命题53 问题35

已知曲线图形的面积,求使物体沿给定曲线作等时摆动的力。

令物体T沿任意给定曲线STRQ摆动,曲线的轴AR通过力的中心C。作TX与曲线相切于物体T的任意处所,并在该切线TX上取TY等于弧长TR。该弧长可用普通方法由图形面积求得。由点Y作直线YZ垂直于切线,作CT与YZ相交于Z,则向心力将正比于直线TZ。

完毕。

因为,如果把物体由T吸引向C的力以正比于它的直线TZ来表示,则该力可以分解为两个力TY,YZ,其中YZ沿细绳PT的长度方向拉住物体,对其运动变化完全没有作用,而另一个力TY直接沿曲线STRQ方向对物体的运动加速或减速。所以,由于该力正比于将要掠过的空间TR,掠过二次摆动的两个成正比部分(一个较大,一个较小)的物体的加速或减速,将总是正比于这些部分,因而同时掠过这些部分。而在相同时间内连接掠过正比于整个摆程的部分的物体,将在相同时间内掠过整个摆程。

证毕。

推论Ⅰ.如果物体T由直细绳AT悬挂在中心A,掠过圆弧STRQ,同时受平行向下的任意力的作用,该力与均匀重力的比等于弧TR比其正弦TN,则各种摆动的时间相等。因为,TZ,AR相等,三角形ATN,ZTY相似,所以TZ比AT等于TY比TN;即,如果均匀的重力由给定长度AT表示,则使摆动等时的力TZ比重力AT等于与TY相等的弧长TR比该弧的正弧TN。

推论Ⅱ.在时钟里,如果通过某种机械把力加在维持运动的摆上,并将它与重力这样复合,使得指向下的合力总是正比于一条直线,该直线等于弧TR与半径AR的乘积除以正弦TN,则整个摆动具有等时性。