命题13 问题8

如果物体沿抛物线运动,求指向该图形焦点的向心力的定律。

保留上述引理的图,令P为沿抛物线运动的物体,Q为物体即将到达点。作QR平行于SP,QT垂直于SP,再作Qv平行于切线,与直径PG交于v,与距离SP交于x。因为三角形Pxv,SPM相似,SP与SM是同一三角形的相等边,另一三角形的边Px或QR与Pv也相等,但(因为是圆锥曲线)纵坐标Qv的平方等于由通径与直径小段Pv组成的矩形,即(由引理13)等于矩形4PS·Pv或4PS·QR;当点P与Q重合时,(由引理7推论Ⅱ)Qx=Qv。所以,在这种情形下,Qx2等于矩形4PS·QR。但(因为三角形QxT,SPN相似),

(由引理14推论Ⅰ)=4PS·QR:4SA·QR

所以,由(欧几里得《几何原本》第五卷命题9),QT2=4SA·QR。该等式两边同乘,则将等于SP2·4SA:所以,(由命题6推论Ⅰ和Ⅴ)向心力反比于SP2·4SA,即,由于4SA是常数,反比于距离SP的平方。

完毕。

推论Ⅰ.由上述三个命题可知,如果任意物体P在处所P以任意速度沿任意直线PR运动,同时受到一个反比于由该处所到其中心的向心力的作用,则物体将沿圆锥曲线中的一种运动,曲线的焦点就是力的中心;反之亦然,因为焦点、切点和切线已知,圆锥曲线便决定了,切点的曲率也就给定了,而曲率决定于向心力和给定的物体速度。相同的向心力和相同的速度不可能给出两条相切的轨道。

推论Ⅱ.如果物体在处所P的速度这样给定,使得在无限小的时间间隔里通过小线段PR,而向心力在相同时间里使物体通过空间QR,则物体沿圆锥曲线中的一条运动,其通径在小线段PR,QR无限减小的极限状态下为。在这两个推论中,我把圆周当做椭圆,并排除了物体沿直线到达中心的可能性。