命题58 定理21

如果两个物体以某种力相互吸引,且绕公共重心旋转:则在相同力作用下,绕其中一个被固定物体旋转所得到的图形,相似且相等于这种相互环绕运动做出的图形。

令物体S和P关于它们的公共重心C旋转,方向是由S向T以及由P向Q。由给定点s连续作spsq等于且平行于SP,TQ;则点p绕固定点S旋转所作曲线pqv,将相似于且相等于物体S和P相互环绕所作的图形;因此,由定理20,也相似于相同物体关于它们的公共引力中心C旋转所得的曲线ST和PQV;而且这也可以由线段SC,CP与SP或相互间给定比例推知。

情形1.公共重心C(由运动定律推论Ⅳ)或是静止,或是匀速直线运动。首先设它静止,两物体位于sp,在s处的不动,在p处的另一个运动,与物体S和P的情况相似。作直线PR和pr与曲线PQ的pq相交于pq,并延长CQ和sq到R和r。因为图形CPRQ,sprq相似,RQ比rq等于CP比sp,所以有给定比值。所以如果把物体p吸引向物体S,因而也吸引向其间的引力中心C的力比把物体p吸引向中心S的力取相同比值,则这些力在相同时间里通过正比于该力的间隔RQ,rq把物体由切线PR,pr吸引向弧PQ,pq;所以后一种力(指向s)使物体p沿曲线pqv旋转,它与第一个力推动物体P旋转所沿的曲线PQV相似;它们的环绕在相同时间内完成。但由于这些力相互比值不等于CP与sp的比值,而是(因为物体S与s,P与p,以及距离SP与sp的相等性)相等,物体在相同时间内由切线所作的曲线也相等;所以物体p通过更大的间隔rq被吸引,需要正比于该间隔平方根的更长的时间;因为,由引理10,运动开始时掠过的距离正比于时间的平方。然后,设物体p的速度比物体P的速度等于距离sp与距离CP比值的平方根,使得相互间有简单比值的弧pq,PQ可以在正比于距离平方根的时间画出;而物体P,p总是受到相同的力吸引,将绕固定中心C和s画出相似图形PQV,pqv,其中后一图形pqv相似且相等于物体P绕运动物体S旋转所画出的图形。

证毕。

情形2.设公共重心,以及物体在其间相互运动的空间,沿直线匀速运动;则(由运动定律推论Ⅵ)在此空间中所有运动都与前一情形相同,所以物体相互间运动所画出的图形也相似且相等于图形pqv,如前所述。

证毕。

推论Ⅰ.所以两个以正比于其距离的力相互吸引的物体,(由命题10)都绕其公共重心,以及相互绕对方,画出共心的椭圆;反之,如果画出这样的图形,则力正比于距离。

推论Ⅱ.两个物体,其力反比于距离的平方,(由命题11,12,13)都环绕其公共重心,以及相互环绕对方,画出圆锥曲线,其焦点在图形环绕的中心。反之,如果画出这样的图形,则向心力反比于距离的平方。

推论Ⅲ.绕公共重心旋转的两个物体,其伸向该中心或对方的半径所掠过的面积正比于时间。