命题44 定理35

在管道或水管中,如果水交替地沿竖直管子KL,MN上升和下降;一只摆,其在悬挂点与摆动中心之间的摆长等于水在管道中长度的一半,则水的上升与下落时间与摆的摆动时间相等。

我沿管道及其竖直管子的轴测出水的长度,并使之等于这些轴长的和;水摩擦管壁所引起的阻力忽略不计。所以,令AB,CD表示竖直管子中水的平均高度;当水在管子KL中上升到高度EF时,在管子MN中的水将下降到高度GH。令P为摆体,VP为悬线,V为悬挂点,RPQS为摆掠过的摆线,P为其最低点,PQ为等于高度AE的一段弧长。使水的运动交替加速和变慢的力,等于一只管子中水的重量减去另一只管子中水的重量;因此,当管子KL中的水上升到EF时,另一只管子中的水下降到GH,上述力是水EABF的重量的二倍,因而水的总重量等于AE或PQ比VP或PR。而使物体P在摆线上任意位置Q加速或变慢的力,(由第一编命题51推论)比其总重量等于它到最低点P的距离PQ比摆线长PR。所以,掠过相等距离AE,PQ的水和摆的运动力,正比于被运动的重量;所以,如果开始时水和摆是静止的,则这些力将使它们作等时运动,并且是共同往返的交替运动。

证毕。

推论Ⅰ.水升降往复总是在相等时间内进行的,不论这种运动是强烈或微弱。

推论Ⅱ.如果管道中水的总长度为尺(法国单位),则水下降时间为一秒,而上升时间也为一秒,循环往复以至于无限;因为在该计量单位下尺长的摆的摆动时间为1秒。

推论Ⅲ.如果水的长度增大或减小,则往复时间正比于长度比的平方根增加或缩短。