在若干物体A,B,C,D,等等的系统中,如果其中一个,如A,吸引所有其他物体B,C,D,等等,加速力反比于到吸引物体距离的平方;而另一个物体,如B,也吸引所有其他物体A,C,D,等等,加速力也反比于到吸引物体的距离的平方;则吸引物体A和B的绝对力相互间的比就等于这些力所属的物体A和B的比。
因为,由假设知,所有物体B,C,D,指向物体A的加速吸引力在距离相同时相等;由类似方法知所有物体指向B的加速吸引力在距离相同处也相等。而物体A的绝对吸引力比物体B的绝对吸引力,等于所有物体指向物体A的绝对吸引力比在相同距离处所有物体指向物体B的绝对吸引力;物体B指向物体A的吸引力比物体A指向物体B的加速吸引力也与此相等。但是,物体B指向物体A的加速吸引力比物体A指向物体B的加速吸引力等于物体A的质量比物体B的质量;因为运动力(由第二,第七和第八定义)正比于加速力乘以被吸引的物体,且由第三定律相互间是相等的。所以物体A的绝对加速力比物体B的绝对加速力等于物体A的质量比物体B的质量。
证毕。
推论Ⅰ.如果系统A,B,C,D中的每一个物体都独自以反比于它到吸引物体的距离的平方的加速力吸引其他物体,则所有这些物体的绝对力之间的比等于它们自身的比。
推论Ⅱ.由类似理由,如果系统A,B,C,D中的每一个物体都独自吸引其他物体,其加速力或是反比或是正比于它到吸引物体的任意次幂;或者,该力按某种共同规律由它到吸引物体间的距离来决定;则易知这些物体的绝对力正比于物体自身。
推论Ⅲ.在一系统中力正比于距离的平方而减少,如果小物体沿椭圆绕一个极大物体运动,它们的公共焦点位于极大物体的中心,椭圆形状极为精确;而且,伸向该极大物体的半径精确地正比于时间掠过半径;则这些物体的绝对力相互间的比,或是精确地或是接近于等于物体的比,反之亦然。这可以由命题68的推论与本命题的第一个推论比较得证。