命题88 定理45

如果任意物体中相等粒子的吸引力正比于到该粒子的距离,则整个物体的力指向其重心;对于由相似且相等物质构成,且球心在重心上的球体,它的力情况相同。

令物体RSTV的粒子A,B以正比于距离AZ,BZ的力吸引任意小球Z,二粒子是相等的;如果它们不相等,则力共同正比于这些粒子与距离AZ,BZ,或者(如果可以这样说的话)正比于这些粒子分别乘以它们的距离AZ,BZ。以A·AZ和B·BZ表示这些力。连接AB,并在G被分割,使AG比BG等于粒子B比粒子A;则G为A和B二粒子的公共重心。力A·AZ可以(根据运动定律推论Ⅱ)分解为力A·GZ和A·AG;而力B·BZ可以分解为B·GZ和B·BG。因为A垂直于B,BG垂直于AG,力A·AG与B·BG相等,所以沿相反方向作用而相互抵消。只剩下力A·GZ和B·GZ。它们由Z指向中心G,复合为力(A+B)·GZ;即,它等同于吸引粒子A和B一同置于其公共重心上组成一只较小的球体所产生的力。

由相同理由,如果加上第三个粒子C,它的力与指向中心G的力(A+B)·GZ复合,形成指向位于G的球体与粒子C的公共重心的力;即指向三个粒子A,B,C的公共重心;等同于该球体与粒子C同置于它们的公共重心组成一更大的球体;可以照此类推至于无限。所以任意物体RSTV的所有粒子的合力与该物体保持其重心不变而变为球体形状后相同。

证毕。

推论.被吸引物体Z的运动与吸引物体RSTV变为球体后相同;所以,不论该吸引物体是静止,还是做匀速直线运动,被吸引物体都将沿中心在吸引物体重心上的椭圆运动。