命题49 问题11

已知介质的密度和弹性力,求脉冲速度。

设介质像空气一样受到其上部的重量的压迫;令A为均匀介质的高度,其重量等于其上部的重量,密度与传播脉冲的压缩介质相同。做一只摆,自悬挂点到摆动中心的长度是A:在摆完成一次往复全摆动的时间内,脉冲行进的距离等于半径为A的圆周长。

因为,在命题47的作图和证明中,如果在每次振动中掠过距离PS的任意物理短线EF,在每次往返的端点P和S都受到等于其重量的弹性力的作用,则它的振动时间,与它在长度等于PS的摆线上摆动的时间相同;这是因为相等的力在相同或相等的时间内推动相等的物体通过相等的距离。所以,由于摆动时间正比于摆长的平方根,而摆长等于摆线的半弧长,一次振动的时间比长度为A的摆的摆动时间,等于长度或PO与长度A的比的平方根。但推动物理短线EG的弹性力,当它位于端点P,S时,(在命题47的证明中)比其弹性力,等于HL-KN比V,即(由于这时K落在P上),等于HK比V;所有的这种力,或等价地,压迫短线EG的上部重量,比短线的重量,等于上部重量的高度比短线的长度EG;所以,取对应项的乘积,则使短线EG在点P和S受到作用的力比该短线的重量等于HK·A比V·EG;或等于PO·A比VV;因为HK比EG等于PO比V。所以,由于推动相等的物体通过相等的距离所需的时间反比于力的平方根,受弹性力作用而产生的振动时间,比受重量冲击而产生的振动时间,等于VV与PO·A的比的平方根,而比长度为A的摆的摆动时间,等于VV与PO·A的比的平方根,与PO与A的比的平方根的乘积;即,等于V比A。而在摆的一次往复摆动中,脉冲行进的空间等于其宽度BC。所以脉冲通距离BC的时间比摆的一次往复摆动时间等于V比A,即等于BC比半径为A的圆周长。但脉冲通过距离BC的时间比它通过等于该圆周的长度也为相同比值,所以在这样的一次摆动时间内,脉冲行进的长度等于该圆周长。

证毕。

推论Ⅰ.脉冲的速度等于,一个重物体在相同加速运动的下落中,落下高度A的一半时所获得的速度。因为如果脉冲以该下落获得的速度行进,则在该下落时间内,掠过的距离等于整个高度A;所以,在一次往复摆动中,脉冲行进的距离等于半径为A的圆周长;因为下落时间比摆动时间等于圆半径比其周长

推论Ⅱ.由于高度A正比于流体的弹性力,反比于其密度,脉冲速度反比于密度的平方根,正比于弹性力的平方根。