附注

然而由于画出这条曲线很困难,用近似求解更为可取。首先,找出一个角B,它与半径的张角57.29578度角的比,等于焦距SH比椭圆直径AB。其次,找出一个长度L,使它半径的比等于上述比值的倒数。求出这些后,问题可以由下述分析解决。通过任意作图(甚至猜想),设我们知道物体的处所P靠近其真实处所P。然后在椭圆的轴上作纵坐标PR,由椭圆直径的比例,可以求出外切圆AQB的纵坐标RQ;设AO是半径,并与椭圆相交于P,则该纵坐标是角AOQ的正弦。这个角既使用接近于真实的数字粗略计算也已足够。设我们还知道该角正比于时间,即它与四个直角的比等于物体掠过弧Ap所用时间与环绕椭圆一周所用时间的比。令该角为N,再取角D,它与角B的比等于角AOQ的正弦比半径;取角E,使它比角N-AOQ+D等于长度L比同一长度L减去角AOQ的余弦,当该角小于直角时,或加上该余弦,在它大于直角时。下一步,取角F使它比角B等于角AOQ+E的正弦比半径;取角G,使它比角N-AOQ-E+F等于长度L比同一长度L减去角AOQ+E的余弦,当该角小于直角时,或加上该余弦,当它大于直角时。第三步,取角H,它与角B的比等于角AOQ+E+G的正弦比半径;取角I,它与角N-AOQ-E-G+H的比,等于长度L比同一长度L减去角AOQ+E+G的余弦,当该角小于直角时,或加上该角的余弦,当它大于直角时,反复运用这一方法至于无限。最后,取角AOq等于角AOQ+E+G+I+,等等,由其余弦Or与纵坐标Pr(它与其正弦qr的比等于椭圆的短轴与长轴的比),即可得到物体的正确处所p。当角N-AOQ+D为负时,角E前的+号都应改为-,而-号都应改为+。当角N-AOQ-E+F以及角N-AOQ-E-G+H为负时,角G和I前的符号都应作相同变化。但无限系列AOQ+E+G+I+;等等,收敛如此之快,很少需要计算到第二项E之后。这种计算以这一定理为基础,即面积APS正比于弧AQ与由焦点S垂点作向半径OQ的直线的差而变化。

用大致相同的方法,可以解决双曲线中的同一问题。令其中心为O,顶点为A,焦点为S,渐近线为OK;设其正比于时间的被分割面积数值已知,令其为A,设我们知道分割面积APS近乎于真实的直线SP的位置。连接OP,由A和P向渐近线作平行于另一渐近线的直线AI,PK;由对数表可知面积AIKP,以及与之相等的面积OPA,后者被从三角形OPS中减去后将余下被切除的面积APS。将2APS-2A,或2A-2APS,被分割的面积A,与被切除的面积APS的差的二倍,除以由焦点S垂直作向切线TP的直线SN,即得到弦PQ的长度。该弦PQ内接于A和P之间,如果被切除的面积APS大于被分割的面积A;而在其他情形,它则指向点P的另一侧:则点Q是更精确的物体处所。重复这种计算即可以越来越高的精度求得该处所。

运用这种计算可得对这一问题的普适的分析解。不过下述特殊计算更适用于天文学目的。设AO,OB,OD为椭圆半轴,L为其通径,D为短半轴OD与通径的一半的差:找出一个角Y,其正弦比半径等于差D与二轴的和的一半AO+OD的乘积,比长轴AB的平方。再找出另一角Z,其正弦半径等于焦距SH与差D的乘积的二倍,比半长度AO的平方的三倍。一旦找到这些角,就可以这样确定物体的处所:取角T正比于通过弧BP的时间,或等于所谓平均运动;取角V,第一平均运动均差,比角Y,最大第一均差,等于二倍角T的正弦比半径;取角X,第二均差,比角Z,第二最大均差,等于角T的正弦的立方比半径的立方。然后取角BHP,平均差运动,或是等于T+X+V,角T,V,X的和,如果角T小于直角;或是等于T+X-V,这些角的差,如果角T大于一个直角而小于二个直角;而如果HP与椭圆相交于P,作SP,则它将分割面积BSP,近似正比于时间。

这一方法看起来相当简捷,因为角V和X均为秒的若干分之一,是非常小的,随意求出其前二三位即足以敷用。类似地,它还以足够的精度解决行星运动理论问题。因为即使是火星轨道,其最大的中心均差达到10°,计算误差也很少超过1秒。而一旦平均运动差角BHP求出,真实运动角BSP,距离SP,也就易于用已知方法求出。

迄此讨论的是物体沿曲线的运动。但我们也会遇到运动物体沿直线上升或下落的情形,现在我继续讨论属于此类运动的问题。