如果均匀介质中的物体在重力的均匀作用下沿一条直线上升或下落;将它所掠过的全部距离分为若干相等部分,并将各部分起点(根据物体上升或下落,在重力中加上或减去阻力)与绝对力对应起来:则这些绝对力组成几何级数。

令已知线段AC表示重力;不定线段AK表示阻力;二者的差KC表示下落物体的绝对力;线段AP表示物体速度,它是AK和AC的比例中项,因而正比于阻力的平方根,短线段KL表示给定时间间隔中阻力的增量,而短线段PQ表示速度的瞬时增量;以C为中心,以CA,CH为直角渐近线,作双曲线BNS与垂线AB,KN,LO相交于B,N和O。因为AK正比于AP2,其中一个的瞬KL正比于另一个的瞬2AP·PQ,即,正比于AP·KG;因为速度的增量PQ(由定律Ⅱ)正比于产生它的力KC。将KL的比值乘以KN的比值,则乘积KL·KN正比于AP·KC·KN;即(因为乘积KC·KN已知),正比于AP,但双曲线KNOL的面积与矩形KL·KN的最后比值,在点K与L重合时,变为相等比值。所以,双曲线趋于零的面积正比于AP。所以整个双曲线面积ABOL由总是正比于速度AP的间隔组成;因而它本身也正比于速度掠过的距离。现将该距离分为若干相等部分ABMI,IMNK,KNOL等等,则对应的绝对力AC,IC,KC,LC等等构成几何级数。
证毕。
由类似理由,在物体的上升中,在点A的另一侧取相等面积ABmi,imnk,knol等等,则可以推知绝对力AC,iC,kC,lC等连续正比。所以如果整个上升和下降距离分为相等部分,则所有的绝对力lC,kC,iC,AC,IC,KC,LC等等构成连续正比。
证毕。
推论Ⅰ.如果以双曲线面积ABNK表示掠过的距离,则重力物体的速度和介质的阻力,可以分别用线段AC,AP和AK表示;反之亦然。
推论Ⅱ.物体在无限下落中所能达到的最大速度可以线段AC表示。
推论Ⅲ.如果对应于已知速度的介质阻力为已知,则可以求出最大速度。方法是令它比该已知速度等于重力比该已知阻力的平方根。