于。但自然界中不存在负密度,即,使物体运动加速的密度;所以,不可能使物体自动由P上升画出圆的四分之一PF,要获得这一效应,物体应能在推动的介质中而不是在有阻力的介质中,得到加速。

例2.令曲线PFQ为抛物线,其轴垂直于地平线PQ;求使抛体沿该曲线运动的介质密度。

由抛物线性质,乘积-PQ·DQ等于纵坐标DI与某个已知直线的乘积;即,如果该直线是b,而PC为a;PQ为c;CH为e;CD为o;则乘积

所以,。现在,以该级数中第二项代替Qo,以第三项代替Roo。但由于没有更多的项,第四项的系数S是零;所以,介质的密度所正比的量是零。所以,在介质密度为零的地方,抛体沿抛物线运动。这正是伽利略所证明了的。

完毕。

例3.令曲线AGK为双曲线,其渐近线NX垂直于地平面AK:求使抛体沿此曲线运动的介质密度。

令MX为另一条渐近线,与纵坐标DG的延长线相交于V;由双曲线性质,XV与VG的乘积是已知的,DN与VX的比值也是已知的,所以DN与VG的乘积也为已知。令该乘积为bb;作平等四边形DNXZ,令BN为a;BD为o;NX为c;令已知比值VZ比ZX或DN为,则DN等于ao,VG等于,VZ等于,而GD或NX-VZ-VG等于

把项分解为收敛级数

则GD等于

该级数第二项就是Qo;第三项改变符号就是Ro2;第四项,改变符号就是So3,它们的系数就是前述规则中的Q,R和S,完成这一步后,得到介质的密度正比于

或者

即,如果在VZ上取VY等于VG,则正比于,因为aa是XZ和ZY的平方。但阻力与重力的比值等于3XY与2YG的比值;而速度则等于可使该物体画出一抛物体的速度,其顶点为G,直径为DG,通径为。所以,设介质中各点G的密度反比于距离XY,而且任意点G的阻力比重力等于3XY比2YG;当物体由点A出发以适当速度运动时,将画出双曲线AGK。

完毕。

例4.设AGK是一条双曲线,其中心为X,渐近线为MX,NX,使得画出矩形XZDN后,其边ZD与双曲线相交于G,与渐近线相交于V,VG反比于线段ZX或DN的任意次幂DNn,幂指数为n:求使抛体沿此曲线运动的介质密度。

分别以A,O,C代替BN,BD,NX,令VZ比XZ或DN等于de,且VG等于;则DN等于等于

将项分解为无限级数

则GD等于

该级数的第二项就是Qo,第三项是Roo,第四项bbO3是So3,因此在任意处所G介质的密度等于

所以,如果VZ上取VY等于n·VG,则密度正比于XY的倒数。因为A2是XZ和ZY的平方。而同一处所G的介质阻力比重力等于比4RR,即等于XY比。速度则与使物体沿一条抛物线的相同,该抛物线顶点是G,直径为GD,通径为

完毕。