命题76 定理36

如果若干球体(就其物质密度和吸引力而言)相互间由其中心到表面的同类比值完全不相似,但各球在其到中心给定距离处是相似的,而且各点的吸引力随其到被吸引物体的距离的平方而减小:则这些球体中的一个吸引其他球体的全部的力反比于球心距离的平方。

设若干同心相似球AB,CD,EF,等等。其中最里面的一个加上最外面的一个所包含的物质其密度大于球心,或者减去球心处密度后余下同样稀薄的物质。则由命题75,这些球体将吸引其他相似的同心球GH,IK,LM等,其中每一个对其他一个的吸引力反比于距离SP的平方。运用相加或相减方法,所有这些力的总和,或者其中之一与其他的差,即整个球体AB(包括所有其他同心球或它们的差)的合力吸引整个球体GH(包括所有其他同心球或它们的差)也等于相同比值。令同心球数目无限增加,使物质密度同时使吸引力在沿由球面到球心的方向上按任意给定规律增减;并通过增加无吸引作用的物质补足不足的密度,使球体获得所期望的任意形状;而由前述理由,其中之一吸引其他球体的力同样反比于距离的平方。

证毕。

推论Ⅰ.如果有许多此类的球,在一切方面相似,相互吸引,则每个球体对其他一个球体的加速吸引作用,在任意相等的中心距离处,都正比于吸引球体。

推论Ⅱ.在任意不相等的距离处,正比于吸引球体除以二球心距离的平方。

推论Ⅲ.一个球相对于另一个球的运动吸引,或二者间的相对重量,在相同的球心距离处,共同正比于吸引的与被吸引的球,即正比于这两个球的乘积。

推论Ⅳ.在不同的距离处,正比于该乘积,反比于二球心距离的平方。

推论Ⅴ.如果吸引作用由两个球相互作用产生,上述比例式依然成立。因为两个力的相互作用仅使吸引作用加倍,比例式保持不变。

推论Ⅵ.如果这样的球绕其他静止的球转动,每个球绕另一个球转动,而且静止球与运动球心的距离正比于静止球的直径,则环绕周期相同。

推论Ⅶ.如果周期相同,则距离正比于直径。

推论Ⅷ.在绕圆锥曲线焦点的运动中,如果具有上述条件和形状的吸引球位于焦点上,上述结论成立。

推论Ⅸ.如果具有上述条件的运动球也能吸引,结论依然成立。