引理9

如果直线AE,曲线ABC二者位置均已给定,并以给定角相交于A;另二条水平直线与该直线成给定夹角,并与曲线相交于B,C,而B,C共同趋近于A并与之重合,则三角形ABD与ACE的最终面积之比是其对应边之比的平方。

当点B,C趋近点A时,设AD延伸至远点de,则Ad,Ae将正比于AD,AE,作水平线dbec平行于横向线DB和EC,并与AB和AC相交于bc。令曲线Abc相似于曲线ABC,作直线Ag与曲线相切于A点,与横线DB,EC,dbec相交于F,G,fg。再设Ae长度保持不变,令点B与C相会于A点,则角cAg消失,曲线面积Abd,Ace将与直线面积Afd,Age重合,所以(由引理5)它们中一个与另一个的比将是边Ad,Ae的比的平方。但面积ABD,ACE总是正比于这些面积,边AD,AE也总是正比于这些边。所以,面积ABD,ACE最终比值是边AD,AE的比的平方。

证毕。