如果物体沿圆周运动,求指向任意给定点的向心力的定律。

令VQPA是圆周,S是力所指向的给定中心,P是沿圆周运动的物体,Q是物体将要到达的处所,PRZ是圆周在前一个处所的切线。通过点S作弦PV,以及圆的直径VA,连接AP,作QT垂直于SP,并延长与切线PR相交于Z,最后,通过点Q作LR平行于SP,与圆周相交于L,与切线PZ相交于R。因为三角形ZQR,ZTP,VPA相似,RP2=RL·QR,而
。
所以,

等式两边同乘以
,当点P与Q重合时,RL可写为PV,于是有:

所以,(由命题6推论Ⅰ和Ⅴ)向心力反比于
,即(由于AV2已给定)反比于SP2与PV3的乘积。
完毕。
另一种解法

在切线PR上作垂线SY,(由于三角SYP,VPA相似)即有AV比PV等于SP比SY,所以
,所以(由命题6推论Ⅲ和Ⅴ)向心力反比于
,即(因为AV已经给定)反比于SP2·PV3。
推论Ⅰ.如果向心力永远指向的点S已给定,并位于圆周上,如位于V,则向心力反比于SP长度的5次方。
推论Ⅱ.使物体P沿圆周APTV环绕力的中心S运动的力,与使同一物体P沿同一圆周以相同周期环绕另一力的中心R运动的力的比,等于RP2·SP与直线SG的立方的比。直线SG是由第一个中心S做出的平行于物体到第二个中心R的距离PR,并与轨道切线PG相交于G点的直线距离。因为,由本命题,前一个力与后一个力的比等于RP2·PT3比SP2·PV3,也就是说,等于SP·RP2比
,或正比于(因为三角形PSG,TPV相似)SG3。
推论Ⅲ,使物体P沿任意轨道环绕力的中心S运动的力,与使同一物体沿同一轨道以相同周期环绕另一任意力的中心R的力的比,等于立方SP·RP2,其中包括物体到第一个中心S的距离,和物体到第二个力的中心R的距离的平方,与直线SG的立方的比。SG是由第一个力的中心S沿平行于物体到第二个力的中心R的距离的直线到它与轨道切线PG的交点G的距离,因为在该轨道上任意一点P的力与它在相同曲率圆周上的力相等。