命题25 定理20

在任意介质中受到的阻力正比于时间的变化率的摆体,与在比重相同的无阻力介质中运动的摆体,它们在摆动中在相同时间内都画出一条摆线,而且共同掠过成正比的弧段。

令物体D在无阻力介质中摆动时,在任意时间内画出的一段摆线弧为AB。在C点二等分该弧,使C为其最低点;则物体在任意处所D,或d,或E受到的加速力,正比于弧长CD,或Cd,或CE。令该力以这些弧表示;由于阻力正比于时间的变化率,因而是已知的,令它以摆线弧的已知段CO表示,取弧Od比弧CD等于弧OB比弧CB:则摆体在有阻力介质中的d点受到的力为力Cd超出阻力CO的部分,以弧Od表示,它与摆体D在无阻力介质中的处所D受到的力的比,等于弧Od比弧CD;而在处所B,等于弧OB比弧CB。所以如果两个摆体D,d自处所处B受到这二个力的推动,由于在开始时力正比于弧CB和OB,则开始的速度与所掠过的弧比值相同,令该弧为BD为Bd,则余下的弧CD,Od比值也相同。所以正比于弧CD,Od的力在开始时也保持相同比值,因而摆体以相同比值共同摆动。所以力,速度和余下的弧CD,Od总是正比于总弧长CB,OB,而余下的弧是共同掠过的。所以两个摆体D和d同时到达处所C和O;在无阻力介质中的摆动到达处所C,而另一个在有阻力介质中的摆动到达处所O。现在,由于在C和O的速度正比于弧CB,OB,摆体仍以相同比值掠过更远的弧。令这些弧为CE和Oe。在无阻力介质中的摆体D在E处受到的阻力正比于CE,而在有阻力介质中的摆体de处受到的阻力正比于力Ce与阻力CO的和,即正比于Oe;所以两摆体受到的阻力正比于弧CB,OB,即正比于弧CE,Oe;所以以相同比值变慢的速度的比也为相同的已知比值。所以速度以及以该速度掠过的弧相互间的比总是等于弧CB和OB的已知比值。所以,如果整个弧长AB,aB也按同一比值选取,则摆体D和d同时掠过它们,在处所A和a同时失去全部运动。所以整个摆动是等时的,或在同一时间内完成的;而共同掠过弧长BD,Bd,或BE,Be,正比于总弧长BA,Ba

证毕。

推论.所以在有阻力介质中,最快的摆动并不发生在最低点C,而是发生在掠过的总弧长Ba的二等分点O。而摆体由该点摆向点a的减速度与它由B落向O的加速度相同。