命题26 问题7

求月球沿圆形轨道运动时其伸向地球的半径所掠过面积的每小时增量。

我们曾在前面证明过,月球通过其伸向地球的半径掠过的面积正比于运行的时间,除非月球运动受到太阳作用的干扰;在此,我们拟求出其变化率的不相等性,或者,受到这种干扰的面积或运动的每小时增量。为使计算简便,设月球轨道为圆形,除现在要考虑的情况外其余不相等性一概予以忽略;又因为太阳距离极远,可进一步设直线SP和ST是平行的。这样,力LM总是可以用其平均量TP代替,力TM也可以由其平均量3PK代替。这些力(由运动定律推论Ⅱ)合成力TL;而通过在半径TP上作垂线LE,这个力又可以分解为力TE,EL;其中力TE的作用沿半径TP的方向保持不变,对于半径TP掠过的面积TPC既不加速也不减速;但EL沿垂直方向作用在半径TP上,它使掠过面积的加速或减速正比于它使月球的加速或减速。月球的这一加速,在其由方照点C移向会合点A过程中,在每一时刻都正比于生成加速力EL,即,正比于,令时间由月球的平均运动,或(等价地)由角CTP,或甚至由弧CP来表示。垂直于CT作CG等于CT;设直角弧AC被分割为无限多个相等的部分Pp等,这些部分表示同样无限多个相等的时间部分。作pk垂直于CT,TG与KP,kp的延长线相交于F,f;则FK等于TK,而Kk比PK等于Pp比Tp,即,比值是给定的;所以FK·Kk,或面积FKkf,将正比于,即正比于EL;合成以后,总面积GCKF将正比于在整个时间CP中作用于月球的所有力EL的和而变化;所以也正比于该总和所产生的速度,即正比于掠过面积CTP的加速度,或正比于其变化率的增量。使月球在距离TP上绕静止地球以27天7小时43分的周期CADB运行的力,应使落体在时间CT内掠过长度,同时获得一个与月球在其轨道上相等的速度。这已由第一编命题4推论Ⅸ证明过。但由于TP上的垂线Kd仅为EL的三分之一,在八分点处等于TP或ML的一半,所以在该八分点处力EL最大,超出力ML的比率为3比2;所以它比使月球绕静止地球的其周期运行的力,等于100比,或11915;而在时间CT内所产生的速度等于月球速度的部分;而在时间CPA内则按比率CA比CT或TP产生一个更大的速度。令在八分点处最大的EL力以面积FK·Kk,或与之相等的矩形表示;则该最大力在任意时间CP内所产生的速度比另一个较小的力EL在相同时间所产生的速度,等于矩形CP比面积KCGF;而在整个时间CPA内所产生的速度相互间的比等于矩形比三角形TCG,或等于直角弧CA比半径TP;所以,在全部时间内所产生的后一速度正比于月球速度的部分。在这个正比于面积的平均变化率的月球速度上(设该平均变化率以数11915表示),加上或减去另一个速度的一半;则和11915+50或11965表示在朔望点A面积的最大变化率;而差11915-50或11865表示在方照点的最小变化率。所以,在相等的时间里,在朔望点与在方照点所掠过的面积的比等于11965比11865。如在最小变化率11865上再加上一个变化率,它比前两个变化率的差100,等于四边形FKCG比三角形TCG,或等价地,等于正弦PK的平方比半径TP的平方(即等于Pd比TP),则所得到的和表示月球位于任意中间位置P时的面积变化率。

但上述结果仅在假设太阳和地球静止时才成立,这时的月球会合周期为27天7小时43分。但由于月球的实际会合周期为29天12小时44分,变化率增量必须按与时间相同的比率扩大,即按1,080,853比1,000,000增大。这样,原为平均变化率部分的总增量,现在变为部分;所以月球在方照点的面积变化率比在朔望点的变化率等于11023-50比11023+50,或等于10973比11073;至于比月球在任意中间位置P的变化率,则等于10,973比10973+Pd;即,假设TP=100。

所以,月球伸向地球的半径在每个相等的时间小间隔内掠过的面积,在半径为一的圆中,近似地正比于数219.46与月球到最近的一个方照点的二倍距离的正矢的和。在此设在八分点的变差为其平均量。但如果在该处的变差较大或较小,则该正矢也必须按相同比例增大或减小。