任一生成量(genitum)的瞬(moment)等于各生成边(generating sides)的瞬乘以这些边的幂指数,再乘以它们的系数,然后再求总和。
我称之为生成量的任意量,不是由若干分立部分相加或相减形成的,而是在算术上由若干项通过相乘、相除或求方根产生或获得的;在几何上则由求容积和边,或求比例外项和比例中项形成。这类量包括有乘积,商,根,长方形,正方形,立方体,边的平方和立方以及类似的量。在此,我把这些量看做是变化的和不确定的,可随连续的运动或流动增大或减小;所谓瞬,即指它们的瞬时增减;可以认为,呈增加时瞬为正值,呈减少时瞬为负值。但应注意这不包括有限小量。有限小量不是瞬,却正是瞬所产生的量。我们应把它们看做是有限的量所刚刚新生出的份额。在此引理中我们也不应将瞬的大小,而只应将瞬的初始比,看做是新生的。如果不用瞬,则可以用增加或减少(也可以称做量的运动、变化和流动)的速率,或相应于这些速率的有限量来代替,效果相同。所谓生成边的系数,指的是生成量除以该生成边所得到的量。
因此,本引理的含义是,如果任意量A,B,C等等由于连续的流动而增大或减小,而它们的瞬或与它们相应的变化率以a,b,c来表示,则生成量AB的瞬或变化等于aB+bA;乘积ABC的瞬等于aBC+bAC+cAB;而这些变量所产生的幂
,
的瞬分别为
;一般地,任意幂
的瞬为
。生成量A2B的瞬为2aAB+bA2;生成量A3B4C2的瞬为3aA2B4C2+4bA3B3C2+2cA3B4C;生成量
或A3B-2的瞬为3aA2B-2-2bA3B-3;以此类推。本引理可以这样证明:
情形1.任一长方形,如AB,由于连续的流动而增大,当边A和B尚缺少其瞬的一半
和
时,等于
乘以
,或者
;而当边A和B长出半个瞬时,乘积变为
乘以
,或者
。将此乘积减去前一个乘积,余下差aB+bA。所以当变量增加a和b时,乘积增加aB+bA。
证毕。
情形2.设AB恒等于G,则容积ABC或CG(由情形1)的瞬为gC+cG,即(以AB和aB+bA代替G和g),aBC+bAC+cAB。不论乘积有多少变量,瞬的求法与此相同。
证毕。
情形3.设变量A,B和C恒相等;则A2,即乘积AB的瞬aB+bA变为2aA;而A3,即容积ABC的瞬aBC+bAC+cAB变为3aA2。同样地,任意幂An的瞬是naAn-1。
证毕。
情形4.由于
乘以A是1,则
的瞬乘以A,再加上
乘以a,就是1的瞬,即等于零。所以,
,或A-1的瞬是
。一般地,由于
乘An等于1,
的瞬乘以An再加上
乘以naAn-1等于零。所以
或A-n的瞬是
。
证毕。
情形5.由于
乘以
等于
的瞬乘以
等于a(由情形3);所以,
的瞬等于
或
。推而广之,令
等于B,则Am等于Bn,所以maAm-1等于nbBn-1,maA-1等于nbB-1,或
;所以
等于b,即等于
的瞬。
证毕。
情形6.所以,生成量AmBn的瞬等于Am的瞬乘以Bn,再加上Bn的瞬乘以Am,即maAm-1Bn+nbBn-1Am;不论幂指数m和n是整数还是分数,是正数还是负数,对于更高次幂也是如此。
证毕。
推论Ⅰ.对于连续正比的量,如果其中一项已知,则其余项的变化率正比于该项乘以该项与已知项间隔项数。令A,B,C,D,E,F连续正比;如果C为已知,则其余各项的瞬之间的比为-2A,-B,D,2E,3F。
推论Ⅱ.如果在四个正比量里两个中项为已知,则端项的变化率正比于该端项。这同样适用于已知乘积的变量。
推论Ⅲ.如果已知两个平方的和或差,则变量的瞬反比于该变量。