命题32 问题13

求月球交会点的平均运动。

年平均运动是一年中所有平均小时运动的和。设交会点位于N,并每经过一个小时后都回到其原先的位置;使得它尽管有这样的运动,却相对于恒星保持位置不变;而与此同时,太阳S由于地球的运动看上去像是离开交会点,以均匀运动行进直到完成其视在年运动。令Aa表示给定短弧,它由总是伸向太阳的直线TS与圆NAn的交点在给定时间间隔内掠过;则平均小时运动(由上述证明)正比于AZ2,即(因为AZ与ZY成正比),正比于AZ与ZY的乘积,即,正比于面积AZYa;而从一开始算起的所有平均小时运动的和正比于所有面积aYZA的和,即,正比于面积NAZ。但最大的AZYa等于弧Aa与圆半径的乘积;所以,在整个圆上所有这样的乘积的和与所有最大乘积的和的比,等于整个圆的面积比整个圆周长与半径的乘积,即,等于1比2。但对应于最大乘积的小时运动是16s16th37iv42v,而在一个恒星年的365天6小时9秒中,总和为;所以,其一半为,就是对应于整个圆的交会点平均运动。在太阳由N运动到A的时间内,交会点的运动比等于面积NAZ比整个圆。

这一结果是以交会点每经过一个小时都回到其原先位置为前提的,这样,经过一次完全环绕后,太阳在年终时又出现在它曾在年初时离开的同一个交会点上。但是,因为交会点的运动是同时进行的,所以太阳必定要提前与交会点相遇;现在我们来计算所缩短的时间。由于太阳在一年中要移动360度,同一时间里交会点以其最大运动而移动,或39.6355度;在任意处所N的交会点平均运动比其在方照点的平均运动,等于AZ2比AT2;太阳运动比交会点在N处的平均运动等于360AT2比39.6355AZ2;即,等于9.0827646AT2比AZ2。所以,如果我们设整个圆的周长NAn分割成相等的小部分Aa,则当圆静止时,太阳掠过短弧Aa的时间,比当圆交会点一起绕中心T转动时太阳掠过同一短弧的时间,等于9.0827646AT2与9.0827646AT2+AZ2的反比;因为时间反比于掠过短弧的速度,而该速度又是太阳与交会点速度的和。所以,如果以扇形NTA表示太阳在交会点不动时掠过弧NA的时间,而该扇形的无限小部分ATα。表示它掠过短弧Aa的小时间间隔;且(作aY垂直于Nn)如果在AZ上取dZ为这样的长度,使得dZ与ZY的乘积比扇形的极小部分ATa等于AZ2比9.0827646AT2+AZ2;也就是说,dZ比等于AT2比9.0827646AT2+AZ2;则,dZ与ZY的乘积将表示在弧Aa被掠过的同时,由于交会点的运动而造成的时间减量;如果曲线NdGn是点d的轨迹,则曲线面积NdZ在整个面积NA被掠过的同时将正比于总的时间流量;所以,扇形NAT超出面积NdZ的部分正比于总时间。但因为在短时间内的交会点运动与时间的比值亦较小,面积AaYZ也必须按相同比例减小;这可以在AZ上取线段eZ为这样的长度,使它比AZ的长度等于AZ2比9.0827646AT2+AZ2;因为这样的话eZ与ZY的乘积比面积AZYa等于掠过弧Aa的时间减量比交会点静止时掠过它的总时间;所以,该乘积正比于交会点运动的减量。如果曲线NeFn是点e的轨迹,则这种运动的减量的总和,总面积NeZ,将正比于在掠过弧AN的时间内的总减量;而余下的面积NAe正比于余下的运动,这一运动正是在太阳与交会点以其复合运动掠过整个弧NA的时间内,交会点的实际运动。现在,半圆面积比图形NeFn的面积由无限级数方法求出约为793比60。而对应于或正比于整个圆的运动为;因而对应于二倍图形NeFn的运动为,把它从前一运动中减去后余下,这就是交会点在它与太阳的两个会合点之间相对于恒星的总运动;从太阳的年运动360°中减去这项运动,余下,这是太阳在相同会合点之间的运动。但这一运动比360°的年运动,等于刚才求出的交会点运动比其年运动,因此它为;这就是一个回归年中交会点的平均运动。在天文表中,它为。差别不足总运动的部分,它似乎是由于月球轨道的偏心率,以及它与黄道面的倾斜引起的。这个轨道的偏心率使交会点运动的加速过大;在另一方面,轨道的倾斜使交会点的运动受到某种阻碍,因而获得适当的速度。