令任意流体的密度正比于压力,其各部分受反比于到中心距离平方的重力作用而竖直向下:则如果按调和级数取距离,在这些距离上的流体密度构成几何级数。

令S为中心,SA,SB,SC,SD,SE为按几何级数取的距离。作垂线AH,BI,CK等等。它们都正比于A,B,C,D,E等处的流体密度,而对应的比重则正比于
等等。设这些重力是均匀连续的,第一个由A到B,第二个由B到C,第三个由C到D,等等,它们乘以高度AB,BC,CD,DE等等,或者,等价地,乘以距离SA,SB,SC,等等,正比于这些高度,则得到表示压力的
等等,所以,由于密度正比于这些压力的和,则密度的差AH-BI,BI-CK等正比于这些和
的差。以S为中心,SA,Sx为渐近线,画任意双曲线,与垂线AH,BI,CK等相交于a,b,c等,作于渐近线Sx上的与垂线Ht,Iu,Kw相交于h,i,k;则密度的差tu,uw等将正比于
等,即正比于Aa,Bb等。因为,由双曲线的特性,SA比AH或St等于th比Aa,因而
等于Aa。由类似理由,
等于Bb,等等。但Aa,Bb,Cc等是连续正比的,因而也正比于它们的差Aa-Bb,Bb-Cc等等,所以矩形tp,uq等等也正比于这些差;也正比于矩形的和tp+uq成tp+uq+ur与差Aa-Cc或Aa-Dd的和的比。设这些项中的若干个与所有差的和,如Aa-Ff,正比于所有矩形zthn的和。无限增加项数,减小点A,B,C等之间的距离,则这些矩形等于双曲线面积zthn,因而差Aa-Ff正比于该面积。现取按调和级数取任意距离SA,SD,SF,则差Aa-Dd,Dd-Ff相等;所以面积thlx,xlnz正比于这些差,而且相互相等,而密度St,Sx,Sz,即AH,DL,FN则连续正比。
证毕。
推论.如果已知流体的两个密度AH,BI,则可以求出对应于其差tu的面积thiu;因而取面积thnz比该已知面积thiu等于差Aa-Ff比差Aa-Bb,即可以求出任意高度SF的密度FN。