设在任意表面上入射角的正弦与出射角的正弦的比为给定值;且物体路径在表面附近的偏折发生于极小空间内,可以看做是一个点;求能使所有自一给定处所发生的小球会聚到另一给定处所的面。

令A为小球所要发散的处所;B为它们所要会聚的处所;CDE为一曲线,当它绕轴AB旋转时即得到所求曲面;D,E为曲线二个任意点;EF,EG为物体路径AD,DB上的垂线,令点D趋近点E;使AD增加的线段DF与使DB减少的线段DG的比,等于入射正弦与出射正弦的比。所以,直线AD的增加量与直线DB的减少量的比为给定值;因而,如在轴AB上任取一点C,使曲线CDE必定经过该点,再按给定比值取AC的增量CM比BC的减量CN,以A,B为圆心,AM,BN为半径作两个圆相交于点D;则该点D与所要求的曲线CDE相切,而且,通过使它在任意处相切,可求出曲线。
完毕。

推论Ⅰ.通过使点A或B某些时候远至无穷,某些时候又趋向点C的另一侧,可以得到笛卡儿在《光学》和《几何学》中所画的与折射有关的图形。笛卡儿对此发明秘而不宣,我在此昭示于世。
推论Ⅱ.如果一个物体按某种规律沿直线AD的方向落在任意表面CD上,将沿另一直线DK的方向弹出;由点C作曲线CP,CQ总是与AD,DK垂直;则直线PD,QD的增量,因而由增量产生的直线PD,QD本身相互间的比,将等于入射正弦与出射正弦的比。反之亦然。