命题48 定理38

设流体的弹性力正比于其密度,则在弹性流体中传播的脉冲速度正比于弹性力的平方根,反比于密度的平方根。

情形1.如果介质是均匀的,介质中脉冲间距相等,但在一种介质中其运动强于在另一种介质中,则对应部分的收缩与舒张正比于该运动;不过这种正比关系不是十分精确。然而,如果收缩与舒张不是极大,则误差难以察觉;所以,该比例可认为是物理精确的。这样,弹性运动力正比于收缩与舒张;而相同时间内相等部分所产生的速度正比于该力。所以脉冲的相对的对应部分同时往返,通过的距离正比于其收缩与舒张,速度则正比于该空间;所以,脉冲在一次往返时间内前进的距离等于其宽度,并总是紧接着其前一个脉冲进入它所遗留的位置,所以,因为距离相等,脉冲在两种介质中以相等速度行进。

情形2.如果脉冲的距离或长度在一种介质中大于另一种介质,设对应的部分在每次往复运动中所掠过的距离正比于脉冲宽度;则它们的收缩和舒张是相等的;因而,如果介质是均匀的,则以往复运动推动它们的运动力也是相等的。现在这种介质受该力的推动正比于脉冲宽度;而它们每次往返所通过的距离比例也相同。而且,一次往返所用时间正比于介质的平方根与距离的平方根的乘积;所以正比于距离。而脉冲在一次往返的时间内所通过的距离等于其宽度;即,它们掠过的距离正比于时间,因而速度相同。

情形3.在密度与弹性力相等的介质中,所有脉冲速度相同。如果介质的密度或弹性力增大,则由于运动力与弹性力同比例增大,物质的运动与密度同比例增大,产生像从前一样的运动所需的时间正比于密度的平方根增大,却又正比于弹性力的平方根减小。所以脉冲的速度仍反比于介质密度的平方根,正比于弹性力的平方根。

证毕。

本命题可以在以下问题的求解中得到进一步澄清。