如果一个物体受到正比于其速度的阻力,并只受其惯性力的推动而运动,通过均匀介质,把时间分为相等的间隔,则在每个时间间隔的开始时的速度形成几何级数,而其间掠过的距离正比于该速度。

情形1.把时间分为相等间隔;如果设在每个间隔开始时阻力以正比于速度的一次冲击对物体作用,则每个间隔里速度的减少量都正比于同一个速度。所以这些速度正比于它们的差,因而(根据第二编引理1)连续正比。所以,如果越过相等的间隔数把任意相等的时间部分加以组合,则在这些时间开始时的速度正比于从一个连续级数中越过相等数目的中间项取出的项。但这些项的比值是由中间项相等比值重复组合得到的,因而是相等的。所以正比于这些项的速度,也构成几何级数,令相等的时间间隔趋于零,其数目趋于无限,使阻力的冲击复得连续;则在相等时间间隔开始时连续正比的速度这时也连续正比。
情形2.由相减法,速度的差,即每个时间间隔中所失去的速度部分正比于总速度;而每个时间间隔中掠过的距离正比于失去的速度部分(由第一编,命题1),因而也正比于总距离。
推论.如果关于直角渐近线AC,CH作双曲线BG,再作AB,DG垂直于渐近线AC,把运动开始时物体的速度和介质阻力用任意已知线段AC表示,而若干时间以后的用不定直线DC表示;则时间可以由面积ABGD表示,该时间中掠过的距离可以由线段AD表示。因为,如果该面积随着点D的运动而与时间一样均匀增加,则直线DC将按几何比率随速度一同减少;而在相同时间里所画出的直线AC部分,也将以相同比率减少。