第3章

物体受部分正比于速度部分正比于速度平方的阻力的运动

命题11 定理8

如果物体受到部分正比于其速度部分正比于其速度的平方的阻力,在均匀的介质中只受到惯性力的推动而运动;而且把时间按算术级数划分:则反比于速度的量,在增加某个给定量后,变为几何级数。

以C为中心,CADd和CH为直角渐近线画双曲线BEe,令AB,DE,de平行于渐近线CH。在渐近线CD上令A,G为已知点;如果由双曲线面积ABED表示的时间均匀增加,则以GD为其倒数的长度DF与给定直线CG所共同组成的长度CD所表示的速度按几何级数增加。

因为,令小面积DEed为时间的最小增量,则Dd反比于DE,因而正比于CD。所以的减量(由第二编引理2),也正比于,即正比于。所以,当时间ABED均匀地增加给定间隔EDde时,以与速度相同的比率减小。因为速度的减量正比于阻力,即(由题设),正比于两个量的和,其中之一正比于速度,另一个正比于速度的平方;而的减量正比于量,其中第一项是本身,后一项正比于:所以正比于速度,二者的减量是类似的。如果量GD反比于,并增加给定量CG;则当时间ABED均匀增加时,其和CD按几何级数增加。

证毕。

推论Ⅰ.如果点A和G已知,双曲线面积ABED表示时间,则速度由GD的倒数表示。

推论Ⅱ.取GA比GD等于任意时间ABED开始时速度的倒数比该时间结束时速度的倒数,则可以求出点G。求出该点后,则可由任意给定的其他时间求出速度。