求在圆轨道上月球交会点的每小时运动。

令S表示太阳,T为地球,P为月球,NPn为月球轨道,Npn为该轨道在黄道平面上的投影;N,n为交会点,nTNm为交会点连线的不定延长线;PI,PK是直线ST,Qq上的垂线;Pp是黄道面上的垂线;A,B是月球在黄道面上的朔望点;AZ是交会点连线Nn上的垂线;Q,q是月球在黄道面上的方照点,PK是方照点连线Qq上的垂线。太阳干扰月球运动的力(由命题25)由二部分组成,一部分正比于直线LM,另一部分正比于直线MT;前一个力使月球被拉向地球,而后一个力则把它拉向太阳,方向是平行于连接地球与太阳的连线ST。前一个力LM的作用沿着月球轨道平面的方向,因而对月球在轨道上的位置变化无作用,在此不予考虑;后一个力MT使月球轨道平面受到干扰,其作用与力3PK或3IT相同。而且这个力(由命题25)比使月球沿圆轨道绕静止地球在其周期时间内以匀速转动的力,等于3IT比该圆半径乘以数178.725,或等于IT比半径乘以59.575。但在此处,以及以后的所有计算中,我都假设月球到太阳的连线与地球到太阳的连线相平行;因为这两条连线的倾斜在某种情况下足以抵消一切影响,如同在另一些情况下使之产生一样;我们现在是在研究交会点的平均运动,不考虑这些不重要的却只会使计算变得繁杂的细节。
设PM表示在最小时间间隔内掠过的弧段,ML为一短线,月球在相同时间内在上述的力3IT的冲击下可掠过它的一半;连接PL,MP,并把它们延长到m和l,并与黄道平面相交,在Tm上作垂线PH。由于直线ML平行于黄道面,所以绝不会与该平面内的直线ml相交,因此它们也平行,因而三角形LMP,lmp相似。又因MPm在轨道平面内,当月球在处所P处运动时,点m落在通过轨道交会点N,n的直线Nn上。而因为使小线段LM的一半得以产生的力,若全部同时作用于点P,则可以产生整个线段,使月球沿以LP为弦的弧运动;也就是说,可以使月球由平面MPmT进入平面LPlT;所以该力使交会点产生的角运动等于角mTl。但ml比mP等于ML比MP;而由于时间给定,MP也给定,ml正比于矩形ML·mP,即,正比于矩形IT·mP。如果Tml是直角,角mTI正比于
,所以正比于
,即(因为Tm与mP,TP与PH是正比的),正比于
;所以,因为TP给定,正比于IT·PH。但如果角Tml或STN不是直角,则角mTl将更小,正比于角STN的正弦比半径,或AZ比AT。所以,交会点的速度正比于IT·PH·AZ,或正比于三个角TPI,PTN和STN正弦的乘积。
如果这些角是直角,像交会点在方照点,月球在朔望点那样,小线段ml将移到无限远处,角mTl与角mPl相等。但在这种情形中,角mPl比月球在相同时间内绕地球的视在运动所成的角PTM,等于1比59.575。因为角mPl等于角LPM,即等于月球偏离直线路径的角度;如果月球引力消失,则该角可以由太阳力3IT在该给定时间内单独产生;而角PTM等于月球偏直线路径的角;如果太阳力3IT消失,则这个角也可以由停留在其轨道上的月球在相同时间内单独生成。这两个力(如上所述)相互间的比等于1比59.575。所以由于月球的平均小时运动(相对于恒星)为
(9),在此情形中的交会点运动将为
。但在其他情形中,小时运动比
等于三个角TPI,PTN和STN正弦(或月球到方照点的距离,月球到交会点的距离,以及交会点到太阳的距离)的乘积比半径的立方。而且每当某一个角的正弦由正变负,或由负变正时,逆行运动必变为顺行运动;而顺行运动必变为逆行运动。因此,只要月球位于任意一个方照点与距该方照点最近的交会点之间,交会点总是顺行的。在其他情形中它都是逆行的,而由于逆行大于顺行,交会点逐月后移。
推论Ⅰ.因此,如果由短弧PM的端点P和M向方照点连线Qq作垂线PK,Mk,并延长与交会点连线Nn相交于D和d,则交会点的小时运动将正比于面积MPDd乘以直线AZ的平方。因为令PK,PH和AZ为上述的三个正弦,即PK为月球到方照点距离的正弦,PH为月球到交会点距离的正弦,AZ为交会点到太阳距离的正弦;交会点的速度正比于乘积PK·PH·AZ。但PT比PK等于PM比Kk;所以,因为PT和PM是给定的,Kk正比于PK。类似地,AT比PD等于AZ比PH,所以PH正比于矩形PD·AZ;将这些比式相乘,PK·PH正比于立方容积Kk·PD·AZ,而PK·PH·AZ正比于Kk·PD·AZ2;即,正比于面积PDdM与AZ2的乘积。
推论Ⅱ.在交会点的任意给定位置上,它们的平均小时运动为在朔望点月球小时运动的一半,所以比16秒
等于交会点到朔望点距离正弦的平方比半径的平方,或等于AZ2比AT2。因为,如果月球以均匀运动掠过半圆QAq,则在月球由Q到M的时间内,所有面积PDdM的和,将构成面积QMdE,它以圆的切线QE为界;当月球到达点n时,这些面积的和又构成直线PD所掠过的面积EQAn:但由于当月球由n前移到q时,直线PD将落在圆外,掠过以圆切线qe为界的面积nqe,因为交会点原先是逆行的,现在变为顺行,该面积必须从前一个面积中减去,而由于它等于面积QEN,所以剩下的是半圆NQAn。所以,当月球掠过半圆时,所有的面积PDdM的和也等于该半圆;当月球掠一个整圆时,这些面积的和也等于该整圆面积。但当月球位于朔望点时,面积PDdM等于弧PM乘以半径PT;而所有的与之相等的面积的总和,在月球掠过一个整圆的时间内,等于整个圆周乘以圆半径;这个乘积在圆面积增大一倍时,变为前一个面积的和的二倍。所以,如果交会点以其在月球朔望点所获得的速度匀速运动,则它们掠过的距离为实际上的二倍;所以,如果它们是匀速运动的,则其平均运动所掠过的距离与它们实际上以不均匀运动所掠过的距离相等,但仅仅为它们以在月球朔望点获得的速度所掠过的距离的一半。因此,如果交会点在方照点,由于其最大小时运动为
,对应的平均小时运动为
。而由于交会点的小时运动处处正比于AZ2与面积PDdM的乘积,所以,在月球的朔望点,交会点的小时运动也正比于AZ2与面积PDdM的乘积,即(因为在朔望点掠过的面积PDdM是给定的),正比于AZ2,所以,平均运动也正比于AZ2;所以,当交会点不在方照点时,该运动比
等于AZ2比AT2。
