求非常接近于圆的轨道的回归点的运动。
本问题用算术方法求解,把物体在固定平面上沿运动椭圆(如在上述命题的推论Ⅱ和Ⅲ中那样)运动所画出的轨道,简化为求回归点的轨道图形;然后找出物体在固定平面上所画轨道的回归点。但要使轨道的图形相同,需使轨道得以画出的向心力相互之间的相同在高度上成正比。令点V是最高的回归点,T是最大高度CV,A是其他高度CP或Cp,X是高度差CV-CP;则使物体沿绕其焦点C转动的椭圆运动(如推论Ⅱ那样)的力,在推论Ⅱ中等于
,即等于
,以T-X代替A,即变为
。用类似方法,任何其他向心力都可以化为分母是A3的分数,而分子可以通过合并同类项变为相似。这可以通过举例加以说明。
例1.设向心力是均匀的,因而正比于
,或者,在分子中以T-X代替A,正比于
。然后合并分子中的对应项,即使已知项与已知项相比,未知项与未知项相比,它变为

由于假设该轨道极为接近于圆,令它与圆相重合。因为在此情形下R与T相等,X无限缩小,则最后的比为

以及

所以,G比F,即角VCp比角VCP,等于
。由于在固定椭圆中,当物体由上回归点落到下回归点时,将掠过一个,如果可以这样说的话,180°的角,而另一个在运动椭圆中的物体,处于我们所讨论的固定平面上,在其由上回归点落到下回归点时,掠过
的角VCp。之所以如此是因为这个由受均匀向心力作用的物体画出的轨道相似于物体在固定平面上沿运动椭圆运动所画出的轨迹。通过这种项的比较,使这些轨道相似,但这不是普适的,仅当它们非常近似于圆时才成立。所以,一个物体,当它在均匀向心力作用下沿近圆轨道运动,由上回归点到下回归点总是关于中心掠过一个
,或103°55′23″的角,然后再由下回归点掠过相同角度回到上回归点;循环往复以至无限。
例2.设向心力在正比于高度A的任意次幂,例如,An-3,或
;在此,n-3与n表示幂的任意指数,可以是整数或分数,有理数或无理数,正数或负数。用我的收敛级数方法把分子An或(T-X)n化为不确定级数

将这些项与另一个分子的项

作比较,它即变为
,等等,当轨道趋近于圆时取最后比值,上式变为

或

而且

所以G比F,即角VCp比角VCP,等于1比
。由于物体在椭圆中由上回归点落到下回归点时掠过的角VCP为180°,而在由一物体受正比于幂An-3的向心力作用下运动所画出的近圆轨道上,物体由上回归点下落到下回归点时掠过的角VCp等于
,物体由下回归点返回上回归点时又重复该角,循环往复以至无限。如果向心力正比于物体到中心的距离,即正比于A,或
,则n等于4,而
等于2;所以上下回归点之间的角度为
,或90°。所以,物体在掠过圆的四分之一部分后到达下回归点,掠过下一个四分之一部分后又到达上回归点,循环往复以至无限。这种情形也出现在命题10中。因为受这种向心力作用的物体沿固定椭圆运动,轨道的中心就是力的中心。如果向心力反比于距离,即正比于
或
,则n=2,所以上下回归点间的角度为
,或127°16′45″;所以受这种向心力作用的物体将持续重复这一角度,不断由上回归点到下回归点,又由下回归点到上回归点。而如果向心力反比于高度的11次幂的4次方根,即反比于
,因而正比于
或正比于
,n等于
,则
等于360°;所以物体离开其上回归点连续运动,在完成一个环绕周期后到达下回归点,再环绕一周后又回到上回归点,如此不断地重复。
例3.取m和n表示高度的幂的指数,b和c为任意给定数,设向心力正比于
,即正比于
,或(由上述收敛级数方法)正比于

比较分子中的项,得到

,等等。当轨道接近于圆时取最后比值,得到

以及,
。
令最大高度CV或T在算术上等于1,则该比例式变为,
。因而G比F,即角VCp比角VCP,等于1比
。所以,由于在固定椭圆上,角VCP介于上下回归点之间,为180°,而角VCp在由物体受正比于
的向心力作用画出的轨道上介于相同的回归点之间,将等于一个
的角。由相同的理由,如果向心力正比于
,则回归点之间的角等于

对于较困难的情形也可以用相同的方法求解这种问题。向心力所正比的量必须分解成分母为A3的收敛级数。然后设该运算中出现的已知分子与未知分子的比,等于分子
比同一分子中的未知部分。再舍去多余的量,令T为1,即可得到G与F的比例式。
推论Ⅰ.如果向心力正比于高度的任意次幂,则这个幂可以由回归点的运动求出;反之亦然。即,如果物体返回同一个回归点的整个角运动,比其环绕一周,或360°的角运动,等于数m比数n,且高度为A,则力将正比于高度A的幂
,该幂的指数是
。这种情形出现在第二个例子中。由此易于理解该力在其距中心最远处的减少最多不能超过高度比的立方。否则,受这种力作用的物体一旦离开回归点开始下落,将再也不能到达下回归点或最低高度,而是沿着命题41推论Ⅲ所讨论的曲线落向中心。但如果它离开下回归点后能稍稍上升,它将决不会回到上回归点。而是沿着同一推论和命题45推论Ⅳ所讨论的曲线无限上升。所以,当在距中心最远处力的减小大于高度比的立方时,物体一旦离开其回归点,便或是落向中心,或是逃逸到无限远,这由其开始运动时是下落或是上升来决定。但如果在距中心最远处力的减小或是小于高度比的立方,或是随高度的任意比率而增加,则物体决不会落向中心,而是在某一时刻到达下回归点;反之,如果物体交替地由其一个回归点到另一个回归点不断上升或下降,决不到达中心,则力或是在距中心最远处增大,或是其减小小于高度比的立方;物体由一个回归点到另一个回归点的时间越短,该力与该立方比值的比就越大。如果物体回到或离开上回归点前经过8,或4,或2,或
周的上升和下降,即,如果m比n为8,或4,或2,或
比1,则
为
,或
,或
或
;则力正比于
,或
,或
,或
,即反比于
,或
,或
,或
。如果物体每运行一周回到同一个回归点,该回归点没有移动,则m比n等于1比1,所以
等于A-2,或
;所以力的减小是高度的平方比值,与以前证明相同。如果物体经过四分之三,或三分之二,或三分之一,或四分之一周的运行回到同一个回归点,则m比n等于
或
或
或
比1,所以
等于
或
或A9-3或A16-3;所以力反比于
或
,或正比于A6或A13。最后,如果物体由其下回归点再回到同一个下回归点运行了整整一周又零三度,因而该回归点每当物体运行一周后向前移三度,则m比n等于363°比360°,或121比120,所以
等于
,因而向心力反比于
,或近似反比于
。所以向心力的减小比率略大于平方比率,但它接近平方比率比接近立方比率要强
倍。
推论Ⅱ.如果一个物体受反比于高度平方的向心力作用,沿焦点位于力的中心的椭圆运动;有一个新的外力增强或减弱这个向心力,则该外力引起的回归点运动将(由第三个例子)可以求出;反之:如果使物体沿椭圆环绕的力正比于
,而外力正比于cA,则净剩力正比于
,(由第三个例子知)b等于1,m等于1,n等于4,则两回归点间角度等于
。设该外力比使物体环绕椭圆的另一个力小357.45倍,即c为
,A或F等于1;则
等于
或180.7623°,即180°45′44″。所以,物体离开上回归点后,要运动180°45′44″才到达下回归点,再重复这一角运动回到上回归点,所以每运行一周上回归点向前移动1°31′28″。月球回归点的移动约为该数值的一倍。
物体沿其平面通过力的中心的轨道的运动就讨论到此。现在要讨论在偏心平面上的运动。因为过去研究各物体运动的作者在考虑这类物体的上升或下落时,不是仅限于垂直方向上,而是涉及给定平面的所有倾斜角度;出于同样理由,我们在此要研究受任意力作用倾向中心的物体在偏心平面上的运动。假定这些平面完全光滑平坦,对在其上运动的物体没有任何阻碍。而且,在这些证明中,我将不用物体在其上滚动或滑动,因而是物体的切面的平面,而代之以与它们相平行的平面,物体的中心在其上运动并画出轨道。此后我还将用相同方法研究弯曲表面上的运动。