引理19

求出点P,使由它向已知直线AB,CD,AC,BD以已知角度做出的同样多的一一对应直线PQ,PR,PS,PT中的任意两条的乘积PQ·PR与另两条的乘积PS·PT的比值为给定值。

设引向已知直线AB,CD的二条直线PQ,PR包含上述乘积之一,并与另两条已知直线相交于A,B,C,D点,由这些点中的一个,设为A,作任意直线AH,使点P位于其上,令该直线与已知直线BD,CD相交于H和I;而且由于图形的所有角度都是已知的,PQ比PA,以及PA比PS,进而PQ比PS都是已知的。以该比值除给定比值PQ·PR比PS·PT,得到比值PR比PT,再乘以给定比值PI比PR,和PT比PH,即得到PI比PH的值,以及点P。

推论Ⅰ.由此可以在点P的轨迹上任意一点D作切线。在AH通过点D处,点P与D相遇,弦PD变成切线。在此情形中,趋于零的线段IP与PH的比的最后值可由上述推导求出,所以,作CF平行于AD,与BD相交于F,并以该最后比值截取E点,则DE即为所求切线;因为CF与趋于零的线段IH平行,并以相同比例在E和P截开。

推论Ⅱ.也可以求出所有点P的轨迹。通过点A,B,C,D中的一个,设为A作AE与轨迹相切,通过另一点B作平行于该切线的直线BF与轨迹交于F,并由本引理求出点F。在G点等分BF,作直线AG,它就是直径所在位置,BG与FG是其纵坐标,令AG与轨迹相交于H,则AH为直径或横向通径,而通径与它的比等于BG2比AG·GH。如果AG不与轨迹相交,AH为无限,则轨迹为抛物线;其对应于直线AG的通径为。但它如果与轨迹相交于某处,则轨迹为双曲线,此时点A与H位于点G的同一侧;对于椭圆,则点G位于点A与H之间;如果这时角AGB是直角,同时BG2等于乘积GA·GH,则这种情形下轨迹为圆。

这样,我们在此推论中对始自欧几里得,继之阿波罗尼奥斯所研究的著名四线问题给出解答,在此不用分析计算,而用几何作图,正是古人所要求的。