命题9 问题4

如果物体沿螺旋线PQS运动,以给定角度与所有半径SP,SQ相交,求指向该螺旋线的中心的向心力的规律。

设不定小的角度PSQ为已知,则因为所有的角均已给定,图形SPRQT也就给定。所以,比值也已给定,于是正比于QT(因为图形已给定),即正比于SP,但如果角度PSQ有任何变化,则相切角QPR相对的直线QR(由引理11)将以PR2或QT2的比率变化,所以,比值保持不变,仍是SP,而正比于SP3,所以,(由命题6推论Ⅰ和Ⅴ)向心力反比于距离SP的立方。

完毕。

另一种解法。

作切线的垂线SY,并作与螺旋线共心的圆周的弦PV与螺旋线相交,它与高度SP的比值是给定的。所以SP3正比于SY2·PV,即(由命题6推论Ⅲ和Ⅴ)反比于向心力。