沿不同圆周等速运动的若干物体的向心力,指向各自圆周的中心,它们之间的比,正比于等时间里掠过的弧长的平方,除以圆周的半径。
这些力指向各自圆周的中心(由命题2和命题1,推论Ⅱ),它们之间的比,如同等时间内掠过的最小弧长的正矢的比(由命题1推论Ⅵ),即正比于同一弧长的平方除以圆周的直径(由引理7)。由于这些弧长的比就是任意相等时间里所掠过的弧长的比,而直径的比就是半径的比,所以力正比于任意相同时间里掠过的弧长的平方除以圆周半径。
证毕。
推论Ⅰ.由于这些弧长正比于物体的速度,向心力正比于速度的平方除以半径。
推论Ⅱ.由于环绕周期正比于半径除以速度,向心力正比于半径除以环绕周期的平方。
推论Ⅲ.如果周期相等,因而速度正比于半径,则向心力也正比于半径,反之亦然。
推论Ⅳ.如果周期与速度都正比于半径的平方根,则有关的向心力相等,反之亦然。
推论Ⅴ.如果周期正比于半径,因而速度相等,则向心力将反比于半径;反之亦然。
推论Ⅵ.如果周期正比于半径的3/2次方,则向心力反比于半径的平方;反之亦然。
推论Ⅶ.推而广之,如果周期正比于半径R的多次方Rn,因而速度反比于半径的Rn-1方,则向心力将反比于半径的R2n-1次方;反之亦然。
推论Ⅷ.物体运动掠过任何相似图形的相似部分,这些图形在相似位置上有中心,这时有关的时间、速度和力都满足以前的结论,只需要将以前的证明加以应用即可。这种应用是容易的,只要用掠过的相等面积代替相等的运动,用物体到中心的距离代替半径。
推论Ⅸ.由同样的证明可以知道,在给定向心力作用下沿圆周匀速运动的物体,其在任意时间内掠过的弧长,是圆周直径与同一物体受相同力作用在相同时间里下落空间的比例中项。