命题19 问题3

求行星的轴与垂直于该轴的直径的比例。

1635年,我们的同胞,诺伍德(3)先生测出伦敦与约克(York)之间的距离为905,751英尺,纬度差为2°28′,求出一度长为367,196英尺,即,57,300巴黎托瓦兹。(4)M. 皮卡德(5)测出亚眠(Amien)与马尔瓦新(Malvoisine)之间的子午线弧为22′55″,推算出每度弧长为57,060巴黎托瓦兹。老M. 卡西尼测出罗西隆(Roussillon)的科里乌尔(Collioure)镇到巴黎天文台之间的子午线距离;他的儿子把这一距离由天文台延长到敦刻尔克的西塔德尔(Citadel of Dunkirk)。总距离为托瓦兹,科里乌尔与敦刻尔克之间的纬度差为。因此每度弧长为57,061巴黎托瓦兹。由这些测量可以得出地球周长为123,249,600,半径为19,615,800巴黎尺,假设地球为球形。

在巴黎的纬度上,前面已说过,重物体一秒时间内下落距离为15巴黎尺1寸分,即分。物体的重量会由于周围空气的重量而变轻。设由此损失的重量占总重量的部分;则该重物体在真空中下落时一秒钟内掠过2174分。

在长为23小时56分4秒的恒星日中,物体在距中心19,615,800尺处作匀速圆周运动,每秒钟掠过弧长1433.6尺;其正矢为0.05236516尺,或7.54064分。所以,在巴黎纬度上,使物体下落的力比物体在赤道上由于地球周日运动而产生的离心力等于2174比7.54064。

物体在赤道的离心力比在巴黎48°50′10″的纬度上使物体沿直线离开的力,等于半径与该纬度的余弦的比的平方,即等于7.54064比3.267。把这个力迭加到在巴黎纬度使物体由其重量而下落的力上,则在该纬度上,物体受未减小的引力作用而下落,一秒钟将掠过2177.267分,或15巴黎尺1寸又5.267分。在该纬度上的总引力比物体在地球赤道处的离心力等于2177.269比7.54064,或等于289比1。

所以,如果APBQ表示地球形状,它不再是球形的,而是由绕短轴PQ的转动而形成椭球;ACQqca表示注满水的管道,由极点Qq经过中心Cc通向赤道Aa;则在管道的ACca段中水的重量比在另一段QCcq中水的重量等于289比288,因为自转运动产生的离心力维持并抵消了部分的重量(在—段之中),另外288份的水维持着其余重量。通过计算(由第一编命题91推论Ⅱ),我发现,如果地球物质都是均匀的,而且没有运动,其轴PQ比直径AB等于100比101,处所Q指向地球的引力比同一处所Q指向以PC或QC为半径,以C为球心的球体的重力,等于126比125。由相同理由,处所A指向由椭圆APBQ关于轴AB转动所形成的椭球的引力,比同一处所A指向半径为AC球心为C的球体的引力,等于125比126。而处所A指向地球的引力是指向该椭球体与指向该球体的引力的比例中项;因为,当球直径PQ按101比100的比例减小时,即变为地球的形状;而这样的形状,其垂直于两个直径AB和PQ的第三个直径也按相同比例减小,即变为所说的椭球形状;在这种情形中,A处的引力都按近似相同的比例减小。所以,A处指向球心为C半径为AC的球体的引力,比A处指向地球的引力,等于126比。而处所Q指向以C为球心以QC为半径的球体的引力,比处所A指向以C为球心,AC为半径的球体的引力,等于直径的比(由第一编命题72),即等于100比101。所以,如果把三个比例,126比125,126比,以及100比101连乘,即得到处所Q指向地球的引力比处所A指向地球的引力,等于126·126·100比;或等于501比500。

由于(第一编命题91推论Ⅲ)在管道的任意一段ACca或QCcq中,引力正比于由其处所到地球中心的距离,如果这二段由平行等距的横截面加以分割,生成的部分正比于总体,则在ACca段中任意一个部分的重量比另一段中相同数目的部分的重量,等于它们的大小乘以加速引力的比,即等于101比100乘以500比501,或等于505比501。所以,如果ACca段中每一部分的由自转产生的离心力,比相同部分的重量,等于4比505,使得在被分为505等份的每一部分的重量中,离心力可以抵消其中4份,则余下的重量在两段管道中保持相等,因而流体可以维持平衡而静止。但第一部分的离心力比同一部分的重量等于1比289;即,应占的离心力,实际中占。所以,我认为,由比例的规则,如果的离心力使得管道ACca段中水的高度比QCcq段中水的高度能高出其总高度的部分,则的离心力将只能使ACca段中水的高度比另一段QCcq中水的高度高出部分;所以地球在赤道的直径比它在两极的直径为230比229。由于根据皮卡德的测算,地球的平均直径为19,615,800巴黎尺,或3923.16英里(5000尺为一英里),所以地球在赤道处比在两极处高出85,472尺,或英里。其赤道处高约19,658600尺,而两极处约19,573,000尺。

如果在自转中密度与周期保持不变,则大于或小于地球的行星,其离心力比引力,进而两极直径比赤道直径,也都类似地保持不变。但如果自转运动以任何比例加快或减慢,则离心力近似地以同一比例的平方增大或减小;因而直径的差也非常近似地以同一比率的平方增大或减小。如果行星的密度以任何比例增大或减小,则指向它的引力也以同样比例增大或减小:相反的,直径的差正比于引力的增大而减小,正比于引力的减小而增大。所以,由于地球相对于恒星的自转时间为23小时56分,而木星为9小时56分,它们的周期平方比为29比5,密度比为400比,木星的直径差比其短直径为比1,或近似为1比。所以木星的东西直径比其两极直径约为。所以,由于它的最大直径为37″,其两极间的最小直径为。加上大约3″的光线不规则折射,该行星的视在直径为40″和;相互间的比值极近似于。在此,假定木星星体的密度是均匀的。但如果该行星在赤道附近的密度大于在两极附近的密度,其直径比可能为12比11,或13比12,也许为14比13。

1691年,卡西尼发现,木星的东西向直径约比另一直径大1/15部分。庞德先生在1719年用他的123英尺望远镜配以优良的千分仪,测得木星两种直径如下:

所以本理论与现象是一致的;因为该行星在赤道附近受太阳光线的加热较强,因而其密度比两极处略大。

此外,地球的自转会使引力减小,因而赤道处的隆起高于两极(设地球物质密度均匀),这可以由与下述命题相关的摆实验证实。