命题37 定理29

如果一圆柱体沿其长度方向在被压缩的、无限的和非弹性的流体中匀速运动,则其横截面所引起的阻力比在其运动过四倍长度的时间内使其全部运动被抵消或产生的力,近似等于介质的密度比柱体密度。

令桶ABDC以其底CD与静止水面接触,水自桶内通过垂直于地平面的柱形管道EFTS流入静止水;令小圆片PQ与地平面平行地置于管道中间任意处;延长CA到K,使AK比CK等于管道EF的孔洞减去小圆片PQ的差比圆AB的平方。则(由命题36情形5,情形6和推论Ⅰ)水通过小圆片与桶之间的环形空间的流动速度与水下落掠过高度KC或IC所获得的速度完全相同。

(由命题36推论Ⅹ)如果桶的宽度是无限的,使得短线段HI消失,高度IG,HG相等;则流下的水压迫小圆片的力比以该小圆片为底,高为的水柱的重量,非常接近等于EF2。因为通过整个管道均匀流下的水对小圆片PQ的压力无论它置于管道内何处都是一样的。

现设管道口EF,ST关闭,令小圆片在被自所有方向压缩的流体中上升,并在上升时推挤其上方的水通过小圆片与管道壁之间的空间向下流动。则小圆片上升的速度比流下的水的速度,等于圆EF与PQ的差比圆PQ;而小圆片上升的速度比这两个速度的和,即比向下流经上升小圆片的水的相对速度,等于圆EF与PQ的差比圆EF,或等于EF2-PQ2比EF2。令该相对速度等于小圆片不动时使上述水通过环形空间的速度,即等于水下落掠过高度IG所获得的速度;则水力对该上升小圆片的作用与以前相同(由运动定律推论Ⅴ);即,上升小圆片的阻力比以该小圆片为底,高为的水柱的重量,近似等于EF2。而该小圆片的速度比水下落掠过高度IG所获得的速度,等于EF2-PQ2比EF2

令管道宽度无限增大;则EF2-PQ2与EF2,以及EF2之间的比最后变为等量的比。所以这时小圆片的速度等于水下落掠过高度IG所获得的速度;其阻力则等于以该小圆片为底,高为IG的一半的水柱重量,该水柱自此高度下落必能获得小圆片上升的速度;且在此下落时间内,水柱可以此速度运动过其四倍的距离。而以此速度沿其长度方向运动的柱体的阻力与小圆片的阻力相同(由引理4),因而近似等于在它掠过四倍长度时产生其运动的力。

如果柱体长度增加或减少,则其运动,以及掠过其四倍长度所用的时间,也按相同比例增加或减小;因而使如此增加或减小的运动得以抵消或产生的力保持不变;因为时间也按相同比例增加或减少了;所以该力仍等于柱体的阻力,因为(由引理4)该阻力也保持不变。

如果柱体的密度增加或减小,其运动,以及使其运动得以在相同时间内产生或抵消的力,也按相同比例增加或减小。因而任意柱体的阻力比该柱体在运动过其四倍长度的时间内使其全部运动得以产生或抵消的力,近似等于介质密度比柱体密度。

证毕。

流体必须是因压缩而连续的;之所以要求它连续和非弹性,是因为压缩产生的压力可以即时传播;而作用于运动物体上的相等的力不会引起阻力的变化。由物体运动所产生的压力在产生流体各部分的运动中被消耗掉,由此产生阻力,但由流体的压缩而产生的压力,不论它多么大,只要它是即时传播的,就不产生流体的局部运动,不会对在其中的运动产生任何改变;因而它既不增加也不减小阻力。这可以由本命题的讨论得到证明,压缩产生的流体作用不会使在其中运动物体的后部压力大于前部,因而不会使阻力减小。如果压缩力的传播无限快于受压物体的运动,则前部的压缩力不会大于后部的压缩力。而如果流体是连续和非弹性的,则压缩作用可以得到无限快的即时传播。

推论Ⅰ.在连续的无限介质中沿其长度方向匀速运动的柱体,其阻力正比于速度平方、直径平方,以及介质密度的乘积。

推论Ⅱ.如果管道的宽度不无限增加,柱体沿其长度方向在管道内的静止介质中运动,其轴总是与管道轴重合,则其阻力比在它运动过其四倍长度的时间内能使其全部运动产生或被抵消的力,等于EF2,乘以EF2比EF2-PQ2的平方,再乘以介质密度比柱体密度。

推论Ⅲ.相同条件下,长度L比柱体四倍长度等于比EF2乘以EF2-PQ2比EF2的平方:则柱体阻力比柱体运动过长度L时间内使其全部运动得以产生或抵消的力,等于介质密度比柱体密度。