使摆动物体沿给定摆线摆动。

在以C为中心的球QVS内作摆线QRS,并在R加以二等分,与球表面在两边的极点Q和S相交。作CR在O等分弧QS,并延长到A,使得CA比CO等于CO比CR。关于中心C以CA为半径作外圆DAF,并在此圆内由半径为AO的轮画两个半摆线AQ,AS与内圆相切于Q和S,与外圆相交于A。由点A置一长度等于直线AR的细线,把物体T系于其上并使之这样在两个半摆线AQ,AS之间摆动:每当摆离开垂线AR时,细线AP的上部与它所摆向的半摆线APS压合,像固体那样紧贴在该曲线上,而同一根细线上未接触半摆线的其余部分PT仍保持直线状态。则重物T沿给定摆线QRS摆动。
完毕。
因为,令细线PT与摆线QRS相交于T,与圆QOS相交于V,作CV;由极点P和T向细线的直线部分作垂线BP,TW,与直线CV相交于B和W。显然,由相似图形AS,SR的作图和产生知,垂线PB,TW从CV上截下的长度VB,VW,等于轮子直径OA,OR。所以TP比VP(当
是半径时,它是角VBP正弦的二倍)等于BW比BV,或AO+OR比AO,即(由于CA与CO,CO与CR,以及由除法AO与OR均成正比)等于CA+CO比CA,或者,如果在E二等分BV,等于2CE比CB,所以(由命题49推论Ⅰ),细线PT的直线部分总是等于摆线PS弧长,而整个细线APT总是等于摆线APS的一半,即(由命题49推论Ⅱ),等于长度AR,反之,如果细线总是等于长度AR,则点T总是沿摆线QRS运动。
证毕。
推论.细线AR等于半摆线AS,所以它与外球半径AC的比,等于相同的半摆线SR比内球半径CO。