设两个相似的物体系统由数目相同的粒子组成,一一对应的粒子相似而且成正比,位置相似,而相互间密度有给定比值;令它们各自在正比的时间内开始运动(即在一个系统内的粒子相互间运动,另一个系统内的粒子相互间运动)。如果同一系统内的粒子只在反射时相互接触;相互间既不吸引也不排斥,只受到反比于对应粒子的直径,正比于速度平方的加速力:则这两个系统中的粒子将在成正比的时间里维持各自之间的相似运动。
相似的物体在相似的位置,意味着将一个系统中的粒子与另一个系统中相对应的粒子作比较,当它们各自之间作相似运动时,在成正比的时间之末处于相似的位置上。因而时间是成正比的,其间相对应的粒子掠过相似轨迹的相似且成正比的部分。所以,如果设两个这样的系统,其对应粒子由于在开始时作相似的运动,则将维持这种相似的运动与另一个粒子相遇;因为如果它们不受到力的作用,由第一定律知,将沿直线做匀速运动。但如果它们相互间受到某种力的作用,而且这些力反比于对应粒子的直径正比于速度的平方,且因为这些粒子位置相似,受力成正比,则使对应粒子受到推动,且由所有作用力复合而成的总力(由运动定律推论Ⅱ)将有相似的方向,而且其作用效果与由各粒子相似的中心位置所发出的力相同;而且这些合力相互间的比等于复合成它们的各力的比,即,反比于对应粒子的直径,正比于速度的平方:所以将使对应粒子持续掠过该轨迹。如果这些中心是静止的,上述结论成立(由第一编命题4推论Ⅰ和Ⅷ);但如果它们是运动的,由移动的相似性知,它们在系统粒子中的位置关系保持相似,使得粒子画出图形所引入的变化也保持相似。所以,对应于相似粒子的运动保持相似,直至它们第一次相遇;由此产生相似的碰撞和反弹;而这又导致粒子之间的相似运动(由于刚才说明的原因),直到它们再次相互碰撞。这个过程不断重复直至无限。
证毕。
推论Ⅰ.如果两个物体,它们与系统的对应部分相似且位置也相似,以类似的方式在它们之间按成正比的时间运动,它们的大小以及速度的比等于对应部分大小以及密度的比,则这些物体将在正比的时间内以类似方式维持运动;因为两个系统以及两个部分的多数情形是完全相同的。
推论Ⅱ.如果两个系统中所有相似的且位置相似的部分相互间静止;其中两个最大的分别在两个系统中保持对应,开始沿位置相似的直线以任意相似的方式运动,则它们将激发系统中其余部分的类似运动,并将在这些部分中以类似方式按正比时间维持运动;因而将掠过正比于其直径的距离。