引理18

在相同条件下,如果作向四边形二条对边的直线的乘积PQ·PR比作向另两对边的直线的乘积PS·PT的值为已知,则点P位于围成该四边形的圆锥曲线上。

设圆锥曲线通过点A,B,C,D,以及无限多个点P中的一个,例如是P:则点P总是位于该曲线之上。如果否认这一点,连接AP与该圆锥曲线相交于P以外的一点比如b。所以,如果由点pb以给定角度向四边形的边作直线pqprpsptbkbnbfbd,则(由引理17)bk·bnbf·bd等于pq·prps·pt,而且等于(由假定条件)PQ·PR比PS·PT。因为四边形bkAf,PQAS相似,所以bkbf等于PQ比PS。将此比例式对应项除前一比式,得到bnbd等于PR比PT。所以,等角四边形Dnbd与DRPT相似,它们的对角线Db,DP重合,b落在直线AP与DP的交点上,因而与点P重合。所以,不论如何选取P,它总落在给定的圆锥曲线上。

证毕。

推论.如果由公共点P向三条已知直线AB,CD,AC作同样多的直线PQ,PR,PS,并一一对应,而且相应夹角也是已知的,其中任意两条的乘积PQ·PR与第三条PS的平方的比也是已知的,则引出直线的点P将位于与直线AB,CD相切于A和C的圆锥曲线上。反之亦然,因为三条直线AB,CD,AC的位置不变,令直线BD向AC趋近并与之重合,同样再令直线PT与PS重合,则乘积PT·PS变为PS2,原先与曲线相交于点A,B,C,D的直线AB,CD不再与之相交,而只是相切于曲线上相重合的点。