命题13 定理13

行星沿椭圆轨道运动,其公共焦点位于太阳中心,而且,伸向该中心的半径所掠过的面积正比于运行时间。

我们以前在现象一节中已讨论过这些运动。我们既已知道这些运动所依据的原理,就由这些原理推算天空中的运动。因为行星相对于太阳的重量反比于它们到太阳中心距离的平方,如果太阳静止,各行星间无相互作用,则行星轨道为椭圆,太阳在其一个焦点上;由第一编命题1和11,以及命题13推论Ⅰ知,它们掠过的面积正比于运行时间。但行星之间的相互作用如此之小,可以加以忽略;而由第一编命题66,这种相互作用对行星绕运动着的太阳运动的干扰,小于假设太阳处于静止时所造成的影响。

实际上,木星对土星的作用不能忽略;因为指向木星的引力比指向太阳的引力(在相等距离处,命题8推论Ⅱ)等于1比1067;因而在木星和土星的交会点,因为土星到木星的距离比土星到太阳的距离约等于4比9,土星指向木星的引力比土星指向太阳的引力等于81比16·1067;或约等于1比211。由此而在土星与木星交会点产生的土星轨道摄动是如此明显,令天文学家们迷惑不解。由于土星在交会点的位置的变化,它的轨道偏心率有时增大,有时减小;它的远日点有时顺行,有时逆行,而且其平均运动交替地加速和放慢;然而它绕太阳运动的总误差,虽然是由如此之大的力产生的,却几乎可以通过把它的轨道的低焦点置于木星与太阳的公共重心(根据第一编命题67)上而完全避免(平均运动除外),所以该误差在最大时很少超过2分钟;而平均运动中,最大误差则很少超过每年2分钟。但在木星与土星交会点处,太阳指向土星,木星指向土星,以及木星指向太阳的加速引力,相互间的比约16,81和,或156,609;因而太阳指向土星与木星指向土星的引力差,比木星指向太阳的引力约为65比156,609,或为1比2409。但土星干扰木星运动的最大能力正比于这个差;所以木星轨道的摄动远小于土星。其指行星的轨道,除了地球轨道受月球的明显干扰外,其摄动都远小得多。地球与月球的公共重心沿以太阳为焦点的椭圆运动,其所向太阳的半径所掠过的面积正比于运动时间。而地球又绕该重心作每月一周的运动。