在相同条件下,如果取圆与双曲线张角的正切正比于速度,再取一适当大小的半径,则物体上升到最高处所的总时间正比于圆的扇形,而由最高处下落的总时间正比于双曲线的扇形。
在表示重力的直线AC上作与之相等的垂线AD,以D为圆心,AD为半径作一个四分之一圆AtE,再作直角双曲线AVZ,其轴为AK,顶点为A,渐近线为DC。作Dp,Dp;则圆扇形AtD正比于上升到最高处所的总时间;而双曲线扇形ATD则正比于由该最高处下落的总时间;如果这成立,则切线Ap,AP正比于速度。
情形1.作Dvq在扇形ADt和三角形ADp上切下变化率或同时掠过的小间隔tDv和qDp。由于这些间隔(因为属于共同角D)正比于边的平方,间隔tDv正比于
,即(因为tD已知),正比于
。但pD2等于AD2+Ap2,即,AD2+AD·Ak,或者AD·Ck;而qDp等于
。所以扇形间隔tDv正比于
;即正比于速度的减小量pq,反比于减慢速度的力Ck;所以正比于对应于速度减量的时间间隔。通过组合,在扇形ADt中所有间隔tDv的总和正比于对应于不断变慢的速度Ap所失去的每一个小间隔pq的时间间隔的总和,直到该趋于零的速度消失;即,整个扇形ADt正比于上升到最高处所的时间。
证毕。

情形2.作DQV在扇形DAV和三角形DAQ上割下小间隔TDV和PDQ;这两个小间隔相互间的比等于DT2比DP2,即(如果TX与AP平行)等于DX2比DA2或TX2比AP2;由相减法,等于DX2-TX2比DA2-AP2,但由双曲线性质知,DX2-TX2等于AD2;而由命题所设条件,AP2等于AD·AK。所以二间隔相互间的比等于AD2比AD2-AD·AK;即等于AD比AD-AK或AC比CK;所以扇形的间隔TDV等于
;所以(因为AC与AD已知)等于
;即,正比于速度的增量,反比于产生该增量的力;所以正比于对应于该增量的时间间隔。通过组合知,使速度AP产生全部增加量PQ的总时间间隔,正比于扇形ATD的间隔;即总时间正比于整个扇形。
证毕。
推论Ⅰ.如果AB等于AC的四分之一部分,则在任意时间内物体下落所掠过的距离,比物体以其最大速度AC在同一时间内匀速运动所掠过的距离,等于表示下落掠过的距离的面积ABNK比表示时间的面积ATD。因为

由本编引理2推论I,

所以

而由于

将对应项相乘,

如上所述,

所以,

即,等于落体速度比它在下落中所能获得的最大速度。所以,由于面积ABNK和ATD的变化率LKNO和DTV正比于速度,在同一时间里产生的这些面积的所有部分正比于同一时间里掠过的距离;所以自下落开始后产生的整个面积ABNK和ADT,正比于下落的全部距离。
证毕。
推论Ⅱ.物体上升所掠过的距离情况相同,也就是说,总距离比同一时间中以均匀速度AC掠过的距离,等于面积ABnK比扇形ADt。
推论Ⅲ.物体在时间ATD内下落的速度,比它同一时间里在无阻力空间中所可能获得的速度,等于三角形APD比双曲线扇形ATD。因为在无阻力介质中速度正比于时间ATD,而在有阻力介质中正比于AP,即正比于三角形APD。而在刚开始下落时,这些速度与面积ATD,APD一样,都是相等的。
推论Ⅳ.由同样理由,上升速度比物体相同时间里在无阻力空间中所损失的上升运动,等于三角形ApD比圆扇形AtD;或等于直线Ap比弧At。
推论Ⅴ.所以,物体在有阻力介质中下落所获得的速度AP,比它在无阻力空间中下落获得最大速度AC所需时间,等于扇形ADT比三角形ADC;而物体在无阻力介质中由于上升而失去速度Ap的时间,比它在有阻力介质中上升失去相同速度所需时间,等于弧At比切线Ap。
推论Ⅵ.由已知时间可以求出上升或下落的距离。因为物体无限下落的最大速度是已知的(由本编定理6推论Ⅱ和Ⅲ);因而也可以求出物体在无阻力空间中下落获得这一速度所需要的时间。取扇形ADT或ADt比三角形ADC等于已知时间比刚求出的时间,即可以求出速度AP或Ap,以及面积ABNK或ABnk,它与扇形ADT或ADt的比等于所求距离与前面求出的在已知时间内以最大速度匀速运动掠过的距离的比。
推论Ⅶ.采用反向推导,由已知上升或下落的距离ABnk或ABNK,可以求出时间ADt或ADT。