总注

由这些命题,我们可以通过在介质中摆体的摆动来求介质阻力。我用下述实验求空气阻力。系在牢固钩子上的细线,下悬一木质球,球重盎司,直径英寸,钩与球摆动中心的间距为英尺。在悬线上距悬挂点10英尺1英寸处作一标记点;并在与该点等长的地方放置一把直尺,我就用这套装置观察摆所掠过的长度。然后记下球失去其运动的部分的摆动次数。如果将摆由其垂直位置拉开2英寸,然后放开,则在其整个下落中掠过一个2英寸的弧,而在由该下落和随后的上升组成的第一次全摆动中,掠过差不多4英寸弧,摆经过164次摆动失去其运动的部分,这样,在它最后一次上升中掠过英寸弧。如果它第一次下落掠过的弧长为4英寸,则经过121次全摆动失去其运动的部分,在其最后一次上升中掠过弧长英寸。如果第一次下落掠过弧长为8,16,32或64英寸,则它分别经过次摆动失去其运动的部分。所以,在第1,2,3,4,5,6次情况中,第一次下落与最后一次上升所掠过的弧长的差分别是英寸。在每次情况中以摆动次数除差,则在掠过弧长为30,60,120英寸的平均摆动中,下落与随后上升掠过的弧长的差分别为英寸。在幅度较大的摆动中这些差近似正比于掠过弧长的平方,而在较小幅度的摆动中略大于该比率;所以(由本编命题引推论Ⅱ)球的阻力在运动很快时近似正比于速度的平方,而在运动较慢时略大于该比率。

现在令V表示每次摆动中的最大速度,A,B,C为给定量,设弧长差等于+CV2。由于在摆线中最大速度正比于摆动掠过弧长的,而在圆周中则正比于该弧的弦;所以弧长相等时摆线上速度大于圆周上的速度,比值为弧的比其弦;但圆运动时间大于摆线运动,其比值反比于速度;因此该项弧差(正比于阻力与时间平方的乘积)在二种曲线上近似相等并不难理解:摆线运动中,该差一方面近似正比于弧与弦的比值的平方而随阻力增加,因为速度按该简单比值增大;另一方面又以同一平方比值随时间的平方减小。所以要在摆线中作此项观察,必须取与圆周运动得到的相同的弧差,并设最大速度近似正比于半摆弧或全弧,即正比于数。所以在第2,4,6次情况中,V取1,4和16;而在第2次情况中弧差;在第4次情况中,4A+8B+16C;在第6次情况中,。解这些方程得到A=0.0000916,B=0.0010847,C=0.0029558。所以弧差正比于0.0000916V+;因而由于(把命题30应用到该情况中)在速度为V的摆动弧的中间,球阻力比其重量等于比摆长,代入刚才求出的数值,球阻力比其重量等于比悬挂中心与直尺之间的摆长,即,比121英寸,所以,由于V在第2次情况中为1,第4次为4,第6次为16,阻力比球重量在第二次情况中等于0.0030345比121;第4次为0.041748比121;第6次为0.61705比121。

在第6次情况中,细线上标记的点所掠过的弧长为,或英寸。由于半径为121英寸,而悬挂点与球心之间的摆长为126英寸,球心掠过的弧长为英寸。由于空气阻力的原因,摆动体的最大速度并不落在掠过弧的最低点处,而是接近于全弧的中点处,该速度近似等于球在无阻力介质中下落掠过上述弧的半长,即英寸所获得的速度,以及沿上述化简摆运动而得到的摆线运动的速度;所以该速度等于该球由相当于该弧的正矢的高度下落而获得的速度。但摆线的正矢比英寸的弧等于同一段弧比252英寸摆长的二倍,所以等于15.278英寸。所以摆的速度等于同一物体下落掠过15.278英寸的空间所获得的速度。所以球以该速度受到的阻力比其重量等于0.61705比121,或(如果只取阻力正比于速度的平方)等于0.56752比121。

我通过流体静力学实验发现,该木质球的重量比与它体积相同的水球的重量等于55比97;由于121比213.4也有相同比值,当这样的水球以上述速度运动时遇到的阻力,比其重量等于0.56752比213.4,即等于。由于水球在以均匀速度连续掠过的30.556英寸的长度的时间内,其重量可以产生下落水球的全部速度,所以在同一时间里均匀而连续作用的阻力将完全抵消一个速度,它与另一个的比为,即总速度的部分。所以在该球以均匀速度连续运动掠过其半径的长度,或英寸所需的时间里,它失去其运动的部分。

我还记录了摆失去其运动的部分的摆动次数。在下表中,上面一行数字表示第一次下落掠过的弧长,单位是英寸。中间一行表示最后一次上升掠过的弧长;下面一行是摆动次数。之所以说明这个实验,在于它比上述失去运动部分的实验更精确。有关计算留给有兴趣的读者。

第一次下落

最后一次上升

摆动次数

随后,我将一个直径2英寸,重盎司的铅球系在同一根细线上,使球心与悬挂点间距英尺,记录运动失去其给定部分的摆动次数。以下第一个表表示失去总运动部分的摆动次数;第二个表为失去总运动的的摆动次数。

第一次下落

最后一次上升

摆动次数

第一次下落

最后一次上升

摆动次数

取第一个表中的第3,5,7次记录,分别以1,4,16表示这些观察中的最大速度,并向前面一样一般取量V,则在第3次观察中有,第5次有16C,第7次中有。解这些方程得到A=0.001414,B=0.000297,C=0.000879。因此,以速度V的球其阻力比其重量盎司等于0.0009V+比摆长121英寸。如果只取阻力的正比于速度平方的部分,则它与重量的比等于0.000659V2比121英寸。而在第一次实验中阻力的这一部分比木球的重量盎司等于0.002217V2比121;因此木球的阻力比铅球的阻力(它们的速度相同)等于乘以0.002217比乘以0.000659,即比1。两球的直径为和2英寸,它们的平方相互间的比为比4,或约等于比1。所以这两个速度相等的球的阻力的比小于直径比的平方。但我们还没有考虑细线的阻力,它当然相当大,应当从已求出的摆的阻力中减去。我无法精确求出它的值,但发现它大于较小的摆的总阻力的部分;因此在减去细线的阻力后,球的阻力的比近似等于直径比的平方。因为7,或比1与直径的比比1的平方差别极小。

由细线阻力的变化率较之大球的为小,我又以直径英寸的球做了实验。悬挂点与摆心之间的摆长为英寸,悬挂点与线上标记点间距英寸,在摆第一次下落中标记点掠过弧长32英寸。在最后一次上升中同一标记点掠过弧长28英寸,中间摆动5次。弧长的和,或平均摆动总长60英寸;弧差4英寸。其部分,或在一次平均摆动中下落与上升的弧差为英寸。这样,半径比半径,等于标记点在一次平均摆动中掠过的总弧长60英寸比球心在一次平均摆动中掠过的总弧长英寸;差与新的差0.4475的比值也与之相同。如果掠过的弧长不变,摆长按126比的比值增加,则摆动时间增加,摆动速度按同一比值的平方变慢;使得下落与随后上升掠过的弧长的差0.4475保持不变。如果掠过的弧长按增加,则差0.4475按该比值的平方增加,变为1.5295。如果设摆的阻力正比于速度的平方情况也与此相同。所以,如果摆掠过的总弧长为英寸,悬挂点与摆心间距126英寸,则下落与随后上升的弧长差为1.5295英寸。该差乘以摆球的重量208盎司,得318.86。又,在上述木质球摆中,当摆心到悬挂点长为126英寸,总摆弧长英寸时,下降与上升的弧差为乘以。该值乘以摆球重量盎司,得49.396。我将差乘以重量目的在于求阻力。因为该差由阻力引起,并正比于阻力反比于重量。所以阻力的比等于数318.316比49.396。但小球阻力中正比于速度平方的部分,与总阻力的比等于0.56752比0.61675,即等于45.453比49.396。而在较大球中阻力的相同部分几乎等于总阻力,所以这些部分间的比近似等于318.136比45.453,即等于7比1。但球的直径为英寸。它们的平方间的比等于7.438:1,即近似于球阻力7和1的比。这些比值的差不可能大于细线产生的阻力。所以对于相等的球,阻力中正比于速度平方的部分,在速度相同情况下,也正比于球直径的平方。

不过,我在这些实验中使用的最大球不是完全球形的,因而在上述计算中,出于简捷,忽略了一些细小差别:在一个不十分精确的实验中不必为计算的精确性而担心。所以我希望再用更大更多形状更精确的球做实验,因为真空中的情形取决于此。如果按几何比例选取球,设其直径为4,8,16,32英寸,可以由实验数据按该级数推论出使用更大的球时所发生的情况。

为比较不同流体的阻力,我做了以下尝试。我制作了一个木箱,长4英尺,宽1英尺,高1英尺。该木箱不用盖子,注满泉水,其中浸入摆体,在水中使其摆动。我发现重盎司,直径英寸的铅球在其中的摆动情况如下表所示;由悬挂点到细线上某个标记点的摆长为126英寸,到摆心长英寸。

第一次下落标记点弧长,单位英寸

最后一次上升弧长,单位英寸

正比于失去运动的弧长差,单位英寸

水中的摆动次数

空气中的摆动次数

在第4列实验中失去相同运动的摆动次数空气中为535,水中为。在空气中的摆动的确略快于在水中的摆动。但如果在水中的摆动按这样的比率加快,使摆的运动在二种介质中相等,所得到的在水中的摆动次数却仍然是,与此同时失去与以前相同的运动量;因为阻力增大了,时间的平方却按同一比值的平方减小。所以,速度相等的摆,在空气中经过535次,在水中经过次摆动,所损失的运动相等。所以摆在水中的阻力比其在空气中的阻力等于535比。这是第4列实验情况反映的总阻力的比例。

令AV+CV2表示球在空气中以最大速度V摆动时下落与随后上升掠过的弧差;由于在第4列情况中最大速度比第1列情况中的最大速度等于1比8;在第4列情况中的弧差比第1列情况中的弧差等于,或等于比4280;在这两个情况中以1和8代表速度,和4280代表弧差,则或A+80C=535;然后解这些方程,得;所以正比于的阻力变为正比于。所以在第4列情形中,速度为1,总阻力比其正比于速度平方的部分等于;因而摆在水中的阻力比在空气中的阻力正比于速度平方的部分(该部分在快速运动时是唯一值得考虑的),等于乘以535比,即571比1,如果在水中摆动时全部细线没入水中,其阻力将更大;于是在水中的摆动阻力,即其正比于速度平方的部分(快速运动物体唯一需要考虑的),比完全相同的摆以相同速度在空气中摆动的阻力,等于约850比1,即近似等于水的密度比空气密度。

在此计算中,我们也应该取摆在水中的阻力的正比于速度平方的部分;不过我发现(这也许看起来很奇怪)水中阻力的增加大于速度比值的平方。我在考虑其原因时想到,水箱相对于摆球的体积而言太窄了,这窄度限制了水屈服于摆球的运动。因为当我将一个直径仅1英寸的摆球浸入水中时,阻力几乎正比于速度的平方增加。我又做了一个双球摆实验,其较轻靠下面的一个在水中摆动,而较大在上面的一个被固定在细线上刚好高于水面的地方,在空气中摆动,它能维持摆的运动,使之持续长久。这套装置的实验结果如下表所示。

第一次下落弧

最后一次上升弧

正比于损失运动量的弧差

摆动次数

为比较两种介质的阻力,我还试验过铁摆在水银中的摆动。铁线长约3英尺,摆球直径约英寸。在铁线刚好高于水银处,固定了一个大得使摆足以运动一段时间的铅球。然后在一个约能盛3磅水银的容器中交替注满水银和普通水,以使摆在这种不同的流体中相继摆动,找出它们的阻力比值;实验表明水银的阻力比水的阻力约为13或14比1;即等于水银密度比水密度。然后我又用了稍大的球,其中一个直径约英寸,得出的水银阻力比水阻力为约12或10比1。但前一个实验更为可靠,因为在后者中容器相对于浸入其中的摆球太窄;容器应当与球一同增大。我拟以更大的容器用熔化的金属以及其他冷的和热的液体重复这些实验;但我没有时间全部重复;此外,由上述所说的,似乎足以表明快速运动的物体其阻力近似正比于它们于其中运动的流体的密度。我不是说精确地;因为密度相同的流体,粘滞性大的其阻力无疑大于滑润的;如冷油大于热油,热油大于雨水,而雨水大于酒精。但在很容易流动的液体中,如在空气、食盐水、酒精、松节油和盐类溶液,通过蒸馏滤去杂质并被加热的油、矾油、水银和熔化的金属中,以及那些通过摇晃容器对它们施加压力可以使运动保持一段时间,并在倒出来时容易分解成液滴的液体中,我不怀疑已建立的规则能足够精确地成立,特别当实验是用较大的摆体并运动较快时更是如此。

最后,由于某些人认为,存在着某种极为稀薄而精细的以太介质,可以自由穿透所有物体的孔隙;而这种穿透物体孔隙的介质必定会引起某种阻力;为了检验物体运动中所受到的阻力究竟是只来自它们的外表面,抑或是其内部各部分也受到作用于表面的阻力的作用,我设计了以下实验。我把一只圆松木箱用11英尺长的细绳悬起来,通过一钢圈挂在一钢制钩子上,构成上述长度的摆。钩子的上侧为锋利的凹形刀刃,使得钢圈的上侧在该刀刃上能更自由地运动;细绳系在钢圈的下侧。制成摆以后,我把它由垂直位置拉开约6英尺的距离,并处在垂直于钩刃的平面上,这样可使摆在摆动时钢圈不会在钩子上滑动和偏移;因为悬挂点位于钢圈与钩刃的接触点,是应当保持不动的。我精确记录了摆拉开的位置,然后加以释放,并记下了第1,2,3次摆动所回到的位置。这一过程我重复了多次,以尽可能精确地记录摆动位置。然后我在箱子中装满铅或其他近在手边的重金属。但开始时,我称量了空箱子的重量,以及缠在箱子上的绳子,和由钩子到箱子之间绳子的一半的重量。因为在摆自垂直位置被拉开时,悬挂摆的绳子总是以其半重量作用于摆。在此重量之上我又加上了箱内空气的重量。空箱的总重量约为装满金属后箱重的。由于箱子装满金属后会把绳子拉长,增加摆长,我又适当缩短绳子使它在摆动时的摆长与空箱摆动时相同。然后把摆拉到第一次记录的位置处,释放之,数得大约经过77次摆动,箱子回到第二个记录位置,再经过相同摆动次数回到第三个位置,其后摆动同样次数回到第四个位置。由此我得到结论,装满重物的箱子所受到的阻力,与空箱阻力的比值不大于78:77。因为如果阻力相等,则装满的箱子的惯性比空箱的惯性大78倍,这将使它的摆动运动持续相同倍数的时间,因而应在78次摆动后回到标记点。但实际上是在77次摆动后回到标记点的。

所以,令A表示箱子外表面受到的阻力,B为对空箱内表面的阻力,如果速度相同的物体内各部分的阻力正比于物质,或正比于受到阻力的粒子数,则78B为装满的箱子内部所受到的阻力;因而空箱的全部阻力A+B比满箱的总阻力A+78B,等于77比78,由相减法,A+B比77B等于77比1;因而A+B比B等于77比1,再由相减法,A比B等于5928比1。所以空箱内部的阻力要小于其外表面阻力的5000倍以上。该结果来自这样的假设,即装满的箱子其较大的阻力不是来自任何其他的未知原因,而只能是某种稀薄流体对箱内金属的作用所致。

这个实验是凭记忆描述的,原始记录已遗失;我不得不略去一些已遗忘的细节;我又没有时间再将实验重做一次。我第一次实验时,钩子太软,装满的箱很快就停止摆动。我发现原因是钩子不足以承受箱子的重量,致使摆动过程中钩子时左时右地弯曲。后来我又做了一只足够坚硬的钩子,悬挂点不再移动,即得到上述所有情形。