如果球面各处的向心力都指向球心C,且在所有处所都正比于到球心的距离;当单独受该力作用的物体T沿摆线QRS摆动(按上述方法)时,所有的摆动,不管它们多么不同,其摆动时间都相等。

在切线TW的延长线上作垂线CX,连接CT。因为迫使物T倾向C的向心力正比于距离CT,将该力(按运动定律推论Ⅱ)分解为两部分CX,TX,其中CX把物体从P拉开,使细线PT张紧,而细线的阻力使之完全抵消,不产生其他作用;而另一个力TX是横向拉力,或把物体拉向X,使之沿摆线的运动加速。所以容易理解,正比于该加速力的物体的加速度,在每一时刻都正比于长度TX,即(因为CV与WV,TX与TW成正比,而且都是给定的)正比于长度TW,也即(由命题39推论Ⅰ)正比于摆线TR的弧长。所以,如果两个摆APT,Apt到垂线AR的距离不相等,令它们同时下落,则它们的加速度总是正比于所掠过的弧TR,tR。但运动开始时所掠过的部分正比于加速度,即正比于运动开始时将要掠过的全部距离,因而将要掠过的余下部分,以及其后的加速度,也正比于这些部分,也正比于全部距离,等等。所以,加速度,以及由此产生的速度,以及这些速度所掠过的部分,以及将要掠过的部分,都总是正比于全部余下的距离;所以,未掠过的部分相互间维持一个给定比值,将一同消失,即两个摆动物体将在同时到达垂线AR,另一方面,由于摆在最低处所R沿摆线减速上升,在所经过各处又受到它们下落时的加速力的阻碍,因而容易理解它们在上升或下落经过相同弧长时的速度相等,因而需用时间相等;所以,由于摆线置于垂线两侧的部分RS和RQ相似且相等,两个摆在相同时间里完成其摆动的全部或一半。
证毕。
推论.在摆线上T处使物体T加速或减速的力,与同一物体在最高处所S或Q的全部重量的比,等于摆线TR的弧长比弧SR或QR。