画一条圆锥曲线,使它通过三个已知点,并与两条已知直线相切。

设HI,KL为已知切线,B,C,D为已知点。通过已知点中的任意两个,设为B,D,作不确定直线BD与两条切线相交于点H,K,再用类似方法通过另外两点C,D作直线CD与两切线相交于I,L,将所画的直线相交于R,S,使得HR比KR等于BH和HD的比例中项比BK和KD的比例中项,IS比LS等于CI和ID的比例中项比CL和LD的比例中项,不过,交点在K和H,以及I和L之间或之外可以随意选定。然后作RS与两切线相交于A和P,则A与P就是切点。因为,如果在切线上任何其他位置上的A与P是切点,通过点H,I,K,L中的任意一个,设为任一条切线HI上的I,作直线IY平行于另一条切线KL,并与曲线相交于X和Y,在该直线上使IZ等于IX和IY的比例中项,则乘积XI·IY或IZ2(由圆锥曲线性质)比LP2将等于乘积CI·ID比乘积CL·LD;即(如图)等于SI比SL2。所以,IZ:LP=SI:SL。所以,点S,P,Z在同一条直线上。而且,由于两切线相交于G,则乘积XI·IY或IZ2(由圆锥曲线性质)比IA2等于GP2比GA2,所以IZ:IA=GP:GA。因而点Z,P,A在一条直线上,所以,点S,P,A也在一条直线上,由相同理由可以证明R,P,A也在一条直线上。因而切点A与P在直线RS上,而在找到这些点后,曲线即可以画出,与前述问题第一种情形相同。
完毕。
在本命题,以及前一命题情形2中,作图法相同,无论直线XY是否与曲线相交于X,Y。相交与否与作图无关。但已证明的作图是采用该直线与曲线相交的假设的,不相交的作图也就证明了。所以,出于简捷的考虑,我省略了详细的证明。