在两个相互吸引的球体内,如果到球心相等距离处的物质是相似的,则一个球相对于另一个球的重量反比于二球的距离的平方。
我在发现指向整个行星的引力由指向其各部分的引力复合而成,而且指向其各部分的引力反比于到该部分距离的平方之后,仍不能肯定,在合力由如此之多的分力组成的情况下,究竟距离的平方反比关系是精确成立,还是近似如此;因为有可能这一在较大距离上足以精确成立的比例关系在行星表面附近时会失效,在该处粒子间距离是不相等,而且位置也不相似。但借助于第一编命题75和76及其推论,我最终满意地证明了本命题的真实性,如我们现在所看到的。
推论Ⅰ.由此我们可以求出并比较各物体相对于不同行星的重量;因为沿圆轨道绕行星转动的物体的重量(由第一编命题4推论Ⅱ)正比于轨道直径反比于周期的平方;而它们在行星表面,或在距行星中心任意远处的重量(由本命题)将正比于距离的平方而变大或变小。金星绕太阳运动周期为224天
小时;木卫四绕木星周期为16天
小时;惠更斯卫星绕土星周期为15天
小时;而月球绕地球周期为27天7小时43分;将金星到太阳的平均距离与木卫四到木星中心的最大距角,8′16″;惠更斯卫星到土星中心距角,3′4″;以及月球到地球距角10′33″作一比较,通过计算,我发现相等物体在到太阳、木星、土星和地球的中心相等距离处,其重量之间的比分别等于
和
。因为随着距离的增大或减小,重量按平方关系减小或增大,相等的物体相对于太阳、木星、土星和地球的重量,在到它们的中心距离为10,000;997;791和109时,即物体刚好在它们的表面上时,分别正比于10,000;943;529和435。这一重量在月球表面上为多少,将在以后求出。
推论Ⅱ.用类似方法可以求出各行星物质的量;因为它们的物质的量在到其中心距离相等处正比于引力;即,在太阳、木星、土星和地球上,分别正比于
和
。如果太阳视差大于或小于
,则地球的物质量必定正比于该比值的立方增大或减小。
推论Ⅲ.我们也可以求出行星的密度;因为(由第一编命题72)相等且相似的物体相对于相似球体的重量,在该球体表面上,正比于球体直径;因而相似球体的密度正比于该重量除以球直径。而太阳、木星、土星和地球直径相互间的比为10,000;997;791和109;指向它们的重量比分别为10,000;943;529和435;所以,它们的密度比为
和400。在此计算中,地球密度并不取决于太阳视差,而是由月球视差求出的,因此是可靠的。所以,太阳密度略大于木星,木星大于土星,而地球密度是太阳的四倍;因为太阳很热,处于一种稀薄状态。以后将会看到,月球密度大于地球。
推论Ⅳ.其他条件不变时,行星越小,其密度即按比率越大;因为这样可以使它们各自的表面引力近于相等。类似地,在其他条件相同时,它们距太阳越近,密度越大,所以木星密度大于土星,而地球大于木星;因为各行星被分置于到太阳不同距离处,使得它们按其密度的程度,享受太阳热量的较大或较小比例。地面上的水,如果送到土星轨道的地方,则会变为冰,而在水星轨道处,则会变为蒸汽而飞散;因为正比于太阳热的阳光,在水星轨道处是我们的七倍,我曾用温度计发现,七倍于夏日阳光的热会使水沸腾。毋庸置疑,水星物质必定适应其热度,因此其密度大于地球物质;这是由于对于较密的物质,自然的作用需要更强的热。