第8章

受任意类型向心力作用的物体环绕轨道的确定

命题40 定理13

如果一个物体受任意一种向心力的作用以某种方式运动,而另一物体沿一条直线上升或下落,且在某一相同高度上它们的速度相等,则在一切相等高度上它们的速度都相等。

令一物体由A通过D和E落向中心C,令另一物体由V沿曲线VIKk运动,以C为中心,取任意半径作同心圆DI,EK与直线AC相交于D和E,与曲线VIK相交于I和K。作IC与KE交于N,并在IK上作垂线NT;令两同心圆的间距DE或IK为极小;设在D与I的两物体速度相等。因为距离CD和CI相等,在D和I处的向心力也必相等。用等长短线DE和IN表示这些向心力;将长IN(由运动定律的推论Ⅱ)分解为两个力,NT与IT,则力NT的作用沿线段NT的方向,与物体的路径相垂直,对物体在该处的速度无影响或改变,只把它拉开直线方向,使它连续偏离轨道切线,沿曲线路径ITKR运行。所以该力只起到这种作用。而另一个力IT作用于物体的运动方向上,全部用于对它加速,在极短时间里产生的加速度正比于该时间,所以在相同的时间里,物体在D和I的加速度正比于线段DE,IT(如果取新生线段DE,IN,IK,IT,NT的最初比值);而在不等的时间里加速度正比于这些线段与时间的乘积。但由于速度相等(在D和I),物体掠过DE和IK所用的时间正比于DE和IK的长度,所以,物体在通过线段DE和IK时的加速度正比于DE与IT,以及DE与IK的乘积;即,等于DE的平方比乘积IT·IK。而IT·IK等于IN的平方,即等于DE的平方;所以,物体在由D和I运动到E和K时产生的加速度相等。所以,物体在E和K的速度也相等:由相同的理由知,它们在以后任何相等的距离上总是相等的。

证毕。

又由相同的理由,在与中心相同距离处速度相等的物体,在上升到相同距离处时,递减的速度也相等。

推论Ⅰ.一个物体不论是悬于一根弦上摆动,或是被迫沿一光亮、完全平滑的表面作曲线运动,而另一物体沿直线上升或下落,只要它们在某一相同高度处速度相等,则它们在所有相同高度处的速度都相等。因为,在摆动物体的弦上,或在容器完全平滑的表面上,所发生的情形与横向力NT的影响相同。它既不使物体加速也不使之减速,只是迫使它偏离直线运动。

推论Ⅱ.设量P是物体由中心所能上升到的最大距离,不论是通过摆动,或是沿曲线转动,或是由曲线上某一点以其在该点的速度向上抛出。令量A为物体由其轨道上任意一点到中心的距离;再令向心力总是正比于量A的幂An-1,该幂的指数n-1是任意数减一,则在任意高度A,物体的速度正比于,因而是给定的。因为由命题39,沿直线上升或下落的物体的速度等于该值。