求月球在椭圆轨道上的交会点小时运动。

令Qpmaq表示一个椭圆,其长轴为Qq,短轴为ab;QAqB是其外切圆;T是位于这两个圆的公共中心的地球;S是太阳,p是沿椭圆运动的月球;pm是月球在最小时间间隔内掠过的弧长;N和n是交会点,其连线为Nn;pK和mk为轴Qq上的垂线,向两边的延长线与圆相交于P和M,与交会点连线相交于D和d。如果月球伸向地球的半径掠过的面积正比于运行时间,则椭圆交会点的小时运动将正比于面积pDdm与AZ2的乘积。
因为,令PF与圆相切于P,延长后与TN相交于F;pf与椭圆相交于p,延长后与同一个TN相交于f,两条切线在轴TQ上相交于Y;令ML表示在月球沿圆转动掠过弧PM的时间内,月球在上述力3IT或3PK作用下横向运动所掠过的距离;而ml表示在相同时间内月球受相同的力3IT或3PK作用沿椭圆转动的距离;令LP和lp延长与黄道面相交于G和g,作FG和fg,其中FG的延长线分别在c,e和R分割pf,pg和TQ;fg的延长线在r分割TQ。因为圆上的力3IT或3PK比椭圆上的力3IT或3pK等于PK比pK,或等于AT比aT,前一个力产生的距离ML比后一个力产生的距离ml等于PK比pK;即,因为图形PYKp与FYRc相似,等于FR比cR。但(因为三角形PLM,PGF相似)ML比FG等于PL比PG,即(由于Lk,PK,GR相平行),等于pl比pe,即比(因为三角形plm,cpe相似)等于lm比ce;其反比等于LM比lm,或等于FR比cR,FG比ce也是如此。所以,如果fg比ce等于fy比cY,即等于fr比cR(即,等于fr比FR乘以FR比cR,即等于fT比FT,乘以FG比ce),因为两边的FG比ce消去,余下fg比FG和fT比FT,所以fg比FG等于fT比FT;所以,由FG和fg在地球T上所划分的角相等。但这些角(由我们在前述命题中所证明的)就是与月球在圆上掠过弧pM,在椭圆上掠过弧Pm的同时,交会点的运动;因而交会点在圆上与在椭圆上的运动相等。因此,可以说,如果fg比ce等于fY比cY,即,如果fg等于
,即有如此结果。但因为三角形fgp,cep相似,fg比ce等于fg比cp;所以fg等于
;所以,实际上由fg划分的角比由FG所划分的前一个角,即是说,交会点在椭圆上的运动比其在圆上的运动,等于fg或
比前一个fg或
,即等于fP·cY比fY·cp,或等于fP比fY乘以cY比cp;即,如果ph平行于TN,与FP相交于h,则等于Fh比FY乘以FY比FP;即,等于Fh比FP或Dp比DP,所以等于面积Dpmd比面积DPMd。所以,由于(由命题30推论Ⅰ)后一个面积与AZ2的乘积正比于交会点在圆上的小时运动,则前一个面积与AZ2的乘积将正比于交会点在椭圆上的小时运动。
证毕。
推论.所以,由于在交会点的任意给定位置上,在与月球由方照点运动到任意处所m的时间内,所有的面积pDdm的和,就是以椭圆的切线QE为边界的面积mpQEd;且在一次环绕中,所有这些面积的和,就是整个椭圆的面积;交会点在椭圆上的平均运动比交会点在圆上的平均运动等于椭圆比圆;即,等于Ta比TA,或69比70。所以,由于(由命题30推论Ⅱ)交会点在圆上的平均小时运动比16s35th16iv36v等于AZ2比AT2,如果取角16s21th3iv30v比角16s35th16iv36v等于69比70,则交会点在椭圆上的平均小时运动比16s21th3iv30v等于AZ2比AT2;即,等于交会点到太阳距离的正弦的平方比半径的平方。
但月球伸向地球的半径在朔望点掠过面积的速度大于其在方照点,因此在朔望点时间被压缩了,而在方照点则延展了;把整个时间合起来交会点的运动作了类似的增加或减少,但在月球的方照点面积变化率比在月球的朔望点面积变化率等于10,973比11,073;因而在八分点的平均变化率比在朔望点的出超部分,以及比在方照点的不足部分,等于这两个数的和的一半11,023比它们的差的一半50。因此,由于月球在其轨道上各相等的小间隔上的时间反比于它的速度,在八分点的平均时间比在方照点的出超时间,以及比在朔望点的不足时间,近似等于11,023比50。但是我发现在由方照点到朔望点时,面积变化率大于在方照点的最小变化率的出超部分,近似正比于月球到该方照点距离的正弦的平方;所以在任意处所的变化率与在八分点的平均变化率的差,正比于月球到该方照点距离正弦的平方,与45度正弦平方,或半径平方的一半的差;而在八分点与方照点之间各处所上时间的增量,与在该八分点到朔望点之间各处所上时间的减量,有相同比值。但在月球掠过其轨道上各相等小间隔的同时,交会点的运动正比于该时间加速或减速;这一运动,当月球掠过PM时,(等价地)正比于ML,而ML正比于时间的平方变化。因此,交会点在朔望点的运动,在月球掠过其轨道上给定的小间隔的同时,正比于数11,073与数11,023的比值的平方而减小,而其减量比剩余运动等于100比10,973;它比总运动近似等于100比11,073。但在八分点与朔望点之间的处所上的减量,与在该八分点与方照点之间的处所上的增量,比该减量近似等于在这些处所上的总运动比在朔望点的总运动,乘以月球到该方照点距离正弦的平方与半径平方的一半的差,比半径平方的一半。所以,如果交会点在方照点,我们可取二个处所,一个在其一侧,另一个在另一侧,它们到八分点的距离,与另二个距离相等,一个是到朔望点,另一个是到方照点,并由在朔望点和八分点之间的两个处所的运动减量上,减去在该八分点与方照点之间的另两个处所的运动增量,则余下的减量将等于在朔望点的减量,这可以由计算而简单地证明;所以,平均减量,应该从交会点平均运动中减去,它等于在朔望点减量的4/1。交会点在朔望点的总小时运动(设此时月球伸向地球的半径所掠过的面积正比于时间)为32s42th7iv。又,我们已经证明交会点运动的减量,在与月球以较大速度掠过相同的空间的时间内,比该运动等于100比11,073;所以这一减量为17th43iv11v。由上面求出的平均小时运动16s21th3iv30v中减去其1/4 4th25iv48v,余下16s16th37iv42v,这就是它们的平均小时运动的正确值。
如果交会点不在方照点,设两个点分别在其一侧和另一侧,且到朔望点距离相等,则当月球位于这些处所时,交会点运动的和,比当月球在相同处所而交会点在方照点时它们的运动的和,等于AZ2比AT2。而由于刚才论述的原因而产生的运动减小量,其相互间的比,以及余下的运动相互间的比,等于AZ2比AT2;而平均运动正比于余下的运动。所以,在交会点的任意给定处所,它们的实际平均小时运动比16s16th37iv42v等于AZ2比AT2;即,等于交会点到朔望点距离正弦的平方比半径的平方。