第14章

受指向极大物体各部分的向心力推动的极小物体的运动

命题94 定理48

如果两个相似的中介物相互分离,其间隔空间以两平行平面为界,一个物体受垂直指向二中介物之一的吸引力或推斥力的作用通过该空间,而不受其他力的推动或阻碍;在距平面距离相等处吸引力是处处相等的,都指向平面的同一侧方向;则该物体进入其中一个平面的入射角的正弦比自另一平面离开的出射角的正弦为一给定比值。

情形1.令Aa和Bb为二个平行平面,物体自第一个平面Aa沿直线GH进入,在穿越整个中介空间过程中受到指向作用介质的吸引或推斥,令曲线HI表示该作用,而物体又沿直线IK方向离开。作IM垂直于物体离开的平面Bb,与入射直线GH的延长线相交于M,与入射平面Aa相交于R;延长出射直线KI与HM相交于L。以L为圆心,LI为半径作圆,与HM相交于P和Q,与MI的延长线相交于N;首先如果吸引力或推斥力是均匀的,曲线HI(伽利略曾证明过)是抛物线,其性质是,已知通径乘以直线M等于HM的平方;而且直线HM在L处被二等分。如果作MI的垂线LO,则MO与OR相等,加上相等的ON,OI,整个MN,IR也相等。所以,由于IR已知,MN也已知,乘积MI·MN比通径乘以IM,即比HM2也为一已知比值。但乘积MI·MN等于乘积MP·MQ,即比平方差ML2-PL2或LI2;而HM2与其四分之一的平方ML2有给定比值;所以,ML2-LI2与ML2的比值是给定的,把LI2与ML2的比值加以变换,其平方根,LI比ML也是给定值。而在每个三角形中,如LMI,角的正弦正比于对边,所以入射角LMR的正弦比出射角LIR的正弦是给定的。

证毕。

情形2.设物体先后通过以平行平面AabB,BbcC等隔开的若干空间,在其中它分别受到均匀力的作用,但在不同空间中力也不同;由刚才所证明的,在第一平面Aa上,入射角的正弦比由第二个平面Bb出射角的正弦为给定值;而这一在第二个平面Bb上的入射角的正弦比自第三个平面Cc的出射角的正弦也为给定值;这个正弦比自第四个平面的出射角的正弦还是给定值,以此类推到无限;通过将这些量相乘,物体自第一个平面入射角的正弦比自最后一个平面出射角的正弦的比为给定值。现在令平面之间的间隔趋于零,则它们的数目无限增多,使得物体受到规律已知的吸引或推斥力的作用连续运动,它自第一个平面入射角的正弦与自最后一个平面同样为已知的出射角的正弦的比,也是给定值。

证毕。