第6章

怎样求已知轨道上的运动

命题30 问题22

求沿抛物线运动的物体在任意给定时刻的位置。

令S为抛物线的焦点,A为其顶点;设4AS·M等于抛物线下被分割的部分APS的面积,它可以由半径SP在物体离开顶点后掠成,也可以是它到达那里之前的剩余。现在我们知道这块被分割的面积在数值上正比于时间。在G二等分AS,画垂线GH等于3M,以H为中心,HS为半径作一圆,与抛物线在所要求的点P相交。因为作PO垂直于主轴,作PH,则

因而,

代替AO2,再把所有各项除以3PO,乘以2AS,得到

而GH等于3M,所以等于4AS·M。所以被分割的面积APS等于被分割的面积4AS·M。

完毕。

推论Ⅰ.所以GH比AS等于物体掠过弧AP所用时间比物体掠过由顶点A到焦点S处主轴垂线所截一段弧所用时间。

推论Ⅱ.设圆APS连续地通过运动物体P,则物体在点H处速度比它在顶点A的速度为3比8;所以,直线GH比物体在相同时间内以在顶点A的速度由A运动到P所画直线也是这个比值。

推论Ⅲ.另一方面,也可以求出物体掠过任意给定弧长AP所用时间,连接AP,在其中点作垂线与直线GH相交于H即可。