引理27

作一类型已定的四边形,使其角分别与四条既不相互平行,又不向一公共点收敛的直线相接触。

令四条直线ABC,AD,BD,CE位置已定;第一条直线与第二条相交于A,与第三条相交于B,与第四条相交于C;设所要画的四边形fghi与四边形FGHI相似,其角f等于给定角F,与直线ABC相接触;其他的角ghi等于其他给定角G,H,I,分别与其他直线AD,BD,CE相接触。连接FH,并在FG,FH,FI上作同样多的圆弧FSG,FTH,FVI,其中第一个FSG张角等于角BAD,第二个FTH张角等于角CBD,第三个FVI张角等于角ACE。而这些圆弧这样面对直线FG,FH,FI,使字母FSGF的圆顺序与字母BADB相同,字母FTHF的旋转顺序与字母CBDC相同,而字母FVIF的顺序与字母ACEA相同。把这些圆弧拼成整圆,令P为第一个圆FSG的中心,Q为第二个圆FTH的中心,连接PQ并向两边延长,取QR使得QR:PQ=BC:AB。而QR指向点Q的一侧,使得字母P,Q,R的顺序与字母A,B,C的相同;再以R为中心,RF为半径作第四个圆FNc与第三个圆FVI相交于c。连接Fc与第一个圆交于a,与第二个圆交于b。作aG,bH,cI,令图形ABCfghi相似于图形abcFGHI;则四边形fghi即是所要画的图形。

因为,令前两个圆相交于K,连接PK,QK,RK,aK,bK,cK,并把QP延长到L。圆周角FaK,FbK,FcK是圆心角FpK,FQK,FRK的一半,所以等于这些角的半角LPK,LQK,LRK。所以图形PQRK与图形abck等角且相似,因而abbc等于PQ比QR,即等于AB:BC。而由作图知,角fAgfBhfCi等于角FaG,FbH,FcI,所以,画出的图形ABCfghi将相似于图形abcFGHI,此后,画出的四边形fghi将相似于四边形FGHI,而且其角fghi与直线ABC,AD,BD,CE相接触。

证毕。

推论.可以作一条直线,其各部分以给定顺序介于四条给定直线之间,而且相互间呈已知比。令角FGH,GHI增大,使得直线FG,GH,HI成为同一条直线;根据本情形中问题的作图,可画出直线fghi,其各部分fgghhi介于四条位置已定的直线之间,AB与AD,AD与BD,BD与CE,而且其相互间的比与直线FG,GH,HI间同样顺序的比相等。不过,这件事可以用更容易的方法来做:

把AB延长到K,BD延长到L,使BK比AB等于HI比GH;DL与BD等于GI比FG;连接KL与直线CE相交于i。把iL延长到M,使LM比iL等于GH比HI,再作MQ平行于LB,与直线AD相交于g,连接gi与AB,BD相交于fh则问题得解。

因为,令Mg与直线AB相交于Q,AD与KL相交于S,作直线AP平行于BD并与iL相交于P,则gM比Lhgihi,Mi比Li,GI比HI,AK比BK)与AP比BL比值相同,在R分割DL,使DL比RL取同一比值;因为gS比gM,AS比AP,以及DS比DL相等,所以,等于gS比Lh,AS比BL,DS比RL;相互混合,BL-RL比Lh-BL,等于AS-DS比gS-AS。即,BR比Bh等于AD比Ag,所以等于BD比gQ。或者,BR比BD等于BhgQ,或等于fhfg。而由作图知,直线BL在D和R被分割的比值与直线FI在G和H被分割相同,所以BR比BD等于FH比FG。所以,fhfg等于FH比FG。所以,类似地有gihi等于Mi比Li,即等于GI比HI,这意味着直线FI,fi在G和H,gh被相似地分割。

证毕。

在本推论作图中,继作直线LK与CE相交于i之后,可以把iE延长到V,使EV比Ei等于FH比HI,然后作Vf平行于BD。如果以i为中心,IH为间隔作一圆交BD于X,再延长iX到Y使iY等于IF,再作Yf平行于BD,也得到相同结果。

克里斯托弗·雷恩爵士和瓦里斯博士很久以前曾给出这一问题的其他解法。