命题71 定理31

在相同条件下,球面外小球受到的指向球面中心的吸引力反比于它到该中心距离的平方。

令AHKB,ahkb为关于中心S。s的两个相等的球面,它们的直径为AB,ab;令P和p为二球面外直径延长线上的小球。由小球作直线PHK,PIL,phkpil,在大圆AHB,ahb上截取相等弧长HK,hk,IL,il;并作这些直线的垂线SD,sd,SE,se,IR,ir;其中SD,sd与PL,pl交于F和f。再在直径上作垂线IQ,iq。现在令角DPE,dpe消失;因为DS与ds,ES与es相等,故可以取直线PE,PF与pepf,以及短线段DF,df相等;因为当角DPE,dpe共同消失时,它们的比值是相等的比值。由此可得:

以及

将对应项相乘,

又,

以及

因而,

将其对应项与前面相似的比例式相乘:

即,等于当半圆AKB关于其直径AB旋转时弧IH所掠过的环面,比当半圆akb关于其直径ab旋转时弧ih所掠过的环面。而由假设条件知,使这些环面沿指向它们的方向吸引小球P和p的力正比于环面自身,反比于环面到小球的距离的平方;即等于pf·ps比PF·PS。又,这些力与其沿直线PS,ps指向球心的斜向部分(由像定律推论Ⅱ中那样力的分角得到)的比,等于PI比PQ,以及pipq;即(由于三角形PIQ与PSF,以及pig与psf相似)等于PS比PF以及pspf。所以,吸引小球P指向S的吸引力比吸引小球p指向s的力,等于,即等于ps2比PS2。而且,由类似理由,弧KL,kl旋转生成的环面吸引小球的力的比也等于ps2比PS2。在球面上,只要取sd等于SD,se等于SE,则所分割的环面对小球的吸引力的比总是有相同的比值。所以,把它们再组合起来,整个球面作用于小球的力的比也有相同比值。

证毕。