命题27 定理22

如果摆体的阻力正比于速度的平方,则在有阻力介质中摆动的时间,与在比重相同但无阻力介质中摆动的时间的差,近似地正比于摆动掠过的弧长。

令等长摆在有阻力介质中掠过不等弧长A,B;则沿弧A摆动的物体的阻力比在B弧上对应部分摆动的物体的阻力等于速度平方的比,即近似等于AA比BB。如果弧B的阻力比弧A的阻力等于AB比AA,则沿弧A和B的摆动时间相等(由前一命题)。所以弧A的阻力AA或弧B的阻力AB在弧A上引起的时间超过在无阻力介质中的时间;而阻力BB在弧B上引起的时间超过在无阻力介质中的时间。而这些超出量近似地正比于有效力AB和BB,即正比于弧A和B。

证毕。

推论Ⅰ.因此,由在有阻力介质中不相等的弧摆动时间可以求出在比重相同的无阻力介质中的摆动时间。因为这个时间差比沿短弧摆动时间超出在无阻力介质中的时间等于两个弧的差比短弧。

推论Ⅱ.短弧摆动更近于等时性,极小的摆动其时间近似等于在无阻力介质中的时间。而作较大弧摆动所需时间略长,因为在摆体下落中受到使时间延长的阻力,与下落所掠过的长度相比,较之随后的上升所遇到的使时间缩短的阻力变大了。不过,摆动时间的长度似乎因介质的运动而延长。因为减速的摆体其阻力与速度比值较小,而加速的摆体该比值较匀速运动为大;因为介质从摆体获得某种运动,与它们作同向运动,在前一种受到的推动较强,后一情形较弱;造成摆体运动的快慢变化。所以就与速度相比较而言,在摆体下落时阻力较大,而上升时较小;这二者导致时间的延长。