如果一物体被垂直吸引向已知平面,由已知的吸引定律求解该物体的运动;这一问题可以(由命题39)求出物体沿直线落向平面的运动,再(由运动定律推论Ⅱ)将该运动与沿平行于该平面的直线方向的运动相复合。反之,如果要求沿垂直方向指向平面的吸引力的定律,这种吸引力使物体沿一已知曲线运动,则问题可以沿用第三个问题的方法求解。
不过,如果把纵坐标分解为收敛级数,运算可以简化。例如,底数A除以纵坐标长度B为任意已知角数,该长度正比于底的任意次幂
;求使一物体沿纵坐标方向被吸引向或推斥开该底的力,物体在该力作用沿纵坐标上端画出的曲线运动;设该底增加了一个极小的部分O,把纵坐标
分解为无限级数。

设吸引力正比于级数中O为二次方的项,即正比于
。所以要求的力正比于
,或者,等价地,正比于
。如果纵坐标画出抛物线,m=2,而n=1,力正比于已知量2B°,因而是已知的。所以,在已知力作用下物体沿抛物线运动,正如伽利略所证明的那样。如果纵坐标画出双线,m=0-1,n=1,则力正比于2A-3或2B3;所以正比于纵坐标的立方的力使物体沿双曲线运动。对此类命题的讨论到此为止,下面我将论述一些与尚未涉及的运动有关的命题。