命题41 问题28

设任意类型的向心力,以及曲线图形的面积均为已知;求物体在其上运动的曲线,以及沿此曲线运动的时间。

令任意向心力指向中心C,要求出曲线VIKR。有一已知圆VR,其中心是C,任意半径是CV;由同一中心作另两个任意圆ID,KE,与曲线相交于I和K,与直线CV相交于D和E。然后作直线CNIX与圆KE,VR相交于N和X,作直线CKY与圆VR相交于Y。令点I与K无限接近;令物体由V通过I和K运动到k;再令点A为另一物体开始下落的处所,使到达D时的速度等于第一个物体在I的速度。以下方法与命题39相同,在最短给定时间内掠过的短线段IK将正比于该速度,因而也正比于其平方等于面积ABFD的直线,所以正比于时间的三角形ICK可以求出,所以KN反比于高度IC;即(如果给定任意量Q,高度IC等于A),正比于。令该量等于Z,设Q的大小在某一情形下使得

则在所有情形下

由减法,

所以,

由于

所以有

所以,在垂线DF上分别连续取Db,Dc等于,画出曲线abac,焦点bc,再由点V作直线AC的垂线Va,分割曲线面积VDba,VDca,并画出纵坐标Ez,Ex。因为乘积Db·IN或DbzE等于乘积A·KN的一半,或等于三角形ICK;而乘积DC·IN或DcxE等于乘积YX·XC的一半,或等于三角形XCY;即,因为VDba,VIC的新生面积元Dbze,ICK总是相等,而VDca,VCX的新生面积元DcxE,XCY总是相等:所以产生的面积VDba将等于产生的面积VIC,因而正比于时间,而产生的面积VDca等于产生的扇形VCX。所以,如果给定任意时间,其间物体由V开始运动,则正比于该时间的面积VDba也就给定,因而物体的高度CD或CI也就给定,面积VDca和与之相等的扇形VCX以及扇形张角VCI也都给定。而由已知的角VCI,高度CI,也可以求知物体在该时间之末时的处所。

完毕。

推论Ⅰ.因此,很容易找出物体的最大和最小高度,即曲线的回归点。因为当直线IK与NK相等时,即面积ABFD等于ZZ时,回归点通过由中心作向曲线VIK的垂线IC。

推论Ⅱ.也容易求出曲线在任意处所与直线IC的夹角KIN:通过给定的物体的高度IC,即通过使该角的正弦比半径等于KN比IK,也就是等于Z比面积ABFD的平方根。

推论Ⅲ.如果通过中心C和顶点V作一条圆锥曲线VRS,由其上任意一点,如R,作切线RT与主轴CV的延长线交于点T,连接CR。作直线CP等于横坐标CT,使角VCP正比于扇形VCR;如果指向中心的向心力反比于物体到中心距离的立方,且由处所V以适当速度沿垂直于直线CV的方向抛出一物体,则该物体总是沿着点P所在的曲线VPQ运动;如果圆锥曲线VRS是双曲线,则物体将落入中心;但如果它是椭圆,物体将连续升高,越来越远直至无限。反之,如果物体以任意速度脱离处所V,则根据它是直接落向中心,或是直接脱离而去,可判明图形VRS是双曲线或椭圆,该曲线可以给定比率增大或减小角VCP求出。在向心力变成离心力时,物体将直接沿曲线VPQ离去,该曲线可以取角VCP正比于椭圆扇形VRC,取长度CP等于长度CT,由上述相同方法求出。所有这些都可由上述命题通过某一曲线的面积求出,其方法十分容易,为求简捷在此从略。