求月球运动的无偏心率轨道的直径。

如果物体沿垂直于轨道的方向受到吸引,则它掠过的轨道,其曲率正比于该吸引力,反比于速度的平方,我取曲线曲率相互间的比,等于相切角的正弦或正切与相等的半径的最后的比,在此设这些半径是无限缩小的。月球在朔望点对地球的吸引,是它对地球的引力减去太阳引力2PK后的剩余(见命题25插图),后者则为月球与地球指向太阳的加速引力的差。而在方照点时,该吸引力是月球指向地球的引力与太阳力KT的和,后者使月球趋向于地球。设N等于
,则这些吸引力近似正比于
和
,或正比于178725N·CT2-2000AT2·CT,和178725N·AT2+1000CT2·AT。因为,如果月球指向地球的加速引力可以数178725表示,则把月球拉向地球的,在方照点为PT或TK的平均力ML,即为1000,而在朔望点的平均力TM即为3000;如果由这个力中减去平均力ML,则余下2000,这正是我们在前面称之为2PK的在朔望点把月球自地球拉开的力。但月球在朔望点A和B的速度比其在方照点C和D的速度等于CT比AT,与月球由伸向地球的半径在朔望点掠过面积的变化率,比在方照点掠过面积的变化率的乘积;即,等于11073CT比10973AT。将该比式倒数的平方乘以前一个比式,则月球轨道在朔望点的曲率比其在方照点的曲率,等于120,406,729·178725AT4·CT2·N-120,406,729·2000AT2·CT比122,611,329·178,725AT2·CT2·N+122,611,329·1000CT4·AT,即,等于2,151,969AT·CT·N-24,081AT3比2,191,371AT·CT·N+12,261CT3。
因为月球轨道形状是未知的,我们可以先设它为椭圆DBCA,地球位于它的中心,且长轴DC在方照点之间,短轴AB在朔望点之间。由于该椭圆平面以一个角运动绕地球转动,我们要求其曲率的轨道应在一个不含这种运动的平面上画出,我们应考虑月球在这一平面上运动时画出的轨道的形状,也就是说,应考虑图形Cpa,其上的每一个点p应这样求得:设P为椭圆上表示月球位置的点,作Tp等于TP,并使得角PTp等于太阳自最后一个方照点C以来的视在运动;或者(等价地)使得角CTp比CTD等于月球的会合环绕时间比它环绕周期,或等于29天12小时44分比27天7小时43分。所以,如我们取角CTa比直角CTA等于该比值,并取Ta长度与TA相等,即可使a位于轨道Cpa的上回归点,C位于上回归点。但我通过计算发现,该轨道Cpa在顶点a的曲率与以TA为间隔,以T为中心的圆的曲率的差,比该椭圆在顶点A的曲率与同一个的曲率的差,等于角CTP与角CTp的比的平方;而椭圆在A的曲率比圆的曲率等于TA与TC的比的平方;该圆的曲率比以T为中心以TC为半径的圆的曲率等于TC比TA;但后一圆的曲率比椭圆在C的曲率等于TA与TC的比的平方;而椭圆在顶点C的曲率与后一圆的曲率的差,比图形Tpa在顶点C的曲率与同一个圆的曲率的差,等于角CTp与角CTp的比的平方。所有这些关系都易于从切角及其差的正弦导出。但对这些比式作比较,我们即发现,图形Cpa在a处的曲率比其C处的曲率等于
比
AT2·CT;在此,数
表示角CTP与CTp的平方差再除以较小的角CTP的平方;或表示(等价地)时间27天7小时43分与29天12小时44分的平方差除以时间27天7小时43分的平方。
所以,由于a表示月球的朔望点,C表示方照点,上述比值必定等于上面求出的月球轨道在朔望点的曲率与在方照点的曲率的比值。所以,为求出比值CT比AT,可将所得到比式的外项与中项相乘,再除以AT·CT,得到如下方程:2062.79CT4-2,151,969N·CT3+368,676N·AT·CT2+36,342AT2·CT2-362,047N·AT2·CT+2,191,371N·AT3+4051.4AT4=0。如果令项AT与CT的和N的一半为1,x是它们的差的一半,则CT=1+x,AT=1-x。把这些值代入方程,求解以后得x=0.00719;因此,半径CT=1.00719,半径AT=0.99281,这两个数的比大约等于
比
。所以月球在朔望点到地球的距离比其在方照点的距离(不考虑偏心率)等于
比
;或者取整数比,等于69比70。