修正以上求得的彗星轨道。
方法1.设轨道平面的位置是根据前一命题求出的;由极为精确的观测选出彗星的三个位置,它们相互间距离很大。设A表示第一次观测与第二次之间的时间间隔,B为第二与第三次之间的时间;以这二段时间中之一彗星位于其近日点为方便,或至少距它不太远。由所发现的这些视在位置,运用三角学计算,求出彗星在所设轨道平面上的实际位置;再由这些求得的位置,以太阳的中心为焦点,根据第一编命题21,运用算术计算画出圆锥曲线。令由太阳伸向所求出的位置的半径所掠过的曲线面积为D和E;即,D为第一次观测与第二次之间的面积,E为第二与第三次之间的面积;再令T表示由第一编命题16求出的以彗星速度掠过整个面积D+E所需的总时间。
方法2.保持轨道平面对黄道平面的倾斜不变,令轨道平面交会点的经度增大20′或30′,把它称做P。再由彗星的上述三个观测位置求出在这一新的平面上的实际位置(方法与以前一样);并且也求出通过这些位置的轨道,在两次观测间由同一半径掠过的面积,称为d和e;令t表示掠过整个面积d+e所需的总时间。
方法3.保持方法1中的交会点经度不变,令轨道平面对于黄道平面的倾角增加20′或30′,新的角称为Q。再由彗星的上述三个视在位置求出它位在这一新平面上的位置,并且也求出通过它们的轨道在几次观测之间掠过的两个面积,称为δ和ε;令T表示掠过总面积δ+ε所用的总时间。
然后,取C比1等于A比B;G比1等于D比E;g比1等于d比e;γ比1等于δ比ε;令S为第一与第三次观测之间的真实时间;适当选择符号+和-,求出这样的数m和n,使得2G-2C=mG-mg+nG-nγ;以及2T-2S=mT-mt+nT-nT成立。在方法1中,如果I表示轨道平面对黄道平面的倾角,K表示交会点之一的经度,则I+nQ为轨道平面对黄道平面的实际倾角,而K+mP表示交会点的实际经度。最后,如果在方法1,2和3中分别以量R,γ和ρ表示轨道的通径,以
表示轨道的横向直径,则R+mγ-mR+np-nR为实际通径,而
为彗星所掠过的实际轨道的横向直径;求出了轨道的横向直径也就可以求出彗星的周期。
完毕。
但彗星的环绕周期,以及其轨道的横向直径只能通过对不同时间出现的彗星加以比较才能足够精确地求出。如果,在经过相同的时间间隔后,发现几个彗星掠过相同的轨道,我即可以由此推断它们都是同一颗彗星,沿同一条轨道运行;然后由它们的环绕时间即可以求出轨道的横向直径,而由此直径即可以求出椭圆轨道本身。
为达到这一目的,需要计算许多彗星的轨道,并假设这些轨道是抛物线;因为这种轨道总是与现象近似吻合,不仅1680年彗星的抛物线轨道,我比较后发现与观测相吻合,而且类似于1664年和1665年出现的那颗著名彗星,经海威尔克的观测,并由他本人的观测计算出的经度和纬度,也都吻合,只是精度较低。但由哈雷博士根据相同观测再次算出的彗星位置;以及由这些新位置确定的轨道来看,该彗星的上升交会点在
55″;其轨道与黄道平面的交角为21°18′40″;在该彗星轨道上,近日点估计距交会点49°27′30″,其近日点位于
,日心南纬16°01′45″;彗星在伦敦时间旧历11月24日11时52分(下午),或但泽(Danzig)13时8分位于其近日点;如果设太阳到地球的距离包含100,000个部分,抛物线的通径为410,286。彗星在这一计算轨道上的近似位置与观测的吻合程度,体现在哈雷博士列出的表中。


1665年初的2月,白羊座的第一星,以下称之为γ,位于
,北纬7°8′58″;白羊座第二星位于
,北纬8°28′16″;另一颗第七星等的星,我称之为A,位于
,北纬8°28′33″。旧历2月7日7时30分在巴黎(即2月7日8时37分在但泽)该彗星与γ和A星构成三角形,直角顶点在γ;彗星到γ星的距离等于γ与A星的距离,即,等于大圆的1°19′46″;因而在平行γ星的纬度上它位于1°20′26″。所以,如果从γ星的经度中减去1°20′26″,则余下彗星的经度
。M·奥佐(14)由他的这一观测把彗星定位在
附近;而根据胡克博士绘制的彗星运动图,它当时位于
。我取这两端的中间值
。
奥佐根据同一观测认为彗星位于北纬7°4′或7°5′;但他如取彗星与γ星的纬度差等于γ星与A星的纬度差,即7°3′39″,将更好些。
2月22日7时30分在伦敦,即但泽的2月22日8时46分,根据胡克博士的观测和绘制的星图,以及M·派蒂特(15)依据M·奥佐的观测而以相同方式绘制的星图,彗星到A星的距离为A星到白羊座第一星间距离的1/5,或15′57″;彗星到A星与白羊座第一星连线的距离为同一个1/5距离的1/4,即4′,因而,彗星位于
,北纬8°12′36″。
3月1日伦敦7时0分,即但泽3月1日8时16分,观测到彗星接近白羊座第二星,它们之间的距离,比白羊座第一星与第二星之间的距离,根据胡克博士的观测,等于4比45,而根据哥第希尼(Gottignies)的观测,则为2比23。因而,胡克博士认为彗星到白羊座第二星的距离为8′16″,而哥第希尼认为是8′5″;或者,取二者的平均值,为8′10″。但根据哥第希尼,当时彗星已越出白羊座第二星一天行程的四或五分之一,即约1′35″(他与M·奥佐相当一致),或者,根据胡克博士,没有这么大,也许只有1′。因而,如果在白羊座第一星的经度上增加1′,而其纬度上增加8′10″,则得到彗星经度
,纬度为北纬8°36′26″。
3月7日巴黎7时30分,即但泽3月7日7时37分,M·奥佐观测到彗星到白羊座第二星的距离等于该星到A星的距离,即,52′29″;彗星与白羊座第二星的经度差为45′或46′,或者,取平均值,45′30″;故而,彗星位于
,在M·派蒂特依据M·奥佐的观测绘制的星图上,海威尔克测出彗星纬度为8°54′。但这位制图师没能准确把握彗星运动末端的轨道曲率;海维留在M·奥佐自己根据观测绘制的星图上校正了这一不规则曲率,这样,彗星纬度为8°55′30″。在进一步校正这种不规则性后,纬度变为8°56′或8°57′。
3月9日也曾发现过这颗彗星,当时它大约位于
,北纬
。
这颗彗星持续三个月可见。这期间它几乎掠过六个星座,有一天几乎掠过20°。它的轨迹偏离大圆极大,向北弯折,并在运动末期改为直线逆行;尽管它的轨迹如此不同寻常,上表所载表明,理论自始至终与观测相吻合,其精度不小于行星理论与观测值的吻合程度;但我们还应在彗星运动最快时减去约2′,在上升交会点与近日点的夹角中减去12′,或使该角等于49°27′18″。这两颗彗星(这一颗与前一颗)的年视差非常显著,这一视差值证明了地球在地球轨道上的年运动。
这一理论同样还由1683年的彗星运动得到证明,它出现了逆行,轨道平面与黄道平面几乎成直角,其上升交会点(根据哈雷博士的计算)位于
;其轨道平面与黄道交角为83°11′;近日点位于
;如果地球包含100,000部分,则其近日点到太阳距离为56,020;它到达近日点时间为7月2日3时50分。哈雷博士计算的彗星到轨道上位置与弗莱姆斯蒂德观测值在下表中比较列出。

这理论还得到了1682年彗星的逆行运动的进一步印证。其上升交会点(根据哈雷博士的计算)位于
;轨道平面相对于黄道平面交角为17°56′00″;近日点为
2°52′50″;如果地球轨道半径为100,000部分,其近日点到太阳距离为58,328。彗星到达近日点时间为9月4日7时39分。弗莱姆斯蒂德先生的观测位置与我们的理论计算值对比列于下表:

1723年出现的彗星逆行运动也证明了这一理论。该彗星的上升交会点(根据牛津天文学萨维里(Savilian)讲座教授布拉德雷(16)先生的计算)为
,轨道与黄道平面交角49°59′。其近日点位于
,如果取地球轨道半径包含1,000,000个部分,其近日点距太阳998,651,达到近日点时间为9月16日16时10分。布拉德雷先生计算的彗星在轨道上位置,与他本人,他的叔父庞德先生,以及哈雷博士的观测位置并列于下表中。


这些例子充分证明,由我们的理论推算出的彗星运动,其精度绝不低于由行星理论推算出的行星运动;因而,运用这一理论,我们可以算出彗星的轨道,并求出彗星在任何轨道上的环绕周期;至少可以求出它们的椭圆轨道横向直径和远日点距离。
1607年的逆行彗星,其轨道的上升交会点(根据哈雷博士的计算)位于
;轨道平面与黄道平面交角为17°2′;其近日点位于
;如果地球轨道半径包含100,000部分,则其近日点到太阳距离为58,680;彗星到达近日点时间为10月16日3时50分;这一轨道与1682年看到的彗星轨道极为一致。如果它们不是两颗不同的彗星,而是同一颗彗星,则它在75年时间内完成一次环绕;其轨道长轴比地球轨道长轴等于
比1,或近似等于1778比100。该彗星远日点到太阳的距离比地球到太阳的平均距离约为35比1;由这些数据即不难求出该彗星的椭圆轨道。但所有这些的先决条件是假定经过75年的间隔后,该彗星将沿同一轨道回到原处,其他彗星似乎上升到更远的深处,所需要的环绕时间也更长。
但是,因为彗星数目很多,远日点到太阳的距离又很大,它们在远日点的运动又很慢,这使得它们相互间的引力对运动造成干扰;轨道的偏心率和环绕周期有时会略为增大,有时会略为减小。因而,我们不能期待同一颗彗星会精确地沿同一轨道以完全相同的周期重现:如果我们发现这些变化不大于由上述原因所引起者,即足以使人心满意足了。
由此又可以对为什么彗星不像行星那样局限在黄道带以内,而是漫无节制地以各种运动散布于天空各处做出解释;即,这样的话,彗星在远日点处运动极慢,相互间距离也很大,他们受相互间引力作用的干扰较小:因此,落入最低处的彗星,在其远日点运动最慢,而且也应上升得最高。
1680年出现的彗星在其近日点到太阳的距离尚不到太阳直径的六分之一;因为它的最大速度发生于这一距太阳最近点,以及太阳大气密度的影响,它必定在此遇到某种阻力而减速;因而,由于在每次环绕中都被吸引得更接近于太阳,最终将落入太阳球体之上。而且,在其远日点,它运动最慢,有时更会进一步受到其他彗星的阻碍,其结果是落向太阳的速度减慢。这样,有些恒星,经过长时间地放出光和蒸汽的消耗后,会因落入它们上面的彗星而得到补充;这些老旧的恒星得到新鲜燃料的补充后即变为新的恒星,并焕发出新的亮度。这样的恒星是突然出现的,开始时光彩夺目,随后即慢慢消失。仙女座出现的正是这样一颗恒星;1572年11月8日的时候,考尔耐里斯·杰马(Cornelius Gemma)还不曾看到它,虽然那天晚上他正在观测这片天空,而天空完全晴朗;但次日夜(11月9日)他看到它比任何其他彗星都明亮得多,不亚于金星的亮度。同月11日第谷·布拉赫也看到它,当时它正处于最大亮度;那以后他发现它慢慢变暗;在16个月的时间里即完全消失。在11月里它首次出现时,其光度等于金星,12月时亮度减弱了一些,与木星相同。1573年1月,它已小于木星,但仍大于天狼星(Sirius),2月底3月初时与天狼星相等。在4月和5月时它等于第二星等;6、7、8月里为第三星等;9、10和11月,第四星等;12月和1574年1月为第五星等;2月为第六星等;3月完全消失。开始时其色泽鲜艳明亮,偏向于白光;后来有点发黄;1573年3月变为红色,与火星或Aldebaran相同;5月时变为灰白色,像我们看到的土星;以后一直保持这一颜色,只是越来越暗。巨蛇座(Serpentarius)右足上的星也是这样,开普勒的学生在旧历1604年9月30日观测到它,当时亮度超过木星,虽然前一天夜里还没见过它;自那时起它的亮度慢慢减弱,经过15或16个月后完全消失。据说正是一颗这样的异常亮星促使希帕克观测恒星,并绘制了恒星星表。至于另一些恒星,它们交替地出现,隐没,亮度逐渐而缓慢地增加,又很少超过第三星等,似乎属于另一种类,它们绕自己的轴转动,具有亮面与暗面,交替地显现这两个面。太阳、恒星、和彗尾所放出的蒸汽,最终将在引力作用下落入行星大气,并在那里凝结成水和潮湿精气;由此再通过缓慢加热,逐渐形成盐、硫磺、颜料、泥浆、土壤、沙子、石头、珊瑚,以及其他地球物质。
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(1) Horrox,Jeremiah(1618—1641),又作Horrocks。英国天文学家。——译者注。
(2) 在今印度。——译者注。
(3) 在今缅甸。——译者注。
(4) fluxion,流数,为牛顿所采用的量。——译者注。
(5) Flamsteed,John(1646—1719),英国天文学家,以精密观测著称。——译者注。
(6) J. B. Cysat(1586—1657),瑞士天文学家。——译者注。
(7) 英译本为ABCI,当误。——译者注。
(8) Bayer,Johan,(1572—1625),德国天文学家。——译者注。
(9) Gottfried Kirch,(1639—1710),德国天文学家。他与他的妻子、儿子、女儿都是著名天文学家。——译者注。
(10) 恺撒于公元前44年3月被刺杀。——译者注。
(11) 英译本误作
。——译者注。
(12) Montenari, Geminiano,(1633-1687),意大利天文学家。——译者注。
(13) 即猎户座。——译者注。
(14) Auzout, Adrien,(1622—1691),法国天文学家。——译者注。
(15) Petit, Pierre,(1594—1677),法国天文学家、数学家。——译者注。
(16) Bradley, James,(1693—1762),英国天文学家。——译者注。