第2章

向心力的确定

命题1 定理1

作环绕运动的物体,其指向力的不动中心的半径所掠过的面积位于同一不动的平面上,而且正比于画出该面积所用的时间。

设时间分为相等的间隔,在第一时间间隔里物体在其惯性力作用下扫过直线AB。在第二时间间隔里,物体将(由定律Ⅰ)沿直线Bc一直运动到c,如果没阻碍的话,Bc等于AB,所以由指向中心的半径AS,BS,cS,可以得到相等的面积ASB,BSc。但当物体到达B时,设向心力立即对它施以巨大推斥作用,使它偏离直线Bc,迫使它沿直线BC运动。作cC平行BS,与BC相交于C,在第二时间间隔最后,物体(由定律推论Ⅰ)将出现在C,与三角形ASB处于同一平面,连接SC,由于SB与Cc平行,三角形SBC面积等于三角形SBc,所以也等于三角形SAB,由于同样理由,向心力依次作用于C,D,E等点,并使物体在每一个时间间隔内画出直线CD,DE,EF等,它们都处于同一平面。而且三角形SCD等于三角形SBC,SDE等于SCD,SEF等于SDE。所以,在相同时间里,在不动平面上画出相等面积:而且由命题,这些面积的任意的和SADS,SAFS都分别正比于它们的时间。现在,令这些三角形的数目增加,它们的底宽无限减少;(由引理3推论Ⅳ)它们的边界ADF将成为一条曲线:所以向心力连续使物体偏离该曲线的切线;而且,任意扫出的面积SADS,SAFS原先是正比于扫出它们所用时间的,在此情形下仍正比于所用时间。

证毕。

推论Ⅰ.被吸引向不动中心的物体的速度,在无阻力的空间中,反比于由中心指向轨道切线的垂线。因为在处所A,B,C,D,E的速度可以看做是全等三角形的底AB,BC,CD,DE,EF,这些底反比于指向它们的垂线。

推论Ⅱ.如果两段弧的弦AB,BC相继由同一物体在相等时间里画出,在无阻力空间中,作平行四边形ABCV,则该平行四边形的对角线BV,在对应弧长无限缩小时所获得的位置上延长,必定通过力的中心。

推论Ⅲ.如果弧的弦AB,BC与DE,EF在相等时间内画出,在无阻力空间中,作平行四边形ABCV,DEFZ,则在B和E点的力之比与对应弧长无限缩小时对角线BV,EZ的最后比相同。因为物体沿BC和EF的运动是(由本定律推论Ⅰ)沿Bc,BV和Ef,EZ运动的复合;但在本命题证明中,BV和EZ等于Cc和Ff,是由于向心力在B和E点的推斥作用产生的,所以正比于这些推斥作用。

推论Ⅳ.无阻力空间中使物体偏离直线运动并进入曲线轨道的力,正比于相等时间里所画出的弧的正矢,该正矢指向力的中心,并在弧长无限缩小时等分对应弦长。因为这些正矢是推论Ⅲ中对角线的一半。

推论Ⅴ.所以,这种力与引力的比,正如所讨论的正矢与抛体在相同时间内画出的抛物线弧上垂直于地平线的正矢的比。

推论Ⅵ.当物体运动所在平面,以及置于该平面上的力的中心不是静止的,而且做匀速直线运动的,上述结论(按定律推论Ⅴ)依然有效。