引理4

如果在两个图形AacE,PprT中有两组内切矩形(同前),每组数目相同,它们的宽趋于无穷小,如果一个图形内的矩形与另一图形的矩形分别对应的最终比值相同,则图形AacE与PprT的比值与该值相同。

因为一个图形中的矩形与另一个图形中的是分别对应的,所以(合起来)其全体的和与另一个全体的和的比,也就是一个图形比另一个图形;因为(由引理3)前一个图形对应前一个和,后一个图形对应后一个和,所以二者比值相等。

证毕。

推论.如果任意两种量以任意方式分割为数目相等的部分,这些部分的数目增大时,其量值将趋于无穷小,它们各自有给定的相同比值,第一个比第一个,第二个比第二个,以此类推,则它们所有的合起来也有相同的比值。因为,如果在本引理图形中把每个矩形的比视为这些部分的比,则这些部分的和恒等于矩形的和;再设矩形数目和部分的数目增多,则它们的量值无穷减小,这些和就是一个图中矩形与另一个图中对应矩形的最后比值,即(由命题)一个量中任意部分与另一个量中对应部分的最终比值。