求摆在各处所的速度,以及完成全部与部分摆动的时间。

关于任意中心G,以等于摆线RS的弧长为半径画半圆HKM,并为半GK所等分。如果向心力正比于处所到中心的距离指向中心G,且在圆HIK上的力等于在球QOS表面上指向其中心的向心力,在摆T由最高处所S下落的同时,一个物体,比如L,从H向G下落;则由于作用于二物体上的力在开始时相等,且总是正比于将要掠过的空间TR,LG,所以,如果TR与LG相等,则在处所T和L也相等,因而易于理解这些物体在开始时掠过相等的空间ST,HL,以后仍在相等的力作用下继续掠过相等的空间。所以,由命题38,物体掠过弧ST的时间比一次摆动的时间,等于物体H到达L所用时间弧HI,比物体H将到达M所用时间半圆HKM。而摆锤在处所T的速度比其在最低处的R的速度,即物体H在处所L的速度比其在处所G的速度,或者,线段HL的瞬时增量比线段HG(弧HI,HK以均匀速度增加)的瞬时增量,等于纵坐标LI比半径GK,或等于
比SR。所以,由于在不相等的摆动中相同时间里掠过的弧长正比于整个摆动弧长,则由给定时间,一般可以得到所有振动的速度和所掠过的弧长。这是求解问题的第一步。
现在令任意摆锤沿由不同的球内画出的不同摆线摆动,它们受到的绝对力也不同;如果任意球QOS的绝对力为V,则推动球面上摆锤的加速力,在摆锤直接向球心运动时,将正比于摆锤到球心的距离与球的绝对力的乘积,即正比于CO·V。所以,正比于该加速力CO·V的短线段HY可以在给定时间内画出:而如果作垂线YZ与球面相交于Z,则新生弧长HZ可表示该给定时间。但该新生弧长HZ正比于乘积GH·HY的平方根,因而正比于
而变化。因而沿摆线QRS的一次全摆动的时间(它正比于半圆HKM,后者直接表示一次全摆动;反比于以类似方式表示给定时间的弧长HZ)将正比于GH而反比于
;即,因为GH与SR相等,正比于
,或(由命题50推论),正比于
。所以,沿所有球或摆线的摆动、在某种绝对力驱使下,其变化正比于细线长度的平方根,反比于摆锤悬挂点到球心的距离的平方根,还反比于球的绝对力的平方根。
完毕。

推论Ⅰ.因此可以将物体的摆动、下落和环绕时间作相互比较。因为,如果在球内画出摆线的轮子的直径等于球的半径,则摆线成为通过球心的直线,而摆动变为沿该直线的上下往返。因而可求出物体由任一处所下落到球心的时间,以及物体在任意距离上绕球心匀速环绕四分之一周所用的时间。因为该时间(由情形2)比在任意摆线上的半振动时间等于
。
推论Ⅱ.由此还可以推出克里斯托弗·雷恩爵士和惠更斯先生关于普通摆线的发现。因为如果球的直径无限增大,其球面将变成平面,向心力沿垂直于该平面的方向均匀作用,而我们的摆线则变得与普通摆线相同。但在此情形中介于该平面与画出摆线的点之间的摆线弧长等于介于相同平面和点之间的轮子的半弧长正矢的四倍,与克里斯托弗·雷恩爵士的发现相同。而介于这样的两条摆线之间的摆将在相等时间里沿一条相似且相等的摆线摆动,一如惠更斯先生所证明的。重物体的下落时间与一次振动时间相同,这也是惠更斯先已证明的。
这里证明的几个命题,适用于地球的真实构造。如果使轮子沿地球大圆滚动,则轮边的钉子的运动将画出一条球外摆线;在地下矿井或深洞中的摆将画出球内摆线,这些振动都可以相同时间进行。因为重力(第三编将要讨论)随其离开地球表面而减弱;在地表之上正比于到地球中心距离的平方根,在地表之下正比于该距离。