迄此为止我叙述的原理已为数学家所接受,也得到大量实验的验证。由前两个定律和前两个推论,伽利略曾发现物体的下落随时间的平方而变化(in duplicate ratione temporis),抛体的运动沿抛物线进行,这与经验相吻合,除了这些运动受到空气阻力的些微阻滞。物体下落时,其重量的均匀力作用相等,在相同的时间间隔内,这种相等的力作用于物体产生相等的速度;而在全部时间中全部的力所产生的全部的速度正比于时间。而对应于时间的距离是速度与时间的乘积,即正比于时间的平方。当向上抛起一个物体时,其均匀重力使其速度正比于时间递减,在上升到最大高度时速度消失,这个最大高度正比于速度与时间的乘积,或正比于速度的平方。如果物体沿任意方向抛出,则其运动是其抛出方向上的运动与其重力产生的运动的复合。因此,如果物体A只受抛射力作用,抛出后在给定时间内沿直线AB运动,而自由下落时,在同一时间内沿AC下落,作平行四边形ABDC,则该物体作复合运动,在给定时间的终了时刻出现在D处;物体画出的曲线AED是一抛物线,它与直线AB在A点相切,其纵坐标BD则与直线AB的平方成比例,由相同的定律和推论还能确定单摆振动时间,这在日用的摆钟实验中得到证明。运用这些定律、推论再加上定律Ⅲ,克里斯托弗·雷恩(Christopher Wren)爵士、瓦里斯(Wallis)博士和我们时代最伟大的几何学家惠更斯先生,各自独立地建立了硬物体碰撞和反弹的规则,并差不多同时向皇家学会报告了他们的发现,他们发现的规则极其一致。瓦里斯博士的确稍早一些发表,其次是克里斯托弗·雷恩爵士,最后是惠更斯先生。但克里斯托弗·雷恩爵士用单摆实验向皇家学会作了证明,马略特(M. Mariotte)很快想到可以对这一课题作全面解释。但要使该实验与理论精确相符,我们必须考虑到空气的阻力和相撞物体的弹力。将球体A,B以等长弦AC,BD平行地悬挂于中心C,D,绕此中心,以弦长为半径画出半圆EAF,GBH,并分别为半径CA,DB等分。将物A移到弧EAF上任意一点R,并(也移开物体B)由此让它摆下,设一次振动后它回到V点,则RV就是空气阻力产生的阻滞。取ST等于RV的四分之一并置于中间,即



并有

则ST非常近似地表示由S下落到A过程中的阻滞。再移回物体B,设物体A由点S下落,它在反弹点A的速度将与它in vacuo(在真空中)自点T下落时的大致相同,差别不大。由此看该速度可用弦TA长度来表示,因为这在几何学上是众所周知的命题:摆锤在其最低点的速度与它下落过程所划出的弧长成比例。反弹之后,设物体A到达S处,物体B到达k处,移开物体B,找一个V点,使物体A下落后经一次振荡后回到r处,而st是rv的四分之一,并置于其中间使rs等于tv,令弧tA的长表示物体A在碰撞后在A处的速度,因为t是物体A在不考虑空气阻力时所能达到的真实而正确的处所,用同样方法修正物体B所能达到的k点,选出l点为它in vacuo(在真空中)达到的处所。这样就具备了所有如同真的在in vacuo(在真空中)做实验的条件。在此之后,我们取物体A与弧TA的长(它表示其速度)的乘积(如果可以这样说的话),得到它在A处碰撞前一瞬间的运动,与弧tA的长的乘积表示碰撞后一瞬间的运动;同样,取物体B与弧Bl的长的乘积,就得到它在碰撞后同一瞬间的运动。用类似的方法,当两个物体由不同处所下落到一起时,可以得出它们各自的运动以及碰撞前后的运动,进而可以比较它们之间的运动,研究碰撞的影响。取摆长10英尺,所用的物体有相等也有不相等的,在通过很大的空间,如8,12或16英尺之后使物体相撞,我总是发现,当物体直接撞在一起时,它们给对方造成的运动的变化相等,误差不超过3英寸,这说明作用与反作用总是相等。若物体A以9单位的运动撞击静止的物体B,失去7个单位,反弹运动为2,则B以相反方向带走7个单位。如果物体由迎面的运动而碰撞,A为12单位运动,B为6,则如果A反弹运动为2,则B为8,即,双方各失去14单位的运动。因为由A的运动中减去12单位,则A已无运动,再减去2单位,即在相反方向产生2单位的运动;同样,从物体B的6个单位中减去14单位,即在相反方向产生8个单位的运动。而如果二物体运动方向相同,A快些,有14单位运动,B慢些,有5个单位,碰撞后A余下5个单位继续前进,而B则变为14单位,9个单位的运动由A传给B。其他情形也相同。物体相遇或碰撞,其运动的量,得自同向运动的和或是逆向运动的差,都绝不改变。至于一二英寸的测量误差可以轻易地归咎于很难做到事事精确上。要使两只摆精确地配合,使它们在最低点AB相互碰撞,要标出物体碰撞后达到的位置s和k是不容易的。还不止于此,某些误差,也可能是摆锤体自身各部分密度不同,以及其他原因产生的结构上的不规则所致。
可能会有反对意见,说这项实验所要证明的规律首要假定物体或是绝对硬的,或至少是完全弹性的(而在自然中这样的物体是没有的),有鉴于此,我必然补充一下,我们叙述的实验完全不取决于物体的硬度,用柔软的物体与用硬物体一样成功。因为如果要把此规律用在不完全硬的物体上,只要按弹力的量所需比例减少反弹的距离即可。根据雷恩和惠更斯的理论,绝对硬的物体的反弹速度与它们相遇的速度相等,但这在完全弹性体上能得到更肯定的证实。对于不完全弹性体,返回的速度要与弹性力同样减小,因为这个力(除非物体的相应部分在碰撞时受损,或像在锤子敲击下被延展)是(就我所能想见而言)确定的,它使物体以某种相对速度离开另一个物体,这个速度与物体相遇时的相对速度有一给定的比例。我用紧压坚固的羊毛球做过试验。首先,让摆锤下落,测量其反弹,确定其弹性力的量,然后,根据这个力,估计在其他碰撞情形下所应反弹的距离。这一计算与随后做的其他实验的确吻合。羊毛球分开时的相对速度与相遇时的速度总是大约5比9,钢球的返回速度几乎完全相同,软木球的速度略小,但玻璃球的速度比约为15比16,这样,第三定律在涉及碰撞与反弹情形时,都获得了与经验相吻合的理论证明。
对于吸引力的情形,我沿用这一方法作简要证明。设任意两个相遇的物体A,B之间有一障碍物介入,两物体相互吸引。如果任一物体,比如A,被另一物体B的吸引,比物体B受物体A的吸引更强烈一些,则障碍物受到物体A的压力比受到物体B的压力要大,这样就不能维持平衡:压力大的一方取得优势,把两个物体和障碍物共同组成的系统推向物体B所在的一方;若在自由空间中,将使系统持续加速直至in infinitum(无限);但这是不合理的,也与第一定律矛盾。因为,由第一定律,系统应保持其静止或匀速直线运动状态,因此两物体必定对障碍物有相等压力,而且相互间吸引力也相等。我曾用磁石和铁做过实验。把它们分别置于适当的容器中,浮于平静水面上,它们相互间不排斥,而是通过相等的吸引力支撑对方的压力,最终达到一种平衡。
同样,地球与其部分之间的引力也是相互的。令地球FI被平面EG分割成EGF和EGI两部分,则它们相互间的重量是相等的。因为如果用另一个平行于EG的平面HK再把较大的一部分EGI切成两部分EGKH和HKI,使HKI等于先前切开的部分EFG,则很明显中间部分EGKH自身的重量合适,不会向任何一方倾倒,始终悬着,在中间保持静止和平衡。但一侧的部分HKI将用其全部重量把中间部分压向另一侧的部分EGF,所以EGI的力,HKI和EGKH部分的和,倾向于第三部分EGF,等于HKI部分的重量,即第三部分EGF的重量。因此,EGI和EGF两部分相互之间的重量是相等的,这正是要证明的。如果这些重量真的不相等,则漂浮在无任何阻碍的以太中的整个地球必定让位于更大的重量,逃避开去,消失于无限之中。

由于物体在碰撞和反弹中是等同的,其速度反比于其惯性力,因而在运用机械仪器中有关的因素也是等同的,并相互间维持对方相反的压力,其速度由这些力决定,并与这些力成反比。
所以,用于运动天平的臂的重量,其力是相等的,在使用天平时,重量反比于天平上下摆动的速度,即,如果上升或下降是直线的,其重量的力就相等,并反比于它们悬挂在天平上的点到天平轴的距离;但若有斜面插入,或其他障碍物介入致使天平偏转,使它斜向上升或下降,那些物体也相等,并反比于它们参照垂直线所上升或下降的高度,这取决于垂直向下的重力。
类似的方法也用于滑轮或滑轮组。手拉直绳子的力与重量成正比,不论重物是直向或斜向上升,如同重物垂直上升的速度正比于手拉绳子的速度,都将拉住重物。
在由轮子复合而成的时钟和类似的仪器中,使轮子运动加快或减慢的反向力,如果反比于它们所推动的轮子的速度,也将相互维持平衡。
螺旋机挤压物体的力正比于手旋拧手柄使之运动的力,如同手握住那部分把柄的旋转速度与螺旋压向物体的速度。
楔子挤压或劈开木头两边的力正比于锤子施加在楔子上的力,如同锤子敲在楔上使之在力的方向上前进的速度正比于木头在楔下在垂直于楔子两边的直线方向上裂开的速度,所有机器都给出相同的解释。
机器的效能和运用无非是减慢速度以增加力,或者反之。因而运用所有适当的机器,都可以解决这样的问题:以给定的力移动给定的重量,或以给定的力克服任何给定的阻力。如果机器设计成其作用和阻碍的速度反比于力,则作用就能刚好抵消阻力,而更大的速度就能克服它。如果更大的速度大到足以克服一切阻力。它们通常来自接触物体相互滑动时的摩擦,或要分离连续的物体的凝聚,或要举起的物体的重量,则在克服所有这些阻力之后,剩余下的力就将在机器的部件以及阻碍物体中产生与自身成正比的力速度。但我在此不是要讨论力学,我只是想通过这些例子说明第三定律适用之广泛和可靠。如果我们由力与速度的乘积去估计作用,以及类似地,由阻碍作用的若干速度与由摩擦、凝聚、重量产生的阻力的乘积去估计阻碍反作用,则将发现一切机器中运用的作用与反作用总是相等的。尽管作用是通过中介部件传递的,最后才施加到阻碍物体上,其最终的作用总是针对反作用的。