如果脉冲在流体中传播,则作交替最短往复运动的流体粒子,总是按摆动规律被加速或减速。

令AB,BC,CD等表示相继脉冲的相等距离;ABC为相继脉冲由A传播到B的直线运动方向;E,F,G为直线AC上静止介质的三个间距相等的物理点;Ee,Ff,Gg为三个极小的相等距离,上述三点在每次振动中交替往返于其间;ε,φ,γ为相同点的任意中间位置;EF,FG为物理短线,或这些点与随后移入的处所εφ,φγ和ef,fg之间的介质的线性部分,作直线PS等于直线Ee。在O点将它二等分,并以O为圆心,OP为半径作圆SIPi。令一次振动的总时间,及其成正比的部分,这样来由该圆的周长及其成正比的部分表示。使得当任意时间PH或PHsh结束时,如果作HL或hl垂直于PS,并取Eε等于PL和Pl,则物理点E位于ε。这样,按该规律作往复运动的点E,在由E经过ε到e,再通过ε回到E的过程中,将在一次摆动时间内完成一次振动,而且加速与减速程度相同。我们现在要证明介质的不同物理点会受到这种运动的推动。那么,让我们设一种介质中有这样一种受激于任意原因的运动,看看会发生什么情况。
在圆PHSh上取相等的弧HI,IK,或hi,ik,它们与圆周长的比,等于直线EF,FG比整个脉冲间隔BC,作垂线IM,KN,或im,kn;因为点E,F,G受到相继的推动作相似运动,在脉冲由B移动到C的同时,它们完成一次往复振动;如果PH或PHSh为E点开始运动后的时间,则PI或PHSi为点F开始运动以后的时间,而PK或PHSk为点G开始运动以后的时间;所以,当点前移时Eε,Fφ,Gγ分别等于PL,PM,PN,而当点返回时,又分别等于Pl,Pm,Pn。所以,当点前移时,εγ或EG+Gγ-Ee等于EG-LN,而当它们返回时,则等于EG+ln。但εγ是处所εγ的介质宽度或EG部分的膨胀;因而在前移时该部分的膨胀比其平均膨胀等于EF-LN比EG;而在返回时,则等于EG+ln或EG+LN比EG。所以,由于LN比KH等于IM比半径OP,而KH比EG等于周长PHShP比BC;即如果以V代表周长等于脉冲间隔BC的圆的半径,则上述比等于OP比V;将比例式对应项相乘,得到LN比EG等于IM比V;EG部分的膨胀,或位于处所εγ的物理点F的伸展范围,比其在原先处所EG相同部分的平均膨胀,在前移时等于V-IM,而在返回时等于V+im比V。因此,点F在处所εγ的弹性力比其在处所EG的平均弹性力,在前移时等于
比
,而在返回时等于
比
。由相同理由,物理点E和G与平均弹性力的比,在前移时等于
和
比
;力的差与介质平均弹性力的比等于
比
;即,等于
比
,或等于HL-KN比V;如果我们设(因为振动范围极小)HL和KN无限小于量V的话。所以,由于量V是给定的,力差正比于HL—KN;即(因为HL—KN正比于HK,而OM正比于OI或OP;HK和OP是给定的),正比于OM;即,如果在Ω二等分Ff,则正比于Ωφ。由相同的理由,物理点ε和γ上弹性的差,在物理短线εγ返回时,正比于Ωφ。而该差(即,点ε的弹性超出点γ的弹性力部分)。正是使其间的介质物理短线εγ在前移时被加速,以及返回时被减速的力;所以物理短线εγ的加速力正比于它到振动中间位置Ω的距离。所以(由第一编命题38)弧PI正确地表达了时间;而介质的线性部分εγ则按照上述规律运动,即按照摆振动规律运动;这种情形,对于组成介质的所有线性部分都是相同的。
证毕。
推论.由此可知,传播的脉冲数与颤动物体的振动次数相同,在传播过程中没有增加。因为物理短线εγ一旦回到其原先位置即处于静止;在颤动物体的脉冲,或该物体传播而来的脉冲到达它之前,将不再运动。所以,一旦脉冲不再由颤动物体传播过来,它将回到静止状态,不再运动。