本引理中,圆锥曲线的概念应作广义理解,经过锥体顶点的直线截面与平行于锥体底面的圆周截面都包括在内。因为如果点P处在连接A与D或C与B点的直线上,圆锥曲线就变成两条直线,其中一条就是点P所在的直线,另一条连接着四个点中的另外两个。如果四边形的相对角合起来等于两个直角,四条直线PQ,PR,PS,PT因而以直角或其他相等角引向四条边,而且矩形PQ·PR等于矩形PS·PT,则圆锥曲线变为圆。如果四条直线以任意角度画成,乘积PQ·PR比乘积PS·PT等于后两条直线PS,PT与其对应边夹角S,T的正弦的乘积比前两条直线PQ,PR与其对应边夹角Q,R的正弦的乘积,则圆锥曲线也是圆。在所有其他情形中,点P的轨迹是通常称之为圆锥曲线的三种曲线中的一种。也可以不用四边形ABCD,而代之以一种对边像对角线那样交叉的四边形。四个点A,B,C,D中的一个或两个也可以移到无限远距离处,这意味着四边形的边收敛于该点,成为平行线,在此情形下,圆锥曲线将通过余下的点,并在同一方向上以抛物线形式伸向无限远。
