设沿摆线摆动的摆体的阻力正比于速度的平方;求各处的阻力。

令Ba为一次全摆动的弧长,C为摆线最低点,CZ为整个摆线的半长,等于摆长。要求在任意处所D摆体的阻力。在O,S,P,Q点分割直线OQ,使(作垂线OK,ST,PI,QE,以O为中心,OK,OQ为渐近线,作双曲线TIGE与垂线ST,PI,QE相交于T,I和E,通过点I作KF。平行于渐近线OQ,与渐近线OK相交于K,与垂线ST和QE相交于L和F)双曲线面积PIEQ比双曲线面积PITS等于摆体下落掠过的弧BC比上升掠过的弧Ca;以及面积IEF比面积ILT等于OQ比OS。然后以垂线MN截取双曲线面积PINA,使该面积比双曲线面积PIEQ等于弧CZ比下落掠过的弧BC。如果垂线RG截取双曲线面积PIGR,使它比面积PIEQ等于任意弧CD比整个下落弧长BC,则在任意处所D的阻力比重力等于面积
比面积PINM。
因为,在处所Z,B,D,a重力作用于摆体的力正比于面积CZ,CB,CD,Ca,而这些弧正比于面积PINM,PIEQ,PIGR,PITS;令这些面积分别表示这些弧和力。令Dd为摆体下落中掠过的极小距离;以极小面积RGgr表示,夹在平行线RG,rg之间。延长rg到h,使GHhg和GRgr为面积IGH,PIGR的瞬时减量。则面积
的增量
,或者,
,比面积PIGR的减量RGgr或Rr·RG,等于
比RG;因而等于
比OR·GR或OP·PI,即(因为OR·HG,OR·HR-OR·GR,ORHK-OPIK,PIHR和PIGR+IGH相等)等于PIGR+
比OPIK。所以,如果面积
称为Y,且已知面积PIGR的减量RGgr,则面积Y的增量正比于PIGR-Y。
如果以V表示摆体在D处受重力作用的力,它正比于将要掠过的弧CD,以R表示阻力,则V-R为摆体在D处受到的总力,所以速度增量正比于V-R与产生它的时间间隔的乘积。而速度本身又正比于同时所掠过的距离增量而反比于同一个时间间隔。所以,由于命题规定阻力正比于速度平方,阻力增量(由引理2)正比于速度与速度增量的乘积,即正比于距离的瞬与V-R的乘积;所以,如果给定距离增量正比于V-R;即,如果以PIGR表示力V,以任意其他面积Z表示阻力,则正比于PIGR-Z。
所以,面积PIGR按照给定的负瞬而均匀减小,而面积Y则以PIGR-Y的比率增大,面积Z按PIGR-Z的比率增大。所以,如果面积Y和Z是同时开始的,且在开始时是相等的,则它们通过增加相等的量而持续相等;而又以相似的方式减去相等的变化率而减小,并一同消失。反之,如果它们同时开始和消失,则它们有相同的瞬因而总是相等。因为,如果阻力Z增加,则摆体上升所掠过的弧Ca和速度都减少;而运动和阻力都消失的点向点C趋近,因而阻力比面积Y消失得快。当阻力减小时,则又发生相反的过程。
面积Z产生和消失于阻力为零之处,即运动开始处,弧CD等于弧CB,而直线RG落在直线QE上;以及运动终止处,弧CD等于弧Ca,而直线RG落在直线ST上。面积Y或
也产生和消失了阻力为零之处,所以在该处
和IGH相等。即(如图),在该处直线RG先后落在直线QE和ST上。所以这些面积同时产生和消失,因而总是相等。因此,面积
等于表示阻力的面积Z,它比表示重力的面积PINM,等于阻力比重力。
推论Ⅰ.在最低处所C,阻力比重力等于面积
比面积PINM。
推论Ⅱ.在面积PIHR比面积IEF等于OR比OQ处,阻力有最大值。因为在此情形下它的变化率(即,PIGR-Y)为零。
推论Ⅲ.也可以求出在各处的速度,它正比于阻力的平方根变化,而且在运动开始时等于在无阻力介质中沿相同摆线摆动的摆体速度。
但是,由于在本命题中求解阻力和速度很困难,我们拟补充下述命题。