命题31 问题23

找出在指定时刻沿已知椭圆运动的物体的处所。

设A是椭圆APB顶点,S是焦点,O是中心;令P为所要找出的物体的处所。延长OA到G使得OG:OA=OA:OS,作垂线GH;以O为中心,OG为半径作圆GEF;再以直线GH为底线,设圆轮GEF关于自己的轴在其上滚动,同时轮上的点A画出摆线ALI。然后取GK比轮的周长GEFG等于物体由A掠过弧AP所用的时间比它环绕椭圆一周所用时间。作垂线KL与摆线相交于L;再作LP平行KG,并与椭圆相交于P,即找出物体的处所。

因为,以O为中心,OA为半径画半圆AQB,如果必要的话,将LP延长到弧AQ于Q点,连接SQ,OQ,令OQ与弧EFG交于F,在OQ上作垂线SR。面积APS正比于面积AQS变化,即,正比于扇形OQA与三角形OQS的差,或正比于乘积OQ·SR的差,即,因为是已知的,正比于弧AQ与直线SR的差;所以(因为已知比值SR比弧AQ的正弦,OS比OA,OA比OG,AQ比GF,以及相除后AQ-SR比GF-弧AQ的正弦都是相等的)正比于弧GF与弧AQ的正弦的差。

完毕。