命题39 问题27

设已知任意种类的向心力,以及曲线图形的面积:求沿一直线上升或下落的物体在它所通过的不同处所的速度,以及它到达任一处所所用的时间;或反过来由速度或时间求出处所。

设物体E由任意处所A沿直线ADEC下落;在处所E设想一垂线EG总是正比于在该点指向中心C的向心力;令BFG为一曲线,是点G的轨迹。在开始运动处设EG与垂线AB重合;则在任意处所E物体的速度将是一条直线,其平方等于曲线面积ABGE。

完毕。

因为,在直线AE上取一段已知极小线段,令物体位D时直线EMG的处所在DLF;如果向心力使得一条直线,其平方等于面积ABGE,正比于落体的速度,则该面积将正比速度的平方;即,如果把在D和E处的速度记为V和V+I,则面积ABFD将正比于VV,而面积ABGE正比于VV+2VI+II;由减法,面积DFGE正比于2VI+II,所以将正比于;即,如果取这些量刚产生时的最初比值,则长度DF正比于量,所以也正比于该量的一半,但物体掠过极小线段DE所用时间正比于该线段,反比于速度V;而力正比速度的增量I,反比于时间;所以,如果取这些量刚产生时的最初比值,则力正比于,即正比于长度DF。所以正比于DF或EG的力将使物体以正比于其平方等于面积ABGE的直线的速度下落。

完毕。

而且,由于掠过极小的给定长度DE所用的时间反比于速度,因而也反比于其平方等于面积ABFD的直线;又由于线段DL,因而刚产生的面积DLME,反比于同一直线,则时间正比于面积DLME,所有时间的和将正比于所用面积的和;即(由引理4的推论),掠过AE所用的全部时间正比于整个面积ATVME。

证毕。

推论Ⅰ.令P为物体应由之开始下落的处所,使得当它受到任意已知的均匀向心力(如常见的引力)的作用时,在处所D获得的速度,等于另一物体受任意力作用下落到同一处所D时所获得的速度。在垂线DF上取DR,它比DF等于该均匀力比在处所D的另一个力。作矩形PDRQ,分割面积ABFD等于该矩形,则A为另一个物体所由之下落的处所。因为作矩形DRSE,由于面积ABFD比面积DFGE等于VV比2VI,所以等于比I,即等于总速度的一半比下落物体受变化力作用产生的速度增量;用类似方法,面积PQRD比面积DRSE等于总速度的一半比下落物体受均匀力作用产生的速度增量;而由于这些增量(考虑到初始时间的相等性)正比于产生它们的力,即,正比于纵坐标DF,DR,因而正比于新生面积DFGE,DRSE;所以,整个面积ABFD,PQRD相互间的比正比于总速度的一半;所以,由于这些速度相等,它们也相等。

推论Ⅱ.如果任意物体被由任意处所D以给定速度向上或向下抛出,并且所受到的向心力的定律已给定,则它在任意其他场所,如e的速度,可以这样求出:作纵坐标eg,取该速度比在处所D的速度等于其平方为矩形PQPD,再加上曲线面积DFge,如果处所e低于处所D,或减同一面积DFge,如果处所e高于D的直线,比其平方刚好等于矩形PQRD的直线。

推论Ⅲ.时间也可以这样求得:作纵坐标em反比于PQRD+或-DFge的平方根,取物体掠过线段De的时间比另一物体受均匀力由P下落到达到D所用的时间等于曲线面积DLme比乘积2PD·DL。因为,物体受均匀力作用掠过线段PD的时间比同一物体掠过线段PE所用的时间等于PD与PE比值的平方根;即(极小线段DE刚刚产生),等于PD与或2PD与2PD+DE的比值,由减法,它比物体掠过小线段DE所用的时间,等于2PD比DE,所以,等于乘积2PD·DL比面积DLME;两个物体掠过极小线段DE的时间比物体以变化运动掠过线段De的时间,等于面积DLME比面积DLMe;所以,上述时间中的第一个与最后一个的比等于乘积2PD·DL比面积DLme