命题66 定理26

三个物体,如果它们相互吸引的力随其距离的平方而减小;且其中任意两个倾向于第三个的加速吸引力反比于相互间距离的平方;且两个较小的物体绕最大的物体旋转:则两个环绕物体中较靠内的一个作向最靠内且最大物体的半径,环绕该物体所掠过的面积更接近于正比于时间,画出的图形更接近于椭圆,其焦点位于二个半径的交点,如果该最大物体受到这吸引力的推动,而不是像它完全不受较小物体的吸引,因而处于静止;或者像它被远为强烈的,或远为微弱的力所吸引,或在该吸引力作用下被远为强烈地,或远为微弱地推动所表现的那样的话。

由前一命题的第二个推论不难得出这一结论,但也可以用某种更严格更一般的方法加以证明。

情形1.令小物体P和S在同一平面上关于最大物体T旋转,物体P画出内轨道PAB,S画出外轨道ESE。令SK为物体P和S的平均距离;物体P在平均距离处指向S的加速吸引力由直线SK表示。作SL比SK等于SK的平方比SP的平方,则SL是物体P在任意距离SP处指向S的加速吸引力。连接PT,作LM平行于它并与ST相交于M;将吸引力SL分解(由运动定律推论Ⅱ)为吸引力SM,LM。这样,物体P受到本三个吸引力的作用。其中之一指向T,来自物体T和P的相互吸引。该力使物体P以半径PT环绕物体T,掠过的面积正比于时间,画出的椭圆焦点位于物体T的中心;这一运动与物体T处于静止或受该吸引力而运动无关,这可以由命题11,以及定理21的推论Ⅱ和Ⅲ知道。另一个力是吸引力LM,由于它由P指向T,因而叠加在前一个力上,产生的面积,由定理21推论Ⅲ知,也正比于时间。但由于它并不反比于距离PT的平方,在迭加到前一个力上后,产生的复合力将使平方反比关系发生变化;复合力中这个力的比例相对于前一个力越大,变化也越大,其他方面则保持不变。所以,由命题11,定理21推论Ⅱ,画出以T为焦点的椭圆的力本应指向该焦点,且反比于距离PT的平方,而使该关系发生变化的复合力将使轨道PAB由以T的焦点的椭圆轨道发生变化;该力的关系变化越大,轨道的变化也同样大的变化,而且第二个力LM相对于第一个力的比例也越大,其他方面保持不变。而第三个力SM沿平行于ST的方向吸引物体P,与另两个力合成的新力不再直接由P指向T;这种方向变化的大小与第三个力相对于另两个力的比例相同,其他方面保持不变,因此,使物体P以半径TP掠过的面积不再正比于时间;相对于该正比关系发生变化的大小与第三个力相对于另两个力的比例的大小相同。然而这第三个力加剧了轨道PAB相对于前两种力造成的相对于椭圆图形的变化:首先,力不是由P指向T;其次,它不反比于距离PT的平方。当第三个力尽可能地小,而前两个力保持不变时,掠过的面积最为接近于正比于时间;而当第二和第三两个力,特别是第三个力,尽可能地小,第一个力保持先前的量不变时,轨道PAB最接近于上述椭圆。

令物体T指向S的加速吸引力以直径SN表示;如果加速吸引力SM与SN相等,则该力沿平行方向同等地吸引物体T和P,完全不会引起它们相互位置的改变,由运动定律推论Ⅵ,这两个物体之间的相互运动与该吸引力完全不存在时一样。由类似的理由,如果吸引力SN小于吸引力SM,则SM被吸引力SN抵消掉一部分,而只有(吸引力)剩余的部分MN干扰面积与时间的正比性和轨道的椭圆图形。再由类似的方法,如果吸引力SN大于吸引力SM,则轨道与正比关系的摄动也由吸引力差MN引起。在此,吸引力SN总是由于SM而减弱为MN,第一个与第二个吸引力完全保持不变。所以,当MN为零或尽可能小时,即当物体P和T的加速吸引力尽可能接近于相等时,亦即吸引力SN既不为零,也不小于吸引力SM的最小值,而是等于吸引力SM的最大值和最小值的平均值,即既不远大于也不远小于吸引力SK之时,面积与时间最接近于正比关系,而轨道PAB也最接近于上述椭圆。

证毕。

情形2.令小物体P,S关于大物体T在不同平面上旋转。在轨道PAB平面上沿直线PT方向的力LM的作用与上述相同,不会使物体P脱离该轨道平面。但另一个力NM,沿平行ST的直线方向作用(因而,当物体S不在交点连线上时,倾向于轨道PAB的平面),除引起所谓纵向摄动之外,还产生另一种所谓横向摄动,把物体P吸引出其轨道平面。在任意给定物体P和T的相互位置情形下,这种摄动正比于产生它的力MN;所以,当力MN最小时,即(如前述)当吸引力既不远大于也不远小于吸引力SK时,摄动最小。

证毕。

推论Ⅰ.所以,容易推知,如果几个小物体P,S,R等关于极大物体T旋转,则当大物体与其他物体相互间都受到吸引和推动(根据加速吸引力的比值)时,在最里面运动的物体P受到的摄动最小。

推论Ⅱ.在三个物体T,P,S的系统中,如果其中任意两个指向第三个的加速吸引力反比于距离的平方,则物体P以PT为半径关于物体T掠过面积时,在会合点A及其对点B附近时快于掠过方照点C和D。因为,每一种作用于物体P而不作用于物体T的力,都不沿直线PT方向,根据其方向与物体的运动方向相同或是相反,对它掠过面积加速或减速。这就是力NM。在物体由C向A运动时,该力指向运动方向,对物体加速;在到达D时,与运动方向相反,对物体减速;然后直到运动到B,它与运动同向;最后由B到C时它又与运动反向。

推论Ⅲ.由相同理由知,在其他条件不变时,物P在会合点及其对点比在方照点运动得快。

推论Ⅳ.在其他条件不变时,物体P在轨道在方照点比在会合点及其对点弯曲度大。因为物体运动越快,偏离直线路径越少。此外,在会合点及其对点。力KL,或NM与物体T吸引物体P的力方向相反,因而使该力减小;而物体P受物体T吸引越小,偏离直线路径越小。

推论Ⅴ.在其他条件不变时,物体P在方照点比在会合点及其对点距物体T更远。不过这仅在不计偏心率变化时才成立。因为如果物体P的轨道是偏心的,当回归点位于朔望点时,其偏心率(如将在推论Ⅸ中计算的)最大,因而有可能出现这种情况,当物体P的朔望点接近其远回归点时,它到物体T的距离大于在方照点的距离。

推论Ⅵ.因为使物体P滞留在其轨道上的中心物体T的向心力,在方照点由于力LM的加入而增强,而在朔望点由于减去力KL而削弱,又因为力KL大于LM,因而削弱的多于增强的;而且,由于该向心力(由命题4推论Ⅱ)正比于半径TP,反比于周期的平方变化,所以不难推知力KL的作用使合力比值减小;因此设轨道半径PT不变,则周期增加,并正比于该向心力减小比值的平方根;因此,设半径增大或减小,则由命题4推论Ⅵ,周期以该半径的次幂增大或减小。如果该中心物体的吸引力逐渐减弱,被越来越弱地吸引的物体P将距中心物体T越来越远;反之,如果该力越来越强,它将距T越来越近。所以,如果使该力减弱的远物体S的作用由于旋转而有所增减,则半径TP也相应交替地增减;而随着远物体S的作用的增减,周期也随半径的比值的次幂,以及中心物体T的向心力的减弱或增强比值的平方根的复合比值而增减。

推论Ⅶ.由前面证明的还可以推知,物体P所画椭圆的轴,或回归线的轴,随其角运动而交替前移或后移,只是前移较后移为多,因此总体直线运动是向前移的。因为,在方照点力MN消失,把物体P吸引向T的力由力LM和物体T吸引物体P的向心力复合而成。如果距离PT增加,第一个力LM近似于以距离的相同比例增加,而另一个力则以正比于距离比值的平方减少;因此两个力的和的减少小于距离PT比值的平方;因此由命题45推论Ⅰ,将使回归线,或者等价地,使上回归点后移。但在会合点及其对点使物体P倾向于物体T的力是力KL与物体T吸引物体P的力的差,而由于力KL极近似于随距离PT的比值而增加,该力差的减少大于距离PT比值的平方;因此由命题45推论Ⅰ,使回归线前移。在朔望点和方照点之间的地方,回归线的运动取决于这两种因素的共同作用,因此它按两种作用中较强的一项的剩余值比例前移或后移。所以,由于在朔望点力KL几乎是力LM在方照点的二倍,剩余在力KL一方,因而回归线向前移。如果设想两个物体T和P的系统为若干物体S,S,S,等等在各边所环绕,分布于轨道ESE上,则本结论与前一推论便易于理解了,因为由于这些物体的作用,物体T在每一边的作用都减弱,其减少大于距离比值的平方。

推论Ⅷ.但是,由于回归点的直线或逆行运动决定于向心力的减小,即决定于在物体由下回归点移向上回归点过程中,该力大于或是小于距离TP比值的平方;也决定于物体再次回到下回归点时向心力类似的增大;所以,当上回归点的力与下回归点的力的比值较之距离平方的反比值有最大差值时,该回归点运动最大。不难理解,当回归点位于朔望点时,由于相减的力KL或NM-LM的缘故,其前移较快;而在方照点时,由于相加的力LM,其后移较慢。因为前行速度或逆行速度持续时间很长,这种不等性相当明显。

推论Ⅸ.如果一个物体受到反比于它到任意中心的距离的平方的力的阻碍,环绕该中心运动;在它由上回归点落向下回归点时,该力受到一个新的力的持续增强,且超过距离减小比值的平方,则该总是被吸引向中心的物体在该新的力的持续作用下,将比它单独受随距离减小的平方而减小的力的作用更倾向于中心,因而它画出的轨道比原先的椭圆轨道更靠内,而且在下回归点更接近于中心。所以,新力持续作用下的轨道更为偏心。如果随着物体由下回归点向上回归点运动再以与上述的力的增加的相同比值减小向心力,则物体回到原先的距离上;而如果力以更大比值减小,则物体受到的吸引力比原先要小,将迁移到较大的距离,因而轨道的偏心率增大得更多。所以,如果向心力的增减比值在每一周中都增大,则偏心率也增大;反之,如果该比值减小,则偏心率也减小。

所以,在物体T,P,S的系统中,当轨道PAB的回归点位于方照点时,上述增减比值最小,而朔望点时最大。如果回归点位于方照点,该比值在回归点附近小于距离比值的平方,而在朔望点大于距离比值的平方;而由该较大比值即产生的回归线运动,正如前面所述。但如果考虑上下回归点之间的整个增减比值,它还是小于距离比值的平方。下回归点的力比上回归点的力小于上回归点到椭圆焦点的距离与下回归点到同一焦点的距离的比值的平方,反之,当回归点位于朔望点时,下回归点的力比上回归点的力大于上述距离比值的平方。因为在方照点,力LM叠加在物体T的力上,复合力比值较小;而在朔望点,力KL减弱物体T的力,复合力比值较大。所以,在回归点之间运动的整个增减比值,在方照点最小,在朔望点最大;所以,回归点在由方照点向朔望点运动时,该比值持续增大,椭圆的偏心率也增大;而在由朔望点向方照点运动时,比值持续减小,偏心率也减小。

推论Ⅹ.我们可以求出纬度误差。设轨道EST的平面不动,由上述误差的原因可知,两个力NM,ML是误差的唯一和全部原因,其中力ML总是在轨道PAB平面内作用,不会干扰纬度方向的运动;而力NM,当交会点位于朔望点时,也作用于轨道的同一平面,此时也不会影响纬度运动。但当交会点位于方照点时,它对纬度运动有强烈干扰,把物体持续吸引出其轨道平面;在物体由方照点向朔望点运动时,它减小轨道平面的倾斜,而当物体由朔望点移向方照点时,它又增加平面的倾斜。所以,当物体到达朔望点时,轨道平面倾斜最小,而当物体到达下一个交会点时,它又恢复到接近于原先的值。但如果物体位于方照点后的八分点(45°)即位于C和A,D和B之间,则由于刚才说明的原因,物体P由任一交会点向其后90°点移动时,平面倾斜逐渐减小;然后,在由下一个45°向下一个方照点移动时,倾斜又逐渐增加;其后,再由下一个45°度向交会点移动时,倾斜又减小。所以,倾斜的减小多于增加,因而在后一个交会点总是小于前一个交会点。由类似理由,当交会点位于A和D,B和C之间的另一个八分点时,平面倾斜的增加多于减小。所以,当交会点在朔望点时倾斜最大。在交会点由朔望点向方照点运动时,物体每次接近交会点,倾斜都减小,当交会点位于方照点同时物体位于朔望点时倾斜达到最小值;然后它又以先前减小的程度增加,当交会点到达下一个朔望点时恢复到原先值。

推论Ⅺ.因为,当交会点在方照点时,物体P被逐渐吸引离开其轨道平面,又因为该吸引力在它由交会点C通过会合点A向交会点D运动时是指向S的,而在它由交会点D通过对应点B移向交会点C时,方向又相反,所以,在离开交会点C的运动中,物体逐渐离开其原先的轨道平面CD,直至它到达下一个交会点,因而在该交会点上,由于它到原先平面CD距离最远,它将不在该平面的另一个交会点D,而在距物体S较近的一个点通过轨道EST的平面,该点即该交会点在其原先处所后的新处所。而由类似理由,物体由一个交会点向下一个交会点运动时,交会点也向后退移。所以,位于方照点的交会点逐渐退移;而在朔望点没有干扰纬度运动的因素,交会点不动;在这两种处所之间两种因素兼而有之,交会点退移较慢。所以,交会点或是逆行,或是不动,总是后移,或者说,在每次环绕中都向后退移。

推论Ⅻ.在物体P,S的会合点,由于产生摄动的力NM,ML较大,上述诸推论中描述的误差总是略大于对点的误差。

推论Ⅷ.由于上述诸推论中误差和变化的原因和比例与物体S的大小无关,所以即使物体S大到使二物体P和T的系统环绕它运动上述情形也会发生。物体S的增大使其向心力增大,导致物体P的运动误差增大,也使在相同距离上所有误差都增大,在这种情形下,误差要大于物体S环绕物体P和T的系统运动的情形。

推论ⅩⅣ.但是,当物体S极为遥远时,力NM,ML极其接近于正比于力SK以及PT与ST的比值;即,如果距离PT与物体S的绝对力二者都给定,反比于ST3;由于力NM,ML是前述各推论中所有误差和作用的原因;则如果物体T和P仍与先前相同,只改变距离ST和物体S的绝对力,所有这些作用都将极为接近于正比于物体S的绝对力,反比于距离ST的立方。所以,如果物体P和T的系统绕远物体S运动,则力NM,ML以及它们的作用,将(由命题4推论Ⅱ)反对于周期的平方。所以,如果物体S的大小正比于其绝对力,则力NM,ML及其作用,将正比于由T看远物体S的视在直径的立方;反之亦然。因为这些比值与上述复合比值相同。

推论ⅩⅤ.如果轨道ESE,PAB保持其形状比例及相互间夹角不变,而只改变其大小,且物体S和T的力或者保持不变,或者以任意给定比例变化,则这些力(即,物体T的力,它迫使物体P由直线运动进入轨道PAB,以及物体S的力,它使物体P偏离同一轨道)总是以相同方式和相同比例起作用。因而,所有的作用都是相似而且是成比例的。这些作用的时间也是成比例的;即,所有的直线误差都比例于轨道直径,角误差保持不变;而相似直线误差的时间,或相等的角误差的时间,正比于轨道周期。

推论ⅩⅥ.如果轨道图形和相互间夹角给定,而其大小、力以及物体的距离以任意方式变化,则我们可以由一种情形下的误差以及误差的时间非常近似地求出其他任意情形下的误差和误差时间。这可以由以下方法更简捷地求出。力NM,ML正比于半径TP,其他条件均不变;这些力的周期作用(由引理10推论Ⅱ)正比于力以及物体P的周期的平方。这正是物体P的直线误差;而它们到中心T的角误差(即回归点与交会点的运动,以及所有视在经度和纬度误差)在每次环绕中都极近似于正比于环绕时间的平方。令这些比值与推论ⅩⅣ中的比值相乘,则在物体T,P,S,的任意系统中,P在非常接近处环绕T运动,而T在很远处环绕S运动,由中心T观察到的物体P的角误差在P的每次环绕中都正比于物体P的周期的平方,而反比于物体T的周期的平方。所以回归点的平均直线运动与交会点的平均运动有给定比值;因而这两种运动都正比于物体P的周期,反比于物体T的周期的平方。轨道PAB的偏心率和倾角的增大或减小对回归点和交会点的运动没有明显影响,除非这种增大或减小确乎为数极大。

推论ⅩⅦ.由于直线LM有时大于,有时又小于半径PT,令LM的平均量由半径PT来表示:则该平均力比平均力SK或SN(它也可以由ST来表示)等于长度PT比长度ST。但使物体T维持其环绕S的轨道上的平均力SN或ST与使物体P维持在其环绕T的力的比值,等于半径ST与半径PT的比值,与物体P环绕T的周期的平方与物体T环绕S的周期的平方的比值的复合。因而,平均力LM比使物体P维持在其环绕T的轨道上的力(或使同一物体P在距离PT处关于不动点T作相同周期运动的力)等于周期的平方比值。因而周期给定,同时距离PT、平均力LM也给定;而这个力给定,则由直线PT和MN的对比也可非常近似地得出力MN。

推论ⅩⅧ.利用物体P环绕物体T的相同规律,设许多流动物体在相同距离处环绕物体T运动;它们数目如此之多,以至于首尾相接,形成圆形流体圈,或圆环,其中心在物体T;这个环的各个部分在与物体P相同的规律作用下,在距物体T更近处运动,并在它们自己以及物体S的会合点及其对点运动较快,而在方照点运动较慢。该环的交会点或它与物体S或T的轨道平面的交点在朔望点静止;但在朔望点以外,它们将退行,或逆行方向运动,在方照点时速度最大,而在其他处所较慢。该环的倾角也变化,每次环绕中它的轴都摆动,环绕结束时轴又回到原先的位置,唯有交会点的岁差使它作少许转动。

推论ⅩⅨ.设球体T包含若干非流体物体,被逐渐扩张其边缘延伸到上述环处,沿球体边缘开挖一条注满水的沟道;该球绕其自身的轴以相同周期匀速转动。则水被交替地加速或减速(如前一推论那样),在朔望点速度较快,方照点较慢,在沟道中像大海一样形成退潮和涨潮。如果撤去物体S的吸引,则水流没有潮涌和潮落,只沿球的静止中心环流。球做匀速直线运动,同时绕其中心转动时与此情形相同(由运动定律推论V),而球受直线力均匀吸引时也与此情形相同(由运动定律推论Ⅵ)。但当物体S对它有作用时,由于吸引力的变化,水获得新的运动;距该物体较近的水受到的吸引较强,而较远的吸引较弱。力LM在方照点把水向下吸引,并一直持续到朔望点:而力KL在朔望点向上吸引水,并一直持续到方照点;在此,水的涌落运动受到沟道方向的导引,以及些微的摩擦除外。

推论ⅩⅩ.设圆环变硬,球体缩小,则水的涌落运动停止;但环面的倾斜运动和交会点岁差不变。令球与环共轴,且旋转时间相同,球面接触环的内侧并连为整体;则球参与环的运动,而整体的摆动,交会点的退移一如我们所述,与所有作用的影响完全相同。当交会点在朔望点时,环面倾角最大。在交会点向方照点移动时,其影响使倾角逐渐减小,并在整个球运动中引入一项运动。球使该运动得以维持,直至环引入相反的作用抵消这一运动,并入相反方向的新的运动。这样,当交会点位于方照点时,使倾角减小的运动达到最大值,在该方照点后八分点处倾角有最小值;当交会点位于朔望点时,倾斜运动有最大值,在其后的八分点处斜角最大。对于没有环的球,如果它的赤道地区比极地地区略高或略密一些,则情形与此相同,因为赤道附近多出的物体取代了环的地位。虽然我们可以设球的向心力任意增大,使其所有部分像地球上各部分一样竖直向下指向中心,但这一现象与前述各推论却少有改变;只是水位最高和最低处有所不同;因为这时水不再靠向心力维系在其轨道内,而是靠它所沿着流动的沟道维系。此外,力LM在方照点吸引水向下最强,而力KL或NM-LM在朔望点吸引水向上最强。这些力的共同作用使水在朔望点之前的八分点不再受到向下的吸引,而转为受到向上吸引;而在该朔望点之后的八分点不再受到向上的吸引,而转为向下的吸引。因此,水的最大高度大约发生在朔望点后的八分点,其最低高度大约发生在方照点之后的八分点;只是这些力对水面上升或下降的影响可能由于水的惯性,或沟道的阻碍而有些微推延。

推论Ⅻ.由同样的理由,球上赤道地区的过剩物质使交会点退移,因此这种物质的增多会使逆行运动增大,而减少则使逆行运动减慢,除去这种物质则逆行停止。因此,如果除去较过剩者更多的物质,即如果球的赤道地区比极地地区凹陷,或物质稀薄,则交会点将前移。

推论ⅩⅫ.所以,由交会点的运动可以求出球的结构。即,如果球的极地不变,其(交会点的)运动逆行,则其赤道附近物体较多;如果该运动是前行的,则物质较少。设一均匀而精确的球体最初在自由空间中静止;由于某种侧面施加于其表面的推斥力使其获得部分转动和部分直线运动。由于该球相对于其通过中心的所有轴是完全相同的,对一个方向的轴比对另一任意轴没有更大的偏向性,则球自身的力决不会改变球的转轴,或改变转轴的倾角。现在设该球如上述那样在其表面相同部分又受到一个新的推斥力的斜向作用,由于推斥力的作用不因其到来的先后而有所改变,则这两次先后到来的推斥力冲击所产生的运动与它们同时到达效果相同,即与球受到由这二者复合而成的单个力的作用而产生的运动相同(由运动定律推论Ⅱ),即产生一个关于给定倾角的轴的转动。如果第二次推斥力作用于第一次运动的赤道上任意其他处所,情形与此相同,而第一次推斥力作用在由第二次作用所产生的运动的赤道上的任意一点上的情形也与此完全相同;所以二次推斥力作用于任意处的效果均相同,因为它们产生的旋转运动与它们同时共同作用于由这两次冲击分别单独作用所产生的运动的赤道的交点上所产生的运动相同。所以,均匀而完美的球体并不存留几种不同的运动,而是将所有这些运动加以复合,化简为单一的运动,并总是尽其可能地绕一根给定的轴作单向匀速转动,轴的倾角总是维持不变。向心力不会改变轴的倾角,或转动的速度。因为如果设球被通过其中心的任意平面分为两个半球,向心力指向该中心,则该力总是同等地作用于这两个半球,所以不会使球关于其自身的轴的转动有任何倾向。但如果在该球的赤道和极地之间某处添加一堆像山峰一样的物质,则该堆物质通过其脱离运动中心的持续作用,干扰球体的运动,并使其极点在球面上游荡,关于其自身以及其对点运动画出圆形,极点的这种巨大偏移运动无法纠正,除非把此山移到二极之一,在此情形中,由推论ⅩⅪ,赤道的交会点顺行;或移至赤道地区,这种情形中,由推论ⅩⅩ,交会点逆行;或者,最后一种方法,在轴的另一边加上另一座新的物质山堆,使其运动得到平衡;这样,交会点或是顺行,或是逆行,这要由山与新增的物质是近于极地或是近于赤道来决定。