附注

为由实验求出阻力,我制作了一个方形木桶,其内侧长和宽均为9英寸,深英尺,盛满雨水;又制备了一些包含有铅的蜡球,我记录了这些球下落的时间,下落高度为112英寸。1立方英尺雨水重76镑;1立方英寸雨水重盎司,或谷;直径1英寸的水球在空气中重132.645谷,在真空中重132.8谷;其他任意球体的重量正比于它在真空中的重量超出其在水中重量的部分。

实验1.一个在空气中重谷的球,在水中重77谷,在4秒钟内掠过全部112英寸高度。经多次重复这一实验,该球总是需用完全相同的4秒钟。

该球在真空中重谷;该重量超出其在水中的重量部分为谷。因此球的直径为0.84224英寸。水的密度比该球的密度,等于该出超部分比球在真空中的重量;而球直径的部分(即2.24597英寸)比距离2F也等于该值,所以2F应为4.4256英寸。现在,该球在真空中以其全部重量谷向下落,一秒钟内掠过英寸;而在无阻力的水中以其重量77谷在相同时间内掠过95.219英寸;它在掠过2.2128英寸的G时刻获得它在水中下落所可能达到的最大速度H,而时间G比一秒钟等于距离F2.2128英寸与95.219英寸之比的平方根。所以时间G为0.15244秒。而且,在该时间G内,球以该最大速度H可掠过距离2F,即4.4256英寸;所以球4秒钟内将掠过116.1245英寸的距离。减去距离1.3862944·F,或3.0676英寸,则余下113.0569英寸的距离,这就是球在盛于极宽容器中的水里下落4秒钟所掠过的距离。但由于上述木桶较窄,该距离应按一比值减小,该比值为桶口比它超出球大圆的一半的差值的平方根,乘以桶口比它超出球大圆的差值,即等于1比0.9914。求出该值,即得到112.08英寸距离,它是球在盛于该木桶中的水里下落4秒钟所应掠过的距离,应与理论计算接近,但实验给出的是112英寸。

实验2.三个相等的球,在空气和水中的重量分别为谷和谷,令它们先后下落;在水中每个球都用15秒钟下落掠过112英寸高度。

通过计算.每个球在真空中重谷;该重量超出其在水中重量部分为谷;球直径为0.81296英寸;该直径的部分为2.16789英寸;距离2F为2.3217英寸;在无阻力水中,重谷的球一秒钟内掠过的距离为12.808英寸,求出时间G为0.301056秒。所以,一个球体以其谷的重量在水中下落所能获得的最大速度,在时间0.301056秒内掠过距离2.3217英寸;在15秒内掠过115.678英寸。减去距离1.3862944F,或1.609英寸,余下距离114.069英寸;所以这就是当桶很宽时球在相同时间内所应掠过的距离。但由于桶较窄,该距离应减去0.895英寸。所以该距离余下113.174英寸,这就是球在这个桶中15秒钟内所应下落的近似距离。而实验值是112英寸。差别不大。

实验3.三个相等的球,在空气和水中分别重121谷和1谷,令其先后下落;它们分别在46秒、47秒和50秒内通过112英寸的距离。

由理论计算,这些球应在约40秒内完成下落。但它们下落得较慢,其原因究竟是在较慢的运动中惰性力产生的阻力在其他原因产生的阻力中所占比例较小;或是由于小水泡妨碍球的运动;或是由于天气或放之下沉的手较温暖而使蜡稀疏;或者,还是因为在水中称量球体重量有未察觉的误差,我尚不能肯定。所以,球在水中重量应有若干谷,这时实验才有明确而可靠的结果。

实验4.我是在得到前述几个命题中的理论之前开始上述流体阻力的实验研究的。其后,为了对所发现的理论加以检验,我又制作了一个木桶,其内侧宽英寸,深英尺。然后又制作了四个包含着铅的蜡球,每一个在空气中重量都是谷,在水中重谷。把它们放入水中,并用一只半秒摆测定下落时间。球是冷却的,并在称量和放入水中之前已冷却多时;因为温暖会使蜡稀疏,进入减少球在水中的重量;而变得稀疏的蜡不会因为冷却而立即恢复其原先的密度。在放之下落之前,先把它们都没入水中,以免其某一部分露出水面而在开始下落时产生加速。当它们投入水中并完全静止后,极为小心地放手令其下落,以免受到手的任何冲击。它们先后以和51次摆动的时间下落掠过15英尺又2英寸的高度。但实验时的天气比称量时略寒冷,所以我后来又重做了一次;这一次的下落时间分别是和53次;第三次实验的时间是和53次摆动。经过几次实验,我认为下落时间以和50次摆动最常出现。下落较慢的情况,可能是由于碰到桶壁而受阻造成的。

现在按我们的理论来计算。球在真空中重谷;该重量超出其在水的重量谷;球直径为0.99868英寸;该直径的部分为2.66315英寸;距离2F为2.8066英寸;重谷的球在无阻力的水中一秒钟可以掠过9.88164英寸;时间G为0.376843秒。所以,球在其重量谷的力作用下,以其在水中下落所能获得的最大速度运动,在0.376843秒内可以掠过2.8066英寸长的距离,一秒内可以掠过7.44766英寸。

25秒或50次摆动内,距离为186.1915英寸。减去距离1.386294F,或1.9454英寸,余下距离184.2461英寸,这便是该球体在该时间内在极大的桶中所下落的距离。因为我们的桶较窄,令该空间按桶口比该桶口超出球大圆的一半的平方,乘以桶口比桶口超出球大圆的比值缩小;即得到距离181.86英寸,这就是根据我们的理论,球应在50次摆动时间内在桶中下落的近似距离。而实验结果是,在或50次摆动内,掠过距离182英寸。

实验5.四个球在空气中重,水中重谷,下落时间为和30次,有几次是31,32和33次摆动,掠过的高度为15英尺2英寸。

按理论计算它们的下落时间应为大约29次摆动。

实验6.五个球,在空气中重谷,水中重谷,几次下落时间为,16,17和18次摆动,掠过高度为15英尺2英寸。

按理论计算它们的下落时间应为大约15次。

实验7.四个球,在空气中重谷,水中重谷,几个下落时间为和33次摆动,掠过高度为15英尺英寸。

按理论计算,它们的下落时间应为约28次摆动。

这些球重量相同,下落距离相同,但速度却有快有慢,我认为原因如下:当球被释放并开始下落时,会绕其中心摆动,较重的一侧最先下落,并产生一个摆动运动。较之完全没有摆动的下沉,球通过其摆动传递给水较多的运动;而这种传递使球自身失去部分下落运动;因而随着这种摆动的或强或弱,下落中受到的阻碍也就或大或小。此外,球总是偏离其向下摆动的一侧,这种偏离又使它靠近桶壁,甚至有时与之发生碰撞。球越重,这种摆动越剧烈;球越大,它对水的推力越大。所以,为了减小球的这种摆动,我又制作了新的铅和蜡球,把铅封在极靠近球表面的一侧;并且用这样的方式加以释放,在开始下落时尽可能使其较重的一侧处于最低点。这一措施使摆动比以前大为减小,球的下落时间不再如此参差不齐:如下列实验所示。

实验8.四个球在空气中重139谷,水中重谷,令其下落数次,大多数时间都是51次摆动,再也没有超过52次或少于50次,掠过高度为182英寸。

按理论计算,它们的下落时间应为52次。

实验9.四只球在空气中重谷,水中重谷,几次下落时间从未少于12次摆动,也从未超过13次。掠过高度182英寸。

按理论计算,这些球应在约次摆动中完成下落。

实验10.四只球,在空气中重384谷,水中重谷,几次下落时间为和19次摆动,掠过高度英寸。在落到桶底之前,第19次摆动时,我曾听到几次它们与桶壁相撞。

按理论计算,它们的下落时间应为约次摆动。

实验11.三只球,在空气中重48谷,水中重谷,几次下落时间为,45和46次摆动,多数为44和45次,掠过高度约为英寸。

按理论计算,它们的下落时间应为约次摆动。

实验12.三只相等的球,在空气中重141谷,在水中重谷,几次下落时间为61,62,63,64和65次摆动,掠过空间为182英寸。

按理论计算,它们应在约次摆动内完成下落。

由这些实验可以看出,当球下落较慢时,如第二,四,五,八,十一和十二次实验,下落时间与理论计算吻合很好;但当下落速度较快时,如第六,九和十次实验,阻力略大于速度平方。因为球在下落中略有摆动;而这种摆动,对于较轻而下落较慢的球,由于运动较弱而很快停止;但对于较大而下落较快的球,摆动持续时间较长,需要经过若干次摆动后才能为周围的水所阻止。此外,球运动越快,其后部受流体压力越小;如果速度不断增加,最终它们将在后面留下一个真空空间,除非流体的压力也能同时增加。因为流体的压力应正比于速度的平方增加(由命题32和33),以维持阻力的相同的平方比关系。但由于这是不可能的,运动较快的球其后部的压力不如其他方位的大;而这种压力的缺乏导致其阻力略大于速度的平方。

由此可知我们的理论与水中落体实验是一致的。余下的是检验空气中的落体。

实验13.1710年6月,有人在伦敦圣保罗大教堂顶上同时落下两只球,一只充满水银,另一只充气;下落掠过的高度是220英尺。当时用一只木桌,其一边悬挂在铁铰链上,另一边由木棍支撑。两只球放在该桌面上,由一根延伸到地面的铁丝拉开木棍实现两球同时向地面落下;这样,当木棍被拉掉时,仅靠铰链支撑的桌子绕着铰链向下跌落,而球开始下落。在铁丝拉开木棍的同一瞬间,一只秒摆开始摆动。球的直径和重量,以及下落时间列入下表。

不过观测到的时间必须加以修正;因为水银球(按伽利略的理论)在4秒时间内可掠过257英尺,而220英尺只需要秒。因此,在木棍被拉开时木桌并不像它所应当的那样立即翻转;这一迟缓在开始时阻碍了球体的下落。因为球放在桌子中间,而且的确距轴而不是距木棍较近。因此下落时间延长了约;应通过减去该时间进行修正,对大球尤其如此,由于球直径较大,在转动的桌子上停留时间较其他球更长。修正以后,六个较大球的下落时间变为

所以充满空气的第五只球,其直径为5英寸,重483谷,下落时间秒,掠过距离220英尺。与此球体积相同的水重16,600谷;体积相同的空气重谷,或谷;所以该球在真空中重谷;该重量与体积等于该空气的重量的比,为;而2F比该球直径的,即比英寸,也等于该值。因此,2F等于28英尺11英寸。一只以其谷的全部重量在真空中下落的球,在一秒钟内可掠过英寸;而以重量483谷下落则掠过185.905英寸;以该483谷重量在真空中下落,在秒又的时间内可掠过距离F,或14英尺英寸,并获得它在空气中下落所能达到的最大速度。以这一速度,该球在秒时间内掠过245英尺英寸。减去1.3863F,或20英尺英寸,余下225英尺5英寸。所以,按我们的理论,这一距离是球应在秒内下落完成的。而实验结果为220英尺。差别是微不足道的。

将其他充满空气的球作类似计算,结果列于下表。

实验14.1719年7月,德萨古里耶博士(1)曾用球形猪膀胱重做过这种实验。他把潮湿的膀胱放入中空的木球中,在膀胱中吹满空气,使之成形为球状,待膀胱干燥后取出。然后令之自同一教堂拱顶的天窗上下落,即自272英尺高处下落;同时令一重约2磅的铅球下落。与此同时,站在教堂顶部球下落处的人观察整个下落时间;另一些人则在地面观察铅球与膀胱球下落的时间差。时间是由半秒摆测量的。其中在地面上的一台计时机器每秒摆动四次;另一台制作精密的机器也是每秒摆动四次。站在教堂顶部的人中有一个也掌握着一台这样的机器;这些仪器设计成可以随心所欲地停止或开始运动。铅球的下落时间约秒;加上上述时间差后即可得到膀胱球的下落时间。在铅球落地后,五只膀胱球晚落地的时间,第一次,秒,秒,秒,秒和秒;第两次为秒,秒,14秒,19秒和秒。加上铅球下落的时间秒,得到五只球下落的总时间,第一次为19秒,17秒,秒,22秒和21秒;第二次为秒,秒,秒,秒和21秒。在教堂观测到的时间,第一次为秒,秒,秒,秒和秒;每两次为19秒,秒,秒,24秒和秒。不过膀胱并不总是直线下落,它有时在空气中飘动,在下落中左右摇摆。这些运动使下落时间延长了,有时增加半秒,有时竟增加整整一秒。在第一次实验中,第二和第四只膀胱下落最直,第二次实验中的第一和第三只也最直。第五只球有些皱纹,这使它受到一些阻碍。我用极细的线在膀胱外圆缠绕两圈测出它们的直径。在下表中我比较了实验结果与理论结果;空气与雨水的密度比取1比860,并代入理论中求得球在下落中所应掠过的距离。

所以,我们的理论可以在极小的误差以内求出球体在空气和水中所遇到的阻力;该阻力对于速度与大小相同的球而言,正比于流体的密度。

我们曾在第6章的附注里通过摆实验证明过,在空气、水和水银中运动相等的且速度相等的球,其阻力正比于流体密度。在此,我们通过空气和水中的落体更精确地做了证明。因为摆的每次摆动都会激起流体的运动,阻碍它的返回运动;而由于这种运动,以及悬挂摆体的细线所产生的阻力,使摆体的总阻力大于在落体实验中所得到的阻力。因为在该附注中所讨论的摆实验中,一个密度与水相同的球,在空气中掠过其半径长度时,会失去其运动的部分,而由第7章中所推导并由落体实验所验证的理论,同样的球掠过同样长度所失去的动部分为,条件是设水与空气的密度比为860比1。所以,摆实验中求出的阻力(由刚才说明的原因)大于落体实验中求出的阻力;其比值约为4比3。不过,由于在空气、水和水银中摆动的阻力是出于相同的原因而增加的,因此这些介质之间的阻力比,由摆实验与由落体实验验证是同样精确的。由所有这些可以得出结论,在其他条件相同的情况下,即使在极富流动性的任意流体中运动的物体,其阻力仍正比于流体的密度。

在完成了这些证明和计算之后,我们就可以来求一个在任意流体中被抛出的球体在给定时间所失去的运动部分大约是多少。令D为球直径,V是它开始时的运动速度,T是时间,在其内球以速度V在真空中所掠过的距离比距离等于球密度比流体密度;则在该流体中被抛出的球,在另一个时间t失去其运动的部分,余下部分:所掠过的距离比在相同时间内以相同的速度V在真空中掠过的距离,等于数的对数乘以数2.302585093比数,这是由命题35推论Ⅶ所给出的结果。运动较慢时阻力略小,因为球形物体比直径相同的柱形物体更有利于运动。运动较快时阻力略大,因为流体的弹性力与压缩力并不正比于速度平方增大。不过我不拟讨论这微小的差别。

虽然通过将空气、水、水银以及类似的流体无限分割,可使之精细化,变为具有无限流体性的介质,但它们对抛出的球的阻力不会改变。因为前述诸命题所讨论的阻力来自物质的惰性;而物质惰性是物体的基本属性,总是正比于物质量。分割流体的确可以减小由于粘滞性和摩擦产生的阻力部分,但这种分割完全不能减小物质量;而如果物质量不变,其惰性力也不变;因此相应的阻力也不变,并总是正比于惰性力。要减小这项阻力,物体掠过于其中的空间的物质必须减少;在天空中,行星与彗星在其间向各方向自由穿行,完全察觉不到它们的运动变慢,所以天空中必定完全没有物质性的流体存在,除了其中也许存在着某种极其稀薄的气体与光线。

抛体在穿过流体时会激起流体运动,这种运动是由抛体前部的流体压力大于其后部流体的压力造成的;就它与各种物质密度的比例而言,这种运动在极富流动性的介质中绝不小于在空气、水和水银中。由于这种压力差正比于压力的量,它不仅激起流体的运动,还作用于抛体,使其运动受阻;所以,在所有流体中,这种阻力正比于抛体在流体中所激起的运动;即使在最精细的以太中,该阻力与以太密度的比值,也绝不会小于它在空气、水和水银中与这些流体密度的比值。

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(1)  Desaguliers, John Theophilus(1683—1744),英国科学家,曾做过大量自然哲学实验,涉及热学、力学、光学和电学等,并正确指出牛顿的“运动”(momentum=mv)与莱布尼兹的“运动”(vis viva=mv2)的区别。对于验证牛顿理论做出很大贡献。——译者注。