命题91 问题45

求位于圆形物体轴上的小球的吸引力,指向该圆形物体上各点的向心力随距离的某种比率减小。

令小球P位于物体DECG的轴AB上,受到该物体的吸引。令与该轴垂直的任意圆RFS分割该物体;圆半径FS在一穿过轴的平面PALKB上,在FS上(由命题90)取长度FK正比于使小球被吸引向该圆的力。令点的轨迹为曲线LKI,与最外面的圆AL和BI的平面相交于L和I;则小球指向物体的吸引力正比于面积LABI。

完毕。

推论Ⅰ.如果物体是由平行四边形ADEB绕轴AB旋转而成的圆柱体,而且指向其上各点的向心力反比于到各点距离的平方;则小球P指向该圆柱体的吸引正比于。因为纵坐标FK(由命题90推论Ⅰ)正比于。该量的第一部分乘以长度AB,表示面积1·AB;另一部分乘以长度PB,表示面积1·(PE-AD)(这易于由曲线LKI的面积求得);用类似方法,同一部分乘以长度PA表示面积1·(PDAD),乘以PB与PA的差AB,表示面积差1·(PE-PD)。由第一项1·AB中减去最后一项1·(PE-PD)。余下的面积LABI等于1·(AB-PE+PD)。所以吸引力正比于该面积AB-PE+PD。

推论Ⅱ.还可以求出椭球体AGBC吸引位于其外且在轴AB上的物体P的力。令NKRM为一圆锥曲线,其垂直于PE的纵坐标ER总是等于线段PD的长度,PD由向该纵坐标与椭圆体的交点D连续画出。由该椭圆体的顶点A,B向其轴AB作垂线AK,BM,分别等于AP,BP,与圆锥曲线相交于K和M;连接KM,分割出面积KMRK。令S为椭圆体的中心,SC为其长半轴;则该椭圆体吸引物体P的力比以AB为直径的球体吸引同一物体的力等于。运用同一原理可以计算出椭圆体球冠的力。

推论Ⅲ.如果小球位于椭球内部的轴上,则吸引力正比于它到球心的距离。这可以容易地由下述理由推出,无论该小球是在轴上还是在其他已知直径上。令AG-OF为吸引椭球,球心为S,P是被吸引物体。通过物体P作半径SPA,再作二条直线DE,FG与椭球交于D和E,F和G;令PCM,HLN为与外面的椭球共心且相似的两个内椭球的表面,其中第一个通过物体P,并与直线DE,FG相交于B和C;后者与相同直线交于H和I,K和L。令所有椭球共轴,且直线被二边截下的部分DP和BE,FP和CG,DH和IE,FK和LG分别相等;因为直线DE,PB和HI在同一点被二等分,直线FG,PC和KL也在同一点被二等分。现设DPF,EPG表示以无限小顶角DPF,EPG画出的相反圆锥曲线,则线段DH,EI也为无限小。由椭球表面分割的圆锥曲线的局部DHKF,GLIE,根据线段DH和EI的相等性知,相互间的比等于到物体P距离的平方,因而对该物体吸引相同。由类似理由,如果把空间DPF,EGCB用无数与上述椭球相似且共轴的椭球加以分割,则得到的所有粒子也都在两边对物体P施加同等反向的吸引。所以,圆锥曲线DPF与圆锥曲线局部EGCB的力相等,而且由于反向作用而相互抵消。这一情形适用于所有内椭球PCBM以外的物质的力。所以,物体P只受到内椭球PCBM的吸引,所以(根据命题72推论Ⅲ)它的吸引力比整个椭球AGOD对物体A的吸引力等于距离PS比距离AS。

完毕。