当圆锥曲线是双曲线时,上述讨论中不包括共轭双曲线。因为物体沿一条双曲线连续运动时不可能跳跃到它的共轭双曲线轨道上。

已知三点的情形,可作更简捷的解决,令B,C,D为已知点。连接BC,CD,并延长到E,F,使EB比EC等于SB比SC,而FC比FD等于SC比SD,在EF上作垂线SG,BH,并将SG延长至a,使GA比AS以及Ga比aS等于HB比BS:则A为顶点,而Aa为曲线主轴,并由GA大于、等于或小于AS决定是椭圆、抛物线或双曲线。在前一情形中点a与点A同样落于直线GF的同侧;第二种情形里点a位于无限远处;第三种情形点a位于直线GF另一侧。因为如果在GF上作垂线CI,DK,则IC比HB等于EC比EB,即等于SC比SB,作置换调整,IC比SC等于HB比SB,或等于EC比SA,由类似理由可以证明,KD与SD比值相同,所以,点B,C,D位于以S为焦点的圆锥曲线上,并使得由焦点S到曲线上各点的直线,与由同一点到直线GF的垂线的比为已知值。
杰出的几何学家德拉希尔(M.de la Hire)(3)曾在他的著作《圆锥曲线》第八卷命题25中以几乎相同的方法解决了这一问题。
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(1) Vieta,1504—1603,法国数学家,法文件Francois Viète,他在历史上第一个引入系统的代数符号,并对方程论作了改进。——译者注。
(2) Apollonius,约公元前262—前190,古希腊数学家,是古代科学巨著。圆锥曲线。的作者。——译者注。
(3) M.de la Hire,1640—1718,法国画家、数学家和天文学家。映射几何和解析几何的先驱者之一,其《圆锥曲线》一书发表于1685年。——译者注。