在相同条件下,如果按几何级数取阻力与重力的合力,则物体上升或下落所掠过的距离,正比于表示时间的面积与另一个按算术级数增减的面积的差。

取AC(在三个图中)正比于重力,AK正比于阻力;如果物体上升,这二者取在点A的同侧,如果物体下落,则取在两侧。作垂线Ab,使它比DB等于DB2比4BA·CA;以CK,CH为直角渐近线作双曲线bN;再作KN垂直于CK,则面积AbNK在力CK按几何级数取值时按算术级数增减,所以,物体到其最大高度的距离正比于面积AbNK减去面积DET的差。
因为AK正比于阻力,即,正比于AP2·2BA·AP;设任意给定量Z,取AK等于
;则(由本编引理2)AK的瞬KL等于
或者
,而面积AbNK的瞬等于
或者
。
情形1.如果物体上升,重力正比于AB2+BD2,BET是一个圆,则正比于重力的直线AC等于
,而DP2或AP2+2BA·AP+AB2+BD2等于AK·Z+AC·Z或CK·Z;所以面积DTV比面积DPQ等于DT2或DB2比CK·Z。
情形2.如果物体上升,重力正比于AB2-BD2,则直线AC等于
,而DT2比DP2等于DF2或DB2比BP2-BD2或AP2+2BA·AP+AB2-BD2,即,比AK·Z+AC·Z或CK·Z。所以面积DTV比面积DPQ等于DB2比CK·Z。
情形3.由相同理由,如果物体下落,因而重力正比于BD2-AB2,直线AC等于
;则面积DTV比面积DPQ等于DB2比CK·Z,与前述相同。
所以,由于这些面积总是取这同一个比值,如果不用不变的面积DTV表示时间的瞬,而代之以任意确定的矩形BD·m,则面积DPQ,即
比BD·m等于CK·Z比BD2,因而PQ·BD3等于2BD·m·CK·Z,而以前求出的面积AbNK的瞬KLON变成
。由面积DET减去它的瞬DTV或BD·m,则余下
。所以,瞬的差,即面积的差的瞬,等于
;所以(因为
是给定量)正比于速度AP;即正比于物体在上升或下落中掠过距离的瞬。所以,二面积的差,与正比于瞬,且与之同时开始又同时消失的距离的增减,是成正比的。
证毕。
推论.如果以M表示面积DET除以直线BD所得到的长度;再取一个长度V,使它比长度M等于线段DA比线段DE;则物体在有阻力介质中上升或下落的总距离,比在无阻力介质中相同时间内由静止开始下落的距离,等于上述面积差比
;因而可以由给定时间求出。因为在无阻力介质中距离正比于时间的平方,或正比于V2;又因为BD与AB是已知的,也即正比于
。该面积等于面积
的瞬是m;所以该面积的瞬是
。而该瞬比上述二面积DET与AbNK的差的瞬,即比
,等于
比
,或等于
乘以DET比DAP;所以,当面积DET与DAP极小时,比值为1。所以,当所有这些面积都极小时,面积
以及面积DET与AbNK的差,有相等的瞬;所以二者相等,由于在下落开始与上升终了时的速度,因而在两种介质中所掠过的距离,是趋于相等的,所以二者相比等于面积
比面积DET与AbNK的差;而且,由于在无阻力介质中距离连续正比于
,而在有阻力介质中,距离连续正比于面积DET与AbNK的差;由此必然推导出在二种介质中,相同时间内所掠过的距离的比,等于面积
比面积DET与AbNK的差。
证毕。
