牛顿并没有声称自己要构造一个体系。牛顿在《原理》第一版的序言一开始就指出,他要“致力于发展与哲学相关的数学”,这本书是几何学与力学的结合,是一种“理性的力学”,一种“精确地提出问题并加以演示的科学,旨在研究某种力所产生的运动,以及某种运动所需要的力”。他的任务是“由运动现象去研究自然力,再由这些力去推演其他运动现象”。
然而牛顿实际上构建了一个人类有史以来最为宏伟的体系。他所说的力,主要是重力(我们今天称之为引力,或万有引力),以及由重力所派生出来的摩擦力、阻力和海洋的潮汐力等,而运动则包括落体、抛体、球体滚动、单摆与复摆、流体、行星自转与公转、回归点、轨道章动等,简而言之,包括当时已知的一切运动形式和现象。也就是说,牛顿是要用统一的力学原因去解释从地面物体到天体的所有运动和现象。
在结构上,《原理》是一种标准的公理化体系。它从最基本的定义和公理出发,“在第一编和第二编中推导出若干普适命题”。第一编题为“物体的运动”,把各种运动的形式加以分类,详细考察每一种运动形式与力的关系,为全书的讨论做了数学工具上的准备;第二编讨论“物体(在阻滞介质中)的运动”,进一步考察了各种形式的阻力对于运动的影响,讨论地面上各种实际存在的力与运动的情况。牛顿在第三编中“示范了把它们应用于宇宙体系,用前两编中数学证明的命题通过天文现象推演出使物体倾向于太阳和行星的重力,再运用其他数学命题由这些力推算出行星、彗星、月球和海洋的运动”。在全书(我们选用的这个第三版)的最后,牛顿写下了一段著名的“总释”,集中表述了牛顿对于宇宙间万事万物的运动的根本原因——万有引力——以及我们的宇宙为什么是一个这样优美的体系的总原因的看法,集中表达了他对于上帝的存在和本质的见解。
在写作手法上,牛顿是个十分专注的人,他在搭建自己的体系时,虽然仿照欧几里得(Euclid,约公元前3世纪)的《几何原本》,但从没有忘记自己的使命是解释自然现象和运动的原因,没有把自己迷失在纯粹形式化的推理中。他是极为出色的数学家,在数学上有一系列一流的发明,但他严格地把数学当做工具,只是在有需要时才带领读者稍微作一点数学上的远足。另一方面,牛顿也丝毫没有沉醉于纯粹的哲学思辨。《原理》中所有的命题都来自于现实世界,或是数学的,或是天文学的,或是物理学的,即牛顿所理解的自然哲学的。《原理》中全部的论述都以命题形式给出,每一个命题都给出证明或求解,所有的求证求解都是完全数学化的,必要时附加推论,而每一个推论又都有证明或求解。只是在牛顿认为某个问题在哲学上有特殊意义时,他才加上一个附注,对问题加以解释或进一步推广。
大多数读者在阅读《原理》时感到困惑和困难的是牛顿的对于命题的解决方式。首先,牛顿大量使用作图,采用几何学的证明方法;其次,牛顿大量运用比例关系式,这一点令读者感到繁杂,但却正是牛顿论证的有力之处。它在思想上符合牛顿的可测度空间和时间以及重量等物理概念只是相对性的见解,运算中回避了拘泥于单位制的麻烦并且使牛顿极为方便地引入了他发明的极大极小比方法。此外,我们应当理解到,在牛顿写作《原理》时,用来解决物体运动的动力学问题的有力工具微积分(牛顿称为流数法)还处于发明的初期,远远没有成熟到今天的样子,而牛顿本人正是这种技术的主要发明人之一。有证据表明,书中的许多论述,牛顿是通过自己发明的流数法或反流数法得到的,但在写作《原理》时,牛顿换成了当时人们较为熟悉的几何作图与代数运算相结合的形式。实际上,《原理》发表后,许多读者根本读不懂,以至于有人认为牛顿写了一本“连他自己也看不懂的书”,牛顿那令人眼花缭乱的数学技巧使许多当时一流的数学家也感到非常吃力。
《原理》中使用的数学、物理学和天文学概念术语非常多,其中有许多与我们今天常见的相同,但也有许多不同,还有一些今天已很少使用。这一点需要读者注意。