引理7

在同样假设下,弧、弦和切线相互间的最后比值是相等比值。

当B点趋近于A点时,设想AB与AD延伸到远点bd,平行于割线BD作直线bd,令弧Acb总是相似于弧ACB。然后设A点与B点重合,则由上述引理,角dAb消失,因此直线Ab、Ad(它总是有限的)与它们之间的弧Acb将重合,而且相等,所以,直线AB、AD与其间的弧ACB(它总是正比于前者)将消失,最终获得相等比值。

证毕。

推论Ⅰ.如果通过B作BF平行于切线,并与通过A点的任意直线AF相交于F,则线段BF与趋于零的弧ACB有最终相等的比值。因为作平行四边形AFBD,它与AD总有相等比值。

推论Ⅱ.如果通过B和A作更多直线BE,BD,AF,AG与切线AD及其平行线BF相交,则所有横向线段AD,AE,BF,BG,以及弦与弧AB,其中任意一个与另一个的最终比值是相等的比值。

推论Ⅲ.所以,在考虑所有与最终比值有关的问题时,可将这些线中任意一条来代替其他。