命题77 定理37

如果球心各点的向心力正比于这些点到被吸引物体的距离,则两个相互吸引的球的复合力正比于二球心间的距离。

情形1.令AEBF为一个球体,S是其中心;P是被它吸引的小球;PASB为球体通过小球中心的轴;EF,ef是分割球体的两个平面,与该轴垂直,而且在球的两边到球心的距离相等;G和g是二平面与轴的交点;H是平面EF上任意一点。点H沿直线PH方向作用于小球P的向心力正比于距离PH;而(由运动定律推论Ⅱ)沿直线PG方向或指向球心S的力,也正比于长度PG。所以,平面EF上所有点(即整个平面)向中心S吸引小球P的力正比于距离PG乘以这些点的数目,即正比于由平面EF和距离PG构成的立方体。由相似方法,使小球P被吸引向球心S的平面ef的力,正比于该平面乘以其距离Pg,或正比于相等平面EF乘以距离Pg;这两个平面的力的和正比于平面EF乘以距离的和PG+Pg,即正比于该平面乘以中心到小球距离PS的二倍;即正比于平面EF的二倍乘以球心到小球距离PS,或正比于相等平面EF+ef乘以相同距离。而由类似理由,整个球体上球心两边到球心距离相同的所有平面的力,都正比于这些平面的和乘以距离PS,即正比于整个球体与距离PS的乘积。

证毕。

情形2.设小球P也吸引球体AEBF。由相同理由,则使球体被吸引的力也正比于距离PS。

证毕。

情形3.设另一球体包含无数小球P。因为使每个小球被吸引的力正比于小球到第一个球心的距离,同样也正比于第一个球,因而这个力好像是从一个位于球心的小球所发出的一样。则使第二个球体中所有小球被吸引的力,即整个第二个球被吸引的力,也如同是受到位于第一个球心的小球所发生的吸引力一样;所以正比于两个球心之间的距离。

证毕。

情形4.令两球相互吸引,则吸引力加倍,但比例不变。

证毕。

情形5.令小球P置于球体AEBF内,因为平面ef作用于小球的力正比于该平面与距离pq所围成的立方体;而平面EF的相反的力正比于它与距离PG所围成的立方体;二者的复合力正比于两个立方体的差,即正比于两个相等平面的和乘以距离的差的一半;即,正比于该和乘以pS,小球到球心的距离。而且,由类似理由,通过整个球体的所有平面EF,ef的吸引力,即,整个球体的吸引力,正比于所有平面的和,或正比于整个球体,也正比于pS,小球到球体中心的距离。

证毕。

情形6.如果由无数小球p组成的新球体置于第一个球体AEBF之内,可以证明,与前述相同,不论是一个球体吸引另一个,或是二者相互吸引,吸引力都正比于二球心的距离pS。

证毕。