由三个已知点向第四个未知点作三条直线,使其差或为已知,或为零。

情形1.令已知点为A,B,C,而Z是第四个要找出的点,由于直线AZ,BZ的差是给定的,点Z的轨迹将是双曲线,其焦点是A和B,主轴是给定的差,令该主轴为MN,取PM比MA等于MN比AB,作PR垂直于AB,并作PR的垂线ZR;则由双曲线特性知,ZR:AZ=MN:AB。由类似的理由,点Z的轨迹是另一条双曲线,其焦点是A,C,主轴是AZ与CZ的差,作QS垂直于AC,对QS而言,如果由双曲线上任意一点Z作垂线ZS,则ZS比AZ等于AZ与CZ的差比AC。所以,ZR与ZS对AZ的比值是已知的,因而ZR比ZS的值也是已知的。所以,如果直线PR,SQ相交于T,作TZ和TA,则图形TRZS类型已知,而点Z位于其上的直线TZ位置也就给定。而直线TA与角ATZ也将给定;因为AZ与TZ比ZS的值已给定,它们之间的比也就给定,类似地三角形ATZ也可给定,其顶点是点Z。
证毕。
情形2.如果这三条直线中的两条,如AZ和BZ,是相等的,作直线TZ平分直线AB,再用与上述相同方法找出三角形ATZ。
证毕。
情形3.如果三条直线均相等。点Z将位于通过点A,B,C的圆周的圆心上。
证毕。
本引理中问题在维埃特(1)收编的[佩尔吉的]阿波罗尼奥斯(2)《论切触》(Book of Tactions of Apollonius [of Perga])中作了类似解决。