如果在均匀无限流体中,固体球绕一已知的方向的轴均匀转动,流体只受这种球体的冲击而转动;且流体各部分在运动中保持均匀;则流体各部分的周期正比于它们到球心的距离。

情形1.令AFL为绕轴S均匀转动的球,共心圆BGM,CHN,DIO,EKP等把流体分为无数个等厚的共心球层。设这些球层是固体的。因为流体是均匀的,邻接球层间的压力(由前提)正比于相互间的移动,以及受该压力的邻接表面,如果任一球层对其内侧的压力大于或小于对外侧的压力,则较大的压力将占优势,使球层的速度被加速或减速,这取决于该力与球层运动方向一致或相反。所以每一球层都保持其均匀运动,其必要条件是球层两侧压力相等,方向相反。所以,由于压力正比于邻接表面,还正比于相互间的移动,而移动又反比于表面,即反比于表面到球心距离的平方。但关于轴的角运动差正比于移动除以距离,或正比于移动反比于距离;即,将这些比式相乘,反比于距离的立方。所以,如果在无限直线SABCDEQ的不同部分作垂线Ab,Bb,Cc,Dd,Ee等,反比于差的和SA,SB,SC,SD,SE等即全部角运动的立方,则将正比于对应线段Aa,Bb,Cc,Dd,Ee等的和,即(如果使球层数无限增加,厚度无限减小,构成均匀流体介质),正比于相似于该和的双曲线面积AaQ,BbQ,CcQ,DdQ,EeQ等;其周期则反比于角运动,还反比于这些面积。所以,任意球层DIO的周期时间反比于面积DdQ,即(由已知求面积法),正比于距离SD的平方。这正是首先要证明的。
情形2.由球心作大量无限长直线,它们与轴所成角为给定的,相互间的差相等;设这些直线绕轴转动,球层被分割为无数圆环;则每一个圆环都有四个圆环与它邻接,即,其内侧一个,外侧一个,两边还各有一个。现在,这些圆环不能受到相等的力推动,内环与外环的摩擦方向相反,除非运动的传递按情形1所证明的规律进行。这可以由上述证明得出。所以,任意一组由球沿直线向外延伸的圆环,都将按情形1的规律运动,除非设它受到两边圆环的摩擦。但根据该规律,运动中不存在这种情况,所以不会阻碍圆环按该规律运动。如果到球的距离相等的圆环在极点的转动比在黄道点快或慢,则如果慢,相互摩擦使其加速,而如果快,则使其减速;致使周期时间逐渐趋于相等,这可以由情形1推知。所以这种摩擦完全不阻碍运动按情形1的规律进行,因此该规律是成立的;即不同圆环的周期时间正比于它们到球心的距离的平方。这是要证明的第二点。
情形3.现设每个圆环又被横截面分割为无数构成绝对均匀流体物质的粒子;因为这些截面与圆运动规律无关,只起产生流体物质的作用,圆运动规律将像从前一样维持不变。所有极小的圆环都不因这些截面而改变其大小和相互摩擦,或都作相同的变化。所以,原因的比例不变,效果的比例也保持不变;即,运动与周期时间的比例不变。
证毕。
如果由此而产生的正比于圆运动的向心力,在黄道点大于极点,则必定有某种原因发生作用,把各粒子维系在其轨道上;否则在黄道上的物质总是飞离中心,并在涡旋外侧绕极点转动,再由此以连续环绕沿轴回到极点。
推论Ⅰ.因此流体各部分绕球轴的角运动反比于到球心的距离的平方,其绝对速度反比于同一平方除以到轴的距离。
推论Ⅱ.如果球体在相似而无限的且匀速运动的静止流体中绕位置给定的轴均匀转动,则它传递给流体的转动运动类似于涡旋的运动,该运动将向无限逐渐传播;并且,该运动将在流体各部分中逐渐增加,直到各部分的周期时间正比于到球的距离的平方。
推论Ⅲ.因为涡旋内部由于其速度较大而持续压迫并推动外部,并通过该作用把运动传递给它们,与此同时外部又把相同的运动量传递给更远的部分,并保持其运动量持续不变,不难理解该运动逐渐由涡旋中心向外围转移,直到它相当平复并消失于其周边无限延伸的边际。任意两个与该涡旋共心的球面之间的物质决不会被加速;因为这些物质总是把它由靠近球心处所得到的运动传递给靠近边缘的物质。
推论Ⅳ.所以,为了维持涡旋的相同运动状态,球体需要从某种动力来源获得与它连续传递给涡旋物质的相等的运动量。没有这一来源,不断把其运动向外传递的球体和涡旋内部,无疑将逐渐地减慢运动,最后不再旋转。
推论Ⅴ.如果另一只球在距中心某距离处漂浮,并在同时受某力作用绕一给定的倾斜轴均速转动,则该球将激起流体像涡旋一样地转动;起初这个新的小涡旋将与其转动球一同绕另一中心转动;同时它的运动传播得越来越远,逐渐向无限延伸,方式与第一个涡旋相同。出于同样原因,新涡旋的球体被卷入另一个涡旋的运动,而这另一个涡旋的球又被卷入新涡旋的运动,使得两只球都绕某个中间点转动,并由于这种圆运动而相互远离,除非有某种力维系着它们。此后,如果使二球维持其运动的不变作用力中止,则一切将按力学规律运动,球的运动将逐渐停止(由推论Ⅲ和Ⅳ谈到的原因),涡旋最终将完全静止。
推论Ⅵ.如果在给定处所的几只球以给定速度绕位置已知的轴均匀转动,则它们激起同样多的涡旋并伸展至无限。因为根据与任意一个球把其运动传向无限远处的相同的道理,每个分离的球都把其运动向无限远传播;这使得无限流体的每一部分都受到所有球的运动的作用而运动。所以各涡旋之间没有明确分界,而是逐渐相互介入;而由于涡旋的相互作用,球将逐渐离开其原先位置,正如前一推论所述;它们相互之间也不可能维持一确定的位置关系,除非有某种力维系着它们。但如果持续作用于球体使之维持运动的力中止,涡旋物质(由推论Ⅲ和Ⅳ中的理由)将逐渐停止,不再做涡旋运动。
推论Ⅶ.如果类似的流体盛贮于球形容器内,并由于位于容器中心处的球的均匀转动而形成涡旋;球与容器关于同一根轴同向转动,周期正比于半径的平方:则流体各部分在其周期实现正比于到涡旋中心距离的平方之前,不会作既不加速亦不减速的运动。除了这种涡旋,由其他方式构成的涡旋都不能持久。
推论Ⅷ.如果这个盛有流体和球的容器保持其运动,此外还绕一给定轴作共同角运动转动,则因为流体各部分间的相互摩擦不由于这种运动而改变,各部分之间的运动也不改变;因为各部分之间的移动决定于这种摩擦。每一部分都将保持这种运动,来自一侧阻碍它运动的摩擦等于来自另一侧加速它运动的摩擦。
推论Ⅸ.所以,如果容器是静止的,球的运动为已知,则可以求出流体运动。因为设一平面通过球的轴,并作反方向运动;设该转动与球转动时间的和比球转动时间等于容器半径的平方比球半径的平方;则流体各部分相对于该平面的周期时间将正比于它们到球心距离的平方。
推论Ⅹ.所以,如果容器关于球相同的轴运动,或以已知速度绕不同的轴运动,则流体的运动也可以求知。因为,如果由整个系统的运动中减去容器的角运动,由推论Ⅷ知,则余下的所有运动保持相互不变,并可以由推论Ⅺ求出。
推论Ⅺ.如果容器与流体是静止的,球以均匀运动转动,则该运动将逐渐由全部流体传递给容器,容器则被它带动而转动,除非它被固定住;流体和容器则被逐渐加速,直到其周期时间等于球的周期时间。如果容器受某力阻止或受不变力均匀运动,则介质将逐渐地趋近于推论Ⅷ,Ⅸ,Ⅹ所讨论的运动状态,而绝不会维持在其他状态。但如果这种使球和容器以确定运动转动的力中止,则整个系统将按力学规律运动,容器和球体在流体的中介作用下,将相互作用,不断把其运动通过流体传递给对方,直到它们的周期时间相等,整个系统像一个固体一样地运动。