如果物体沿任意曲线表面运动,该表面的轴通过力的中心,由物体作轴的垂线;并由轴上任意给定点作与之相等的平行线:则该平行线围成的面积正比于时间。

令BKL为曲线表面,T是在其上运动的物体,STR是物体在同一表面上掠过的曲线,S是曲线的起点,OMK是曲线表面的轴,TN是由物体作向轴的垂线;OP是由轴上给定点O做出的与之相等的平行线;AP是旋转线OP所在平面AOP上一点P掠过的路径;A是该路径对应于点S的起点;TC是由物体作向中心的直线;TG是其上与使物体倾向于中心C的力成正比的部分;TM是垂直于曲面的直线,TI是其上正比于物体压迫表面的力的部分,该力又受到表面上指向M的力的反抗;PTF是平行轴且通过物体的直线,而GF,IF是由点G,I向它所作的垂线且平行于PHTF。则由半径OP作运动开始后掠过的面积AOP,正比于时间。因为,力TG(由运动定律推论Ⅱ)分解为两个力TF,FG;而力TI分解为力TH,HI;但力TF,TH作用在与平面AOP相垂直的直线PF方向上,对垂直于该平面方向以外的运动变化无影响。所以,物体的运动,就其在平面位置相同方向上而言,即画出曲线在平面上投影AP的点P的运动,如同力TF,TH不存在一样,而物体的运动只受力FG,HI的作用;即与物体在平面AOP上受指向中心O的向心力作用画出曲线AP一样,该力等于力FG与HI的和。而受该力作用所掠过的面积AOP(由命题1)正比于时间。
证毕。
推论.由相同理由,如果物体受指向两个或更多位于同一条直线上CO上的中心的若干力的作用,并在自由空间中掠过任意曲线ST,相应的面积AOP总是正比于时间。