命题33 定理27

在同样条件下,系统中较大的部分受到的阻力正比于其速度的平方、其直径的平方,以及系统中该部分的密度。

因为阻力部分来自系统各部分间相互作用的向心或离心力,部分来自各部分与较大部分间的碰撞与反弹。第一部分阻力相互间的比等于产生它们的总运动力的比,即等于总加速力与相应部分的物质的量的乘积的比;即(由命题),正比于速度的平方,反比于对应部分间的距离,正比于对应部分的物质的量:因而,由于一个系统中各部分间距比另一个系统各部分的间距,等于前一个系统的粒子或部分的直径比另一个系统的对应粒子或部分的直径,而且由于物质的量正比于各部分的密度与直径的立方,所以阻力相互间的比正比于速度的平方与直径的平方以及系统各部分的密度。

证毕。

后一种阻力正比于对应的反弹次数与反弹力的乘积;但反弹次数的比正比于对应部分的速度反比于反弹间距。而反弹力正比于速度与对应部分的大小和密度的乘积;即正比于速度与这些部分的直径立方以及密度的乘积。所以综合所有这些比值,对应部分阻力间的比正比于速度的平方与直径的平方以及各部密度的乘积。

证毕。

推论Ⅰ.所以,如果这些系统是两个弹性系统,与我们的空气相似,它们各部分间保持静止;而两个相似物质的大小与密度正比于流体的部分,被沿着位置相似的直线方向抛出;流体粒子相互作用的加速力反比于被抛出物质的直径,正比于其速度的平方;则二物体将在正比的时间内在流体中激起相似的运动,并将掠过相似的且正比于其直径的距离。

推论Ⅱ.在同一种流体中快速运动的抛体遇到的阻力近似正比于其速度的平方。因为如果远处的粒子相互作用的力随速度平方增大,则抛体受到的阻力精确正比于同一个比的平方;所以在一种介质中,如果其各部分处于相互间无作用的距离上,则阻力精确正比于速度平方。设有三种介质A,B,C,由相似相等且均匀分布于相等距离上的部分组成。令介质A和B的各部分相互分离,作用力正比于T和V;令介质C的部分间完全没有作用。如果四个相等的物体D,E,F,G运动进入介质中,前两个物体D和E进入前两种介质A和B,另两个物体F和G进入第三种介质C;如果物体D的速度比物体E的速度,以及物体F的速度比物体G的速度,等于力T与V的比值的平方根;则物体D的阻力比物体E的阻力,以及物体F的阻力比物体G的阻力,等于速度的平方相比;所以物体D的阻力比物体F的阻力等于物体E的阻力比物体G的阻力。令物体D与F速度相等,物体E与G速度也相等;以任意比率增加物体D和F的速度,按相同比率的平方减小介质B的粒子的力,则介质B将任意趋近介质C的形状和条件;所以相等的且速度相等的物体E和G在这些介质中的阻力将连续趋于相等,使得其间的差最终小于任意给定值。所以,由于物体D和F的阻力的比等于物体E和G的阻力的比,它们也将以相似的方式趋于相等的比值。所以,当物体D和F以极快速度运动时,受到的阻力极近于相等;因而由于物体F的阻力正比于速度的平方,特体D的阻力也近似正比于同一值。

推论Ⅲ.在弹性流体中运动极快的物体其阻力几乎与流体各部分间没有离心力因而不相互远离无异;只是这要求流体的弹性来自粒子的向心力,而物体的速度如此之大,不允许粒子有足够时间相互作用。

推论Ⅳ.在其相距较远的各部分无相互远离运动的介质中,由于相似且等速的物体的阻力正比于直径的平方,因而以极快的相等速度运动的物体,其在弹性介质中所受的阻力近似正比于直径的平方。

推论Ⅴ.由于相似、相等、等速的物体,在密度相同其粒子不相互远离的介质中,将在相等的时间内撞击等量的物质,不论组成介质的粒子是大是小,是多是少,因而对这些物质施加相等的运动量,反过来(由第三运动定律)又受到前者等量的反作用,即,受到相等的阻力;所以,也可以说,在密度相同的弹性流体中,当物体以极快的速度运动时,它们的阻力几乎相等,不论流体是由较大的或细微的部分所组成。因为速度极大的抛体,其阻力并不因为介质的细微而明显减小

推论Ⅵ.对于弹性力来自粒子的离心力的流体,上述结论均成立。但如果这种力来自某种其他原因,如来自粒子像羊毛球或树枝那样的膨胀,或任何其他原因,使得粒子相互间的自由运动受到阻碍,则由于介质的流体性变小,阻力比上述推论为大。