命题79 定理39

设一表面EFfe的宽度无限缩小,并刚好消失;而同一个表面绕轴PS转动产生一个球状凹凸形体,其各部分受到相等的向心力:则形体吸引位于P的小球的力,等于立方体DE2·Ff的比值与使位于Ff处给定部分吸引同一个小球的力的比值的复合比值。

首先考虑弧FE旋转而成的球面EF的力,该弧在某处,比如r被直线de分割,这样,弧rE旋转而成的面的圆环部分将比例于短线Dd,而球体的半径PE保持不变;正如阿基米德在他的著作《论球体和柱体》中所证明的那样。直线PE或Pr分布于整个圆锥体表面,圆环面的力沿着直线PE或Pr的方向,比例于该圆环本身;即,正比于短线Dd,或者,等价地,正比于球体的已知半径PE与短线段Dd的乘积;但该力沿直线PS方向指向球心S,小于PD与PE的比值,所以正比于PD·Dd。现在,设线段DF被分割成无数个相等的粒子,每个粒子都以Dd表示,则表面FE也被分割成同样多个圆环;它们的力正比于所有乘积PD·Dd的总和,即正比于,所以正比于DE2。再将表面FE乘以高度Ff;则立体EFfe作用于小球P的力正比于DE2·Ff;即,如果这个力已知,其上任一给定粒子Ff在距离PF处作用于小球P的力。而如果这个力为未知,则立体EFfe的力将正比于立体DE2·Ff乘以该未知力。

证毕。