附注

通过对月球运动的上述计算,我希望能证明运用引力理论可以由其物理原因推算出月球的运动。运用同一个理论我进一步发现,根据第一编命题66推论Ⅳ,月球平均运动的年均差是由于月球轨道受到变化着的太阳作用的影响所致。这种作用力在太阳的近地点较大,它使月球轨道发生扩散;而在太阳的远地点较小,这时轨道复得以收缩。月球在扩散的轨道上运动较慢,而在收缩的轨道上运动较快;调节这种不等性的年均差,在太阳的远地点和近地点都为零。在太阳到地球的平均距离上,它达到约11′50″;在其他正比于太阳中心均差的距离上,在地球由远日点移向近日点时,它叠加在月球的平均运动上,而当地球在另外半圆上运行时,它应从其中减去。取大轨道半径为1000,地球偏心率为,则该均差,当它取最大值时,按引力理论计算,为11′49″。但地球的偏心率似乎应再大些,均差也应以与偏心率相同的比例增大。如果设偏心率为,则最大均差为11′51″。

我还发现,在地球的近日点,由于太阳的作用力较大,月球的远地点和交会点的运动比地球在远日点时要快,它反比于地球到太阳距离的立方;由此产生出这些正比于太阳中心均差的运动年均差。现在,太阳运动反比于地球到太阳距离的平方而变化;这种不等性所产生的最大中心均差为1°56′20″,它对应于上述太阳的偏心率。但如果太阳运动反比于距离的平方,则这种不等性所产生的最大均差为2°54′30″;所以,由月球远地点和交会点的运动不等性所产生的最大均差比2°54′30″等于月球远地点的平均日运动和它的交会点的平均日运动,比太阳的平均日运动。因此,其远地点平均运动的最大均差为19′43″,交会点平均运动的最大均差为9′24″。当地球由其近日点移向远日点时,前一项均差是增大的,后一项是减小的;而当地球位于另外半个圆上时,则情况相反。

通过引力理论我还发现,当月球轨道的横向直径穿过太阳时,太阳对月球的作用略大于该直径垂直于地球与太阳的连线之时;因而月球的轨道在前一种情形中大于后一种情形。由此产生出月球平均运动的另一种均差,它决定于月球远地点相对于太阳的位置,当月球远地点位于太阳的八分点时最大,而当远地点到达方照点或朔望点时为零;当月球远地点由太阳的方照点移向朔望点时,该均差叠加在平均运动上,而当远地点由朔望点移向方照点时,则应从中减去。我将称这种均差为半年均差,当远地点位于八分点时为最大,就我根据现象的推算,约达3′45″:这正是它在太阳到地球的平均距离上的量值。但它反比于太阳距离的立方而增大或减小,所以当距离为最大时约3′34″,距离最小时约3′56″。而当月球远地点不在八分点时,它即变小,与其最大值的比等于月球远地点到最近的朔望点或方照点的二倍距离的正弦比半径。

按同样的引力理论,当月球交会点连线通过太阳时,太阳对月球的作用略大于该连线垂直于太阳与地球的连线时;由此又产生出一种月球平均运动的均差,我称之为第二半年均差;它在交会点位于太阳的八分点时为最大,在交会点位于朔望点或方照点时为零;在交会点的其他位置上,它正比于两个交会点之一到最近的朔望点或方照点的二倍距离正弦。如果太阳位于距它最近的交会点之后,它叠加在月球的平均运动上,而位于其前时则应从中减去;我由引力理论推算出,在有最大值的八分点,在太阳到地球的平均距离上,它达到47″。在太阳的其他距离上,交会点位于八分点的最大均差反比于太阳到地球的距离的立方;所以在太阳的近地点它达到约49″,而在远地点约为45″。

由同样的引力理论,月球的远地点位于与太阳的会合处或相对处时,以最大速度顺行;而在与太阳成方照位置时为逆行;在前一种情形中,偏心率获得最大量,而在后一种情形有最小值,这可以由第一编命题66推论Ⅶ,Ⅷ和Ⅸ证明。这些不等性,由这几个推论可知,是非常大的,并产生出我称之为远地点半年均差的原理;就我根据现象所作的近似推算,这种半年均差的最大值可达约12°18′。我们的同胞霍罗克斯(1)最先提出月球沿椭圆运动,地球位于其下焦点的理论。哈雷博士作了改进,把椭圆中心置于一个中心绕地球均匀转动的本轮之上;该本轮的运动产生了上述远地点的顺行和逆行,以及偏心率的不等性。设月球到地球的平均距离分为100,000等份,令T表示地球,TC为占5505等份的月球平均偏心率。延长TC到B,使得最大半年均差12°18′的正弦比半径TC正比于CB;以C为中心,CB为半径,作圆BDA,它即是所说的本轮,月球轨道的中心位于其上,并按字母BDA的顺序转动。取角BCD等于二倍年角差(argument),或等于太阳真实位置到月球远地点一次校正的真实位置的二倍距离,则CTD为月球远地点的半年均差,TD为其轨道偏心率,它所指向的远地点位置现已得到二次校正。但由于月球的平均运动,其远地点的位置和偏心率,以及轨道长轴为200,000均为已知,由这些数据,通过人所共知的方法即可求出月球在其轨道上的实际位置以及它到地球的距离。

在地球位于近日点时,太阳力最大,月球轨道中心运动比在远日点时快,它反比于太阳到地球距离的立方。但是,因为太阳中心的均差是包含在年角差中的,月球轨道中心在本轮BDA上运动较快,反比于太阳到地球距离的平方。所以,如果设它反比于到轨道中D的距离,则运动更快,作直线DE指向经一次校正的月球远地点,即,平行于TC;取角EDF等于上述年角差减去月球远地点到太阳的顺行近地点距离的差;或者,等价地,取角CDF等于太阳实际近点角(anomaly)在360°中的余角;令DF比DC等于大轨道偏心率的二倍高度比太阳到地球的平均距离,与太阳到月球远地点的平均日运动比太阳到其自己的近地点的平均日运动的乘积,即,等于比1000乘以,或等于3比100;设月球轨道的中心位于F,绕以D为中心以DF为半径的本轮转动,同时点D沿圆DABD运动:因为用这样的方法,月球轨道的中心即绕中心(掠过某种曲线),其速度近似于正比于太阳到地球距离的立方,一如它所应当的那样。

计算这种运动很困难,但用以下近似方法可变得容易些。像前面一样,设月球到地球的平均距离为100,000个等份,偏心率TC为5505个等份,则CB或CD为,而DF为等份,该线段在距离TC处对着地球上的张角,是由轨道中心自D向F运动时所产生的;将该线段DF沿平行方向延长一倍,在由月球轨道上焦点到地球的距离上相对于地球的张角与DF的张角相同,该张角是由上焦点的运动产生的;但在月球到地球的距离,这一二倍线段2DF在上焦点处,在与第一个线段DF相平行的位置,相对于月球的张角,它是由月球的运动所产生的,因而可称之为月球中心的第二均差;在月球到地球的平均距离上,该均差近似正比于由直线DF与点F到月球连线所成夹角的正弦,其最大值为2′55″。但由直线DF与点F到月球连线所成的夹角,既可以由月球的平均近点角减去角EDF求得,也可以在月球远地点到太阳远地点的距离上叠加月球到太阳的距离求得;而且半径比这个角的正弦等于2′25″比第二中心均差:如果上述和小于半圆,则应加上;而如果大于半圆,则应减去。由这一经过校正的月球在其轨道上的位置,可以求出日月球在其朔望点的黄纬。

地球大气高达35或40英里,它折射了太阳光线。这种折射使光线散射并进入地球的阴影;这种在阴影边缘附近的弥散光展宽了阴影。因此,我在月食时,在这一由视差求出的阴影上增加了1或分。

不过,月球理论应得到现象的检验和证实,首先是在朔望点,其次是在方照点,最后是在八分点;愿意在格林尼治(Greenwich)皇家天文台做这项工作的人,无论是谁,都会发现,在旧历1700年12月的最后一天下午假设太阳和月球的下述平均运动是绝无错误的:太阳的平均运动为,其远地点为;月球的平均运动为,其远地点为;其上升交会点为;而格林尼治天文台与巴黎皇家天文台之间的子午线差为零时9分20秒:但月球及其远地点的平均运动尚无法足够精确地获得。