命题25 问题17

作一圆锥曲线,使它通过两个已知点,并与三条已知直线相切。

通过任意两条切线的交点,以及第三条切线与通过两个已知点的直线的交点,作一条不确定直线,将此直线作为原纵坐标半径,运用前述引理把图形变换为新图形。在此图形中原先的两条切线变为相互平行,而第三条切线与通过两已知点的直线相互平行。设hikl为那两条平行的切线,ik为第三条切线,hl为与之相平行的通过两点ab的直线,在新图形中圆锥曲线应通过两点,作平行四边形hikl,令直线hiikkl相交于cde,并使hc比乘积ahb的平方根,icid,以及kekd,等于直线hiki的和,比三条直线的和,第一条是直线ik,另两条是乘积ahbalb的平方根;则cde为切点。因为,由圆锥曲线的性质,

所以,

所以,由该给定比值可得到新图形中的切点cde。运用前一引理的相反操作,将这些点变换到原图形中,由问题14即可画出所需圆锥曲线。

完毕。

不过,根据点ab落在点hl之间,或是在它们之外,点cde相应地也落在点hikl之间或之外。如果ab中的一个落在点hl之间,而另一个在点hl之外,则问题不可能求解。