引理22

将图形变换为同种类的另一个图形。

设任意图形HGI需要加以变换。随意作两条平行线AO,BL与任意给定的第三条直线AB相交于A和B,并由图形中任意点G作任意直线GD平行于OA,并延长直线AB,然后由任意直线OA上的给定点O向点D作直线OD,与BL相交于d;由该交点作直线dg与直线BL成任意给定夹角,并使dg比Od等于DG比OD;则g是新图形hgi中对应于G的点。由类似方法可使第一个图形中若干点给出在图形中同样多的对应点,所以,如果设想点G以连续运动通过第一个图形中的所有点,则点g将相似地以连续运动通过新图形中所有的点,画出相同的图形,为了加以区别,我们称DG为原纵坐标,dg为新纵坐标,AD为原横坐标,ad为新横坐标,O为极点,OD为分割半径,OA为原纵半径,Oa(由它使平行四边形OABa得以完成)为新纵半径。

如果点G在给定直线上,则点g也将在一给定直线上,如果点G在一圆锥直线上,则点g也在一圆锥直线上,在此,我把圆也当做圆锥曲线中的一种。而且,如果点G在一条三次曲线上,点g也将在三次曲线上,对于更高次的曲线也是如此,点G与g所在的曲线其次数总是相同,因为ad:OA=Od:OD=dg:DG=AB:AD;所以,AD等于,而DG等于。现在,如果点G在直线上,则在任何表示横坐标AD与纵坐标GD的关系的方程中,未确定的曲线AD和DG不会高于一次;在此方程中以代替AD,以代替DG,则得到的表示新横坐标ad和新纵坐标dg关系的方程也只是一次的,所以它只表示一条直线;但如果AD与DG(或它们中的一个)在原方程中升为二次方,则addg在第二个方程中也类似地升到二次方。对于三次或更高次方也是如此。addg在第二个方程中,以及AD与DG在原方程中所要确定的曲线其次数总是相同的,因而点G,g所在曲线的解析次数总是相同。

而且,如果任意直线与一个图形中的曲线相切,则同一直线以与曲线相同的方式移至新图形中也与新图形中的曲线相切;反之亦然。因为,如果原图形曲线上的任意两点相互趋近并重合,则相同的点变换到新图形中也将相互趋近并重合,所以,两个图形中哪些点构成的直线将变成曲线的切线。我本应用更几何的形式对此加以证明,但在此从简了。

所以,如果要将一个直线图形变换成另一个,只需要将原图形中包含的直线的交点加以变换,在新图形中通过已变换的交点作直线。但如果要变换曲线图形,则必须运用确定该曲线的方法,变换若干点、切线和其他直线。本引理可用于解决更困难的问题;因为由此我们可以把复杂的图形变换为较简单的。这样,把原纵坐标半径以通过收敛直线的交点的直线来代替,可以将收敛到一点的任意直线变换为平行线,因为这样使它们的交点落在无限远处;而平行线正是趋向于无限远处的一点的。在新图形的问题解决之后,如果运用相反的操作把新图形变换为原图形,就会得到所需要的解。

本引理还可用于解决立体问题。因为通常需要解决两条圆锥曲线相交的问题,它们中的任何一条,如果是双曲线或抛物线的话,都变换成椭圆,而该椭圆又很容易变换为圆。在平面构图问题中也是如此,直线与圆锥曲线可以变换为直线与圆。