如果任意平行四边形ASPQ的相对角的顶点A与P与圆锥曲线相遇,这两个角的一条边AQ,AS的延长线与圆锥曲线在B,C相遇,再由B和C向圆锥曲线上第五个点D作两条直线BD,CD并延长与平行四边形的边PS,PQ相交于T和R;则由平行四边形边上截下的部分PR与PT的比为给定值;反之,如果截下的部分相互间有给定比值,则点D为通过点A,B,C,P的圆锥曲线上的点。

情形1.连接BP,CP,由点D作两条直线DG,DE,使DG平行于AB,并与PB,PQ,CA相交于H,I,G;另一条直线DE平行于AC,与PC,PS,AB相交于F,K,E,则(由引理17)乘积DE·DF与DG·DH的比为给定值。但PQ比DE(或IQ)等于PB比HB,因而等于PT比DH;整理得,PQ比PT等于DE比DH。类似地,PR比DF等于RC比DC,所以等于(IG或)PS比DG,调整得PR比PS等于DF比DG;将两组比式相乘,得到乘积PQ·PR比乘积PS·PT等于乘积DE·DF比乘积DG·DH,为给定值,而PQ与PS为已知,所以PR与PT的比值也就给定。
证毕。
情形2.如果PR与PT相互间比值给定,则由相似理由倒推回去,即得到乘积DE·DF比乘积DG·DH为给定值,因此点D(由引理18)位于通过点A,B,C,P的圆锥曲线上。
证毕。
推论Ⅰ.如果作BC与PQ相交于r,在PT上取t,使Pt比Pr等于PT比PR;则Bt将在B点与圆锥曲线相切。因为设点D与点B合并,使得弦BD消失,BT即成为切线,而CD和BT将与CB和Bt重合。
推论Ⅱ.反之,如果Bt是切线,直线BD,CD在曲线上任一点D上相遇,则PR比PT等于Pr比Pt。而反过来,如果PR比PT等于Pr比Pt,则BD与CD相遇于曲线上某点D。
推论Ⅲ.一条圆锥曲线与另一条圆锥曲线的交点不可能超过四个。因为,如果这是可能的,令两条圆锥曲线通过五个点A,B,C,P,O;令直线BD与两曲线相交于D和d,直线Cd与直线PQ相交于q。所以PR比PT等于Pq比PT:因而PR与Pq相等,与命题冲突。