命题35 问题16

求在给定时刻月球轨道相对于黄道平面的倾角。

令AD为最大倾角的正弦,AB为最小倾角的正弦。在C二等分BD;以C为中心,BC为半径作圆BGD。在AC上取CE比EB等于EB比二倍BA。如果在给定时刻取角AEG等于交会点到方照点的二倍距离,并在AD上作垂线GH,则AH即为所求的倾角的正弦。

因为GE2等于

所以,由于2EC是已知的,GE2正比于AH。现在令AEg表示在任意时间间隔之后交会点到方照点的二倍距离,则由于角GEg是已知的,弧Gg正比于距离GE。但Hh比Gg等于GH比GC,所以,Hh正比于矩形GH·Gg,或正比于GH·GE,即正比于GE2,或正比于;即正比于AH与角AEG的正弦的乘积。所以,如果在任意一种情况下,AH为倾角的正弦,则它与倾角的正弦以相同的增量增大(由前一命题推论Ⅲ),因而总是与该正弦相等。而当点G落在点B或D上时,AH等于这一正弦,所以它总是与之相等。

在本证明中,我没表示交会点到方照点二倍距离的角BEG均匀增大;因为我无法详细地考查每一分钟的不等性。现在设BEG是直角,在此情形中,Gg为交会点到太阳二倍距离的小时增量;则(由前一命题推论Ⅲ)在同一情形中倾角的小时变差比等于倾角的正弦AH乘以交会点到太阳的二倍距离直角BEG的正弦比半径的平方;即,等于平均倾角的正弦AH比四倍半径;即,由于平均倾角约为,等于其正弦896比四倍半径40,000,或等于224比10,000。但对应于BD的总变差,即两个正弦的差,比该小时变差等于直径BD比弧Gg,即等于直径BD比半圆周长BGD,乘以交会点由方照点移动到朔望点的时间小时,比一小时,即等于7比11乘以比1。所以把所有这些比式复合,得到总变差BD比等于比110,000,即等于29,645比1000;由此得出变差BD为

这就是不考虑月球在其轨道上位置时的倾角的最大变差;因为,如果交会点在朔望点,倾角不因月球位置的变化而受影响。但如果交会点位于方照点,则月球在朔望点时的倾角比它在方照点时小2′43″,如我们以前所证明的那样(前一命题推论Ⅳ);而当月球在方照点时,由总平均变差中减去上述差值的一半,即余下15′2″;而月球在朔望点时加上相同值,即变为17′45″。所以,如果月球位于朔望点,交会点由方照点移动到朔望点的总变差为17′45″;而且,如果轨道倾角为5°17′20″时交会点位于朔望点,则当交会点位于方照点而月球位于朔望点时,倾角为4°59′35″。所有这些都得到了观测的证实。

当月球位于朔望点,而交会点位于它们与方照点之间时,如果要求轨道的倾角,可令AB比AD等于4°59′35″的正弦比5°17′20″的正弦,取角AEG等于交会点到方照点的二倍距离;则AH就是所要求的倾角的正弦。当月球到交会点的距离为90°时,这一轨道倾角与这一轨道倾角的正弦是相等的。在月球的其他位置上,由于倾角的变差而引起的这种月份不等性,在计算月球黄纬时得到平衡,并可以通过交会点运动的月份不等性(像以前所说的那样)予以消除,因而在计算黄纬时可以忽略不计。