如果物体沿椭圆环行,求指向该椭圆中心的向心力的规律。

设CA,CB是该椭圆的半轴,GP,DK是其共轭直径,PF,QT垂直于共轭直径,Qv是到直径GP的纵坐标。如果作平行四边形QvPR,则(由圆锥曲线性质)Pv·vG:Qv2=PC2:CD2,又由于三角形QvT,PCF相似,Qv2:QT2=PC2:PF2,消去
。由于QR=Pv,以及(由引理12)BC·CA=CD·PF,当点P与Q重合时,2PC=vG,把外项与中项乘到一起,就得到
。所以(由命题6推论Ⅴ)向心力反比于
,即(因为2BC2·CA2已给定)反比于
,亦即正比于距离PC。
完毕。
另一种解法
在直线PG上点T的另一侧,取点u使Tu等于Tv。再取uV,使uV:vG=DC2:PC2。根据圆周曲线特性,Qv2:Pv·vG=DC2:PC2,于是Qv2=Pv·uV,两边同加Pu·Pv,则弧PQ的弦的平方将等于矩形PV·Pv。所以,与圆锥曲线相切于P点并通过Q点的圆周,也将通过点V,现在令点P与Q会合,则uV与vG的比值,等同于DC2与PC2的比值,将变成PV与PG的比值,或PV与2PC的比值,所以,PV等于
,所以,物体PCP在椭圆上受到的力将反比于
(由命题6推论Ⅲ),即(因为2DC2·PF2已给PC定)正比于PC。
完毕。
推论Ⅰ.所以,力正比于物体到椭圆中心的距离。反之,如果力正比于距离,则物体沿着中心与力的中心重合的椭圆运动,或沿椭圆蜕变成的圆周轨道运动。
推论Ⅱ.沿中心相同的椭圆轨道的环绕周期均相等,因为相似的椭圆所用时间相等(由命题4推论Ⅲ和Ⅷ);但对于长轴相同的椭圆,环绕时间之间的比正比于整个椭圆的面积,反比于同一时间掠过的椭圆的面积。即正比于短轴,反比于在长轴顶点的速度,也就是正比于短轴,反比于公共长轴上同一点的纵坐标,所以(因为正反比值相等)比值相等,1:1。