附注

不过,我们在所有讨论中均假定相切角既非无限大于亦非无限小于圆与其切线所成的相切角。也就是说,点A的曲率既非无限小亦非无限大,间隔AJ具有有限值,因为可以设DB正比于AD3,在此情形下不能通过点A在切线AD和曲线AB之间作圆,所以夹角将无限小于这些圆。出于同样理由,如果能逐次地使DB正比于AD4,AD5,AD6,AD7等等,我们将得到一系列夹角趋于无限,随后的每一项都无限小于其前面的项。而如果逐次使DB正比于,等等,我们将得到另一系列无限夹角,其第一个与圆的相同,而第二个既为无限大,其后每一项都比前一项无限大。但在这些角的任意两个之间,还可以插入另一系列的中介夹角,并向两边伸入无限,其中每一项都比其前一项无限大或无限小,例如在AD2项与AD3项之间,可以插入,等等,而在该系列中的任意两项之间,又能再插入一个新的系列,其间相互差别可以是无限间隔。自然是无止境的。

由曲线及其围成的表面所证明的规律,可以方便地应用于曲面和固体自身,这些引理意在避免古代几何家采用的自相矛盾的冗长推导。用不可分量方法证明比较简捷,但由于不可分假设有些生硬,所以这方法被认为是不够几何化,所以我在证明以后的命题时宁可采用最初的与最后的和,以及新生的与将趋于零的量的比值,即采用这些和与比值的极限,并以此作为前提,尽我可能简化对这些极限的证明。这一方法与不可分量方法可作相同运用,现在它的原理已得到证明,我们可以更可靠地加以使用。所以,此后如果我说某量由微粒组成,或以短曲线代替直线,不要以为我是指不可分量,而是指趋于零的可分量,不要以为我指确定部分的和与比率,而总是指和与比率的极限,这样演示的力总是以前述引理的方法为基础的。

可能会有人反对,认为不存在将趋于零的量的最后比值,因为在量消失之前,比率总不是最后的,而当它们消失时,比率也没有了。但根据同样的理由,我们也可以说物体到达某一处所并在那里停止,也没有最后速度,在它到达前,速度不是最后速度,而在它到达时,速度没有了。回答很简单,最后速度意味着物体以该速度运动着,既不是在它到达其最后处所并终止运动之前,也不是在其后,而是在它到达的一瞬间。也就是说,物体到达其最后处所并终止运动时的速度,用类似方法,将消失的量的最后比可以理解为既不是这些量消失之前的比,也不是之后的比,而是它消失那一瞬间的比,用类似方法,新生量的最初比是它们刚产生时的比,最初的与最后的和是它们刚开始时或刚结束时(或增加与减少时)的和。在运动尚存的最后时刻速度有一极限,不能超越,这就是最后速度;所有初始和最后的量或比也有极限。由于这些极限是确定的,实在的,所以求出它们就是严格的几何学问题。而可用以求解或证明任何其他事物的几何学也都是几何学。

还可能有人反对,说如果给定将消失量的最后比值,它们的最后量值也就给定了:因此所有量都包含不可分量,而这与欧几里得在《几何原本》第十卷中证明的不可通约量相矛盾。然而这一反对意见建立在一个错误命题上。量消失时的最后的比并不真的是最后量的比,而是无止境减少的量的比必定向之收敛的极限,比值可以小于任何给定的差向该极限趋近,决不会超过,实际上也不会达到,直到这些量无限减少。在无限大的量中这种事情比较明显。如果两个量,它们的差已给定,是无限增大的,则这些量的最后的比也将给定,即相等的比,但不能由此认为,它们中最后的或最大的量的比已给定。所以,如果在下文中出于易于理解的理由,我论及最小的,将消失的,或最后的量,读者不要以为是在指确定大小的量,而是指作无止境减小的量。