第5章

焦点未知时怎样求轨道

引理17

如果由已知圆锥曲线上任一点P向其任意内接四边形ABDC的四个边AB,CD,AC,DB以已知夹角作同样多的直线PQ,PR,PS,PT,每边对应一条直线,则由位于相对边AB,CD上的矩形PQ·PR与位于另两相对边AC,BD上的矩形PS·PT的比是给定的。

情形1.首先设画向一对对边的直线分别与另两边平行,即PQ和PR与AC边,PS和PT与AB边相平行,而具一对对边,如AC与BD也相互平行。则等分这些平行边的直线是圆锥曲线的一条直径,而且同样等分RQ,令O为RQ的等分点,PO即为该直径上的纵坐标。延长PO到K,使OK等于PO,则OK为该直径在另一侧的纵坐标,因为点A,B,P和K都在圆锥曲线上,而PK以已知角与AB相交,则(由阿波罗尼奥斯的《论圆锥曲线》第三卷,命题17,19,21和23)矩形PQ·QK与矩形AQ·QB的比为给定值,但QK与PR相等,是相等直线OK,OP与OQ,QR的差,所以矩形PQ·QK与PQ·PR相等,所以,矩形PQ·PR与矩形AQ·QB的比,即与矩形PS·PT的比,是给定的。

证毕。

情形2.再设四边形相对边AC与BD不平行,作Bd平行于AC,与圆锥曲线相交于d,与直线ST相交于t。连接Cd与PQ交于r,作DM平行PQ与Cd交于M,与AB交于N,则(因为三角BTt与DBN相似)Bt或PQ:Tt=DN:NG。同样Rr:AQ或PS=DM:AN。所以,前项乘以前项,后项乘以后项,则矩形PQ·Rr比矩形PS·Tt等于矩形DN·DM比矩形NA·NB;同样(由情形1)运用除法,则矩形PQ·Pr比矩形PS·Pt等于矩形PQ·PR比PS·PT。

证毕。

情形3.最后设四条线PQ,PR,PS,PT不平行于边AC,AB,而是任意相交的。作Pq,Pr平行于AC,Ps,Pt平行于AB。因为三角形PQq,PRr,PSs,PTt的角是给定的,则PQ比Pq,PR比Pr,PS比Ps,PT比Pt的值也是给定的,所以,复合比PQ·PR比Pq·Pr以及PS·PT比Ps·Pt是给定的,但由前面已证明的,Pq·Pr比Ps·Pt为已知,所以PQ·PR比PS·PT也为已知。

证毕。