由与推论Ⅰ相同的方法,可得出介质的密度正比于
,如果阻力正比于速度V的任意次幂Vn,则介质密度正比于


所以,如果能求出一条曲线,使得
与
,或
与
的比值为已知,则在阻力正比于速度V的任意次幂Vn的均匀介质中,物体将沿此曲线运动。现在还是让我们回到比较简单的曲线上来。

由于在无阻力介质中只存在抛物线运动,而这里所描述的双曲线运动是由连续阻力产生的;所以很明显抛体在均匀阻力介质中的轨道更近于双曲线而不是抛物线。这样的轨道曲线当然属于双曲线类型,但它的顶点距渐近线较远,而在远离顶点处较之这里所讨论的双曲线距渐近线更近。然而,其间的差别并不太大,在实用上可以足够方便地以后者代替前者,也许这些比双曲线更有用,虽然它更精确,但同时也更复杂。具体应用按下述方法进行。
作平行四边形XYGT,则直线GT将与双曲线相切于G,因而在G点介质密度反比于切线GT,速度正比于
;阻力比重力等于
。
所以,如由处所A抛出的物体沿直线AH的方向画出双曲线AGK,延长AH与渐近线NX相交于H,作AI与它平行并与另一条渐近线MX相交于I;则A处介质密度反比于AH,物体速度正比于
,阻力比重力等于AH比
。由此得出以下规则。
规则1.如果A点的介质密度以及抛出物体的速度保持不变,而角NAH改变;则长度AH,AI,HX不变。所以,如果在任何一种情况下求出这些长度,则由任意给定角NAH可以很容易求出双曲线。
规则2.如果角NAH,与A点的介质密度保持不变,抛出物体的速度改变,则长度AH维持不变;而AI则反比于速度的平方改变。
规则3.如果角NAH,物体在A点的速度以及加速引力保持不变,而A点的阻力与运动引力的比以任意比率增大;则AH与AI的比值也以相同比率增大;而上述抛物线的通径保持不变,与它成正比的长度
也不变;因而AH以同一比率减小,而AI则以该比率的平方减小。但当体积不变而比重减小,或当介质密度增大,或当体积减小,而阻力以比重量更小的比率减小时,阻力与重量的比增大。

规则4.因为在双曲线顶点附近的介质密度大于处所A的,所以要求平均密度,应先求出切线GT的最小值与切线AH的比值,而A点的密度的增加应大于这两条切线的和的一半与切线GT最小值的比值。
规则5.如果长度AH,AI已知,要画出图形AGK,则延长HN到X,使HX比AI等于n+1比1;以X为中心,MX,NX为渐近线,通过点A画出双曲线,使AI比任意直线VG等于XVn比XIn。

规则6.数n越大,物体由A上升的双曲线就越精确,而向K下落的就越不精确;反之亦然。圆锥双曲线是这二者的平均,并比所有其他曲线都简单。所以,如果双曲线属于这一类,要找出抛体落在通过点A的任意直线上的点K,令AN延长与渐近线MX,NX相交于M,N,取NK等于AM。
规则7.由此现象得到一种求这条双曲线的简便方法。令两个相等物体以相同速度沿不同角度HAK,hAk抛出,落在地平面上的点K和k处;记下AK与Ak比值,令其为d比e。作任意长度的垂线AI,并任意设定长度AH或Ah,然后用作图法,或使用直尺与指南针,收集AK,Ak的长度(用规则6)。如果AK与Ak的比值等于d与e比值,则AH长度选取正确。如果不相等,则在不定直线SM上取SM等于所设AH的长;作垂线MN等于二比值的差
再乘以任意已知直线。由类似方法,得到若干AH的假设长度,对应有不同的点N;通过所有这些点作规则曲线NNXN,与直线SMMM相交于X。最后,设AH等于横坐标SX,再由此找出长度AK;则这些长度比AI的假设长度,以及这最后假设的长度AH,等于实验测出的AK,比最后求得的长度AK,它们就是所要求的AI和AH的真正长度,而求出这些后,也就可求出处所A的介质阻力,它与重力的比等于AH比
。令介质密度按规则4增大,如果刚求出的阻力也以同样比率增大,则结果更为精确。
规则8.已知长度AH,HX;求直线AH的位置,使以该已知速度抛出的物体能落在任意点K上。在点A和K,作地平线的垂直线AC,KF;把AC竖直向下画,并等于AI或
。以AK,KF为渐近线,画一条双曲线,它的共轭线通过点C;以A为圆心,间隔AH为半径画一圆与该双曲线相交于点H;则沿直线AH方向抛出的物体将落在点K上。

完毕。
因为给定长度AH的缘故,点H必定在画出的圆图上,作CH与AK和KF相交于点E和F;因为CH,MX平行,AC与AI相等,所以AE等于AM;因而也等于KN,而CE比AE等于FH比KN,所以CE与FH相等。所以点H又落在以AK,KF为渐近线的双曲线上,其共轭曲线通过点C;因而找出了该双曲线与所画出的圆周的公共交点。
完毕。
应当说明的是,不论直线AKN与地平线是平行还是以任意角倾斜,上述方法都是相同的;由两个交点H,h得到两个角NAH,NAh;在力学实践中,一次只要画一个圆就足够了,然后用长度不定的直尺向点C作CH,使其在圆与直线FK之间的部分FH等于位于点C与直线AK之间的部分CE即可。

有关双曲线的结论都很容易应用于抛物线。因为如果以XAGK表示一条抛物线,在顶点X与一条直线XV相切,其纵坐标IA,VG正比于横坐标XI,XV的任意次幂XIn,XVn;作XT,GT,AH,使XT平行于VG,令GT,AH与抛物线相切于G和A:则由任意处所A,沿直线AH方向,以一适当速度抛出的物体,在各点G的介质密度反比于切线GT时,将画出这条抛物线。在此情形下,在G点的速度将等于物体在无阻力空间中画出圆锥抛物线的速度,该抛物线以G为顶点,VG向下的延长线为直径,
为通径。而G点的阻力比重力等于GT比
。所以,如果NAK表示地平线,点A的介质密度与抛出物体的速度不变,则不论角NAH如何改变,长度AH,AI,HX都保持不变;因而可以求出抛物线的顶点X,以及直线XI的位置;如果取VG比IA等于XVn比XIn,则可求得抛物线上所有的点G,这正是抛体所经过的轨迹。
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(1) John Collins(1625—1683),英国代数学家。未受过大学教育,1667年当选皇家学会会员。曾与当时的科学家(主要是数学家)有大量书信交往。——译者注。
(2) Rene-Francois de Sluse(1622—1685),法国业余数学家,与巴斯卡、惠更斯、瓦里斯等有大量书信交往,1674年当选为皇家学会会员。——译者注。
(3) John van Waveren Hudde(1628—1704),荷兰数学家。英译本误作Hudden。——译者注。