第六推论的情形发生在天体中(如克里斯托弗·雷恩爵士,胡克博士和哈雷博士分别观测到的);所以,我拟在下文中就与向心力随物体到中心距离的平方减少有关的问题作详尽讨论。
还有,由上述命题及其推论,我们可以知道向心力与任何其他已知力如重力的比,因为,如果一个物体因其重力沿以地球为心的圆周轨道运行,这个重力就是那个物体的向心力。由重物体的下落(根据本命题推论Ⅸ),它环绕一周的时间,以及在任意时间里掠过的弧长都可以知道。惠更斯先生在他的名著《论摆钟》中就是根据这一命题把重力与环绕物体的向心力作类比的。
也可以用这一方法证明上述命题。在任意圆内作内切多边形,其边数是任意的,如果物体以给定速度沿多边形的边运动,在各角顶点被圆周反弹,则每次反弹物体撞击圆周的力正比于其速度:所以,在给定时间里,这些力的和正比于速度与反弹次数的乘积;也就是说,(如果多边形已经给定)正比该给定时间里所掠过的长度,并随着相同长度与圆周半径的比值增减,即,正比于长度的平方除以半径,所以,当多边形的边无限减小时,趋于与圆周重合,这时,即正比于在给定时间里掠过的弧长除以半径,这就是物体施加给圆周的向心力,而圆周连续作用于物体使其指向中心的反向力,与之相等。