已知曲线图形面积,以及指向一给定中心的向心力的规律,和其轴通过该中心的曲面,求物体在该曲面上以给定速度沿曲面上的给定方向离开给定点所画出的曲线。

保留上述图形,令物体T离开给定处所S,沿位置已定的直线方向,进入要求的曲线STR,其在平面BDO上的正交投影是AP。由物体在高度SC的速度,可以求出它在任意高度TC的速度。从该速度令物体在给定时刻掠过其轨迹的一小段Tt,它在平面AOP上的投影是Pp。连接Op,并在曲面上关于中心T以Tt为半径作一个小圆,该圆在平面AOP上的投影是椭圆pQ。因为该小圆Tt的大小,以及它到轴CO的距离TN或PO已给定,椭圆pQ的形状、大小以及它到直线PO的距离也就给定。由于面积POp正比于时间,而时间已给定,因而角POp也给定。所以椭圆与直线Op的公共交点,以及曲线投影APp与直线OP的夹角OPp都可以求出。而由此(比较命题41与其推论Ⅱ)即易于看出确定曲线APp的方法。然后由若干投影点P向平面AOP作垂直线PT与曲面相交于T,即可得到曲面上各点T。
完毕。