命题17 问题9

设向心力反比于物体处所到中心的距离的平方,该力的绝对值已知,求物体由给定处所以给定速度沿给定直线方向运动的路径。

令向心力指向点S,使得物体p沿任意给定轨道pq运动;设该物体在处所p的速度已知。然后,设物体P由处所P以给定速度沿直线PR的方向运动,但由于向心力的作用它立即偏离直线进入圆锥曲线PQ,这样,直线PR将与曲线在P点相切。类似地,设直线pr与轨道pqp点相切。如果设想一垂线由S落向切线,则圆锥曲线的通径(由命题16,推论Ⅰ)与该轨道通径之比,等于它们的垂线之比的平方与速度之比的平方的乘积,因而是给定的。令该通径为L,圆锥曲线的焦点S也已给定。令角RPH为角RPS的补角,另一个焦点位于其上的直线PH位置已定,作SK垂直于PH,并作共轭半轴BC,即得到

两边同加

即有

因此PH的长度和方向都已确定。即,在P处物体的速度如果使得通径L小于2SP+2KP,则PH将与直线SP位于切线PR的同一侧;所以图形将是椭圆,其焦点S,H,以及主轴SP+PH都已确定,但如果物体速度较大,使得通径L等于2SP+2KD,则PH的长度为无限大,所以图形变为抛物线,其轴SH平行于直线PK,因而也得到确定。如果物体在处所P的速度更大,直线PH处于切线的另一侧,使得切线自两个焦点中间穿过,图形将变为双曲线,其主轴等于线段SP与PH的差,也是确定的。因为在这些情形中,如果物体所沿圆锥曲线确定了,命题11,12,13已证明,向心力将反比于物体到力的中心距离的平方,所以,我们就能正确地得出物体在该力作用下自给定处所P以给定速度沿给定直线方向运动所画出的曲线。

完毕。

推论Ⅰ.因此,在每一种圆锥曲线中,由顶点D,通径L和给定的焦点S,即可以通过令DH比DS等于通径比通径与4DS的差来求得另一个焦点H,因为比例式

在本推论情形中变为

推论Ⅱ.所以,如果物体在顶点的速度为已知,则其轨道可以求出。即,令其通径与二倍距离DS的比,等于该给定速度与物体以距离DS做圆周运动的速度的比的平方(由命题16,推论Ⅲ),再令DH比DS等于通径比通径与4DS的差。

推论Ⅲ.如果物体沿任意圆锥曲线运动,并遭某种推斥作用被逐出其轨道,它以后运动所循的新轨道也可以求出。因为把物体原先的正常运动与单由推斥作用产生的运动加以合成,就可得到物体在被逐出点受给定直线方向的推斥作用后产生的运动。

推论Ⅳ.如果该物体连续受到某外力作用的骚扰,则可以通过采集该外力在某些点造成的变化,类推出它在整个序列中的影响,估计它在各点之间的连续作用,近似求出物体的运动。