使一个物体沿固定轨道运动的力,与使另一个物体沿一相同的旋转轨道作相同运动的力的差,反比于其共同高度的三次方而变化。

令固定轨道上的部分VP,PK相似且相等于旋转轨道上的部分up,pk;设点P与K间的距离为最小。由点k作垂线kr到直线pC,并延长到m,使mr比kr等于角VCp比角VCP。因为物体的高度PC与pC,KC与kC总是相等,所以线段PC与pC的增量或减量总是相等;如果把两个物体在处所P和p的运动分别分解为二(由运动定律的推论Ⅱ),其一指向中心,或沿着直线PC,pC,而另一个则与前一个相垂直,沿着垂直于直线PC,pC的方向;则指向中心的运动相等,而物体p的横向运动与物体P的横向运动的比,等于直线pC的角运动比直线PC的角运动;即等于角VCp比角VCP。所以,在同一时间里,物体P由两方面的运动到达点K,而物体p则以指向中心的相同运动由点p相等地运动到C;所以,当该时间终止时,它将位于通过点k与直线pC相垂直的直线mkr上某处,而其横向运动将使它获得一个到直线pC的距离,该距离比另一物体P所获得的到直线PC的距离,等于物体p的横向运动比另一个物体P的横向运动。由于kr等于物体P到直线PC的距离,而mr比kr等于角VCp比角VCP,即,等于物体p的横向运动比物体P的横向运动,所以,在该时间终了时,物体p将位于处所m。之所以如此,是因为如果物体p和P在直线pc和PC上作相等的运动,则在该方向上受到相等的作用力。但如果取角pCn比角pCk等于角VCp比角VCP,nC等于kC,在此情形下,物体p在时间终了时将的确在n;如果nCp大于角kCp,即,如果轨道upk以大于直线CP被携带前进速度的二倍运动,不论是前进或是后退,则物体p比物体P受到的作用力大。如果轨道的后退运动较慢,则受到的力小。二力的差将正比于在给定时间间隔内物体受该力差的作用所通过的处所的间距mn。关于中心C以间距cn或ck为半径作圆与直线mr,mn的延长线相交于s,t则乘积mn·mt等于乘积mk·ms,所以mn等于
。但由于在给定时间里,三角形pck,pCn的大小已知,而kr和mr,以及它们的差mk,它们的和ms,反比于高度pC,所以,乘积mk·ms反比于高度pC的平方。而且,mt正比于
,即正比于高度pC。这些都是新生线段的最初比值。所以,
,即新生的短线段mn,以及与它成正比的力的差,反比于高度pC的立方。
证毕。
推论Ⅰ.在处所P与p,或K与k的力的差,比物体在与物体P于固定轨道上掠过弧PK相同的时间内由R做圆周运动到K所受到的力,等于新生线段mn比新生弧PK的正矢,即等于
比
,或等于mk·ms比rk的平方;也就是说,如果取给定量F和G的比值等于角VCP比角VCp,则二力之比等于GG-FF比FF。所以,如果由中心C以任意半径CP或Cp作一圆周扇形等于面积VPC,在任意给定的时间内物体沿固定轨道作环绕运动其到中心的半径所掠过的面积,则两个力,其一使物体P沿固定轨道运动,另一使物体p沿运动轨道运动,它们的差,与在面积VPC被掠过的同时使另一物体到中心的半径均匀掠过该扇形的向心力的比,等于GG-FF比FF。因为该扇形与面积pCk的比等于它们被掠过的时间的比。
推论Ⅱ.如果轨道VPK是椭圆,其焦点为C,上回归点是V,设有另一椭圆upk相似且相等于它,使得pc总是等于PC,角VCp比角VCP为给定比值G比F;令A等于高度PC或pC,2R等于椭圆的通径,则使物体在运动椭圆轨道上运动的力将正比于
,反之亦然。令使物体沿固定轨道运动力以量
表示,则在V的力为
。然而,使一物体在距离CV处以与物体在椭圆轨道上V处相同速度做圆周运动的力,比在回归点V作用于作椭圆运动的物体的力,等于该椭圆通径的一半比该圆直径的一半CV,所以等于
;而与此相比等于GG-FF比FF的力,等于
;这个力(由本命题推论Ⅰ)正是物体P在V处沿固定椭圆VPK运动所受到的力与物体p在运动椭圆upk上所受的力的差。由本命题知,在任意其他高度A上该差与其自身在高度CV上的比等于
比
,因而该差在每一高度A上都正比于
。所以在物体沿固定椭圆VPK所受的力
上,加上差
,其和就是物体在同一时刻沿运动椭圆upk运动所受到的力
。
推论Ⅲ.如果固定轨道VPK是椭圆,其中心在力的中心C,设有一运动椭圆upk与之相似、相等而且共心;该椭圆的通径是2R,横向通径即长轴是2T;而且总有角VCp比角VCP等于G比F,则在相同时间里,使物体在固定轨道和运动轨道上运动的力分别等于
和
。
推论Ⅳ.如果令物体的最大高度CV为T,轨道VPK在V处的曲率半径,即弯曲度相同的圆的半径为R,使物体在处所V沿任意固定曲线VPK运动的向心力为
,在另一处所P的力为X,高度CP为A,且取G比F等于角VCp比角VCP;则一般地,使同一物体在同一时间沿同一曲线upk作同一种圆运动的向心力,等于力
的和。
推论Ⅴ.给定物体沿固定轨道的运动,则其绕力的中心的角运动也以给定比值增加或减少,所以,物体在新的向心力作用下所环绕的新的固定轨道可以求出。
推论Ⅵ.如果作不定长度的直线VP垂直于位置已定的直线CV,作CP及与之相等的Cp,使角VCp与角VCP有给定比值,则使物体沿点p连续画出的曲线Vpk运动的力,将反比于高度Cp的立方。因为物体P在没有力作用于它时,其惯性使它沿直线VP匀速前进,在加上指向中心C且反比于高度CP或Cp的立方的力后,物体(如刚才证明的)将偏离其直线运动而进入曲线Vpk。但该曲线Vpk与命题41推论Ⅲ中的曲线VPQ相同,物体在这种力吸引下将直接上升。
