命题81 问题41

在上述条件下,求面积ANB。

由点P作直线PH与球体相切于H;在轴PAB上作垂线HI,在L=等分PI;则(由欧几里得《几何原本》第二卷命题12)PE2等于PS2+SE2+2PS·SD。但因为三角形SPH,SHI相似,SE2或SH2等于乘积PS·IS。所以,PE2等于PS与PS+SI+2SD的乘积,即PS与2LS+2SD的乘积,也即PS与2LD的乘积。而且,DE2等于SE2-SD2,或等于

由于LS2-SE2或LS2-SA2(由欧几里得《几何原本》第二卷命题6)等于乘积LA·LB。

所以,把DE2

代替,则正比于长度DN(由前一命题推论Ⅳ)的量可以分解为三部分

如果以向心力的反比值代替V,以PS与2LD的比例中项代替PE,则这三部分即变成同样多的曲线的纵坐标,曲线的面积可由普通方法求出。

完毕。

例1.如果指向球体各粒子的向心力反比于距离,以距离PE代替V,2PS·LD代替PE2;则DN正比于。设DN等于其二倍;则纵坐标的已知部分2SL与长度AB构成长方形面积2SL·AB;其不确定部分LD以连续运动垂直通过同一长度,并在其运动中通过增减其一边或另一边的长度使之总是等于长度LD,做出面积,即面积SL·AB;它被从前一个面积2SL·AB中减去后,余下面积SL·AB。但用相同方法垂直地连续通过同一长度的第三部分,将画出一个双曲线的面积,将其从面积SL·AB中减去后就余下要求的面积ANB。由此得到本问题的作图法。在点L,A,B作垂线Ll,Aa,Bb;使Aa等于LB,Bb等于LA。以Ll和LB为渐近线,通过点ab作双曲线ab。作弦线ba,则所围的面积aba就是要求的面积ANB。

例2.如果指向球体各粒子的向心力反比于距离的立方,或(是同一回事)正比于该立方除以一个任意给定平面;以代替V,以2PS·LD代替PE2;则DN正比于

即(因为PS,AS,SI连续成正比),正比于

将这三部分通过长度AB,第一部分产生双曲线的面积;第二部分产生面积;第三部分产生面积,即,。从第一个面积中减去第二个和第三个面积的和,则余下的即是要求的面积ANB。由此得本问题的作图法。在点L,A,S,B,作垂线Ll,Aa,Ss,Bb,其中设Ss等于SI;通过点s,以Ll,LB为渐近线作双曲线asb与垂线Aa,Bb相交于ab;从双曲线面积AasbB中减去面积2SA·SI,即得到要求的面积ANB。

例3.如果指向球体各粒子的向心力随其到各粒子的距离的四次方而减小;以代替V,以代替PE,则DN正比于

将这三部分通过长度AB,产生以下三个面积产生产生产生。经过化简后得到,和。从第一项中减去后两项,得到。所以小球所受到的指向球体中心的总力正比于,即反比于PS3·PI。

完毕。

运用相同方法可以求出位于球体内小球受到的吸引力,但采用下述定理将更为简便。