命题12 问题7

设一物体沿双曲线运动,求指向该图形焦点的向心力的定律。

令CA,CB为双曲线的半轴,PG,KD是不同的共轭直径,PF是共轭直径KD的垂线,Qv是相对于共轭直径GP的纵坐标。作SP与直径DK相交于E,与纵坐标Qv相交于x,画出平行四边形QRPx,显然EP等于半横轴AC,因为由双曲线另一焦点H作直线HI平行于EC,由于CS,CH相等,ES,EI也将相等,所以EP是PS与PI的差的一半,即(因为IH与PR平行,角IPR,HPZ相等),PS与PH差的一半,这个差等于轴长2AC,作QT垂直于SP,令L等于双曲线的通径(即等于),即得到

L·QR:L·Pv=QR:Pv=Px:Pv=PE:PC=AC:PC,和L·Pv:Gv·Pv=L:Gv,以及Gv:Pv:Qv2=PC2:CD2。由引理7推论Ⅱ,当P与Q重合时,Qx2=Qv2,而且,

由引理12,=CD2:CB2

四个等式中对应项乘到一起,化简:

L·QR:QT2=AC·L·PC2·CD2:PC·Gv·CD2·CB2=2PC:Gv,在此AC·L=2BC2,但点P与Q重合时,2PC与Gv相等,所以,量L·QR与QT2正比于它们,而且相等,等式两边同乘,得到L·SP2等于,所以(由命题6推论Ⅰ和Ⅴ)向心力反比于L·SP2,即反比于距离SP的平方。

完毕。

另一种解法

求出指向双曲线中心C的力,它正比于距离CP,然而由此(根据命题7推论Ⅲ)指向焦点S的力将正比于,即,由于PE是常数,正比于SP2的倒数。

完毕。

用相同方法可以证明,当物体的向心力变为离心力时,将沿共轭双曲线运动。