第3章

物体在偏心的圆锥曲线上的运动

命题11 问题6

物体沿椭圆运动,求指向椭圆焦点的向心力的规律。

令S为椭圆焦点,作SP与椭圆直径DK相交于E,与纵坐标Qv相交于x;画出平行四边形QxPR,显然EP等于长半轴AC:因为,由椭圆另一焦点H作HI平行于EC,由于CS,CH相等,ES,EI也将相等,所以EP是PS与PI的和的一半,即(因为HI与PR是平行线,角IPR与HPZ相等),PS与PH的和的一半,而PS与PH的和等于整个长轴2AC。作QT垂直于SP,并令L为椭圆的通径(the principal latus rectum)(或),即得到:

以及

由引理7推论Ⅱ,当点P与Q重合时,Qv2=Qx2,而Qx2或Qv2:QT2=EP2:PF2=CA2:PF2,而且(由引理12)=CD2:CB2。将四个等式中对应项乘到一起并整理简化,得到L·QR:QT2=AC·L·PC2·CD2:PC·Gv·CD2·CB2=2PC:Gv,因此AC·L=2BC2。但当点P与Q重合时,2PC与Gv相等,所以量L·QR与QT2同它们成正比,而且相等。将这些等式两边同乘,则L·SP2将等于,所以(由命题6推论Ⅰ和Ⅴ)向心力反比于L·SP2,即反比于距离SP的平方。

完毕。

另一种解法

因为使物体P沿椭圆运动的指向椭圆中心的力,(由命题10推论Ⅰ)正比于物体到椭圆中心C的距离CP,作CE平行于椭圆切线PR,如果CE与PS相交于E点,则使同一物体P环绕椭圆中一其他任意点S的力,将正比于(由命题7推论Ⅲ),即如果点S是椭圆的焦点,因而PE是常数,将正比于SP2的倒数。

完毕。

我们曾用同样简捷的方式把第五个问题推广到抛物线和双曲线,在此本应也作同样的推广,但由于这个问题的重要性以及在以后的应用,我将用特殊的方法加以证明。