命题41 问题21

由三个给定观测点求沿抛物线运动的彗星轨道。

这一问题极为困难,我曾尝试过许多解决方法;在第一编的问题中,有几个就是我专门为此而设置的,但后来我发现了下述解法,它比较简单。

选择三个时间间隔近似相等的观测点;但应使彗星在一个时间间隔里的运动快于在另一间隔里;即,使得时间的差比时间的和等于时间的和比600天;或使点E落在点M附近指向Ⅰ而不是指向A的一侧。如果手头上没有这样的直接观测点,必须由引理6求出一个新的。

令S表示太阳;T,t,T表示地球在地球轨道上的三个位置;TA,tB,TC为彗星的三个观测经度;V为第一次与第二次观测的时间间隔;W为第二与第三次的时间间隔;X为在整个时间V+W内彗星以其在地球到太阳的平均距离上运动的速度所掠过的长度,该长度可以由第三编命题40推论Ⅲ求出;而tV为落在弦Tt上的垂线。在平均观测经度tB上任取一点B作为彗星在黄道平面上的位置;由此处向太阳S作直线BE,它比垂线tV等于SB与St2的乘积比一直角三角形斜边的立方,该三角形一直角边为SB,另一直角边为彗星在第二次观测时纬度相对于半径tB的正切。通过点E(由引理7)作直线AEC,其由直线TA和TC所截的两段AE与EC相互间的比,等于时间V比W:则A和C为彗星为第一和第三次观测时在黄道平面上的近似位置,如果B设定为第二次观测位置的话。

在以I为二等分点的AC上,作垂线Ii。通过B作AC的平行线。再设想作直线Si,与AC相交于λ,完成平行四边形iIλμ。取Iδ等于3Iλ;通过太阳S作直线σξ等于3Sδ+3iλ。则,删去字母A,E,C,I,由点B向点ξ作新的直线BE,使它比原先的直线BE等于距离BS与量的比的平方。通过点E再按与先前一样的规则作直线AEC;即,使得其部分AE和EC相互间的比等于观测间隔V比W。这样,A和C即为彗星更准确的位置。

在以I为二等分点的AC上作垂线AM,CN,IO,其中AM和CN为第一和第三次观测纬度比半径TA和TC的正切。连接MN,交IO于O。像先前一样作矩形iIλμ。在IA延长线上取ID等于。再在MN上向着N一侧取MP,使它比以上求得的长度X等于地球到太阳的平均距离(或地球轨道的半径)与距离OD的比的平方根。如果点P落在N上,则A,B和C为彗星的三个位置,通过它们可以在黄道平面上做出彗星轨道。但如果P不落在N上,则在直线AC上取CG等于NP,使点G和P位于直线NC的同侧。

用由设定点B求得点E,A,C,G相同的方法,可以由任意设定的其他点b和β求出新的点eacgεakγ。再通过G,g,和γ作圆G与直线TC相交于Z;则Z为彗星在黄道平面上的一个点。在AC,acak上取AF,af分别等于CG,cgky;通过点F,fø作圆F,交直线AT于X;则点为彗星在黄道平面上的另一点,再在点X和Z上向半径TX和TZ作彗星的纬度切线,则彗星在其轨道上的两个点确定。最后,如果(由第一编命题19)作一条以S为焦点的抛物线通过这两个点,则该抛物线就是彗星轨道。

完毕。

本问题作图的证明是以前述诸引理为前提的,因为根据引理7,直线AC在E比例于时间分割,像它在引理8中那样;而BE,由引理11,是黄道平面上直线BS或Bξ的一部分,介于弧ABC与弦AEC之间;MP(由引理10推论)则该弧的弦长,彗星在其轨道上在第一和第三次观测之间掠过它,因而等于MN,在此设定B是彗星在黄道平面上的一个真实位置。

然而,如果点B,b,β不是任意选取的,而是接近真实的,则较为方便。如果可以粗略知道黄道平面上的轨道与直线tB的交角AQt,以该角关于Bt作直线AC,使它比等于SQ与St的比的平方根;再作直线SEB使其部分EB等于长度Vt,则点B可以确定,我们把它用于第一次观测。然后,消去直线AC,再根据前述作图法重新画出AC,进而求出长度MP,并在tB上按下述规则取点b:如果TA与TC相交于Y,则距离Yb比距离YB等于MP比MN再乘以SB与Sb的比的平方根。如果愿意把相同的操作再重复一次的话,即可以求出第三个点β;但如果按这一方法行事,一般地两个点即已足够;因为如果距离Bb极小,则可在点F,f和Gg,求出后作直线Ff和Gg,它们将在所求的点X和Z与TA和TC相交。