命题30 定理24

如果直线aB等于摆动体所掠过的摆线弧长,在其上任意点D作垂线DK,该垂线比摆长等于摆体在该点受到的阻力比重力:则在整个下落过程和随后的整个上升过程所掠过的弧差乘以相同的弧的和的一半等于所有垂线构成的面积BKa

令一次全摆动掠过的摆线弧长以与它相等的直线aB表示,而在真空中掠过的弧长以长度AB表示。在C点二等分AB,则C表示该摆线的最低点,而CD正比于重力所产生的力,它使摆体在点D受到沿摆线切线方向的作用,与摆长的比等于在D点的力比重力。所以,令该力以长度CD表示,而重力以摆长表示;如果在DE上取DK比摆长等于阻力比重力,则DK表示阻力。以C为中心,间隔CA或CB为半径画半径BEeA。令物体在极短时间里掠过距离Dd;作垂线DE,de与半圆相交于E,e,则它们正比于摆体在真空中由点B下落到D和d所获得的速度。这已由第一编命题52证明过。所以,令这些速度以垂线DE,de表示;令DF为摆体在有阻力介质中由B下落到D的速度。如以C为圆心、间隔CF为半径画圆FfM与直线de和AB相交于f和M,则M为这样的处所,如果摆体此后在上升中不受阻力作用可到达于此,df为其在d点获得的速度。因此,如果Fg表示摆体掠过极短距离Dd由于介质阻力而失去速度的瞬;而取CN等于Cg;则N也是这样一个处所,如果摆体不再受到阻力,它可以上升到该处,而MN表示由速度损失造成的上升减量。作Fm垂直于df,则阻力DK造成的速度DF的减量Fg,比力CD产生的同一速度的增量fg,等于作用力DK比作用力CD。但因为三角形Fmf,Fhg,FDC相似,fm比Fm或Dd等于CD比DF;将对应项相乘,得到Fg比Dd等于DK比DF。而Fh比Fg也等于DF比CF;也将对应项相乘,得到Fh或MN比Dd等于DK比CF或CM;所以,所有MN·CM的和等于所有Dd·DK的和。在动点M设直角纵坐标总是等于不定直线CM,它在连续运动中与整个长度Aa相乘;该运动中产生的四边形,或相等的矩形,等于所有的MN·CM的和,因而等于所有Dd·DK的和,即等于面积BKVTa

证毕。

推论.由阻力的规律,以及弧Ca,CB的差Aa,可以近似求出阻力与重力的比。

因为,如果阻力DK是均匀的,则图形BKTa是Ba和DK构成的矩形;因而与Aa构成的矩形等于Ba与DK构成的矩形,而DK等于。所以,由于DK表示阻力,摆长表示重力,则阻力比重力等于比摆长;这与命题28的证明完全相同。

如果阻力正比于速度,则图形BKTa近似于椭圆。因为,如果摆体在无阻力介质中的一次全摆动掠过弧长BA,其在任意点D的速度应正比于直径AB上的圆的纵坐标。所以,由于Ba是在有阻力介质中,BA是在无阻力介质中近似正比于时间掠过的,所以在Ba上各点的速度比在长度BA上对应点的速度近似等于Ba比BA,而在有阻力介质中点D的速度正比于在直径Ba上画出的椭圆弧的纵坐标;所以图形BKVTa近似于椭圆。由于假设阻力正比于速度,令OV在中点O的阻力;以中心O,半轴OB,OV画椭圆BRVSa,近似等于图形BKVTa及其相等矩形Aa·BO。所以Aa·BO比OV·BO等于该椭圆面积比OV·BO;即,Aa比OV等于半圆面积比半径的平方,或近似等于11比7;所以比摆长等于摆动体的阻力比其重力。

如果阻力DK正比于速度平方变化,则图形BKVTa极近似于抛物线,其顶点是V。轴为OV,因而近似等于和OV构成的矩形。所以乘以Aa等于,所以OV等于;所以点O对摆动体的阻力比其重力等于比摆长。

我的这些结论其精度足敷实际应用。因为将椭圆或抛物线BRVSa在中点V与图形BKVTa合并,该图形如果在指向BRV或VSa一侧较大,则在另一侧较小,因而近似与之相等。