图书在版编目（CIP）数据

自然哲学之数学原理／（英）牛顿著；王克迪译．—北京：北京大学出版社，2006.1

（科学素养文库·科学元典丛书）

ISBN 978-7-301-09551-5

Ⅰ．自…　Ⅱ．①牛…　②王…　Ⅲ．科学普及—经典力学　Ⅳ．031

中国版本图书馆CIP数据核字（2005）第096672号

书　　名：自然哲学之数学原理

著作责任者：〔英〕牛　顿　著　王克迪　译　袁江洋　校

丛书策划：周雁翎

丛书主持：陈　静

责任编辑：陈　静

标准书号：ISBN 978-7-301-09551-5/K·0401

出版发行：北京大学出版社

地　　址：北京市海淀区成府路205号　100871

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印 刷 者：北京中科印刷有限公司

787毫米×1092毫米　16开本　25印张　8插页　557千字

2006年1月第1版　2013年9月第14次印刷

定　　价：49.00元

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版权所有，侵权必究

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弁言

· Preface to Series of Chinese Version ·

这套丛书中收入的著作，是自文艺复兴时期现代科学诞生以来，经过足够长的历史检验的科学经典。为了区别于时下被广泛使用的“经典”一词，我们称之为“科学元典”。

我们这里所说的“经典”，不同于歌迷们所说的“经典”，也不同于表演艺术家们朗诵的“科学经典名篇”。受歌迷欢迎的流行歌曲属于“当代经典”，实际上是时尚的东西，其含义与我们所说的代表传统的经典恰恰相反。表演艺术家们朗诵的“科学经典名篇”多是表现科学家们的情感和生活态度的散文，甚至反映科学家生活的话剧台词，它们可能脍炙人口，是否属于人文领域里的经典姑且不论，但基本上没有科学内容。并非著名科学大师的一切言论或者是广为流传的作品都是科学经典。

这里所谓的科学元典，是指科学经典中最基本、最重要的著作，是在人类智识史和人类文明史上划时代的丰碑，是理性精神的载体，具有永恒的价值。

一

科学元典或者是一场深刻的科学革命的丰碑，或者是一个严密的科学体系的构架，或者是一个生机勃勃的科学领域的基石。它们既是昔日科学成就的创造性总结，又是未来科学探索的理性依托。

哥白尼的《天体运行论》是人类历史上最具革命性的震撼心灵的著作，它向统治西方思想千余年的地心说发出了挑战，动摇了“正统宗教”学说的天文学基础。伽利略《关于托勒密与哥白尼两大世界体系的对话》以确凿的证据进一步论证了哥白尼学说，更直接地动摇了教会所庇护的托勒密学说。哈维的《心血运动论》以对人类躯体和心灵的双重关怀，满怀真挚的宗教情感，阐述了血液循环理论，推翻了同样统治西方思想千余年、被“正统宗教”所庇护的盖伦学说。笛卡尔的《几何》不仅创立了为后来诞生的微积分提供了工具的解析几何，而且折射出影响万世的思想方法论。牛顿的《自然哲学之数学原理》标志着17世纪科学革命的顶点，为后来的工业革命奠定了科学基础。分别以惠更斯的《光论》与牛顿的《光学》为代表的波动说与微粒说之间展开了长达200余年的论战。拉瓦锡在《化学基础论》中详尽论述了氧化理论，推翻了统治化学百余年之久的燃素理论，这一智识壮举被公认为历史上最自觉的科学革命。道尔顿的《化学哲学新体系》奠定了物质结构理论的基础，开创了科学中的新时代，使19世纪的化学家们有计划地向未知领域前进。傅立叶的《热的解析理论》以其对热传导问题的精湛处理，突破了牛顿《原理》所规定的理论力学范围，开创了数学物理学的崭新领域。达尔文《物种起源》中的进化论思想不仅在生物学发展到分子水平的今天仍然是科学家们阐释的对象，而且100多年来几乎在科学、社会和人文的所有领域都在施展它有形和无形的影响。《基因论》揭示了孟德尔式遗传性状传递机理的物质基础，把生命科学推进到基因水平。爱因斯坦的《狭义与广义相对论浅说》和薛定谔的《关于波动力学的四次演讲》分别阐述了物质世界在高速和微观领域的运动规律，完全改变了自牛顿以来的世界观。魏格纳的《海陆的起源》提出了大陆漂移的猜想，为当代地球科学提供了新的发展基点。维纳的《控制论》揭示了控制系统的反馈过程，普里戈金的《从存在到演化》发现了系统可能从原来无序向新的有序态转化的机制，二者的思想在今天的影响已经远远超越了自然科学领域，影响到经济学、社会学、政治学等领域。

科学元典的永恒魅力令后人特别是后来的思想家为之倾倒。欧几里得的《几何原本》以手抄本形式流传了1800余年，又以印刷本用各种文字出了1000版以上。阿基米德写了大量的科学著作，达·芬奇把他当作偶像崇拜，热切搜求他的手稿。伽利略以他的继承人自居。莱布尼兹则说，了解他的人对后代杰出人物的成就就不会那么赞赏了。为捍卫《天体运行论》中的学说，布鲁诺被教会处以火刑。伽利略因为其《关于托勒密与哥白尼两大世界体系的对话》一书，遭教会的终身监禁，备受折磨。伽利略说吉尔伯特的《论磁》一书伟大得令人嫉妒。拉普拉斯说，牛顿的《自然哲学之数学原理》揭示了宇宙的最伟大定律，它将永远成为深邃智慧的纪念碑。拉瓦锡在他的《化学基础论》出版后5年被法国革命法庭处死，传说拉格朗日悲愤地说，砍掉这颗头颅只要一瞬间，再长出这样的头颅一百年也不够。《化学哲学新体系》的作者道尔顿应邀访法，当他走进法国科学院会议厅时，院长和全体院士起立致敬，得到拿破仑未曾享有的殊荣。傅立叶在《热的解析理论》中阐述的强有力的数学工具深深影响了整个现代物理学，推动数学分析的发展达一个多世纪，麦克斯韦称赞该书是“一首美妙的诗”。当人们咒骂《物种起源》是“魔鬼的经典”、“禽兽的哲学”的时候，赫胥黎甘做“达尔文的斗犬”，挺身捍卫进化论，撰写了《进化论与伦理学》和《人类在自然界的位置》，阐发达尔文的学说。经过严复的译述，赫胥黎的著作成为维新领袖、辛亥精英、五四斗士改造中国的思想武器。爱因斯坦说法拉第在《电学实验研究》中论证的磁场和电场的思想是自牛顿以来物理学基础所经历的最深刻变化。

在科学元典里，有讲述不完的传奇故事，有颠覆思想的心智波涛，有激动人心的理性思考，有万世不竭的精神甘泉。

二

按照科学计量学先驱普赖斯等人的研究，现代科学文献在多数时间里呈指数增长趋势。现代科学界，相当多的科学文献发表之后，并没有任何人引用。就是一时被引用过的科学文献，很多没过多久就被新的文献所淹没了。科学注重的是创造出新的实在知识。从这个意义上说，科学是向前看的。但是，我们也可以看到，这么多文献被淹没，也表明划时代的科学文献数量是很少的。大多数科学元典不被现代科学文献所引用，那是因为其中的知识早已成为科学中无须证明的常识了。即使这样，科学经典也会因为其中思想的恒久意义，而像人文领域里的经典一样，具有永恒的阅读价值。于是，科学经典就被一编再编、一印再印。

早期诺贝尔奖得主奥斯特瓦尔德编的物理学和化学经典丛书《精密自然科学经典》从1889年开始出版，后来以《奥斯特瓦尔德经典著作》为名一直在编辑出版，有资料说目前已经出版了250余卷。祖德霍夫编辑的《医学经典》丛书从1910年就开始陆续出版了。也是这一年，蒸馏器俱乐部编辑出版了20卷《蒸馏器俱乐部再版本》丛书，丛书中全是化学经典，这个版本甚至被化学家在20世纪的科学刊物上发表的论文所引用。一般把1789年拉瓦锡的化学革命当作现代化学诞生的标志，把1914年爆发的第一次世界大战称为化学家之战。奈特把反映这个时期化学的重大进展的文章编成一卷，把这个时期的其他9部总结性化学著作各编为一卷，辑为10卷《1789—1914年的化学发展》丛书，于1998年出版。像这样的某一科学领域的经典丛书还有很多很多。

科学领域里的经典，与人文领域里的经典一样，是经得起反复咀嚼的。两个领域里的经典一起，就可以勾勒出人类智识的发展轨迹。正因为如此，在发达国家出版的很多经典丛书中，就包含了这两个领域的重要著作。1924年起，沃尔科特开始主编一套包括人文与科学两个领域的原始文献丛书。这个计划先后得到了美国哲学协会、美国科学促进会、科学史学会、美国人类学协会、美国数学协会、美国数学学会以及美国天文学学会的支持。1925年，这套丛书中的《天文学原始文献》和《数学原始文献》出版，这两本书出版后的25年内市场情况一直很好。1950年，他把这套丛书中的科学经典部分发展成为《科学史原始文献》丛书出版。其中有《希腊科学原始文献》、《中世纪科学原始文献》和《20世纪（1900—1950年）科学原始文献》，文艺复兴至19世纪则按科学学科（天文学、数学、物理学、地质学、动物生物学以及化学诸卷）编辑出版。约翰逊、米利肯和威瑟斯庞三人主编的《大师杰作丛书》中，包括了小尼德勒编的3卷《科学大师杰作》，后者于1947年初版，后来多次重印。

在综合性的经典丛书中，影响最为广泛的当推哈钦斯和艾德勒1943年开始主持编译的《西方世界伟大著作丛书》。这套书耗资200万美元，于1952年完成。丛书根据独创性、文献价值、历史地位和现存意义等标准，选择出74位西方历史文化巨人的443部作品，加上丛书导言和综合索引，辑为54卷，篇幅250万单词，共32000页。丛书中收入不少科学著作。购买丛书的不仅有“大款”和学者，而且还有屠夫、面包师和烛台匠。迄1965年，丛书已重印30次左右，此后还多次重印，任何国家稍微像样的大学图书馆都将其列入必藏图书之列。这套丛书是20世纪上半叶在美国大学兴起而后扩展到全社会的经典著作研读运动的产物。这个时期，美国一些大学的寓所、校园和酒吧里都能听到学生讨论古典佳作的声音。有的大学要求学生必须深研100多部名著，甚至在教学中不得使用最新的实验设备而是借助历史上的科学大师所使用的方法和仪器复制品去再现划时代的著名实验。至1940年代末，美国举办古典名著学习班的城市达300个，学员约50000余众。

相比之下，国人眼中的经典，往往多指人文而少有科学。一部公元前300年左右古希腊人写就的《几何原本》，从1592年到1605年的13年间先后3次汉译而未果，经17世纪初和1850年代的两次努力才分别译刊出全书来。近几百年来移译的西学典籍中，成系统者甚多，但皆系人文领域。汉译科学著作，多为应景之需，所见典籍寥若晨星。借1970年代末举国欢庆“科学春天”到来之良机，有好尚者发出组译出版《自然科学世界名著丛书》的呼声，但最终结果却是好尚者抱憾而终。1990年代初出版的《科学名著文库》，虽使科学元典的汉译初见系统，但以10卷之小的容量投放于偌大的中国读书界，与具有悠久文化传统的泱泱大国实不相称。

我们不得不问：一个民族只重视人文经典而忽视科学经典，何以自立于当代世界民族之林呢？

三

科学元典是科学进一步发展的灯塔和坐标。它们标识的重大突破，往往导致的是常规科学的快速发展。在常规科学时期，人们发现的多数现象和提出的多数理论，都要用科学元典中的思想来解释。而在常规科学中发现的旧范型中看似不能得到解释的现象，其重要性往往也要通过与科学元典中的思想的比较显示出来。

在常规科学时期，不仅有专注于狭窄领域常规研究的科学家，也有一些从事着常规研究但又关注着科学基础、科学思想以及科学划时代变化的科学家。随着科学发展中发现的新现象，这些科学家的头脑里自然而然地就会浮现历史上相应的划时代成就。他们会对科学元典中的相应思想，重新加以诠释，以期从中得出对新现象的说明，并有可能产生新的理念。百余年来，达尔文在《物种起源》中提出的思想，被不同的人解读出不同的信息。古脊椎动物学、古人类学、进化生物学、遗传学、动物行为学、社会生物学等领域的几乎所有重大发现，都要拿出来与《物种起源》中的思想进行比较和说明。玻尔在揭示氢光谱的结构时，提出的原子结构就类似于哥白尼等人的太阳系模型。现代量子力学揭示的微观物质的波粒二象性，就是对光的波粒二象性的拓展，而爱因斯坦揭示的光的波粒二象性就是在光的波动说和粒子说的基础上，针对光电效应，提出的全新理论。而正是与光的波动说和粒子说二者的困难的比较，我们才可以看出光的波粒二象性说的意义。可以说，科学元典是时读时新的。

除了具体的科学思想之外，科学元典还以其方法学上的创造性而彪炳史册。这些方法学思想，永远值得后人学习和研究。当代研究人的创造性的诸多前沿领域，如认知心理学、科学哲学、人工智能、认知科学等等，都涉及到对科学大师的研究方法的研究。一些科学史学家以科学元典为基点，把触角延伸到科学家的信件、实验室记录、所属机构的档案等原始材料中去，揭示出许多新的历史现象。近二十多年兴起的机器发现，首先就是对科学史学家提供的材料，编制程序，在机器中重新做出历史上的伟大发现。借助于人工智能手段，人们已经在机器上重新发现了波义耳定律、开普勒行星运动第三定律，提出了燃素理论。萨伽德甚至用机器研究科学理论的竞争与接受，系统研究了拉瓦锡氧化理论、达尔文进化学说、魏格纳大陆漂移说、哥白尼日心说、牛顿力学、爱因斯坦相对论、量子论以及心理学中的行为主义和认知主义形成的革命过程和接受过程。

除了这些对于科学元典标识的重大科学成就中的创造力的研究之外，人们还曾经大规模地把这些成就的创造过程运用于基础教育之中。美国兴起的发现法教学，就是几十年前在这方面的尝试。近二十多年来，兴起了基础教育改革的全球浪潮，其目标就是提高学生的科学素养，改变片面灌输科学知识的状况。其中的一个重要举措，就是在教学中加强科学探究过程的理解和训练。因为，单就科学本身而言，它不仅外化为工艺、流程、技术及其产物等器物形态、直接表现为概念、定律和理论等知识形态，更深蕴于其特有的思想、观念和方法等精神形态之中。没有人怀疑，我们通过阅读今天的教科书就可以方便地学到科学元典著作中的科学知识，而且由于科学的进步，我们从现代教科书上所学的知识甚至比经典著作中的更完善。但是，教科书所提供的只是结晶状态的凝固知识，而科学本是历史的、创造的、流动的，在这历史、创造和流动过程之中，一些东西蒸发了，另一些东西积淀了，只有科学思想、科学观念和科学方法保持着永恒的活力。

然而，遗憾的是，我们的基础教育课本和不少科普读物中讲的许多科学史故事都是误讹相传的东西。比如，把血液循环的发现归于哈维，指责道尔顿提出二元化合物的元素原子数最简比是当时的错误，讲伽利略在比萨斜塔上做过落体实验，宣称牛顿提出了牛顿定律的诸数学表达式，等等。好像科学史就像网络上传播的八卦那样简单和耸人听闻。为避免这样的误讹，我们不妨读一读科学元典，看看历史上的伟人当时到底是如何思考的。

现在，我们的大学正处在席卷全球的通识教育浪潮之中。就我的理解，通识教育固然要对理工农医专业的学生开设一些人文社会科学的导论性课程，要对人文社会科学专业的学生开设一些理工农医的导论性课程，但是，我们也可以考虑适当跳出专与博、文与理的关系的思考路数，对所有专业的学生开设一些真正通而识之的综合性课程，或者倡导这样的阅读活动、讨论活动、交流活动甚至跨学科的研究活动，发掘文化遗产、分享古典智慧、继承高雅传统，把经典与前沿、传统与现代、创造与继承、现实与永恒等事关全民素质、民族命运和世界使命的问题联合起来进行思索。

我们面对不朽的理性群碑，也就是面对永恒的科学灵魂。在这些灵魂面前，我们不是要顶礼膜拜，而是要认真研习解读，读出历史的价值，读出时代的精神，把握科学的灵魂。我们要不断吸取深蕴其中的科学精神、科学思想和科学方法，并使之成为推动我们前进的伟大精神力量。

需要说明的是，编辑科学元典丛书的计划，曾经得益于彭小华先生及李兵先生的支持。1990年代初，在科学史学界一些前辈学者和同辈朋友的帮助下，我主编了《科学名著文库》，由武汉出版社出版。十多年过去了，我更加意识到编辑和出版科学元典丛书的意义。现在，在北京大学出版社的支持下，我们得到原《科学名著文库》以及其他汉译科学元典译者的帮助和配合，编辑出《科学素养文库·科学元典丛书（第一辑）》，奉献给读者。这套丛书的前期组织工作，还得到了中国科学技术协会科普专项资助。当然，科学经典很多。我们不可能把所有科学经典毫无遗漏地都收进这套丛书中来。我们期待着，继第一辑之后，这套丛书还会有第二辑、第三辑……的出版。当然，这需要有更多的优秀译者加入我们的行列。

任定成

2005年8月6日

北京大学承泽园迪吉轩

《自然哲学之数学原理》导读

王克迪

（中央党校教授）

· Chinese Version Introduction ·

《自然哲学之数学原理》的体系、结构和特点——《自然哲学之数学原理》各部分导读——牛顿本人为《自然哲学之数学原理》一至三版所作序言——科茨为《自然哲学之数学原理》第二版所作的序言——牛顿的生平

格林尼治天文台的标准时钟和长度单位计

《自然哲学之数学原理》是牛顿一生中最重要的科学著作。

《原理》（第一版）成书于1687年，是牛顿经过20年的思考、实验研究、大量的天文观测和无数次数学演算的结晶。这20年，以及这之前的几十年里，欧洲的许多先进思想家和科学家在研究自然和数学方面取得了许多成就。其中直接或间接影响牛顿的思想体系以及《原理》的主要有：

哥白尼（Nicholas Copernicus, 1473—1543）提出了日心说。在哥白尼以前，欧洲占统治地位的宇宙学说是亚里士多德—托勒密（Aristotle—Ptolemy）地心说体系。地心说本来是许多种宇宙学说中的一种，与纪元前后人们的天文观测水平相适应，它认为地球处于宇宙的中心，行星和太阳、月亮围绕着地球旋转，宇宙的最外层是不动的恒星，上帝住在遥远的恒星天注视着人类活动的地球，主宰着整个宇宙。由于这一学说符合上帝创造世界和人的基督教教义，后来在政教合一的欧洲成为占统治地位的意识形态，长期禁锢欧洲的思想界达千年之久。它的影响所及，既包括人们对于世界的基本看法，也影响人们对于天文历法编制、普通物体运动，甚至人类的生老病死的具体看法、解释和态度，可谓无所不包。但是，到中世纪中后期，随着人们天文观测精度的提高和观测资料的大量积累，地心说越来越不能自圆其说，不能满足实际需要。例如编制历法，到中世纪后期，天文现象与历法之间的误差越来越大，不仅天象（如日月食）无法预报和解释，连季节变换和每年的元旦都定不准，误差竟达几个月。

波兰的天主教神父和天文学家哥白尼对地心说体系发起了挑战，他用神学的语言和毕生天文观测的数据写成了《天体运行论》一书。他指出，更合理的宇宙结构应当是太阳为宇宙中心，地球和其他行星绕太阳旋转，旋转的轨道是完美的圆形。但哥白尼预计到自己的学说会被当做宗教异端对待，他直到临死前才发表了这部著作。

哥白尼的著作和学说赢得了有独立思考能力的思想家和科学家的赏识。意大利哲学家布鲁诺（Giordano Bruno, 1548？—1600）就到处宣传日心说，遭到教会的迫害，他在备受酷刑摧残之后，被烧死在火刑柱上。

意大利科学家伽利略也相信日心说。他进一步认为，自然的语言是数学，观察和研究自然要通过科学的实验，而要表达自然的运动规律，应当使用数学和实验数据。伽利略发明了折射望远镜，并且用望远镜发现了木星的卫星，伽利略认为木星的卫星围绕木星旋转充分说明了哥白尼原理的正确性。伽利略还发现了惯性原理，他用数学关系精确表达了运动物体的距离与时间的关系（如自由落体），他研究过单摆的运动，他还研究了力的合成及抛体运动。伽利略写下了两本著名的书：《关于托勒密和哥白尼两大世界宇宙体系的对话》和《关于两种科学的对话》，集中表达了他的科学（主要是物理学和天文学）成就，以及他对于宇宙和新的实验科学的看法。他被宗教法庭判为异端。他屈服了，写下了“悔过书”，但他被押离法庭时还是喃喃自语：“但是地球毕竟是在动的！”伽利略死于1642年，10天之后，牛顿出生了。

从伽利略以后，新的实验科学获得了地位，数学语言取代哲学思辨语言用于表达自然的规律，成为时尚。但是宇宙体系问题还远远没有解决。哥白尼日心说简洁优美，但在天文计算中却十分繁杂，比起托勒密地心体系甚至有过之无不及。于是德国天文学家第谷（Tycho Brahe, 1546—1601）提出了折中方案，认为太阳和月亮围绕地球旋转，行星围绕太阳旋转，但是这并没有使问题变得简单些。第谷的学生开普勒认识到需要作更加精密的天文观测，然后才有可能回答宇宙体系的问题。他一生孜孜不倦地观测天象，用大量数据总结出天体（行星）运动三定律，其核心是发现行星的运行轨道是椭圆，而不是哥白尼所说的正圆，太阳或地球位于椭圆的两个焦点之一。开普勒的行星运动定律是牛顿之前人类所取得的最高天文学成就。

与伽利略的实验科学传统略有不同的是法国哲学家和数学家笛卡尔（René du PerGron Descartes, 1596—1650）。以今天的眼光看来，笛卡尔有些奇怪，他在数学上很有建树，对于代数学和几何学都有很大贡献，他发明了我们今天十分熟悉的坐标系，以及把几何问题转化为代数问题的解析几何。马克思（Karl Marx, 1818—1883）评价笛卡尔，说从他开始，运动被引入了几何学。在哲学世界观上，笛卡尔坚持用自然的原因来解释自然，但是他在认识论上却又是个不可知论者，他的名言是“我思故我在”。

笛卡尔的哲学学说有极大影响，从他年轻时直到死后统治整个欧洲长达一个世纪。这影响波及科学领域，特别是天文学和物理学。在物理学上，笛卡尔及其追随者强调有某种特殊的物质“以太”（牛顿所说的“隐秘的质”），它们充满空间，因为“自然厌恶真空”，以太传递物体之间的相互作用，使物体的运动得以持续。“以太”是一种想象中的物质存在，一种纯思辨的产物，它排除了物质世界里和物体运动关系中神的作用，但为探究自然规律设置了新的障碍。

困难在于它既无法测量，又难以想象。笛卡尔学说的最大成就和最大失败都集中体现在它的宇宙论中。它承认日心说体系。因为它必须否认真空的存在，他设想宇宙中充满以太，太阳的转动在以太中形成宇宙涡旋，涡旋运动带动各个行星运动，从而有我们所见到的天象奇观。这一解释从哲学思辨上来说，其成功是前所未有的，它首次提出了一个不诉诸神力的宇宙动力学模型，很有想象力，满足了人们解释天象的思辨需要。

但是，笛卡尔学派的涡旋说在具体的天文现象的解释上却遭遇到重重困难，例如，地球和各行星的自转，这要求在整个宇宙的大涡旋中有局部的方向和速度都不相同的小涡旋，而且因为各个行星围绕太阳的公转速度不同，大涡旋的到太阳距离不同的部分的旋转速度也不相同，这很难与人们的日常经验相符；更糟的是，某些行星，如火星，有时会出现天文学中常见的“逆行”现象，似乎宇宙大涡旋中的某些层次有时会随心所欲地发生“逆转”，这对于以自然解释自然的信条构成了严重障碍。还有，涡旋说无法说明行星发光现象，只能暗示天体实际上是某种与地面物体很不相同的“精英”物质，这就又请回了亚里士多德的宇宙论。最后，涡旋说对于具体的天文现象的解释与实际观测数据相矛盾，在《原理》第二编的末尾，牛顿指出涡旋的速度与它到涡旋中心的距离成正比，然而天文观测数据表明行星的速度与它到太阳距离的3/2方成正比，这对涡旋说来说是致命的。

笛卡尔宇宙体系是牛顿出世时面对的最大的宇宙体系，英国和整个欧洲大陆的大学都讲授它，以它为标准的宇宙学说。牛顿在大鼠疫时期就已经看出笛卡尔体系的问题，摧毁这一体系，成为牛顿研究生涯的首要直接目标。而要建立起一个全新的体系，则要经过长达20年的思考和研究，直到完成《原理》的写作。

牛顿在思想上还受到英国的思想家培根（Frances Bacon, 1561—1626）、洛克（John Locke, 1632—1704）和摩尔（Henry More, 1614—1687）等人的影响，他们都强调经验论的作用。在科学思想和神学思想上，牛顿又受到同时代的英国化学家玻义耳（Robert Boyle, 1627—1691）的影响，认为每一个哲学家的最崇高的职责是认识并证明上帝的存在和完美，自然界是上帝创造的，它只是上帝的神性的外在形式，它可以为人类所认识和想象，人类只能通过自然哲学去研究自然才能最终认识上帝。在此意义上，牛顿毕生所从事的各种研究，包括数学、物理学、天文学、炼金术、圣经考古学和圣经年代学以及神学等，都是服务于他心目中的上帝的。

此外，当牛顿进入学术研究时，与他同时代的一些科学家也做出了一些重要的工作，如荷兰物理学家和天文学家惠更斯发明了发条钟和摆钟，这为准确的科学计时准备了条件；荷兰工程师贝克曼（Isaac Beeckman, 1588—1677）提出一切运动都要找出其力学原因的思想，为机械唯物主义做好了铺垫；地理大发现已经过去了一个多世纪，欧洲人早已有能力在地图上画满经度和纬度线，以准确定位地球上的每一点。

牛顿的《原理》正是在这样的背景下写作出来的。

《自然哲学之数学原理》的体系、结构和特点

牛顿并没有声称自己要构造一个体系。牛顿在《原理》第一版的序言一开始就指出，他要“致力于发展与哲学相关的数学”，这本书是几何学与力学的结合，是一种“理性的力学”，一种“精确地提出问题并加以演示的科学，旨在研究某种力所产生的运动，以及某种运动所需要的力”。他的任务是“由运动现象去研究自然力，再由这些力去推演其他运动现象”。

然而牛顿实际上构建了一个人类有史以来最为宏伟的体系。他所说的力，主要是重力（我们今天称之为引力，或万有引力），以及由重力所派生出来的摩擦力、阻力和海洋的潮汐力等，而运动则包括落体、抛体、球体滚动、单摆与复摆、流体、行星自转与公转、回归点、轨道章动等，简而言之，包括当时已知的一切运动形式和现象。也就是说，牛顿是要用统一的力学原因去解释从地面物体到天体的所有运动和现象。

在结构上，《原理》是一种标准的公理化体系。它从最基本的定义和公理出发，“在第一编和第二编中推导出若干普适命题”。第一编题为“物体的运动”，把各种运动的形式加以分类，详细考察每一种运动形式与力的关系，为全书的讨论做了数学工具上的准备；第二编讨论“物体（在阻滞介质中）的运动”，进一步考察了各种形式的阻力对于运动的影响，讨论地面上各种实际存在的力与运动的情况。牛顿在第三编中“示范了把它们应用于宇宙体系，用前两编中数学证明的命题通过天文现象推演出使物体倾向于太阳和行星的重力，再运用其他数学命题由这些力推算出行星、彗星、月球和海洋的运动”。在全书（我们选用的这个第三版）的最后，牛顿写下了一段著名的“总释”，集中表述了牛顿对于宇宙间万事万物的运动的根本原因——万有引力——以及我们的宇宙为什么是一个这样优美的体系的总原因的看法，集中表达了他对于上帝的存在和本质的见解。

在写作手法上，牛顿是个十分专注的人，他在搭建自己的体系时，虽然仿照欧几里得（Euclid，约公元前3世纪）的《几何原本》，但从没有忘记自己的使命是解释自然现象和运动的原因，没有把自己迷失在纯粹形式化的推理中。他是极为出色的数学家，在数学上有一系列一流的发明，但他严格地把数学当做工具，只是在有需要时才带领读者稍微作一点数学上的远足。另一方面，牛顿也丝毫没有沉醉于纯粹的哲学思辨。《原理》中所有的命题都来自于现实世界，或是数学的，或是天文学的，或是物理学的，即牛顿所理解的自然哲学的。《原理》中全部的论述都以命题形式给出，每一个命题都给出证明或求解，所有的求证求解都是完全数学化的，必要时附加推论，而每一个推论又都有证明或求解。只是在牛顿认为某个问题在哲学上有特殊意义时，他才加上一个附注，对问题加以解释或进一步推广。

大多数读者在阅读《原理》时感到困惑和困难的是牛顿的对于命题的解决方式。首先，牛顿大量使用作图，采用几何学的证明方法；其次，牛顿大量运用比例关系式，这一点令读者感到繁杂，但却正是牛顿论证的有力之处。它在思想上符合牛顿的可测度空间和时间以及重量等物理概念只是相对性的见解，运算中回避了拘泥于单位制的麻烦并且使牛顿极为方便地引入了他发明的极大极小比方法。此外，我们应当理解到，在牛顿写作《原理》时，用来解决物体运动的动力学问题的有力工具微积分（牛顿称为流数法）还处于发明的初期，远远没有成熟到今天的样子，而牛顿本人正是这种技术的主要发明人之一。有证据表明，书中的许多论述，牛顿是通过自己发明的流数法或反流数法得到的，但在写作《原理》时，牛顿换成了当时人们较为熟悉的几何作图与代数运算相结合的形式。实际上，《原理》发表后，许多读者根本读不懂，以至于有人认为牛顿写了一本“连他自己也看不懂的书”，牛顿那令人眼花缭乱的数学技巧使许多当时一流的数学家也感到非常吃力。

《原理》中使用的数学、物理学和天文学概念术语非常多，其中有许多与我们今天常见的相同，但也有许多不同，还有一些今天已很少使用。这一点需要读者注意。

《自然哲学之数学原理》各部分导读

一、定义、运动的公理或定律导读

牛顿的《原理》大致上仿照古希腊欧几里得的《几何原本》来布局。全书是一种逻辑体系，从基本的定义开始，再给出几条推理规则（运动定律），经过一系列的推理和演算，得到一些普适的结论，再把这些结论应用到实际中与实验或观测数据相对照。

《原理》一开始就是“定义”和“运动的公理或定律”。其中“定义”部分共有8条，在随后的附注中又补充了4对十分重要的定义。

第一个定义是“物质的量”，也就是我们今天所说的“质量”。在当代物理学中，质量是一个最基本的物理概念，但在牛顿时代，这一点还没有得到公认，也没有国际公认的质量标准和统一单位制，因此牛顿利用物体的密度和体积来决定物质的量。这与我们今天的做法正好相反，我们是用质量和体积来定义密度。不了解历史背景的人会以为牛顿是在搞循环论证，实际情况是牛顿发现一切物体在运动中都有某种共同的不变的东西，不管物体怎样运动，受到怎样的力，它的体积与密度的乘积都是保持不变的，这就是物质的量，研究物体的运动时，必须要考虑到它。

第二个定义是“运动的量”，即质量与速度的乘积，也就是我们今天熟知的动量。

第三个定义是物体的惯性，表述物体保持其已有运动的大小和方向的本领（当物体不受其他外力作用时）。伽利略已经知道物体的惯性。今天我们知道，物体的质量越大惯性越大。

随后牛顿定义了外力、向心力及其度量，然后是向心加速度和向心运动量的定义。这些与我们今天物理教科书的定义大致相同，只是我们较多地谈论向心力和向心加速度，其他概念则较少用到。

这些概念总的来说是我们今天所熟知的，但在当时，正如牛顿所指出的，是“鲜为人知的术语”。

引起后世广泛讨论的是牛顿在附注中所作的4对补充定义，即绝对时间和相对时间、绝对空间和相对空间、绝对处所和相对处所以及绝对运动和相对运动等4对范畴，其中后两对是派生概念，而前两对十分重要。绝对时间和绝对空间是牛顿力学的基本框架和标志性概念，由此引申出后来的宇宙在时间和空间上的无限概念。牛顿用了较大篇幅解释他的时间和空间概念，但读者可能会认识到，牛顿的绝对的时间和空间并不是绝对必要的，至少在他的《原理》讨论所及不是必要的，这一对范畴为牛顿力学所提供的框架远较其所必要的来得充分。的确如此。其实牛顿自己也承认，绝对的时间和空间实际上是无法测度或被认识的，我们能确知的只是相对的时间和空间，它们才是在运算上有意义的。

那么怎样理解牛顿的绝对时间和空间呢？牛顿写作《原理》，有两大基本任务，一是建构自己的体系，另一是批驳笛卡尔学派的体系。绝对时间和空间概念虽然对于牛顿自己的计算并不是必要的，但对于预防对手的攻击却是必要的。在牛顿的体系中，巨大的宇宙空间里行星及其卫星各自在自己的轨道上运行，秩序井然又常运不已，这体系是上帝的创造，但上帝在创造它以后却不再进行干预。按照牛顿的力学，如果时间不是绝对的，则必然要顾虑到时间起点和终点问题；而要使得这一体系永远维持其稳定，空间又必须是真正的空，而且在尺度上也必须足够的大，它必须没有边缘，否则牛顿必须回答自己无法解答的空间的起点问题。牛顿把一切绝对的、无限的性质归结于上帝（我们将在《原理》最后的“总释”中见到有关论述），这是由其基本宗教信念决定的，绝对时间和空间范畴的引入，既很好地体现了牛顿的神学见解，又有效地回避了对手的诘难。

长期以来，很多学者，主要是哲学家，对牛顿的绝对时间和绝对空间概念进行了经久不息的讨论，并且因此给牛顿戴上或是“唯心”或是“唯物”之类的帽子。这些争论在科学上毫无意义可言，而且硬要给300多年前的历史人物贴上某种标签的做法，是一种肤浅幼稚的举动。例如，牛顿的绝对时空观，说它是唯心主义的，因为它没有把上帝彻底排除出局，把宇宙的第一次推动留给了上帝。那么，我们要问，如果牛顿不是使用绝对时空概念，他将把他的有限宇宙中的主宰者放在什么地方呢？他的绝对时空概念是不是使得上帝离人间更遥远一些了呢？实际上，正是牛顿的绝对时空观使得后来的唯物主义的无限宇宙论得到科学上的依据，它在很长一段时间里统治着我们的哲学和思想领域，然而，现代科学已经证明，它才是根本站不住脚的，我们的宇宙，的确在时间上是有起点的，其空间也是有限的。

还有一种见解认为牛顿的绝对时空观是形而上学的，说他看问题太绝对化了。但是，既然牛顿用这样的思维方式如此有效地建构了宏伟的宇宙体系，使得世人沿用它长达300年之久，我们还能要求牛顿什么呢？还有哪一种方法能给我们带来更多的关于世界的真正的知识呢？

牛顿在试图区分绝对运动和相对运动时，提出了一个历史上极为著名的“水桶实验”，300年来，几乎所有的大物理学家和哲学家都对这个实验发表过见解，有人辩驳，有人维护。对此，我们不多加评论，请读者自己思考。

总之，牛顿写下的定义，是过去300年来所有大科学家、哲学家、思想家们寻找灵感的地方，值得认真研读、思考。

紧接着定义部分，就是“运动的公理或定律”。在这里，牛顿给出了每一个中学生都能倒背如流的极为著名的“力学三定律”。我们看到，牛顿对力学三定律的叙述与我们今天的表述几乎完全一样，反映出牛顿对有关问题的思考极为成熟，经得起时间的长期考验。

随后牛顿就三定律做出了6条推论，讨论了力的分解与合成，以及由此而产生的运动的分解与合成。其中值得注意的是牛顿关于多个物体的公共重心所作的讨论，牛顿的公共重心相当于我们今天所说的质量中心。这一概念的使用，在以后讨论天体的运动时有着重要意义，也反映出牛顿从复杂现象中抽象出简单的有代表性的现象的能力。

第一编导读

第一编共有14章内容。

首先，读者应能注意到，牛顿在专门引入数学工具时，使用的是“引理”，而在论述本书正题时，使用的是“命题”。引理与命题都在必要的时候加入推论和附注。

牛顿在第1章首先引入极限概念、求极限的方法，引入无穷小概念和求曲线包围的面积以及求曲线的切线的方法。这一章中的11条引理是牛顿能够成就《原理》所依赖的最重要的数学手段之一，几乎全是牛顿自己的发明。牛顿在该章的附注中指出，“这些引理意在避免古代几何学家采用的自相矛盾的冗长推导”。其中的引理2、3和11正是牛顿运用著名的牛顿流数法的例证。牛顿是这样来为自己的无穷小概念辩护的：

“可能会有人反对，认为不存在将趋于零的量的最后比值，因为在量消失之前，比率总不是最后的，而在它们消失之时，比率也没有了。但根据同样的理由，我们也可以说物体达到某一处所并在那里停止，也没有最后速度，在它到达前，速度不是最后速度，而在它到达时，速度没有了。回答很简单，最后速度意味着物体以该速度运动着，既不是在它到达其最后处所并终止运动之前，也不是在其后，而是在它到达的一瞬间。”

第2章论述根据物体的运动轨迹（轨道）来求该物体所受到的向心力。这里，牛顿做出的是最一般化的讨论，曲线的形状包括正圆、椭圆、双曲线、螺旋线、抛物线等，物体到指定向心力中心的力与距离的关系则又有多种情况。其中命题4的推论6适用于天体运行的情况：“如果周期正比于半径的3/2次幂，则向心力反比于半径的平方；反之亦然。”这一关系，是牛顿宇宙论最核心的基石。

在随后的第3、4、5章中，牛顿进一步详尽考察了物体沿圆锥曲线运动时的有关问题，包括向心力的规律（反比于距离的平方）、确定曲线形状等。命题第22—29为几种由已知条件（点、线或某些区域）画出圆锥曲线，在当时的天体力学乃至当今的天文学中都有重要意义。

第6、7两章是求解已知轨道上物体的运动，相当于我们熟知的由已知方程求解。其中第7章是“物体的直线上升或下降”，把伽利略的自由落体运动定律推广到最一般的情形。

由前面几章的铺垫，牛顿就可以在随后的几章里运用力和运动的合成与分解方法，讨论抛体运动、摆体运动和物体沿轨道运动时的回归点运动，以及其他受两种以上力的物体的运动。

第11章“受向心力作用物体的相互吸引运动”是整个第一编的高潮，其中的命题66是整部《原理》中最长的一个，它讨论了3个相互间都有吸引力作用的物体的复杂的相互运动关系，推论多达22个，几乎讨论了地面物体的运动、各种天体的运动、天体轨道的运动、潮汐运动等所有形式，差不多可以认为它就是一部浓缩的《原理》。但是，这一命题所讨论的还不是严格的三体问题，对三体问题的正式讨论出现在第三编的命题22。

第12章中再次出现了极为重要的内容。这一章的标题是“球体的吸引力”。在命题76的推论3和4中，我们看到了今天尽人皆知的万有引力定律的文字表述。这一定律还将在随后的论述中多次出现，全书最后的总释中也以更加标准的形式加以表述。需要指出的是，我们今天谈到牛顿的丰功伟绩时，首先会谈到他的万有引力定律，其次才是他的力学三定律。《原理》的读者可能很容易在书中发现他的力学三定律，但找不到万有引力定律，原因是牛顿并没有把这一定律像我们今天这样把它突出出来。但是，这并不意味着牛顿本人不认为万有引力定律有普适意义，而是在牛顿那里，万有引力的大小、方向等规律必须是推导出来的结果，不是当做经验性的普适原理直接引入的。

在随后的第13章，牛顿把由典型的球形物体得出的引力规律进一步推广到一般的非球形物体。

第一编的最后一章也是值得注意并且十分有趣的。牛顿讨论“受指向极大物体各部分的向心力推动的极小物体的运动”。在这里，极大物体指的实际上是具有平行平面的光学介质，而极小物体指的是光线。牛顿认为，光的本性是极其微小的颗粒，这些微小颗粒受力学规律的支配。这就是在历史上一度产生巨大影响的关于光的本性的“微粒说”，牛顿是这一学说的鼻祖。与牛顿同时代的荷兰物理学家惠更斯提出关于光的本性的“波动说”，曾在《原理》发表以前得到普遍认同，但后来由于牛顿和《原理》的巨大影响，微粒说压倒了波动说，直到19世纪托马斯·杨（Thomas Young, 1773—1829）的光的干涉实验得到波动说的圆满解释后，波动说才又重新抬头。有趣的是，到20世纪初量子论提出来后，光的微粒说又得到复活。现在的通行观点是光以及所有的粒子都有微观粒子所特有的“波粒二象性”。在《原理》中，牛顿把光看作是粒子，在考虑了介质的吸引或排斥作用后，推导出了光的折射定律。牛顿还进一步考察了光在经过介质后所产生的像差，指出运用折射原理的任何光学仪器都不可能产生出完美的像。

《原理》的第一编篇幅巨大，它具备了牛顿力学的全部主要内容，包括基本定义、力学三定律和万有引力定律、求极限和无穷小数学手段、物体的各种运动形式、物体的各种受力情况、各种运动轨道与受力的关系，甚至还涉及到光的传播、海洋潮汐运动等等。正如有的学者所评论的，即使《原理》没有完整出版，仅仅凭着这第一编，就足以使牛顿成为有史以来最伟大的人物之一。

第二编导读

尽管牛顿本人认为《原理》的第二编也和第一编一样是推导“若干普适命题的”，但是今天的人们还是倾向于认为这个第二编主要是属于第一编的应用部分。牛顿给它的标题与第一编几乎相同，叫做“物体（在阻滞介质中）的运动”，其括号中的限定语说明第二编所讨论的主要是地面物体的实际运动情况。这一部分中虽然没有第一编中那么多君临天下的大规则、大定义，但却也推导出许多重要的具体结论，读起来常常令人顿生“原来如此”的感慨。

本编的导读，我们不再逐章逐节地介绍，而是换一种方式，把值得特别指出的成果进行罗列。

首先值得指出的是牛顿在引理2中介绍了他发明的求微分或导数的方法，即牛顿流数法。牛顿说，一个变化的量，其增大或减少的速率，他称之为“瞬”，“是一种普适方法的特例或更是一种推论，它不仅可以毫不困难地推广到求作无论是几何的还是力学的曲线的切线，或与直线及其他曲线有关的方法中，还可用于解决有关曲率、面积、长度、曲线的重心等困难的问题”。显然，这一方法正着用是求导数，反着用就是求积分。牛顿分6种情形详细介绍了求导数的方法，还做出了3项推论。我们已经知道，牛顿早在大鼠疫时期就发明了这种方法，这是他一生中最为杰出的发明之一。

其次，牛顿演示了在求解极为复杂的问题时，可以采用近似求解的方法。在命题10中，牛顿具体演示了求解抛体在阻滞介质（空气）中的运动时，用双曲线来近似替代更为复杂的抛物线的方法求解。他甚至还就这种方法给出了8条规则。实际上，直到今天，科学家们拥有功能强大的运算工具电子计算机，在求解大量的科学、技术和工程问题时还是必须大量采用近似求解的方法。难能可贵的是，牛顿的演示表明，近似的方法，在大大简化求解难度的同时，又不会过度失去严格性，这正是现代科学的精妙所在。

第三，牛顿通过严格的数学推导和大量的实验数据演示了怎样通过在介质（如水、空气）中的摆体的运动来求出介质的阻力（见第6章，命题24—31）。在这中间，牛顿甚至还教给人们怎样处理数据的误差，消除不合理的实验数据。在第6章的总注的最后，牛顿还设计了一个摆体实验，用于检测以太的存在。牛顿的结论是以太不存在。顺便指出，在现代物理化学实验中，许多物体的特性（特别是力学特性）仍然是运用形形色色的摆体实验来测定的，当然，实验装置比牛顿的要复杂，但基本原理并无大的不同。

第四，在第8章，牛顿通过设想流体由流体粒子所组成，推导出波动的小孔扩散效应。这一效应被运用到推算声音的传播速度，牛顿得到的数据（包括做了些修正）是一秒钟行进约979英尺，经过一系列修正后达到1142英尺，相当于381米，与他的实测数据完全吻合。这一数据与当代的实验数据有较大出入，但牛顿正确地估计到了空气的压力、湿度等因素对于音速有较大影响。

第五，在这一编的最后部分（第9章），牛顿精心安排了“求解流体的圆运动”内容。牛顿在这不长但却令人瞩目的一章中，只安排了3个命题（第51—53），分别讨论无限长柱体、球体在均匀介质中旋转时传递给介质的运动，以及涡旋自身的运动规律。其中命题52十分重要，它有3种情形、11条推论和1附注。牛顿推导出，像太阳那样的球体旋转所带动的宇宙涡旋（如果有这种东西的话）运动，各部分的速度与它到涡旋中心的距离是成正比的，然而天文观测事实是，行星的速度与它们到太阳的距离的3/2次幂成正比，各卫星与行星的关系也是如此。牛顿挖苦说，“还是让哲学家们去考虑怎样由涡旋来说明3/2次幂的现象吧”。牛顿经常以“哲学家”来称呼他的论敌，这一个命题及其推论是对笛卡尔及其学派涡旋说的最直接最沉重的打击。

牛顿摧毁了一个旧的世界，以下就要建立起自己的新世界了。

第三编导读

牛顿曾为《原理》写过两个第三编，一个是我们现在看到的，题为“宇宙体系（使用数学的论述）”，另一个题为“宇宙体系”，是一个非数学的通俗写法。牛顿把使用数学论述的宇宙体系收入正式出版的《原理》作为第三编。在第三编开头的引言中，牛顿指出，只要读者仔细阅读过本书前面的定义、运动定律和第一编的前3章，就可以直接阅读第三编，而在遇到引述的命题时，再回到前面查阅。

第三编是《原理》中最为辉煌的篇章。它气势磅礴，美轮美奂。在这一章中，牛顿详细地描绘了他的宇宙体系，太阳与各行星、各行星与它们的卫星之间的相互关系，以及彗星的运动和地球上海洋的潮汐运动。牛顿以万有引力作为所有这些现象的动力学原因，可以说是有史以来人类所能对宇宙做出的最大的立法。牛顿的宇宙，结构简单明快，不留丝毫的神秘和含糊，这种结构的运行机制是如此的简单、如此的强有力、如此的稳定、如此的井井有条，实在是令人叹服。

在这一编的写作安排上，牛顿取消了章的设置，直接由一个个命题展开论述，重要的命题安排附注加以解释或总结。

这一编开头，牛顿先写下了4条“哲学中的推理规则”，它们实际上就是自然哲学即我们今天所说的科学研究的基本推理规则，值得每一个有志于研究问题的人默记在心。

然后牛顿罗列了6种天文现象，分别描述木星及其卫星系统、土星及其卫星系统、太阳与5大行星系统（当时人们只发现了太阳系的5大行星）和地球与月球的运行关系，实际上是复述了开普勒的行星运动三定律。需要特别注意的是，整个第三编涉及到大量天文学术语以及许多地理学和历史学知识，阅读起来有一定的难度，要求读者有较宽的知识面。

运用上述推理规则、前文的推导结果，牛顿就正式开始对上述现象给出解释，展开他那壮美的宇宙画卷。

命题1—17，牛顿逐一论述了木星系统、太阳系、地—月系统、土星系统等的运动情形和轨道变化。在这期间，我们会多次看到万有引力定律的表述，特别是其中的命题8。还有一个令人惊异之处，牛顿仅仅凭着观测到的行星运行数据和引力定律，就推算出各个行星的物质的密度，进而推算出那里引力的强弱和物体重量情况，教人大开眼界。

命题18、19和20更进一步推算出地球的形状和物体重量随地理位置的变化。牛顿指出，地球的自转使得其两极处较之赤道处更加扁平。这是一个可以直接验证的科学预言。如果按照笛卡尔学派的观点，地球的形状正好与牛顿的预言相反，是两极处高于赤道处。这正好是两种宇宙体系在同一个具体问题上尖锐冲突的地方。后来欧洲国家特别是法国多次派出远征考察队到全球各地实地测量地球数据，得到的结论无一不支持牛顿，而与笛卡尔的相左。历史事实是，正是由于牛顿预言的地球形状得到确认，才使得欧洲人、特别是民族自豪感极为强烈的法国人最终抛弃笛卡尔学说，转而接受牛顿体系。

从命题22到命题39，牛顿对月球运动的不规则现象进行讨论。现代天文知识告诉我们，由于日、地、月三者之间的相互影响，月球的运动十分复杂，处理起来十分棘手。牛顿正确地判断出这三者的关系对于月球运动的不规则性有重要影响。命题22被认为是历史上第一次正式提出三体问题，这样的问题至今还是没有精确解的。

一般认为，牛顿的月球理论问题最多，致使《原理》乃至整个牛顿学说备受当时论敌诟病。这是实情。然而牛顿的月球理论的问题主要是具体数据的问题，不是思路和方法上的问题，更不表明牛顿的力学理论和宇宙理论是错误的。我们知道，牛顿早在1665—1666年间就已经形成了他的力学和宇宙体系的基本看法，并且做出了大部分的理论计算和推导，但他迟至20年后才发表了所有这一切，有一种解释就是牛顿一直认为有关的天文观测数据特别是月球的观测数据与他的理论有较大出入，迫使他搁置自己的发明，也促使他积极置身于天文观测工作。这种见解至少是部分合理的。当然，牛顿推迟发表《原理》的原因，主要并不是因为要等待观测数据，而是因为他一直无法在数学上建立起平方反比关系与行星椭圆轨道之间的对应关系。牛顿是在1679年才解决了有关的问题。但是，限于当时的天文观测工具水平，牛顿以及当时所有的天文学家都不可能得到高精度的观测数据，因此月球理论与实际情况之间的误差是不可避免的。

这一部分的论述，虽然有关月球的部分误差较大，但关于海洋潮汐运动和地面物体在不同纬度有重量变化的推导和论述却是高度可靠的。牛顿用统一的理论解释了地球形状与地面物体随纬度变化现象，所依据的关键性证据是在地球各不同地点的摆体的周期变化。这再好不过地证明了他的引力理论和把地球重量集中于地心的抽象假设的合理性，真是意料之外，情理之中。

海洋潮汐运动理论是牛顿的引力理论与流体力学的综合运用。牛顿收集的海洋数据来自全球各地，牛顿极为雄辩地指出，月球运动是潮汐的根本原因，太阳也对潮汐有影响，但与月球相比只有约1/5左右。月球驱动海洋的力量只有地球上重力的二百万分之一，这样小的力在任何力学研究中都绝对是微不足道的，但对于浩瀚的海洋，它足以引起波涛汹涌的大潮。相信每一位读者读到这里，都会掩卷叹服，拍案叫绝。

与此同时，牛顿还顺带着推导出太阳、地球和月球的密度、形状和体积，以及地球与月球的距离等。这些在当时都是唯有牛顿的理论才能推算出来的数据。

在谈论完月球与海洋之后，牛顿写到了整部《原理》中最精彩夺目的部分：彗星理论。

彗星是人类纪录到的最古老的天文现象之一，各民族（包括中国）的史料中都有记载，但都认为彗星的出现是灾祸的征象，它居无定所，来去匆匆。牛顿受到其他天文学家的启发，运用来自全球各地的大量观测数据、他本人的观测数据，甚至还运用了大量的古代文献记载，证明彗星是与行星十分类似的天体，以偏心率极大的椭圆轨道围绕太阳运行，其近日点可以潜入水星轨道以内，远日点则达到遥远的宇宙深处，其环绕周期可能长达数百年，甚至更多。

这一部分的命题只有3个：命题40、41和42，但牛顿为了计算彗星的轨道，引用了多达8个引理。其中命题40之后的引理5有重要意义，它就是十分著名的牛顿内插公式。

牛顿十分幸运，他亲身经历了1665年、1680年、1683年和1723年出现的几次彗星的观测，这使他有可能用丰富的数据资料反复验证自己的理论。

牛顿指出，根据哈雷博士的研究，1680年出现的彗星绕太阳运行周期是575年。牛顿沿着史料记载一直追溯到公元前44年，那一年恺撒（Julius Caesar, 前100—前44）大帝被刺杀。随后它在531年、1106年和1680年出现，每一次都带来极为壮观的彗星景观，其彗尾在天空中跨越几十度，能照亮夜空。由于它周期极长，因而当它处于近日点时到太阳的距离还不足太阳直径的1/6。

牛顿还指出，1682年出现的彗星，经过哈雷的计算，与1607年的彗星的轨道应当是相同的，即它们是同一颗彗星，其周期为75年。今天我们知道，这颗彗星的确在1758年、1834年、1910年、1986年回到地球，周期为76年，它就是著名的哈雷彗星。

除了推算出彗星的轨道和周期，牛顿还以与现代天文学极为吻合的方式解释了彗尾现象：彗星在近日点受到太阳加热，放射出气体物质，气体物质又受到阳光的照射而反光。牛顿甚至还估计了彗尾的稀薄程度。

还有，牛顿进一步大胆设想，新星和超新星的出现与彗星有关，彗星在环绕运动的末期被恒星俘获落入恒星放出巨大能量。但这一推测是错误的。此外，在牛顿撰写的“宇宙体系”（使用非数学的论述）中，还提到太阳系外层行星（土星）的远日点有前移现象，牛顿认为，“这可能是由于在行星区域以外有彗星沿极为偏心的轨道运行，很快地掠过它们的近日点，并在其远日点处运动极慢，在行星以外区域度过其几乎全部的运行时间”。这一思想的实质是，在内层轨道上的行星运动的不规则性，可能是由外层行星的摄动引起的。有论者指出，牛顿在这里实际上预言了天王星的存在。天王星于1781年被发现。而海王星的发现，也是由于人们观测到天王星轨道的摄动。这一例子说明牛顿理论的强大预言能力。

这样，天空中最困扰人类的彗星现象终于被纳入牛顿的宇宙体系，得到了最有说服力的合理解释。至此，牛顿也就在令读者沉醉于凝视彗星景观与繁星密布的苍穹中结束了《原理》。

总释导读

在《原理》的第一版中，牛顿没有安排这一部分内容，于是招致来自宗教界和神学界的强有力的批评。批评者主要指责的是牛顿的体系中没有上帝的位置，《原理》（第一版）甚至通篇没有提及上帝。其中贝克莱大主教（Bishop Berkeley, 1685—1753）和莱布尼兹的批评很有分量，他们都有充分资格与牛顿对话。贝克莱大主教认为牛顿的绝对时空观排除了上帝的存在的可能性，因而属于无神论。贝克莱甚至还仔细推敲了牛顿的流数法、无穷小和极限概念及理论，指出了它们在数学上没有足够的理论基础，甚至是荒谬的。牛顿生前总算在与莱布尼兹的优先权争执中取得胜利，但对贝克莱的批评却无法做出解答。实际上，微积分的基础极限论要到19世纪才发展完备，其复杂和抽象程度远不是牛顿时代的人们能够想象的。

莱布尼兹则认为万有引力是一种说不清道不明的“隐秘的质”，连上帝也说不清。在这篇“总释”里，牛顿回应了莱布尼兹的指责，但语气上比较含糊。而他的学生科茨（RogGer Cotes, 1682—1716）在为《原理》第二版所作的序言中对莱布尼兹做出了猛烈回击。人们公认，科茨为《原理》写的这篇序言是得到了牛顿充分认可的，是一篇完整阐述牛顿自然哲学思想的檄文。

但是牛顿必须澄清自己的神学见解。在他那个时代，对于有教养的人和有社会地位的人来说，不信神或者无神论者是一个可怕的罪名。牛顿当然不愿戴上这顶帽子，更何况牛顿本来笃信上帝，自幼就有着极为深沉的宗教情感，坚信自己所做的一切都是服务于证明上帝的存在和解释上帝的创造物的庄严、伟大和秩序。近年研究牛顿的学者发现，牛顿青年和中年时代，大约是想使自己成为一个集大成的神学家，自然哲学、数学只是他向着这个方向努力的一个方面而已。我们甚至不妨这么来看问题：对于牛顿来说，《原理》和他的伟大宇宙体系，只是他的神学研究总体计划中的一个局部的或阶段性的成果。由此也就容易理解为什么《原理》和《光学》发表后，牛顿又那样专注地沉迷于神学研究，并写下页数十倍于自然哲学手稿的神学手稿。因此在《原理》第二版发表时，牛顿加写了这段总释，集中表述了他的上帝观和上帝与他的宇宙体系之间的关系。据学者们研究比较，牛顿的这段总释到《原理》发表第三版时又做了一些字句上的改动，就是我们现在所见到的。

“总释”并不长，大约只有4000余字。

一开头，牛顿简单复述了涡旋说的困境：无法解释行星周期与3/2次幂的关系，无法解释彗星的现象；随后，牛顿重申了宇宙空间的真空特性。然后他指出，天体维系在其轨道上的原因似乎不大可能仅仅是由于万有引力规律的存在，“它们绝不可能从一开始就由这些规律中自行获得其规则的轨道位置”。这里就为日后人们反复提起的“第一推动”留下了伏笔。

牛顿进一步描述了他发现的（也就是上帝所创造的）宇宙体系：

“六个行星在围绕太阳的同心圆上转动，运转方向相同，而且几乎在同一个平面上。有十个卫星分别在围绕地球、木星和土星的同心圆上运动，运动平面也大致在这些行星的运动平面上；……彗星的行程沿着极为偏心的轨道跨越整个天空的所有部分，……这个最为动人的太阳、行星和彗星体系，只能来自一个全能全智的上帝的设计和统治。”

牛顿进一步猜想：“如果恒星都是其他类似体系的中心，那么这些体系也必定完全从属于上帝的统治。……为避免各恒星的系统在引力作用下相互碰撞，他（上帝）便将这些系统分置在相距很远的位置上。”

到这里，牛顿肯定了上帝的存在，肯定了这个“最为动人”的体系来自于上帝的设计和统治。到这里，我们不免会注意到牛顿明显地回避了《圣经·创世纪》中讲的上帝创造世界的故事：他似乎不反对上帝创世，但他不同意《圣经》中的那种创始说。在他自己的宇宙里，他只强调了上帝对于宇宙的统治权。

他说，“上帝不是作为宇宙之灵而是作为万物的主宰来支配一切的”。牛顿比较了统治权与自治权的区别，指出一般人心目中的上帝只不过是有自治权的神，但真正的上帝是享有对于一切的统治权的。“只有拥有统治权的精神存在者才能成其为上帝：一个真实的、至上的或想象的统治才意味着一个真实的、至上的或想象的上帝。”

然后，牛顿由上帝的统治权推导出上帝的禀赋，一个他心目中与常人想象的不同的上帝：统治意味着能动性和全能全智，完善和至上，支配一切。“他不是永恒和无限，但却是永恒的和无限的；他不是延续或空间，但他延续着而且存在着。他永远存在，且无所不在；由此构成了延续和空间。”

到这里，牛顿大致回应了贝克莱主教对他的指责，在绝对时间和绝对空间与上帝之间挂上了联系。紧接着，牛顿回击了莱布尼兹的诘难：

上帝“以一种完全不属于人类的方式，一种完全不属于物质的方式，一种我们绝对不可知的方式行事。就像盲人对颜色毫无概念一样，我们对全能的上帝感知和理解一切事物的方式一无所知。……我们能知道他的属性，但对任何事物的本质却一无所知。……我们无法运用感官或任何思维反映作用获知它们的内在本质；而对上帝的本质更是一无所知”。

“因此，像莱布尼兹那样妄论引力是不是上帝的意志、或其属性、或什么隐秘的质的人，才是真正不敬神的人。”

最后，牛顿没有忘记为自己所从事的自然哲学的研究进行辩护：

“我们只能通过他（上帝）对事物的最聪明、最卓越的设计，以及终极的原因来认识他；……我们随时随地可以见到的各种自然事物，只能来自一个必然存在着的存在物的观念和意志。……我们关于上帝的所有见解，都是以人类的方式得自某种类比的，这虽然不完备，但也有某种可取之处。……而要做到通过事物的现象了解上帝，实在是非自然哲学莫属。”

到这里，牛顿结束了对上帝的谈论。

总的来说，牛顿的上帝见解的确与大多数基督徒的见解不同。他不谈论上帝创世，但他谈论上帝“治世”；一般人认为“是”上帝的东西，他认为那只“属于”上帝；普通信众认为要认识和接近上帝必须祷告和诵读《圣经》，他却认为应当研习自然哲学。

有的论者认为牛顿实际上只是一个泛神论者或自然神论者，这是不对的。仅从《原理》的这一篇“总释”来看似乎有些道理，但是这并不是真正的牛顿。牛顿信仰上帝，而且认为自己负有重要的神学使命。读者应当记得牛顿的生日那天是圣诞节，这一巧合成为牛顿的精神负担。他以为自己的使命是向世人宣示宇宙的真理。人们无不惊异牛顿的《原理》是一部纯粹的科学著作，正文通篇与上帝毫无关系；人们同样惊异牛顿坚信《圣经》是古代贤哲写给后人的密码书，其中深藏玄机，而历代流传下来的《圣经》已经充满讹误，甚至还被篡改过，牛顿自觉承担研究《圣经》年代学的任务，他要还《圣经》以本来面目，并且解读其中的秘密；人们还惊异牛顿相信炼金术，经常夜以继日地守候在乌烟瘴气的炼金炉前，还曾经为此累垮了身体甚至中毒，牛顿认为炼金术中也深藏着宇宙机密；当然，人们还会惊异牛顿巨大的管理才能和在官场上的老道练达，在运用统治手段时那种毫不留情和摧毁对手的残忍。牛顿是个极为复杂的历史人物。

在这篇“总释”中，牛顿刚刚谈论完上帝，就再次表述了他的万有引力定律：“它（引力）取决于它们（粒子）所包含的固体物质的量，并可向所有方向传递到极远距离，总是反比与距离的平方减弱。”但是，牛顿坚定地拒绝谈论万有引力的原因。关于引力从何而来的问题，他实际上是这样回答的：“不知道。”

后世的哲学家们真是应当感谢牛顿，因为他描述完自己的体系之后，又谈论起自己的方法论来，写下了一段可以让他们大书特书、聚讼纷纭的文字：

“我也不构造假说；因为，凡不是来源于现象的，都应称其为假说；而假说，不论它是形而上学的或物理学的，不论它是关于隐秘的质的或是关于力学性质的，在实验哲学中都没有地位。在这种哲学中，特定命题是由现象推导出来的，然后才用归纳方法做出推广。……对于我们来说，能知道引力确实存在着，并按我们所解释的规律起作用，并能有效地说明天体和海洋的一切运动，即已足够了。”

显然，牛顿写这段文字时心里是想着德国人莱布尼兹的，这是一段带有论战性的文字，不能代表牛顿一以贯之的总的方法论态度。牛顿显然极为满意于自己的发明，极为满意自己构造的有史以来最大的假说。他好像向对手摊开了双手，挑衅说：我做到了，你行吗？就像今天的科学家们争吵时常说的，拿出实验结果来，拿出观测数据来！

“不构造假说”和“在实验哲学中没有地位”是牛顿所有的文字中被现代人炒作得最多的。牛顿是伟人，他的话当然一定是微言大义了。

在牛顿的时代，像牛顿这样只对宇宙体系进行描述而拒绝做出充分说明和解释的做法，是有些不合时宜的。学界的风气是一事当前必先追问终极原因，这种思维方式至今仍在许多人的头脑中存在，但它在大多数场合并不能给人们带来更多的知识。牛顿的这种思维可以追溯到伽利略。伽利略对人们说，要先搞清楚事物是怎么样，然后才能回答为什么。在思辨风气甚嚣尘上的时代，伽利略得不到广泛的认同，而自牛顿始，这种先描述后解释的思维才成为自然科学的标准思维，正因为如此，牛顿以后的科学才步入正轨，日益昌明。

然而更值得称道的是，牛顿在深深自负于自己的发明之余，并没有忘记求实的态度：牛顿谈到了某种最精细的精气的事情，它使物质粒子在近距离上相互吸引，一旦接触就粘连在一起；它还使带电物体既推斥又吸引其他物体；使光发射、反射、折射，并加热物体；使感官受到刺激，使躯体受到意志的驱动，等等。牛顿暗示，他的学说对这些现象还无能为力。

这是一种美德：谦逊。牛顿本人清醒地看到了自己理论的不足。

今天的科学和技术大大超越了牛顿的时代，但是在两个问题上我们还没能超越牛顿：一是建构一个与牛顿的同样简单的宇宙体系；二是用统一的理论去描述和解释牛顿在上面提到的种种现象。

牛顿的生平

牛顿出生于公元1642年12月25日，那天是基督教的圣诞节，地点在英国的林肯郡伍尔索普镇。牛顿家境贫寒，父亲是个小农场主，在牛顿出生以前三个月就已经去世，那时他的生身父母结婚才半年多。牛顿3岁时母亲改嫁给一位牧师，是外祖母把他抚养大。12岁时他的继父又去世，他回到了母亲身边，发现自己多了三个同母异父的弟妹。牛顿的小学教育，主要是在外祖母家完成的。

牛顿在离家较远的格兰萨姆文科学校读中学，寄宿在一位药剂师的家中。在那里，他获得了极为宝贵的广泛阅读各类书籍，制作各种玩具，从事多种化学、物理实验的机会。

牛顿的童年没有得到父爱和母爱，这种不幸使小牛顿性格孤僻内向。他没有知心朋友，他的课余时间全都献给了如饥似渴的阅读和兴趣盎然的实验。但是他的学习成绩不好，一度还是班级里倒数第二。直到有一次他与一个欺负他的同学打架并且赢得了那场本来实力悬殊的殴斗，他萌发出强烈的上进心，天才的一面开始展现出来，成绩也一跃进入前茅。

牛顿中学毕业后以优异成绩被推荐到剑桥大学三一学院。他极其勤奋地读书、思考，他研究了大量古代和当代人的著作，特别是有关自然哲学、数学和光学方面的。不久他的指导教师就发现这个学生的学识已经超过了自己。1665年和1666年间，英国流行大鼠疫，各大学师生被疏散，牛顿回到家乡。在这18个月里，牛顿度过了他一生中最富于创造力的阶段。

牛顿晚年回忆道：“1665年初，我发现了逼近级数法和把任意二项式的任意次幂化成这样一个级数的规则。同年5月，我发现格里高利（Gregory, James, 1638—1675）和司罗斯（Slues, René-Francoisde, 1622—1685）的切线方法。11月，得到了直接流数法。次年1月，提出颜色理论。5月里我开始学会反流数方法。同一年里，我开始想到引力延伸到月球轨道（并且发现计算使小球紧贴着内表面在球形体内转动的力的方法），并且由开普勒定律、行星运动周期倍半正比于它们到其轨道中心距离，我推导出使行星维系于其轨道上的力，必定反比于它们到其环绕中心距离的平方。因而，对比保持月球在其轨道上的力与地球表面上的重力，我发现它们相当相似。所有这些都发生在1665—1666那两年的大鼠疫期间。那时，我正处于发明初期，比以后任何时期都更多地潜心于数学和哲学。”

1667年剑桥大学复课，牛顿当选为三一学院院士。两年后，牛顿接替著名的数学家巴罗（Isaac Barrow, 1630—1677）任鲁卡斯教席数学教授。1668年牛顿发明并制作出第一台反射望远镜，1671年他制作了第二台并赠送给英国皇家学会，不久当选为该学会会员。在科学研究中崭露头角的牛顿遭到胡克（Robert Hooke, 1635—1702）等人的刁难，卷入旷日持久的关于光的本性的争论；约10年后牛顿与胡克之间又发生关于引力和运动学方面的争论；在《原理》写作期间（1686）和出版后，牛顿与胡克又发生关于发现万有引力的优先权问题的争论；同时牛顿与德国人莱布尼兹（Wilhelm Gottfried Leibnitz, 1646—1716）之间又发生关于微积分的发明权的争论。

1679年，牛顿与胡克的争吵十分激烈。胡克对牛顿关于引力的见解提出强烈质疑，这促使牛顿全面考察了开普勒（Johannes Kepler, 1571—1630）定律、伽利略（Galileo Galiei, 1564—1642）运动学公式与引力之间的关系。这一年，牛顿终于证明了引力的平方反比关系与行星椭圆轨道之间的对应关联。至此，牛顿的整个宇宙体系和力学理论的基本框架宣告完成。

牛顿在1684年才进入写作《原理》的准备阶段。到那一年，哈雷（Edmond Halley, 1656—1743）、胡克和雷恩（Christopher Wren, 1632—1723）三人大约同时猜到引力的平方反比关系与行星的椭圆轨道之间有必然联系，但他们都无法证明这一点。哈雷请教牛顿，牛顿表示他在几年前已经证明了这一点，但是原先的手稿找不到了，他可以给哈雷再证明一遍。牛顿重新写出了一篇《论轨道上物体的运动》，文中证明，天上与地上的物体服从完全同样的运动规律，引力的存在使得行星及其卫星必定沿椭圆轨道运动。

哈雷一眼看出这篇论文有划时代的价值，他敦促牛顿把它扩充为专著发表。于是1685和1686两个年份的18个月里，牛顿专心致志地从事写作，《原理》这部伟大著作从牛顿的笔下源源不断地流淌出来。牛顿显然是有长期研究所取得的丰富成果作为基础，他写下的论述事无巨细，都经过深思熟虑。他的写作速度之快令人惊异，他写作时的专注忘我令人感佩。

值得一提的是，皇家学会虽然十分重视牛顿的《原理》，但却没有财力资助出版它，是哈雷自费出版了牛顿的这部著作。

《原理》的出版震动了整个英国和欧洲学界。牛顿一跃成为当时欧洲最负盛名的数学家、天文学家和自然哲学家。人们争相向他表示敬意，英国王室请他做客，欧洲公认的最伟大的几何学家惠更斯（Christiaan Huygens, 1629—1695）专程到英国拜访他，各国元首和贵族访问英国时也要去看望他，以结识他为荣。1689年，牛顿当选为国会议员；1696年，牛顿获得造币局总监任命；1701年，他再次当选国会议员；1703年，当选为英国皇家学会会长；1705年，受女王册封成为爵士。

《原理》第一版出版时牛顿43岁。他的后半生研究强度大大减少，1704年他的另一重要著作《光学》出版，这本书是以英语写作的。1707年，他出版了《数学通论》，这部著作没有引起广泛重视。在他生前，《原理》出版三个版本，第二版在1713年，第三版在1726年。

牛顿的后半生主要从事的工作和活动有：

社会活动。他应付各类社会名流贤达的拜访，从事国家造币局的管理工作，管理皇家学会。

与胡克、弗拉姆斯蒂德（John Flamsteed, 1646—1719）、莱布尼兹等人争论。

研究神学和《圣经》。

研究炼金术。

整理出版自己的著作和文稿。

牛顿终生未娶，1727年3月20日逝世，英国王室为他在西敏寺大教堂举行了国葬。

《自然哲学之数学原理》序言

· Preface ·

由于古代人（如帕普斯告诉我们的那样）在研究自然事物方面，把力学看得最为重要，而现代人则抛弃实体形式与隐秘的质，力图将自然现象诉诸数学定律，所以我将在本书中致力于发展与哲学相关的数学。

第一版序言

（艾·牛顿）

由于古代人（如帕普斯⁽¹⁾告诉我们的那样）在研究自然事物方面，把力学看得最为重要，而现代人则抛弃实体形式与隐秘的质，力图将自然现象诉诸数学定律，所以我将在本书中致力于发展与哲学相关的数学。古代人从两方面考察力学，其一是理性的，讲究精确地演算，再就是实用的。实用力学包括一切手工技艺，力学也由此而得名。但由于匠人们的工作不十分精确，于是力学便这样从几何学中分离出来，那些相当精确的即称为几何学，而不那么精确的即称为力学。然而，误差不能归因于技艺，而应归因于匠人。其工作精确性差的人就是有缺陷的技工，而能以完善的精确性工作的人，才是所有技工中最完美的，因为画直线和圆虽是几何学的基础，却属于力学。几何学并不告诉我们怎样画这些线条，却需要先画好它们，因为初学者在进入几何学之前需要先学会精确作图，然后才能学会怎样运用这种操作去解决问题。画直线与圆是问题，但不是几何学问题。这些问题需要力学来解决，而在解决了以后，则需要几何学来说明它的应用。几何学的荣耀在于，它从别处借用很少的原理，就能产生如此众多的成就。所以，几何学以力学的应用为基础，它不是别的，而是普遍适用的力学中能够精确地提出并演示其技巧的那一部分。不过，由于手工技艺主要在物体运动中用到，通常似乎将几何学与物体的量相联系，而力学则与其运动相联系。在此意义上，理性的力学是一门精确地提出问题并加以演示的科学，旨在研究某种力所产生的运动，以及某种运动所需要的力。古代人曾研究过部分力学问题，涉及与手工技艺有关的五种力，他们认为较之于这些力，重力（纵非人手之力）也只能表现在以人手之力来搬动重物的过程中。但我考虑的是哲学而不是技艺，所研究的不是人手之力而是自然之力，主要是与重力、浮力、弹力、流体阻力以及其他无论是吸引力抑或推斥力相联系的问题。因此，我的这部著作论述哲学的数学原理，因为哲学的全部困难在于：由运动现象去研究自然力，再由这些力去推演其他现象；为此，我在本书第一和第二编中推导出若干普适命题。在第三编中，我示范了把它们应用于宇宙体系，用前两编中数学证明的命题由天文现象推演出使物体倾向于太阳和行星的重力，再运用其他数学命题由这些力推算出行星、彗星、月球和海洋的运动。我希望其他的自然现象也同样能由力学原理推导出来，有许多理由使我猜测它们都与某些力有关，这些力以某些迄今未知的原因驱使物体的粒子相互接近，凝聚成规则形状，或者相互排斥离散。哲学家们对这些力一无所知，所以他们对自然的研究迄今劳而无功，但我期待本书所确立的原理能于此或真正的哲学方法有所助益。

埃德蒙德·哈雷（Edmund Halley）先生是最机敏渊博的学者，他在本书出版中不仅帮助我校正排版错误和制备几何插图，而且正是由于他的推动本书才得以发表，因为他在得知我对天体轨道形状的证明之后，一直敦促我把它提交皇家学会，此后，在他们善意的鼓励和请求下，我才决定把它们发表出来。但在开始考虑月球运动的均差，与重力及别的力的规律和度量有关的某些其他情形，以及物体按照已知定律受吸引的轨迹形状，若干物体相互间的运动，在阻滞介质中的物体运动，介质的力、密度和运动，彗星的轨道等等诸如此类的问题之后，我延迟了这项出版，直到我对这些问题都做了研究，并能将它们放到一起提出之时。与月球运动有关的内容（由于不太完备）我都囊括在命题66的推论中，以免此先就得提出并阐明一些势必牵扯到某种过于繁冗而与本书的宗旨不相合的方法的问题，从而打乱其他命题的连贯性。至于事后所发现的遗漏问题，我只好安排在不太恰当的地方，免得再改变命题和引证的序号。恳望读者耐心阅读本书，对我就此困难课题所付之劳作给予评判，并在纠正其缺陷时勿太过苛求。

1686年5月8日于剑桥，三一学院

第二版序言

（艾·牛顿）

在《原理》的这个第二版中，作了许多修订和增补。第一编第二章中，对于确定使物体在给定轨道上运动的力作了图示和扩充。第二编第7章中对流体的阻力作了更为精细的研究，并用新的实验加以证明。第三编中月球理论和岁差则由其原理作了更完备的推导，并通过更多的轨道计算实例证明彗星理论，其精确性也更高了。

1713年3月28日于伦敦

第二版序言

（三一学院院士，普卢姆讲座天文和实验哲学教授罗杰·科茨）

我们在此向仁慈的读者呈献他们期待已久的牛顿哲学的新版本，它已得到很大的修订和增补。读者可从前面的目录中了解到这部名著的主要内容。作者在序言中已对修订或增补的部分作了说明。我们在此要补充的是一些与这一哲学的方法有关的问题。

研究自然哲学的人大致可分为三类。其中，一些人给事物归结出若干种形式和若干种隐秘的特质，并据此认为种种个体现象是以某些未知的方式发生的。导源于亚里士多德和逍遥学派的一切经院学派的全部学说无不以这一原则为基础。他们坚信物体的若干效应就是由这些物体的特质引起的。但他们却不告诉我们物体的这些本性从何而来，因此他们等于什么也没说。由于他们完全醉心于替事物命名而不探讨事物本身，所以，我们可以说，他们全部的发明在于谈论哲学的方法却没有给我们以真正的哲学。

另一些人则弃绝无用而混乱的术语，致力于较有意义的工作。他们认为一切物质都是同质的，并将物体形式的表现变化归因于其组成粒子相互间非常明显而简单的关系。如果他们所归结出的那些基本关系恰恰合乎于自然所给出的那些法则，那么这种由简单到复杂的研究途径无疑是正确的。但当他们听任想象自由驰骋，随意设定物体组分尚未弄清的形状与大小，以及不能确定的位置与运动，并进而设想出能够自由穿越物体的微孔的、说有如何微细则如何微细的、可受隐秘运动的激发的某些隐秘的流体，此时，他们就进入了梦境和妄诞，忘记了事物的真正结构。事物的真正结构当然不能由虚妄的猜测来推断，即使通过最可靠的观察也很难发现它们。那些以假说为其思辨之第一原理的人们，虽然在以后的推理中极富于精确性，可得到确乎机巧的幻象，但幻象最终仍旧是幻象。

还有第三类人，他们崇尚实验哲学。他们固然从最简单、合理的原理中寻找一切事物的原因，但他们决不把未得到现象证明的东西当做原理。他们不捏造假说，更不把它们引入哲学，除非是当做其可靠性尚有争议的问题。因此他们的研究使用两种方法，综合的和分析的。由某些遴选的现象运用分析推断出各种自然力以及这些力所遵循的较为简单的规律，由此再运用综合来揭示其他事物的结构。本书著名的作者恰恰采用了这种无与伦比的最佳方法来进行哲学推理，并认为唯此方法值得以他卓越的著作加以发扬光大。在此方面，他向我们给出了一个最光辉的范例，亦即他利用重力理论极其幸运地推导出的关于宇宙体系的解释。在他之前曾有人猜测或想象，所有物体都受到重力的作用，但唯有他是第一位由现象证实重力存在的哲学家，并使之成为其最杰出的推理的坚实基础。

我确知有些享有盛名的人，过分囿于某种偏见，不情愿赞同这一新原理，而且宁愿采用含糊的概念也不用精确的。我不是要诋毁这些杰出人物的声誉；我只是想把这些争论展示在读者面前，求得公正的判断。

为此，我们可以从最简单、距我们最近的事物开始进行我们的推理。让我们稍微考虑一下地球物体的重力的特性是什么，以便更可靠地过渡到对距我们最远的天体的思考。现在，所有哲学家都同意所有的地面物体都受到地球吸引。不存在没有重量的物体，这已为各种经验所证实。相对轻的物体并不是真正的轻，只是表象的，是由邻近物体相对较重造成的。

而且，与所有物体被引向地球一样，地球也为所有的物体所吸引，重力作用是相互的，而且对双方是相等的，这可以这样证明。设地球质量被分为任意两块，或相等或不相等，如果两块相互间的重量不相等，则较轻的一块将屈服于较重的，二者将共同沿无限直线向较重一块所在的方向运动，而这与经验相违背。所以我们必须承认各部分间的相互重量相等；即，重力作用是相互的，在相反方向上相等的。

在到地球中心相等距离上的物体重量正比于物体物质的量。这可以由所有物体自静止状态在重量作用下下落的同等加速推导出来；因为使不等的物体同等加速的力必定正比于被运动物体的量。至于所有落体都同等地加速，则可利用在除去空气阻力时，如在波义耳（Boyle）先生的抽去空气的容器中那样，它们在相等时间内经过相等的距离来说明；不过，这一结论还可以由单摆实验更精确地证明。

位于相等距离处的物体，其间的吸引力正比于物体内物质的量。因为物体被吸引向地球，与此同时地球又被吸引向物体，地球相对于每个物体的重量，或物体吸引地球的力，等于同一物体相对于地球的重量。但这一重量已被证明正比于物体内物质的量；因而使每个物体吸引地球的力，或该物体的绝对力，同样正比于该物体的物质量。

所以，整个物体的吸引力由其各组成部分的吸引力产生，因为，如刚才说过的，如果物体的量增加或减少，它的力也成正比地增大或减小。所以我们必须得出结论，地球的作用由其各部分的作用组合而成，而所有地球物体必定通过正比于吸引物质的绝对力相互吸引。这就是地球上重力的性质。让我们再看看它在天空中的情况。

每个物体都保持其静止或匀速直线运动的状态，除非它受到改变这一状态的外力的作用，这是已为所有哲学家普遍接受的自然规律。但由此即可推出，沿曲线运动的物体，即连续偏离轨道切线的物体，需某种连续作用把它们维系在曲线路径上。于是，行星既沿曲线轨道运动，就必定有某种力对它们施加连续的作用，使之连续偏离其切线。

从数学推理可严格地证明，所有在一平面上沿任意曲线运动的物体，只要其伸向任意一个点的矢径，不论该点是静止的或是以任何方式运动的，所掠过的面积正比于时间，那么，物体都受到指向该点的力的作用。这是无可否认的事情。于是，鉴于所有天文学家都同意，行星绕太阳运动，它们的卫星绕各行星运动，掠过的面积都正比于时间，由此知使它们连续偏离其切线而沿曲线轨道运动的力，指向位于该轨道中心的物体。所以这种力相对于环绕物体，称为向心力，相对于中心吸引物体而言，称为吸引力，并没有什么不妥当的，无论这力是由什么原因产生的。

而且，还必须承认数学上已证明的下述内容，如果几个物体绕同心圆做匀速转动，且周期时间的平方正比于到公共中心距离的立方，则向心力反比于距离的平方，或者，如果各物体沿极近似于圆的轨道运动，且轨道的回归点是静止的，则环绕物体的向心力反比于距离的平方。所有的天文学家都同意，所有的行星都符合这两个事实。所以所有行星的向心力都反比于到它们轨道中心的距离。如果有人反对说，行星，特别是月球的回归点并不是完全静止的，而是有一种缓慢的前移，我们可以这样回答：即便我们姑且承认这种极缓慢的运动是由于向心力对距离平方定律的偏离造成的，但我们可以从数学上计算出这种偏离量，并证明它完全是不可察觉的。因为，即使是所有天体中最不规则的月球向心力，其变化反比于一个略大于距离平方的幂，接近平方反比关系也60倍于接近立方反比关系。何况我们还可以给出一个更准确的回答，这种回归点前移并不是由于偏离距离的平方反比定律造成的，而是产生于一种完全不同的原因，正如本书中所精彩地证明的那样。因此可以肯定，使各行星倾向于太阳，各卫星倾向于行星的向心力，精确地反比于距离的平方。

由上面所说的可以明了，行星之所以停留在其轨道上是由于某种力对它们的连续作用；显然，这种力总是指向它们的轨道中心；显然这种力的强度随着到该中心的距离的增加而减少，并随其减少而增加，而且增加的比例与距离平方减少的比例相同，减少的比例与距离平方增加的比例相同。现在让我们来看看，通过把行星的向心力与重力作比较，我们究竟能否证明它们正好是一回事。如果它们具有相同的规律和作用，那么它们就是一回事。我们首先来考虑距我们最近的月球的向心力。

物体不论受到什么力的作用，由静止而下落，在由开始运动时起算的给定时间内，所经过的距离正比于力。这可以由数学推理证明。所以沿其轨道运行的月球，其向心力与地球表面的重力之比，等于月球失去其环绕力而受其向心力作用落向地球，在极小时间间隔内所经过的距离与一重物体受地球附近重力作用在相同的时间间隔内所经过的距离。第一个距离等于月球在此时间内所经过的弧长的正矢，因为该正矢是对月球受其向心力作用而从其切线上偏离出去后的位移的度量，因而在已知月球周期时间及它到地球中心距离时可以计算出来。后一个距离则可以像惠更斯（Hugens）先生所证明的那样，通过单摆实验求出。因而通过计算我们将会发现，前一个距离比后一个，或沿轨道运行的月球的向心力，比地球表面的重力，等于地球半径的平方比月球轨道半径的平方。但由以前的论述可知，沿轨道运行的月球的向心力比月球在地球表面附近的向心力也正好为同一比值。所以，地球表面附近的向心力等于重力。所以它们不是两种力，而是同一种力；因为如果它们不同，则它们合起来将使物体落向地球的速度比独受重力快一倍。因为不难理解，使月球被连续地推出或吸引出其切线并停留在其轨道上的向心力，正是地球延伸到月球的重力。这足以使人相信这种力能延伸到极远的距离，因为在最高的山顶上我们也不曾发现有丝毫减弱。所以月球被地球吸引；但在另一方面，地球也受到同等的相互作用而被吸引向月球，这种哲学对此做出了充分的证明，如海洋中的潮汐和岁差，它们都是由月球和太阳对地球的作用引起的。最后，我们还看到在极远距离处地球重力减弱所遵从的规律。由于重力与月球的向心力完全没区别，后者反比于距离的平方，因此重力也以完全相同的比例减小。

我们现在再看看其他行星。因为行星绕太阳运行，卫星绕木星和土星运行，与月球绕地球运行属同一种现象，又因为进一步证明了行星的向心力是指向太阳中心的，卫星的向心力也指向木星和土星的中心，与月球的向心力指向地球中心的方式相同；而且，由于所有这些力都反比于到上述中心的距离的平方，与月球的向心力反比于到地球中心距离的方式相同，我们理所当然地必须断定所有这些力的性质都是相同的。所以，与月球被地球吸引，地球被太阳吸引一样，所有的卫星也都被它们的行星所吸引，而行星也被它们的卫星所吸引，所有的行星被太阳所吸引，太阳也被行星吸引。

所以太阳被所有的行星吸引，所有的行星又被太阳吸引。而卫星在绕其行星运行的同时，也伴随着行星绕太阳运行。所以，由相同理由，行星与卫星都为太阳吸引，而它们也吸引太阳。卫星被太阳吸引在月球运动的不等性中得到尤为充分的证明，我们在这部著作的第三编中读到了关于这一点的最具洞察力、最精确的理论解释。

太阳的吸引力向所有方向传播到遥远距离并弥漫在其周围的广大空间中每一角落中，这在彗星的运动中得到了有力证明，彗星来自距太阳极为遥远的处所，飞临非常接近于太阳的位置，有时在其近日点时几乎接触到它的表面。在我们的时代我们的杰出作者最幸运地发现了彗星理论并运用最可靠的观测证明它是真理以前，天文学家们对此完全一无所知。我们现在认识到彗星沿着以太阳中心为焦点的圆锥曲线运动，它们伸向太阳的矢径所掠过的面积正比于时间。这些现象意味着，并且数学上业已证明，使彗星维持在其轨道上的力是指向太阳而反比于到太阳中心距离的平方的。所以，彗星被太阳所吸引，而太阳的吸引力不仅作用于位于既定距离上极近似于排列在同一平面上的行星，而且还达到位于天空中极不相同的位置和极不相同的距离上的彗星。所以吸引物体的本性就是对所有距离上的所有其他物体产生作用。由此可推知所有的行星与彗星也相互吸引，相互被吸引，这还由天文学家们观测到的木星与土星的摄动得到证实，这种摄动产生于这两颗行星的相互作用；这也由前面提及的回归点的缓慢运动所证实，它们源出于同一原因。

现在我们已到了这种地步，必须承认太阳、地球及所有伴随太阳的天体都相互吸引。所以，物质的最小粒子，其每一个必定都有其各自正比于其物质量的吸引力，正如地面物体所表现的那样。这些力在不同距离上也反比于其距离的平方；因为数学已证明，遵循这一规律的球体的吸引力正是由组成它的遵循同一规律的粒子的吸引力产生的。

上述结论是以为所有哲学家所公认的下述公理为基础的，即，同一种类的效应，其已知特性相同，则产生于同一种类的原因，并具有相同的未知特性。因为，如果重力是一块在欧洲的石头下落的原因，谁能怀疑它也是美洲石头下落的原因？如果在欧洲的石头与地球间有相互吸引，谁能否认在美洲也有同样情形？如果在欧洲石头与地球的吸引力为其各部分的吸引力复合而成，谁能否认在美洲也有相似的复合？如果在欧洲地球的吸引力能传播到所有距离上的所有种类的物体，我们为什么不能说它在美洲也以相同方式传播？一切哲学都建立在这一规则的基础之上；因为如果抛弃了它，我们就得不到作为普遍真理的东西，观测和实验可以使我们认识特殊事物的结构，但做到这一点之后，如果没有这一规则，我们就无法抽取出事物性质的普遍结论。

既然就我们所能做的与之有关的任何实验或观测而言，一切物体，不论其在地上或在天上，都有重量，那么，我们必须肯定引力普遍存在于一切物体中。就像不能设想不具有广延、运动和不可穿透性的任何物体一样，我们也同样不能设想物体没有重量。我们只能通过实验知悉物体的广延性、可运动性和不可穿透性，也只能以完全相同的方法知悉物体的重力。我们能对之做出观测的一切物体都具有广延、运动和不可穿透性，由此我们得出结论，那些没能观测到的物体也具有广延、运动和不可穿透性；同样，我们所观测到的物体都具有重量，由此也可得出结论，那些没能观测到的物体也具有重量。如果有人说恒星上的物体没有重量，因为不曾观测到它们的重力，那他们也会因同样理由说它们没有广延、没有运动、没有不可穿透性，因为恒星的这些性质也还没有观测到。简而言之，要么重力必定具有所有物体第一性的质的地位，要么广延、运动性和不可穿透性必定也不具备这种地位。如果用物体的重力不能正确解释事物的特性，那么用其广延、运动性和不可穿透性同样不能解释。

我知道有些人不同意这一结论，他们嘟哝着隐秘的质的事情，他们仍在对我们吹毛求疵，说重力也是隐秘的质，而隐秘的质已被哲学完全排除。对这种诘难回答很简单：那些确乎隐秘的原因其存在也是隐秘的，是想象的，不能证实的，而那些能通过观测证实其存在了就不是隐秘的质。所以，重力无论如何不能称为天体运动的隐秘的原因，因为这样的力的确存在的现象是显而易见的。那些宁可求助于隐秘质的人们，为了解释这种天体运动，把杜撰的物质涡旋整个置于虚构和不能为人感官感知的境地。

但是，由于重力的原因尚属未知，不曾发现，是否重力因此而成为隐秘的原因，因而应逐出哲学呢？固信于此的人应当心不要堕入致使哲学的基础倾覆的陷阱中。因为原因通常沿着由较复杂的事物通向较简单的事物的连续链条发挥作用，我们一旦抵达最简单的原因就无法再向前进。因此，对这最简单的原因不能指望或得到力学的说明或解释，如果能得到的话，它就不是最简单的了。你们不是称这些最简单的原因为隐秘的，要驱逐它们吗？那你们就必须驱逐由它们所直接决定的，以及又进一步决定着的，直至哲学得到彻底清洁，消除所有原因为止。

有些人说重力是不可思议的，称之为永恒的奇迹。所以他们应当抛弃它，因为不可思议的原因在物理学中没有地位。对于这种败坏一切哲学的奇谈怪论不值得浪费时间去反驳。因为他们或者是要否认重力存在于物体之内，但不能这样说出来，或者因此而称之为不可思议的，因为它不能由物体的其他性质因而也不能由力学原因产生出来。但物体当然是有其第一性的质的；而正因为它们是第一性的，才不依赖于其他性质。至于所有这些第一性的质在他们眼中是否同样地不可思议，是否要一概加以摒弃，至于我们所想要掌握的哲学在他们眼中究竟是一种怎样的哲学，则任凭他们去想了。

还有些人不喜欢这种天体物理学，因为它与笛卡尔（Descartes）的观点相矛盾，似乎很难加以调和。由他们欣赏自己的观点好了，只是他们应做得公平些，不要否认我们同他们一样需要享有自由。既然牛顿哲学对我们来说是真理，就让我们拥有欢迎它、维护它的自由，去追求得到现象证实的原因，而不是单凭想象、得不到证实的原因，真正的哲学，其职责在于由真正存在的原因去追寻事物的本性，去发现伟大的造物主实际上选定的建立这个最美好的宇宙结构的规则，而不是他可能用以做出同样创造的别的规则，如果他愿意的话。有足够的理由设想，由几种原因，彼此有所不同，能引出相同的效果来；但真正的原因是那能实际起作用的一个，其他的在真正的哲学中没有地位。时钟的时针运动是相同的，它既可能是重锤驱动的，也可能是内部发条驱动的，如果某一时钟的确是重锤驱动的，而竟有人以为是发条在推动它，并由其原理出发，不作深入检查，去解释指针的运动，便要遭到嘲笑。因为他所应采取的方法无疑应当是先仔细察看机器的内部机件，再找出造成运动的真正原因。有些哲学家以为天上充满持续作涡旋运动的最精美的物质，他们如是行事同样应受到嘲笑。因为，即使他们曾用这种假设对现象做出精确的解释，我们也不能说他们已发现了真正的哲学和天体运动的真正原因，除非他们确能证明那些原因的存在，或者至少证明不存在其他的原因。所以，如果已证明所有物体相互吸引确实存在in rerum natrra（于自然界）的性质，而且如果天体如何运动的问题也由这一性质得到解决的话，任何人反对这种解释并仍主张应当由涡旋说来说明天体运动都将是十分鲁莽的，尽管我们认为这种对运动的说明是可能的。但我们并不认同这样的学说，因为涡旋无法解释本书作者由最明白不过的理由充分地证明了的那些现象。所以，那些人必定是热衷于妄想，在执迷不悟和突发奇想中无聊地消磨时光。

如果行星和彗星物体是由涡旋携带绕太阳运行的，这样的物体以及涡旋中紧挨着它们的部分，必定以相同的速度和方向运动，同样体积的物质必具有相同的密度、相同的惯性。但可以肯定的是，行星和彗星，当它们出现在天空的同一区域时，运动的速度和方向都不相同，因此有必要假定天空流体中与太阳距离相同的部分必定在同一时间以不同的速度和方向旋转，所以行星运动采取一种速度和方向，而彗星采取另一种。由于这一说明无济于事，我们只能要么认为天体不是涡旋带动的，要么认为它们的运动不是出自同一种涡旋，而是由几种不同的围绕太阳充斥弥漫于天空的涡旋推动的。

如果同一天空中有几种不同的涡旋，并且它们相互穿透，作着不同的环绕运动，那么，由于这种运动必须与它们所携带的物体的运动相一致，而这些物体的运动又如此规则，在圆锥截面上有时如此偏心，有时又近乎于圆周，人们必定要十分合理地发问，这些涡旋是怎样保持住整体，并在漫长岁月中物质的相互碰撞作用下避免任何干扰的？无疑，如果这些臆想的对运动的说明比行星和彗星的真实运动来得复杂和困难，似乎就没有理由让它们进入哲学，因为真正的原因应当比其效果简单。人们要沉溺于幻想中自然无法禁止，譬如，某人偏要断言，行星和彗星像我们的地球一样为大气所包围，这样的假设似乎也比涡旋说更加可信；他再想象这些大气由其本性驱使以圆锥曲线环绕太阳运动，这样的运动也比相互穿透的涡旋运动更易于为人接受；最后，行星和彗星被它们的大气裹携作绕日运动，于是，他就为自己发现了天体运动的原因而欢呼。然而，他要是抛弃大气假说和涡旋说中的任何一个就必须也抛弃另一个，因为纵是两滴水也不比这两种虚幻的假说更为相像。

伽利略（Galileo）曾证明，抛出的石头沿抛物线运动，它之所以偏离直线路径而走这条曲线是因为石头指向地球的重力，即因为一种隐秘的质。但现在可能有某位比他更机巧的人出现，用这样的方式来解释其原因：他设想某种微细的物质，不为我们的视觉、触觉，或其他任何感觉所感知，它充满地球表面附近及相连接的空间，这种物质沿不同方向，常常是相反的，和各种速度掠过抛物线。再看他多么轻易地解释了上述石头的偏离。他说，石头浮动于这种微细的流体内，随它一同运动，不能选择但能画出相同的图形。而流体沿抛物线运动，所以石头当然也必定沿抛物线运动。这位哲学家竟能将自然现象诉诸力学的原因，诉诸物质和运动，如此清楚明白以至于最平庸的人也能懂得，难道他的敏锐不是异乎寻常的吗？难道我们不应当为这位新伽利略运用如此之多的数学，把已经被侥幸排除出去的隐秘的质再请回哲学中而感到欣慰吗？可是我已为纠缠于无聊的话题这么久而羞愧了。

总的来说是这样的：彗星的数目肯定是很大的；它们的运动完全是规则的，并服从于行星一样的规律。它们运动的轨道是圆锥曲线，其偏心率很大。它们各依其轨道经过天空的各个区域，完全自由地穿过行星区域，它们的运动往往与天宫的顺序相反。天文学观测最明显不过地证实了这些现象，它们不为涡旋说所解释，而且，它们的确是与行星的涡旋说尖锐对立的。如不把这种虚构的物质从天体空间中彻底清除掉，彗星的运动便没有余地。

因为，如果行星是为涡旋裹携绕太阳运动的，则如上所述，涡旋中直接包围着每颗行星的部分必定与行星密度相同。因而所有与地球轨道周界相邻接的物质都与地球密度相同。但是这个巨大的球体与土星的球体必定有相同的或更大的密度。因为，为了使涡旋的结构永远不变，密度小的部分必须距中心较近，而密度大的部分则必须距它较远。因为行星周期的变化正比于它们到太阳距离的3/2次幂，涡旋各部分的周期必定也遵循同一比值。由此可推知涡旋各部分的离心力必定反比于其距离的平方。因而那些距中心较远的部分企图离开它的力较小；而如果它们的密度小，则必定屈服于使较接近于中心的部分企图上升的更大的力。所以密度较大的部分将上升，而密度较小的部分将下降，它们相互间将发生位置改变，直到整个涡旋中的所有流体物质都得到调整和配置，使得各部分趋于平衡变得静止。如果将两种不同密度的流体盛入同一个容器中，则最后当然是密度较大的沉入下部；由类似理由可推知，涡旋中密度较大的部分由于其离心力较大也会升入较远的处所。所以，涡旋中所有远在地球球体之外的部分，其密度，进而其对应于物质体积的惯性，都不能小于地球的密度和惯性。但这可能会对彗星的运动产生阻力，它必定非常明显，且不说使其停止运动或全部吸收它的运动，但由彗星的完全规则的运动来看，它们根本不受丝毫可察觉的阻力影响，因而它们不曾遭遇到任何种类的具有任何阻力因而具有任何密度和惯性的物质。因为介质的阻力或是来自于流体物体的惯性，或是来自于它缺乏润滑性。由于缺乏润滑性而产生的阻力很小，一般在流体中很难发现，除非它们像油或蜂蜜一样具有黏性。我们在空气、水、水银及类似的没有黏性的流体所看到的阻力，几乎都属于前一种，而且正如我们的作者在第二编著名的阻力理论中最明白不过地证明了的，如果与阻力成正比的密度和惯性保持不变，则它们的阻力也不会因其有着较大的细微程度而减小。

穿越流体运动的物体会逐渐把它们的运动传递给其周围的流体，这种传递会损耗它们自身的运动，进而使运动受到阻滞，因此，这种阻滞正比于运动的传递，当给定运动物体的速度时，运动的传递又正比于流体的密度，因此，流体的阻滞或阻力也正比于相同的流体密度。这种阻力难以排除，除非流体中紧挨着运动物体后部的部分贮存住了缺失的运动。然而，这也是难以做到的，除非流体对物体后部的压力等于物体前部对流体的压力，就是说，除非在后面推动物体的流体的相对速度等于物体推动流体的速度；也就是说，除非流体循环的绝对速度二倍于物体推动流体的速度，而这是不可能的。因此，流体的惯性所产生的阻力无论如何不能排除，所以，我们必须得出结论，天空流体没有惯性，因为它没有阻力；它不具有用作传递运动的力，因为它没有惯性；也无力对一个或多个物体的运动造成任何改变，因为没有用以传递运动的力；它还不会起到任何作用，因为它没有赖以产生任何变化的能力。所以，这种假设可以理所当然称之为虚妄，对哲学家毫无价值，因为它完全没有基础，在解释事物中毫无用处。猜想天空中充满流体物质的人，杜撰说这种物质没有任何惯性，只是在字眼上否认真空，实际上承认它存在，因为既然这种流体物质与虚空完全没有区别，现在的争论只是名称问题，并不涉及事物的本质。如果有人如此偏爱物质，以至于根本不肯承认有空无一物的空间，且看他们最终必然会达到什么结局。

因为他们或者会说宇宙结构之所以处处充满物质是上帝的意愿使然，自然的运作应处处得到渗透并充满所有事物的微细以太的帮助；然而，由于我们在彗星现象中已经指出，这种说法不能成立，这种以太是根本没有功用的；他们或者会说，之所以如此是上帝的相同意愿而要达到某种未知的目的，这也不能成立，因为由同样的理由也可以设想一种不同的结构；或者，他们最后不再说这是出于上帝的意愿，而只是说是出于其本性的某种必然结果。所以他们最终将沦落入泥潭，与一群梦想一切事物为天数而不为神意所控制，梦想物质的无限和永恒存在是凭其本性而无时不在且无所不在的无耻之徒为伍。然而，我们可以假设，宇宙结构在各种必定是均匀的；因为结构的可变性与其必然性是完全不相容的。它必定还是静止的；因为如果它必须沿任何确定的方向以任何确定的速度运动，那么它同样有必要沿不同的方向以不同的速度运动；但它却绝不可能同时沿不同的方向以不同的速度运动；因而它必定是不动的。毫无疑问，我们所看到的这个世界，其形式是如此绚丽多彩，其运动是如此错综复杂，它不可能是别的，而只能出自于指导与主宰一切的上帝的完美的自由意志。

正就是从这个源泉里，我们称之为自然定律的那些规律涌现出来，其中确实显现出许多最高智慧的迹象，却没有一丝必然性的影子。所以我们绝不能从不确定的猜测中去探寻这些定律，而应从观测和实验中把它推导出来。要是某个自以为是的人以为，单凭他自己心灵的力量和他的理智的内在之光就能发现物理学的真正原理和自然事物的规律，就必然要或是假定世界是由于必然性而存在，而这些规律是由同一个必然性决定了的，或是假定如果自然之秩序是由上帝的意愿建立起来的，则只有他这个可怜的小爬虫，才能告诉人们怎样做才最合适。一切殷实可靠的哲学都是以事物的现象为基础的；如果这些现象无可避免地把我们引向由全智全能的上帝以其最杰出的远见和至高的权威所最清楚不过地显示给我们的一些原理，由不得我们的意愿，那么，我们就不能因为某些人可能不喜欢这些原理而对它们置之不理。这些人也许会称它们是奇迹或隐秘的质，但恶毒的名称无损于事物本身，除非这些人最后说出所有的哲学都应以无神论为基础。哲学绝不会因这些人的骚扰而腐败，因为事物的秩序是不可变更的。

所以，公正不阿的法官将会做出有利于这种基于实验和观测的最好的哲学方法的判决。我们的伟大作者的这部令人崇羡不已的著作使这种方法焕发出难以形容或无法想象的夺目光彩，他的卓绝超群的天才解决了最困难的问题，到达了以前被认为是人的智慧所不能达到的发现，理应受到所有那些在这些事情上并非浅尝辄止的人们的崇敬。现在大门已经打开，沿着他所开拓的那条道路，我们就可以自由地探索隐藏在自然事物中的神秘而奥妙的知识。他把宇宙体系这幅最美丽的图卷如此清楚地展现在我们眼前，即使是阿尔方索王⁽²⁾还活在世上，也不会挑剔说其中缺乏简单性或和谐性这些优点。现在我们已能更加真切地欣赏自然之美，并陶醉于愉快的深思之中，从而更深刻地激起我们对伟大的造物主和万物的主宰的敬仰与崇拜之情，这才是哲学的最好的和最有价值的果实。如果有谁从事物的这些最明智最具才艺的设计中看不到全能创世主的无穷智慧和仁德，那他必定是个瞎子；而如果他对此视而不见，那他必定是个麻木的疯子。

牛顿的这部杰出著作最安全地防止了来自无神论的攻击，我们不能从别的地方而只能从这个箭囊里拔出武器来对付这帮不信神的人。这一点虽然很久以前已为人们所感觉到，但理查德·本特利⁽³⁾学识渊博的英语和拉丁语讲道最先令人惊奇地证实了这一点。本特利先生是一位好学深思之士，在科学研究方面奖掖后进，不遗余力，他是我们时代和我们这个学院的伟大象征，是我们三一学院最公正无私最受尊敬的院长。我必须在许多方面对他深表感激之情。即使你，善意的读者，也不应抑制对他的崇敬。多年以来，他作为本书杰出的作者的亲密朋友（他不仅认为这位作者应为后人所尊敬，而且认为这部不平凡的著作应在全世界所有有学识的人士中享有声誉），一直关心着他的友人的声誉和科学的进步。由于本书第一版已很罕见，而且索价奇昂，因此他屡次劝说作者，愿意资助印行的费用，并在他的监督下为他的著作发行新版本，他对作者的恳求有时几乎变成了指责。但他终于说服了我们这位以谦逊的美德和饱学而著称的杰出人士。现在的新版已经全部加以补充修订。至于本书的校订工作，本特利先生则交给了我，当然他有权这样做，并要我尽我之所能来完成这一绝非不受欢迎的工作。

1713年5月12日于剑桥

第三版序言

（艾·牛顿）

这个第三版，由在这方面极富经验的医学院士亨利·彭伯顿（Henry Pemberton）精心策划而成。第二编中关于介质阻力的一些内容已较以前更加详尽，并增补有重物在空气中下落所受阻力的新实验。第三编中，更全面地论述了引力作用使月球囿于其轨道上运行的理由，并增补了庞德（Pound）先生关于木星轨道直径间相互比值的新观测资料。还增补了对1680年出现的彗星的若干观测结果，这是基尔克（Kirk）先生当年11月在德国完成的工作，最近我刚刚收到，它们明显地表明彗星运动轨道是多么地近似于抛物线。哈雷博士比以前更精确地计算了该彗星的椭圆轨道，沿此轨道，彗星穿越天穹九宫，其精确性与行星在天文学给出的椭圆上运行并无二致。还增补了牛津大学天文学教授布拉德雷（Bradley）先生计算的1723年出现的彗星轨道。

1725年1月12日于伦敦

至今还没有可能用一个同样无所不包的统一概念来代替牛顿的关于宇宙的统一概念。要是没有牛顿的明晰的体系，我们到现在为止所取得的收获都会成为不可能。

——爱因斯坦

我不知道世界会怎样看待我，但我认为自己不过像个在海滩上玩耍的男孩，不时地寻找到一些较光滑的卵石和漂亮的贝壳，并以此为乐，而对于摆在我面前的真理的汪洋大海，我还一无所知。

——牛顿

本书列入“十一五”国家重点图书出版规划

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(1) Pappus of Alexandria，活动于公元320年前后，亚历山大里亚时期最后一位伟大的希腊几何学家，著有《数学汇编》，系统介绍了古希腊最重要的数学著作。——译者注。

(2) King Alphonso，指西班牙国王阿尔方索十世（1221—1284），他以好学著称，曾领导编写一系列天文学著作，著名的有“阿尔方索星表”。——译者注。

(3) Richard Bentley，1662—1742，英国著名学者，学识渊博，长于校勘，自1700年起任三一学院院长。是著名的《致约翰·穆勒书》的作者。——译者注。

定义

定义1

物质的量是物质的度量，可由其密度和体积共同求出。

所以空气的密度加倍，体积加倍，它的量就增加到四倍；体积加到三倍，它的量就增加到六倍。因挤紧或液化而压缩起来的雪、微尘或粉末，以及由任何原因而无论怎样不同地压缩起来的所有物体，也都可以作同样的理解。我在此没有考虑可以自由穿透物体各部分间隙的介质，如果有这种物质的话。此后我不论在何处提到物体或质量这一名称，指的就是这个量。从每一物体的重量可推知这个量，因为它正比于重量，正如我在很精确的单摆实验中所发现的那样，后面我将加以详述。

定义2

运动的量是运动的度量，可由速度和物质的量共同求出。

整体的运动是所有部分运动的总和。因此，速度相等而物质量加倍的物体，其运动量加倍；若其速度也加倍，则运动量加到四倍。

定义3

Vis insita，或物质固有的力，是一种起抵抗作用的力，它存在于每一物体当中，大小与该物体相当，并使之保持其现有的状态，或是静止，或是匀速直线运动。

这个力总是正比于物体，它来自于物体的惯性，与之没有什么区别，在此按我们的想法来研究它。一个物体，由于物质的惯性，要改变其静止或运动的状态不是没有困难的。由此看来，这个固有的力可以用最恰当不过的名称，惯性或惯性力来称呼它。但是，物体只有当有其他力作用于它，或者要改变它的状态时，才会产生这种力。这种力的作用既可以看做是抵抗力，也可以看做是推斥力。当物体维持现有状态，反抗外来力的时候，即表现为抵抗力；当物体不易于向外来力屈服，并要改变外来力的状态时，即表现为推斥力。抵抗力通常属于静止物体，而推斥力通常属于运动物体。不过正如通常所说的那样，运动与静止只能作相对的区分，一般认为是静止的物体，并不总是真的静止。

定义4

外力是一种对物体的推动作用，使其改变静止的或匀速直线运动的状态。

这种力只存在于作用之时，作用消失后并不存留于物体中，因为物体只靠其惯性维持它所获得的状态。不过外力有多种来源，如来自撞击、来自挤压、来自向心力。

定义5

向心力使物体受到指向一个中心点的吸引、或推斥或任何倾向于该点的作用。

属于这种力的有重力，它使物体倾向于落向地球中心；磁力，它使铁趋向于磁石；以及那种使得行星不断偏离直线运动，否则它们将沿直线运动，进入沿曲线轨道环行运动的力，不论它是什么力。系于投石器上旋转的石块，企图飞离使之旋转的手，这企图张紧投石器，旋转越快，张紧的力越大，一旦将石块放开，它就飞离而去。那种反抗这种企图的力，使投石器不断把石块拉向人手，把石块维持在其环行轨道上，由于它指向轨道的中心人手，我称为向心力。所有环行于任何轨道上的物体都可作相同的理解，它们都企图离开其轨道中心；如果没有一个与之对抗的力来遏制其企图，把它们约束在轨道上，它们将沿直线以匀速飞去，所以我称这种力为向心力。一个抛射物体，如果没有引力牵制，将不会回落到地球上，而是沿直线向天空飞去，如果没有空气阻力，飞离速度是匀速的。正是引力使其不断偏离直线轨道，向地球偏转，偏转的强弱，取决于引力和抛射物的运动速度。引力越小，或其物质的量越小，或它被抛出的速度越大，它对直线轨道的偏离越小，它就飞得越远。如果用火药力从山顶上发射铅弹，给定其速度，方向与地平面平行，铅弹将沿曲线在落地前飞行2英里；同样，如果没有空气阻力，发射速度加倍或加到十倍，则铅弹飞行距离也加倍或加十倍。通过增大发射速度，即可以随意增加它的抛射距离，减轻它的轨迹的弯曲度，直至它最终落在10度，30度或90度的距离处⁽¹⁾，甚至在落地之前环绕地球一周；或者，使它再也不返回地球，直入苍穹太空而去，作infinitum（无限的）运动。运用同样的方法，抛射物在引力作用下，可以沿环绕整个地球的轨道运转。月球也是被引力，如果它有引力的话，或者别的力不断拉向地球，偏离其惯性力所遵循的直线路径，沿着其现在的轨道运转。如果没有这样的力，月球将不能保持在其轨道上。如果这个力太小，就将不足以使月球偏离直线路径；如果它太大，则将偏转太大，把月球由其轨道上拉向地球。这个力必须是一个适当的量，数学家的职责在于求出使一个物体以给定速度精确地沿着给定的轨道运转的力。反之，必须求出从一个给定处所，以给定速度抛射的物体，在给定力的作用下偏离其原来的直线路径所进入的曲线路径。

可以认为，任何一个向心力均有以下三种度量：绝对度量、加速度度量和运动度量。

定义6

以向心力的绝对度量量度向心力，它正比于中心导致向心力产生并通过周围空间传递的作用源的性能。

因此，一块磁石的磁力大而另一块的磁力小，取决于其尺寸和强度。

定义7

以向心力的加速度度量量度向心力，它正比向心力在给定时间里所产生的速度部分。

因此，对于同一块磁石，距离近则向心力大，距离远则力小：同理山谷里的引力大，而高山巅峰处引力小，而距离地球更远的物体其引力更小（后面将证明）；但在距离相等时，它是处处相等的，因为（不计，或计入空气阻力）它对所有落体作相等的加速，不论其是重是轻，是大是小。

定义8

以向心力的运动度量量度向心力，它正比于向心力在给定时间里所产生的运动部分。

所以物体越大，其重量越大，物体越小，其重量越轻；对于同一物体，距地球越近重量越大，距离越远重量越轻。这种量就是向心性，或整个物体对中心的倾向，或如我所说的，物体的重量。它在量值上总是等于一个方向相反正好足以阻止该物体下落的力。

为了简捷起见，向心力的这三种量分别称为运动力、加速力和绝对力；为了加以区别，认为它们分别属于倾向于中心的物体，物体的处所和物体所倾向的力的中心。也就是说，运动力属于物体，它表示一种整体趋于中心的企图和倾向，它由若干部分的倾向合成。加速力属于物体的处所，它是一种由中心向周围所有方向扩散而出，使处于其中的物体运动的能力；绝对力属于中心，由于某种原因，没有它则运动力不可能向周围空间传递，不论这原因是由中心物体（如磁铁在磁力中心，地球在引力中心）或者别的尚不曾见过的事物引起。在此我只给出这些力的数学表述，不涉及其物体根源和地位。

因此，加速力与运动力的关系，将与速度与运动相同。因为运动的量由速度与物质的量的乘积决定，而运动力由加速力与同一个物质的量的乘积决定。加速力对物体各部分作用的总和，就是总运动力。所以，在地球表面附近，加速重力，或重力所产生的力，对所有物体都是一样的，运动重力或重量与物体相同；但如果我们攀越到加速重力小的地方，重量也会等量减少，而且总是物体与加速力的乘积。所以，在加速力减少到一半的地方，原来轻二倍或三倍的物体，其重量将轻四或六倍。

我谈到吸引与推斥，正如我在同一意义上使用加速力和运动的力一样，对于吸引、推斥或任何趋向于中心的倾向这些词，我在使用时不作区分，因为我对这些力不从物理上而只从数学上加以考虑：所以，读者不要望文生义，以为我要划分作用的种类和方式，说明其物理原因或理由，或者当我说到吸引力中心，或者谈到吸引力的时候，以为我要在真实和物理的意义上，把力归因于某个中心（它只不过是数学点而已）。

附注

至此，我已定义了这些鲜为人知的术语，解释了它们的意义，以便在以后的讨论中理解它们。我没有定义时间、空间、处所和运动，因为它们是人所共知的。唯一必须说明的是，一般人除了通过可感知客体外无法想象这些量，并会由此产生误解。为了消除误解，可方便地把这些量分为绝对的与相对的，真实的与表象的以及数学的与普通的。

Ⅰ．绝对的、真实的和数学的时间，由其特性决定，自身均匀地流逝，与一切外在事物无关，又名延续；相对的、表象的和普通的时间是可感知和外在的（不论是精确的或是不均匀的）对运动之延续的量度，它常被用以代替真实时间，如一小时，一天，一个月，一年。

Ⅱ．绝对空间：其自身特性与一切外在事物无关，处处均匀，永不移动。相对空间是一些可以在绝对空间中运动的结构，或是对绝对空间的量度，我们通过它与物体的相对位置感知它；它一般被当做不可移动空间，如地表以下、大气中或天空中的空间，都是以其与地球的相互关系确定的。绝对空间与相对空间在形状与大小上相同，但在数值上并不总是相同。例如，地球在运动，大气的空间相对于地球总是不变，但在一个时刻大气通过绝对空间的一部分，而在另一时刻又通过绝对空间的另一部分，因此，在绝对的意义上看，它是连续变化的。

Ⅲ．处所是空间的一个部分，为物体占据着，它可以是绝对的或相对的，随空间的性质而定。我这里说的是空间的一部分，不是物体在空间中的位置，也不是物体的外表面。因为相等的固体其处所总是相等，但其表面却常常由于外形的不同而不相等。位置实在没有量可言，它们至多是处所的属性，绝非处所本身。整体的运动等同于各部分的运动的总和，即是说，整体离开其处所的迁移等同于其各部分离开各自的处所的迁移的总和，因此，总体的处所等同于部分处所的和，由于这个缘故，它是内在的，在整个物体内部。

Ⅳ．绝对运动是物体由一个绝对处所迁移到另一个绝对处所；相对运动是由一个相对处所迁移到另一个相对处所。一艘航行的船中，物体的相对处所是它所占据的船的一部分，或物体在船舱中充填的那一部分，它与船共同运动：所谓相对静止，就是物体滞留在船或船舱的同一部分处。但实际上，绝对静止应是物体滞留在不动空间的同一部分处，船、船舱以及它携载的物品都已相对于它作了运动。所以，如果地球真的静止，那个相对于船静止的物体，将以等于船相对于地球的速度真实而绝对地运动。但如果地球也在运动，物体真正的绝对运动应当一部分是地球在不动空间中的运动，另一部分是船在地球上的运动；如果物体也相对于船运动，它的真实运动将部分来自地球在不动空间中的真实运动，部分来自船在地球上的相对运动，以及该物体相对于船的运动。这些相对运动决定物体在地球上的相对运动。例如，船所处的地球的那一部分，真实地向东运动，速度为10010等分，而船则在强风中扬帆向西航行，速度为10等分，水手在船上以1等分速度向东走，则水手在不动空间中实际上是向东运动，速度为10001等分，而他相对于地球的运动则是向西，速度为9等分。

天文学中，由表象时间的均差或勘误来区别绝对时间与相对时间，因为自然日并不真正相等，虽然一般认为它们相等，并用以度量时间。天文学家纠正这种不相等性，以便用更精确的时间测量天体的运动。能用以精确测定时间的等速运动可能是不存在的。所有运动都可能加速或减速，但绝对时间的流逝并不迁就任何变化。事物的存在顽强地延续维持不变，无论运动是快是慢抑或停止：因此这种延续应当同只能借着感官测量的时间区别开来，由此我们可以运用天文学时差把它推算出来。这种时差的必要性，在对现象作时间测定中已显示出来，如摆钟实验，以及木星卫星的食亏。

与时间间隔的顺序不可互易一样，空间部分的次序也不可互易。设想空间的一些部分被移出其处所，则它们将是（如果允许这样表述的话）移出其自身。因为时间和空间是，而且一直是它们自己以及一切其他事物的处所。所有事物置于时间中以列出顺序；置于空间中以排出位置。时间和空间在本质上或特性上就是处所，事物的基本处所可以移动的说法是不合理的。所以，这些是绝对处所，而离开这些处所的移动，是唯一的绝对运动。

但是，由于空间的这一部分无法看见，也不能通过感官把它与别的部分加以区分，所以我们代之以可感知的度量。由事物的位置及其到我们视为不动的物体的距离定义出所有处所，再根据物体由某些处所移向另一些处所，测出相对于这些处所的所有运动。这样，我们就以相对处所和运动取代绝对处所和运动，而且在一般情况下没有任何不便。但在哲学研究中，我们则应当从感官抽象出并且思考事物自身，把它们与单凭感知测度的表象加以区分。因为实际上借以标志其他物体的处所和运动的静止物体，可能是不存在的。

不过我们可以由事物的属性、原因和效果把一事物与他事物的静止与运动、绝对与相对区别开来。静止的属性在于，真正静止的物体相对于另一静止物体也是静止的，因此，在遥远的恒星世界，也许更为遥远的地方，有可能存在着某些绝对静止的物体，但却不可能由我们世界中物体间相互位置知道这些物体是否保持着与遥远物体不变的位置，这意味着在我们世界中物体的位置不能确定绝对静止。

运动的属性在于，部分维持其在整体中的原有位置并参与整体的运动。转动物体的所有部分都有离开其转动轴的倾向，而向前行进的物体其力量来自所有部分的力量之和。所以，如果处于外围的物体运动了，处于其内原先相对静止的物体也将参与其运动。基于此项说明，物体真正的绝对的运动，不能由它相对于只是看起来是静止的物体发生移动来确定，因为外部的物体不仅应看起来是静止的，而且还应是真正静止的。反过来，所有包含在内的物体，除了移开它们附近的物体外，同样也参与真正的运动，即使没有这项运动，它们也不是真正的静止，只是看起来静止而已。因为周围的物体与包含在内的物体的关系，类似于一个整体靠外的部分与其靠内的部分，或者类似于果壳与果仁，但如果壳运动了，则果仁作为整体的一部分也将运动，而它与靠近的果壳之间并无任何移动。

与上述有关的一个属性是，如果处所运动了，则处于其中的物体也与之一同运动。所以，移开其运动处所的物体，也参与了其处所的运动。基于此项说明，一切脱离运动处所的运动，都只是整体和绝对运动的一部分。每个整体运动都由移出其初始的处所的物体的运动和这个处所移出其原先位置的运动等构成，直至最终到达一不动的处所，如前面举过的航行的例子。所以，整体和绝对的运动，只能由不动的处所加以确定，正因为如此我在前文里把绝对运动与不动处所相联系，而相对运动与相对处所相联系。所以，不存在不变的处所，只是那些从无限到无限的事物除外，它们全部保持着相互间既定的不变位置，必定永远不动，因而构成不动空间。

真实与相对运动之所以不同，原因在于施于物体上使之产生运动的力。真正的运动，除非某种力作用于运动物体之上，是既不会产生也不会改变的，但相对运动在没有力作用于物体时也会产生或改变。因为，只要对与前者作比较的其他物体施加以某种力就足够了，其他物体的后退，使它们先前的相对静止或运动的关系发生改变，再者，当有力施于运动物体上时，真实的运动总是发生某种变化，而这种力却未必能使相对运动作同样变化。因为如果把相同的力同样施加在用作比较的其他物体上，相对的位置有可能得以维持，进而维持相对运动所需条件：因此，相对运动改变时，真实运动可维持不变，而相对运动得以维持时，真实运动却可能变化了。因此，这种关系决不包含真正的运动。

绝对运动与相对运动的效果的区别是飞离旋转运动轴的力。在纯粹的相对转动中不存在这种力，而在真正和绝对转动中，该力大小取决于运动的量。如果将一悬在长绳之上的桶不断旋转，使绳拧紧，再向桶中注满水，并使桶与水都保持平静，然后通过另一个力的突然作用，桶沿相反方向旋转，同时绳自己放松，桶作这项运动会持续一段时间。开始时，水的表面是平坦的，因为桶尚未开始转动；但之后，桶通过逐渐把它的运动传递给水，将使水开始明显地旋转，一点一点地离开中间，并沿桶壁上升，形成一个凹形（我验证过），而且旋转越快，水上升得越高，直至最后与桶同时转动，达到相对静止。水的上升表明它有离开转动轴的倾向，而水的真实和绝对的转动，在此与其相对运动直接矛盾，可以知道并由这种倾向加以度量。起初，当水在桶中的相对运动最大时，它并未表现出离开轴的倾向，也未显示出旋转的趋势，未沿桶壁上升，水面保持平坦，因此水的真正旋转并未开始。但在那之后，水的相对运动减慢，水沿桶壁上升表明它企图离开转轴，这种倾向说明水的真实的转动正逐渐加快，直到它获得最大量，这时水相对于桶静止。因此，水的这种倾向并不取决于水相对于其周围物体的移动，这种移动也不能说明真实的旋转运动。任何一个旋转的物体只存在一种真实的旋转运动，它只对应于一种企图离开运动轴的力，这才是其独特而恰当的后果。但在一个完全相同的物体中的相对运动，由其与外界物体的各种关系决定，多得不可胜数，而且与其他关系一样，都缺乏真实的效果，除非它们或许参与了那唯一的真实运动。因此，按这种见解，宇宙体系是：我们的天空在恒星天层之下携带着行星一同旋转，天空中的若干部分以及行星相对于它们的天空可能的确是静止的，但却实实在在地运动着。因为它们相互间变换着位置（真正静止的物体决不如此），被裹携在它们的天空中参与其运动，而且作为旋转整体的一部分，企图离开它们的运动轴。

正因为如此，相对的量并不是负有其名的那些量本身，而是其可感知的度量（精确的或不精确的），它通常用以代替量本身的度量。如果这些词的含义是由其用途决定的，则时间、空间、处所和运动这些词，其（可感知的）度量就能得到恰当的理解，而如果度量出的量意味着它们自身，则其表述就非同寻常，而且是纯数学的了。由此看来，有人在解释这些表示度量的量的同时，违背了本应保持准确的语言的精确性，他们混同了真实的量和与之有关的可感知的度量，这无助于减轻对数学和哲学真理的纯洁性的玷污。

要认识特定物体的真实运动，并切实地把它与表象的运动区分开，确是一件极为困难的事，因为于其中发生运动的不动空间的那一部分，无法为我们的感官所感知，不过这件事也没有彻底绝望，我们还有若干见解作指导，其一来自表象运动，它与真实运动有所差异；其一来自力，它是真实运动的原因与后果。例如，两只球由一根线连接并保持给定距离，围绕它们的公共重心旋转，则我们可以由线的张力发现球欲离开转动轴的倾向，进而可以计算出它们的转动量。如果用同等的力旋加在球的两侧使其转动增加或减少，则由线的张力的增加或减少可以推知运动的增减，进而可以发现力应施加在球的什么面上才能使其运动有最大增加，即，可以知道是它的最后面，或在转动中居后的一面。而知道了这后面的一面，以及与之对应的一面，也就同样可以知道其运动方向了。这样，我们就能知道这种转动的量和方向，即使在巨大的真空中，没有供球与之作比较的外界的可感知的物体存在，也能做到。但是，如果在那个空间里有一些遥远的物体，其相互间位置保持不变，就像我们世界中的恒星一样，我们就确实无法从球在那些物体中的相对移动来判定究竟这运动属于球还是属于那些物体。但如果我们观察绳子，发现其张力正是球运动时所需要的，就能断定运动属于球，那些物体是静止的；最后，由球在物体间的运动，我们还能发现其运动的方向。但如何由其原因、效果及表象差异推知真正的运动，以及相反的推理，正是我要在随后的篇章中详细阐述的，这正是我写作本书的目的。

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(1) 此当指地球表面经度，因剑桥地处经度0度。——译者注。

运动的公理或定律

定律Ⅰ

每个物体都保持其静止、或匀速直线运动的状态，除非有外力作用于它迫使它改变那个状态。

抛射体如果没有空气阻力的阻碍或重力向下牵引，将维持射出时的运动。陀螺各部分的凝聚力不断使之偏离直线运动，如果没有空气的阻碍，就不会停止旋转。行星和彗星一类较大物体，在自由空间中没有什么阻力，可以在很长时间里保持其向前的和圆周的运动。

定律Ⅱ

运动的变化正比于外力，变化的方向沿外力作用的直线方向。

如果某力产生一种运动，则加倍的力产生加倍的运动，三倍的力产生三倍的运动，无论这力是一次还是逐次施加的。而且如果物体原先是运动的，则它应加上原先的运动或是从中减去，这由它的方向与原先运动一致或相反来决定。如果它是斜向加入的，则它们之间有夹角，由二者的方向产生出新的复合运动。

定律Ⅲ

每一种作用都有一个相等的反作用；或者，两个物体间的相互作用总是相等的，而且指向相反。

不论是拉或是压另一个物体，都会受到该物体同等的拉或是压。如果用手指压一块石头，则手指也受到石头的压。如果马拉一系于绳索上的石头，则马（如果可以这样说的话）也同等地被拉向石头，因为绷紧的绳索同样企图使自身放松，将像它把石头拉向马一样同样强地把马拉向石头，它阻碍马前进就像它拉石头前进一样强。如果某个物体撞击另一物体，并以其撞击力使后者的运动改变，则该物体的运动也（由于互压等同性）发生一个同等的变化，变化方向相反。这些作用造成的变化是相等的，但不是速度变化，而是指物体的运动变化，如果物体不受到任何其他阻碍的话。因为，由于运动是同等变化的，向相反方向速度的变化反比于物体。本定律在吸引力情形也成立，我们将在附注中证明。

推论Ⅰ

物体同时受两个力作用时，其运动将沿平行四边形对角线进行，所用时间等于二力分别沿两个边所需。

如果物体在给定的时刻受力M作用离开处所A，应以均匀速度由A运动到B，如果受力N作用离开A，则应由A到C，做出平行四边形ABDC，使两个力共同作用，则物体在同一时间沿对角线由A运动到D。因为力N沿AC线方向作用，它平行于BD，（由第二定律）将完全不改变使物体到达线BD的力M所产生的速度，所以物体将在同时到达BD，不论力N是否产生作用。所以在给定时间终了时物体将处于线BD某处；同理，在同一时间终了时物体也处于线CD上某处。因此，它处于D点，两条线交会处。但由定律Ⅰ，它将沿直线由A到D。

推论Ⅱ

由此可知，任何两个斜向力AC和CD复合成一直线力AD；反之，任何一直线力AD可分解为两个斜向力AC和CD：这种复合和分解已在力学上充分证实。

如果由轮的中心O作两个不相等的半径OM和ON，由绳MA和NP悬挂重量A和P，则这些重量所产生的力正是运动轮子所需要的，通过中心O作直线KOL，并与绳在K和L点垂直相交；再以OK和OL中较长的OL为半径以O为中心画一圆，与绳MA相交于D；连接OD，作AC平行OD，DC垂直于OD。现在，绳上的点K，L，D是否固定在轮上已无关紧要，重量悬挂在K、L点或者D、L点效果是相同的。以线段AD表示重量A的力，并把它分解为力AC和CD，其中力AC与由中心直接引出的半径OD同向，对转动轮子不作贡献；但另一个力DC与半径DO垂直，它对转动轮子的贡献与把它悬在与OD相等的半径OL上相同。即，其效果与重量P相同，如果

但由于三角形ADC与DOK相似。

因此，

这两个半径同处一条直线上，作用等效，因此是平衡的，这就是著名的平衡、杠杆和轮子的属性。如果该比例中一个力较大，则其转动轮子的力同等增大。

如果重量p＝P部分悬挂在线Np上，部分悬挂在斜面pG上，作pH，NH，使前者垂直于地平线，后者垂直于斜面pG，如果把指向下的重量p的力以线pH来表示，则它可以分解为力pN、HN。如果有一个平面pQ垂直于绳pN，与另一平面相交，相交线平行于地平线，则重量p仅由pQ、pG支撑，它分别以pN、HN垂直压迫这两平面，即平面pQ受力pN，平面pG受力HN。所以，如果抽去平面，则重量将拉紧绳子，因为它现在取代抽去了的平面，悬挂着重量，它受到的张力就是先前压平面的力pN，所以

因此，如果p与A的比值是pN和AM到轮中心的最小距离的反比与pH和pN的比的乘积，则重量p与A转动轮子的效果相同，而且相互维持，这很容易得到实验验证。

不过重量p压在两个斜面上，可以看做是被一个楔劈开的物体的两个内表面，由此可以确定楔和槌的力：因为重量p压平面pQ的力就是沿线段pH方向的力，不论它是自身重力或者槌子敲的力，在两个平面上的压力，即

以及在另一个平面pG上的压力，即

据此也可以把螺钉的力作类似分解，它不过是由杠杆力推动的楔子。所以，本推论应用广泛而久远，而其真理性也由之得以进一步确证。因为依照所有力学准则所说的以各种形式得到不同作者的多方验证，因为由此也不难推知由轮子、滑轮、杠杆、绳子等构成的机器力，和直接与倾斜上升的重物的力，以及其他的机械力，还有动物运动骨骼的肌肉力。

推论Ⅲ

由指向同一方向的运动的和，以及由相反方向的运动的差，所得的运动的量，在物体间相互作用中保持不变。

根据定律Ⅲ，作用与反作用方向相反大小相等，而根据定律Ⅱ，它们在运动中产生的变化相等，各自作用于对方。所以，如果运动方向相同，则增加给前面物体的运动应从后面的物体中减去，总量与作用发生前相同。如果物体相遇，运动方向相反，则两方面的运动量等量减少，因此，指向相反方向的运动的差维持相等。

设球体A为另一球体B的3倍大，A运动速度＝2，B运动速度＝10，且与A方向相同。则

设它们的运动量分别为6单位和10单位，则总量为16单位。所以，在物体相遇的情形，如果A得到3，4或5个运动单位，则B失去同等的量，碰撞后A的运动为9，10或11单位，而B为7，6或5，其总和与先前一样为16单位。如果A得到9，10，11或12个运动单位，碰撞后运动量增大到15，16，17或18单位，而B所失去的与A得到的相等，其运动或者是由于失去9个单位而变为1，或是失去全部10个单位而静止，或是不仅失去其全部运动，而且（如果能这样的话）还多失去了一个单位，以1个单位向回运动，也可以失去12个单位的运动，以2运动单位向回运动。二个物体总和为

相反方向运动的差

总是等于16单位，与它们相遇碰撞之前相同，然而在碰撞后物体前进的运动量为已知时，物体的速度中的一个也可以知道，方法是，碰撞后与碰撞前的速度之比等于碰撞后与碰撞前的运动之比，在上述情形中。

碰撞前A的运动（6）：碰撞后A的运动（18）＝碰撞前A的速度（2）：碰撞后A的速度（X）即：

但是，如果物体不是球形，或运动在不同直线上，在斜向上碰撞，则要求出其碰撞后的运动时，首先应确定在碰撞点与两物体相切的平面的位置，然后把每个物体的运动（由推论Ⅱ）分解为两部分，一部分垂直于该平面，另一部分平行于该平面。因为二物体的相互作用发生在与该平面相垂直的方向上，而在平行于平面的方向上物体的运动量在碰撞前后保持不变。在垂直方向的运动是等量反向地变化的，由此同向运动的和成反向运动的差与先前相同。由这种碰撞有时也会提出物体绕中心的循环运动问题，不过我不拟在下文中加以讨论，而且要将与此有关的每种特殊情形都加证明也太过繁冗了。

推论Ⅳ

两个或多个物体的公共重心不因物体自身之间的作用而改变其运动或静止状态，因此，所有相互作用着的物体（有外力和阻滞作用除外）其公共重心或处于静止状态，或处于匀速直线运动状态。

因为，如果有两个点沿直线做匀速运动，按给定比例把两点间距离分割，则分割点或是静止，或是以匀速直线运动。在以后的引理23及其推论中将证明如果点在同一平面中运动，这一情形为真，由类似的方法，还可证明当点不在同一平面内运动的情形。因此，如果任意多的物体都以匀速直线运动，则它们中的任意两个的重心处于静止或是做匀速直线运动，因为这两个匀速直线运动的物体其重心连线被一给定比例在公共重心点分割。用类似方法，这两个物体的公共重心与第三个物体的重心也处于静止或匀速直线运动状态，因为这两个物体的公共重心与第三个物体的重心间的距离也以给定比例分割。以此类推，这三个物体的公共重心与第四个物体的重心间的距离也可以给定比例分割，以至于infinitum（无穷）。所以，一个物体体系，如果它们之间没有任何作用，也没有任何外力作用于它们之上，因而它们都在做匀速直线运动，则它们全体的公共重心或是静止或是以匀速直线运动。

还有，相互作用着的二物体系统，由于它们的重心到公共重心的距离与物体成反比，则物体间的相对运动，不论是趋近或是背离重心，必然相等。因而运动的变化等量而反向，物体的共同重心由于其相互间的作用而既不加速也不减速，而且其静止或运动的状态也不改变。但在一个多体系统中，因为任意两个相互作用着的物体的共同重心不因这种相互作用而改变其状态，而其他物体的公共重心受此一作用甚小；然而这两个重心间的距离被全体的公共重心分割为反比于属于某一中心的物体的总和的部分，所以，在这两个重心保持其运动或静止状态的同时，所有物体的公共重心也保持其状态：需指出的是全体的公共重心其运动或静止的状态不能因受到其中任意两个物体间相互作用的破坏而改变。但在这样的系统中物体间的一切作用或是发生在某两个之间，或是由一些双体间的相互作用合成，因此它们从不对全体的公共重心的运动或静止状态产生改变。这是由于当物体间没有相互作用时，重心将保持静止或做匀速直线运动，即使有相互作用，它也将永远保持其静止或匀速直线运动状态，除非有来自系统之外的力的作用破坏这种状态。所以，在涉及保守其运动或静止状态问题时，多体构成的系统与单体一样适用同样的定律，因为不论是单体或是整个多物体系统，其前进运动总是通过其重心的运动来估计的。

推论Ⅴ

一个给定的空间，不论它是静止，或是作不含圆周运动的匀速直线运动，它所包含的物体自身之间的运动不受影响。

因为方向相同的运动的差，与方向相反的运动的和，在开始时（根据假定）在两种情形中相等，而由这些和与差即发生碰撞，物体相互间发生作用，因而（按定律Ⅱ）在两种情形下碰撞的效果相等，因此在一种情形下物体相互之间的运动将保持等同于在另一种情形下物体相互间的运动。这可以由船的实验来清楚地证明，不论船是静止或匀速直线运动，其内的一切运动都同样进行。

推论Ⅵ

相互间以任何方式运动着的物体，在都受到相同的加速力在平行方向上被加速时，都将保持它们相互间原有的运动，如同加速力不存在一样。

因为这些力同等作用（其运动与物体的量有关）并且是在平行线方向上，则（根据定律Ⅱ）所有物体都受到同等的运动（就速度而言），因此它们相互间的位置和运动不发生任何改变。

附注

迄此为止我叙述的原理已为数学家所接受，也得到大量实验的验证。由前两个定律和前两个推论，伽利略曾发现物体的下落随时间的平方而变化（in duplicate ratione temporis），抛体的运动沿抛物线进行，这与经验相吻合，除了这些运动受到空气阻力的些微阻滞。物体下落时，其重量的均匀力作用相等，在相同的时间间隔内，这种相等的力作用于物体产生相等的速度；而在全部时间中全部的力所产生的全部的速度正比于时间。而对应于时间的距离是速度与时间的乘积，即正比于时间的平方。当向上抛起一个物体时，其均匀重力使其速度正比于时间递减，在上升到最大高度时速度消失，这个最大高度正比于速度与时间的乘积，或正比于速度的平方。如果物体沿任意方向抛出，则其运动是其抛出方向上的运动与其重力产生的运动的复合。因此，如果物体A只受抛射力作用，抛出后在给定时间内沿直线AB运动，而自由下落时，在同一时间内沿AC下落，作平行四边形ABDC，则该物体作复合运动，在给定时间的终了时刻出现在D处；物体画出的曲线AED是一抛物线，它与直线AB在A点相切，其纵坐标BD则与直线AB的平方成比例，由相同的定律和推论还能确定单摆振动时间，这在日用的摆钟实验中得到证明。运用这些定律、推论再加上定律Ⅲ，克里斯托弗·雷恩（Christopher Wren）爵士、瓦里斯（Wallis）博士和我们时代最伟大的几何学家惠更斯先生，各自独立地建立了硬物体碰撞和反弹的规则，并差不多同时向皇家学会报告了他们的发现，他们发现的规则极其一致。瓦里斯博士的确稍早一些发表，其次是克里斯托弗·雷恩爵士，最后是惠更斯先生。但克里斯托弗·雷恩爵士用单摆实验向皇家学会作了证明，马略特（M. Mariotte）很快想到可以对这一课题作全面解释。但要使该实验与理论精确相符，我们必须考虑到空气的阻力和相撞物体的弹力。将球体A，B以等长弦AC，BD平行地悬挂于中心C，D，绕此中心，以弦长为半径画出半圆EAF，GBH，并分别为半径CA，DB等分。将物A移到弧EAF上任意一点R，并（也移开物体B）由此让它摆下，设一次振动后它回到V点，则RV就是空气阻力产生的阻滞。取ST等于RV的四分之一并置于中间，即

并有

则ST非常近似地表示由S下落到A过程中的阻滞。再移回物体B，设物体A由点S下落，它在反弹点A的速度将与它in vacuo（在真空中）自点T下落时的大致相同，差别不大。由此看该速度可用弦TA长度来表示，因为这在几何学上是众所周知的命题：摆锤在其最低点的速度与它下落过程所划出的弧长成比例。反弹之后，设物体A到达S处，物体B到达k处，移开物体B，找一个V点，使物体A下落后经一次振荡后回到r处，而st是rv的四分之一，并置于其中间使rs等于tv，令弧tA的长表示物体A在碰撞后在A处的速度，因为t是物体A在不考虑空气阻力时所能达到的真实而正确的处所，用同样方法修正物体B所能达到的k点，选出l点为它in vacuo（在真空中）达到的处所。这样就具备了所有如同真的在in vacuo（在真空中）做实验的条件。在此之后，我们取物体A与弧TA的长（它表示其速度）的乘积（如果可以这样说的话），得到它在A处碰撞前一瞬间的运动，与弧tA的长的乘积表示碰撞后一瞬间的运动；同样，取物体B与弧Bl的长的乘积，就得到它在碰撞后同一瞬间的运动。用类似的方法，当两个物体由不同处所下落到一起时，可以得出它们各自的运动以及碰撞前后的运动，进而可以比较它们之间的运动，研究碰撞的影响。取摆长10英尺，所用的物体有相等也有不相等的，在通过很大的空间，如8，12或16英尺之后使物体相撞，我总是发现，当物体直接撞在一起时，它们给对方造成的运动的变化相等，误差不超过3英寸，这说明作用与反作用总是相等。若物体A以9单位的运动撞击静止的物体B，失去7个单位，反弹运动为2，则B以相反方向带走7个单位。如果物体由迎面的运动而碰撞，A为12单位运动，B为6，则如果A反弹运动为2，则B为8，即，双方各失去14单位的运动。因为由A的运动中减去12单位，则A已无运动，再减去2单位，即在相反方向产生2单位的运动；同样，从物体B的6个单位中减去14单位，即在相反方向产生8个单位的运动。而如果二物体运动方向相同，A快些，有14单位运动，B慢些，有5个单位，碰撞后A余下5个单位继续前进，而B则变为14单位，9个单位的运动由A传给B。其他情形也相同。物体相遇或碰撞，其运动的量，得自同向运动的和或是逆向运动的差，都绝不改变。至于一二英寸的测量误差可以轻易地归咎于很难做到事事精确上。要使两只摆精确地配合，使它们在最低点AB相互碰撞，要标出物体碰撞后达到的位置s和k是不容易的。还不止于此，某些误差，也可能是摆锤体自身各部分密度不同，以及其他原因产生的结构上的不规则所致。

可能会有反对意见，说这项实验所要证明的规律首要假定物体或是绝对硬的，或至少是完全弹性的（而在自然中这样的物体是没有的），有鉴于此，我必然补充一下，我们叙述的实验完全不取决于物体的硬度，用柔软的物体与用硬物体一样成功。因为如果要把此规律用在不完全硬的物体上，只要按弹力的量所需比例减少反弹的距离即可。根据雷恩和惠更斯的理论，绝对硬的物体的反弹速度与它们相遇的速度相等，但这在完全弹性体上能得到更肯定的证实。对于不完全弹性体，返回的速度要与弹性力同样减小，因为这个力（除非物体的相应部分在碰撞时受损，或像在锤子敲击下被延展）是（就我所能想见而言）确定的，它使物体以某种相对速度离开另一个物体，这个速度与物体相遇时的相对速度有一给定的比例。我用紧压坚固的羊毛球做过试验。首先，让摆锤下落，测量其反弹，确定其弹性力的量，然后，根据这个力，估计在其他碰撞情形下所应反弹的距离。这一计算与随后做的其他实验的确吻合。羊毛球分开时的相对速度与相遇时的速度总是大约5比9，钢球的返回速度几乎完全相同，软木球的速度略小，但玻璃球的速度比约为15比16，这样，第三定律在涉及碰撞与反弹情形时，都获得了与经验相吻合的理论证明。

对于吸引力的情形，我沿用这一方法作简要证明。设任意两个相遇的物体A，B之间有一障碍物介入，两物体相互吸引。如果任一物体，比如A，被另一物体B的吸引，比物体B受物体A的吸引更强烈一些，则障碍物受到物体A的压力比受到物体B的压力要大，这样就不能维持平衡：压力大的一方取得优势，把两个物体和障碍物共同组成的系统推向物体B所在的一方；若在自由空间中，将使系统持续加速直至in infinitum（无限）；但这是不合理的，也与第一定律矛盾。因为，由第一定律，系统应保持其静止或匀速直线运动状态，因此两物体必定对障碍物有相等压力，而且相互间吸引力也相等。我曾用磁石和铁做过实验。把它们分别置于适当的容器中，浮于平静水面上，它们相互间不排斥，而是通过相等的吸引力支撑对方的压力，最终达到一种平衡。

同样，地球与其部分之间的引力也是相互的。令地球FI被平面EG分割成EGF和EGI两部分，则它们相互间的重量是相等的。因为如果用另一个平行于EG的平面HK再把较大的一部分EGI切成两部分EGKH和HKI，使HKI等于先前切开的部分EFG，则很明显中间部分EGKH自身的重量合适，不会向任何一方倾倒，始终悬着，在中间保持静止和平衡。但一侧的部分HKI将用其全部重量把中间部分压向另一侧的部分EGF，所以EGI的力，HKI和EGKH部分的和，倾向于第三部分EGF，等于HKI部分的重量，即第三部分EGF的重量。因此，EGI和EGF两部分相互之间的重量是相等的，这正是要证明的。如果这些重量真的不相等，则漂浮在无任何阻碍的以太中的整个地球必定让位于更大的重量，逃避开去，消失于无限之中。

由于物体在碰撞和反弹中是等同的，其速度反比于其惯性力，因而在运用机械仪器中有关的因素也是等同的，并相互间维持对方相反的压力，其速度由这些力决定，并与这些力成反比。

所以，用于运动天平的臂的重量，其力是相等的，在使用天平时，重量反比于天平上下摆动的速度，即，如果上升或下降是直线的，其重量的力就相等，并反比于它们悬挂在天平上的点到天平轴的距离；但若有斜面插入，或其他障碍物介入致使天平偏转，使它斜向上升或下降，那些物体也相等，并反比于它们参照垂直线所上升或下降的高度，这取决于垂直向下的重力。

类似的方法也用于滑轮或滑轮组。手拉直绳子的力与重量成正比，不论重物是直向或斜向上升，如同重物垂直上升的速度正比于手拉绳子的速度，都将拉住重物。

在由轮子复合而成的时钟和类似的仪器中，使轮子运动加快或减慢的反向力，如果反比于它们所推动的轮子的速度，也将相互维持平衡。

螺旋机挤压物体的力正比于手旋拧手柄使之运动的力，如同手握住那部分把柄的旋转速度与螺旋压向物体的速度。

楔子挤压或劈开木头两边的力正比于锤子施加在楔子上的力，如同锤子敲在楔上使之在力的方向上前进的速度正比于木头在楔下在垂直于楔子两边的直线方向上裂开的速度，所有机器都给出相同的解释。

机器的效能和运用无非是减慢速度以增加力，或者反之。因而运用所有适当的机器，都可以解决这样的问题：以给定的力移动给定的重量，或以给定的力克服任何给定的阻力。如果机器设计成其作用和阻碍的速度反比于力，则作用就能刚好抵消阻力，而更大的速度就能克服它。如果更大的速度大到足以克服一切阻力。它们通常来自接触物体相互滑动时的摩擦，或要分离连续的物体的凝聚，或要举起的物体的重量，则在克服所有这些阻力之后，剩余下的力就将在机器的部件以及阻碍物体中产生与自身成正比的力速度。但我在此不是要讨论力学，我只是想通过这些例子说明第三定律适用之广泛和可靠。如果我们由力与速度的乘积去估计作用，以及类似地，由阻碍作用的若干速度与由摩擦、凝聚、重量产生的阻力的乘积去估计阻碍反作用，则将发现一切机器中运用的作用与反作用总是相等的。尽管作用是通过中介部件传递的，最后才施加到阻碍物体上，其最终的作用总是针对反作用的。

第一编　物体的运动

· Book One Of the Motion of Bodies ·

初量与终量的比值方法，由此可以证明下述命题——向心力的确定——物体在偏心的圆锥曲线上的运动——由已知焦点求椭圆、抛物线和双曲线轨道——焦点未知时怎样求轨道——怎样求已知轨道上的运动——物体的直线上升或下降——受任意类型向心力作用的物体环绕轨道的确定——沿运动轨道的物体运动；回归点运动——物体在给定表面上的运动；物体的摆动运动——受向心力作用物体的相互吸引运动——球体的吸引力——非球形物体的吸引力——受指向极大物体各部分的向心力推动的极小物体的运动

格林尼治天文台本初子午线（0度经线）

第1章

初量与终量的比值方法，由此可以证明下述命题

引理1

量以及量的比值，在任何有限时间范围内连续地向着相等接近，而且在该时间终了前相互趋近，其差小于任意给定值，则最终必然相等。

若否定这一点，可设它们最终不相等，令D表示其最终的差。这样它们不能以小于差D的量相互趋近，而这与命题矛盾。

引理2

任意图形AacE由直线Aa，AE和曲线acE组成，其上有任意多个长方形Ab，Bc，Cd，等等，它们的底边AB，BC，CD等都相等，其边Bb，Cc，Dd等平行于图形的边Aa，又作正方形aKbl，bLcm，cMdn等：如果将长方形的宽缩小，使长方形的数目趋于无穷，则内切图形AKbLcMdD，外切图形AalbmcndoE和曲边图形AabcdE将趋于相等，它们的极限比值是相等比值。

因为内切图形与外切图形的差是长方形Kl，Lm，Mn，Do等的和，即（由它们的底相等）以其中一个长方形的底kb为底，以它们的高度和Aa为高的矩形，也就是矩形ABla。然而由于宽AB无限缩小，所以该矩形也将小于任何一个给定空间。所以（由引理1）内切图形和外切图形最后趋于相等，而居于其中间的曲线图形更是与它们相等了。

证毕。

引理3

矩形的宽AB，BC，DC等不相等时，只要它们都无限缩小，上述三图形的最终比值仍是相等比值。

设AF是最大宽度，作矩形FAaf，它将大于内切图形与外切图形的差。但由于其宽AF是无限缩小的，它也将小于任何给定矩形。

证毕。

推论Ⅰ．所以这些趋于零的长方形其最后总和在所有方面与曲线图形完全一致。

推论Ⅱ．并且，属于这些趋于零的弧长ab，bc，cd等的直线图形最终与曲线图形完全一致。

推论Ⅲ．属于相同弧长的切线的外切图形也与此相同。

推论Ⅳ．所以，这些最终图形（就其外周acE而言）不是直线图形，而是直线图形的曲线极限。

引理4

如果在两个图形AacE，PprT中有两组内切矩形（同前），每组数目相同，它们的宽趋于无穷小，如果一个图形内的矩形与另一图形的矩形分别对应的最终比值相同，则图形AacE与PprT的比值与该值相同。

因为一个图形中的矩形与另一个图形中的是分别对应的，所以（合起来）其全体的和与另一个全体的和的比，也就是一个图形比另一个图形；因为（由引理3）前一个图形对应前一个和，后一个图形对应后一个和，所以二者比值相等。

证毕。

推论．如果任意两种量以任意方式分割为数目相等的部分，这些部分的数目增大时，其量值将趋于无穷小，它们各自有给定的相同比值，第一个比第一个，第二个比第二个，以此类推，则它们所有的合起来也有相同的比值。因为，如果在本引理图形中把每个矩形的比视为这些部分的比，则这些部分的和恒等于矩形的和；再设矩形数目和部分的数目增多，则它们的量值无穷减小，这些和就是一个图中矩形与另一个图中对应矩形的最后比值，即（由命题）一个量中任意部分与另一个量中对应部分的最终比值。

引理5

相似图形对应的边，不论其是曲线或直线，是成正比的，其面积的比是对应边的比的平方。

引理6

任意弧长ACB位置已定，对应的弦为AB；在处于连续曲率中的任意点A上，有一直线AD与之相切，并向两侧延长；如果A点与B点相互趋近并重合，则弦与切线的夹角BAD将无穷变小，最终消失。

如果该角不消失，则弧ACB与切线AD将含有与直线角相等的夹角，因此曲率在A点不连续，而这与命题矛盾。

引理7

在同样假设下，弧、弦和切线相互间的最后比值是相等比值。

当B点趋近于A点时，设想AB与AD延伸到远点b和d，平行于割线BD作直线bd，令弧Acb总是相似于弧ACB。然后设A点与B点重合，则由上述引理，角dAb消失，因此直线Ab、Ad（它总是有限的）与它们之间的弧Acb将重合，而且相等，所以，直线AB、AD与其间的弧ACB（它总是正比于前者）将消失，最终获得相等比值。

证毕。

推论Ⅰ．如果通过B作BF平行于切线，并与通过A点的任意直线AF相交于F，则线段BF与趋于零的弧ACB有最终相等的比值。因为作平行四边形AFBD，它与AD总有相等比值。

推论Ⅱ．如果通过B和A作更多直线BE，BD，AF，AG与切线AD及其平行线BF相交，则所有横向线段AD，AE，BF，BG，以及弦与弧AB，其中任意一个与另一个的最终比值是相等的比值。

推论Ⅲ．所以，在考虑所有与最终比值有关的问题时，可将这些线中任意一条来代替其他。

引理8

如果直线AR，BR与弧ACB，弦AB以及切线AD组成任意三角形RAB，RACB，RAD，而且点A与B相互趋近并重合，则这些趋于零的三角形的最后形式是相似三角形，它们的最终比值相等。

当点B趋近于点A时，设想AB，AD，AR延伸至远点b，d和r，作rbd平行于RD，令弧Acb总是相似于弧ACB。再设点A与点B重合，则角bAd将消失，所以，三个三角形，rAb，rAcb，rAd（总是有限的）也将重合，也就是说既相似且相等。所以，总是与它们相似的并成正比的三角形RAB，RACB，RAD相互间也将既相似且相等。

推论．因此，在考虑所有最终比值问题时，可将这些三角形中的任意一个来代替其他。

引理9

如果直线AE，曲线ABC二者位置均已给定，并以给定角相交于A；另二条水平直线与该直线成给定夹角，并与曲线相交于B，C，而B，C共同趋近于A并与之重合，则三角形ABD与ACE的最终面积之比是其对应边之比的平方。

当点B，C趋近点A时，设AD延伸至远点d和e，则Ad，Ae将正比于AD，AE，作水平线db，ec平行于横向线DB和EC，并与AB和AC相交于b和c。令曲线Abc相似于曲线ABC，作直线Ag与曲线相切于A点，与横线DB，EC，db，ec相交于F，G，f，g。再设Ae长度保持不变，令点B与C相会于A点，则角cAg消失，曲线面积Abd，Ace将与直线面积Afd，Age重合，所以（由引理5）它们中一个与另一个的比将是边Ad，Ae的比的平方。但面积ABD，ACE总是正比于这些面积，边AD，AE也总是正比于这些边。所以，面积ABD，ACE最终比值是边AD，AE的比的平方。

证毕。

引理10

物体受任意有限力作用时，不论该力是已知的不变的，或是连续增强或连续减弱，它越过的距离在运动刚开始时与时间的平方成正比。

令直线AD，AE表示时间，它们产生的速度以横线DB，EC表示，则这些速度产生的距离就是横线围成的面积ABD，ACE，即，在运动刚开始时（由引理9），正比于时间AD，AE的平方。

证毕。

推论Ⅰ．由此容易推出，在均匀时间间隔内，物体描绘的相似图形的相似部分，其误差由作用于该物体上的任意相等的力产生，并可由物体到相似图形相应位置的距离求得。如果没有那种力的作用，物体应在上述时间间隔内到达那个位置——大致上正比于产生这些误差的时间的平方。

推论Ⅱ．但类似地作用于位于相似图形相似位置上物体的均匀力，其所产生的误差是该力与时间的平方的乘积。

推论Ⅲ．对于物体在不同力作用下所描绘的任何距离都可作相同理解，在物体刚开始运动时，它们都正比于力与时间平方的积。

推论Ⅳ．所以，力正比于刚开始运动时所描绘的距离，反比于时间的平方。

推论Ⅴ．所以，时间的平方正比于所描绘的距离，反比于力。

附注

如果在不同种类的不确定量之间作比较，其中任何一个都可以说成是与另一量成正比或反比，这意味着前者与后者以相同比率增加或减少，或与后者的倒数成正比。如果任意一个量被说成是与其他任意两个或更多的量成正比或反比，即意味着第一个量与其他量的比率的复合以相同的比率或其倒数增加或减少。例如：说A正比于B，正比于C，反比于D，即是说A以与相同的比率相加或减少，也就是说，A与相互间具有给定比值。

引理11

在所有曲线的一有限曲率点上，切线与趋于零的弦的接触角的弦最终正比于相邻弧长对应的弦的平方。

第一种情形：令AB为弧长，AD是其切线，BD垂直于切线，是接触角的弦，直线AB是弧对应的弦。作BG垂直于弦AB，作AG垂直于切线AD，二者相交于G。再令点D，B，和G趋近于点d，b和g，设J为直线BG、AG的最后交点，此时点D，B与A重合，很明显，距离GJ可以小于任何给定的距离，但（由通过点A，B，G和通过点A，b，g的圆的特性）

但由于GJ可以小于任何给定的长度，AG和Ag的比值与单位量的差也可以小于任何给定值，所以，AB²和Ab²的比值与BD和bd的比值的差也可以小于任何给定值。所以，由引理1，最终有：

证毕。

第二种情形：令BD与AD夹角的任意给定值，BD与bd的最终比值仍与以前相同，所以AB²与Ab²的比值也相同。

证毕。

第三种情形：如果角D不曾给定，但直线BD向一给定点收敛，或由任何其他条件决定。则由相同规则决定的角D和角d仍总是趋于相等，并以小于任何给定差值相互趋近。所以，由引理1，将最终相等。所以，线段BD与bd的比值仍与以前相同。

证毕。

推论Ⅰ．因为切线AD，Ad，弧AB，Ab以及它们的正弦BC，bc最后均与弧弦AB，Ab相等，它们的平方最终也将正比于角弦BD，bd。

推论Ⅱ．它们的平方最终还将正比于弧的正矢，该正矢等分弦，并向给定点收敛，因为这些正矢正比于角弦BD，bd。

推论Ⅲ．所以，正矢正比于物体以给定速度沿轨迹运动所需时间的平方。

推论Ⅳ．因为

而最后比例：

即得到比例式：

最后也得到：

推论Ⅴ．因为DB，db最终平行于，并正比于AD，Ad的平方，最后的曲线面积ADB，Adb将（由抛物线特性）是直线三角形ADB，Adb的三分之二，而缺块AB，Ab是同一三角形的三分之一，因此，这些面积与缺块将正比于切线AD，Ad的平方，也正比于弧或弦AB，Ab的立方。

附注

不过，我们在所有讨论中均假定相切角既非无限大于亦非无限小于圆与其切线所成的相切角。也就是说，点A的曲率既非无限小亦非无限大，间隔AJ具有有限值，因为可以设DB正比于AD³，在此情形下不能通过点A在切线AD和曲线AB之间作圆，所以夹角将无限小于这些圆。出于同样理由，如果能逐次地使DB正比于AD⁴，AD⁵，AD⁶，AD⁷等等，我们将得到一系列夹角趋于无限，随后的每一项都无限小于其前面的项。而如果逐次使DB正比于，等等，我们将得到另一系列无限夹角，其第一个与圆的相同，而第二个既为无限大，其后每一项都比前一项无限大。但在这些角的任意两个之间，还可以插入另一系列的中介夹角，并向两边伸入无限，其中每一项都比其前一项无限大或无限小，例如在AD²项与AD³项之间，可以插入，等等，而在该系列中的任意两项之间，又能再插入一个新的系列，其间相互差别可以是无限间隔。自然是无止境的。

由曲线及其围成的表面所证明的规律，可以方便地应用于曲面和固体自身，这些引理意在避免古代几何家采用的自相矛盾的冗长推导。用不可分量方法证明比较简捷，但由于不可分假设有些生硬，所以这方法被认为是不够几何化，所以我在证明以后的命题时宁可采用最初的与最后的和，以及新生的与将趋于零的量的比值，即采用这些和与比值的极限，并以此作为前提，尽我可能简化对这些极限的证明。这一方法与不可分量方法可作相同运用，现在它的原理已得到证明，我们可以更可靠地加以使用。所以，此后如果我说某量由微粒组成，或以短曲线代替直线，不要以为我是指不可分量，而是指趋于零的可分量，不要以为我指确定部分的和与比率，而总是指和与比率的极限，这样演示的力总是以前述引理的方法为基础的。

可能会有人反对，认为不存在将趋于零的量的最后比值，因为在量消失之前，比率总不是最后的，而当它们消失时，比率也没有了。但根据同样的理由，我们也可以说物体到达某一处所并在那里停止，也没有最后速度，在它到达前，速度不是最后速度，而在它到达时，速度没有了。回答很简单，最后速度意味着物体以该速度运动着，既不是在它到达其最后处所并终止运动之前，也不是在其后，而是在它到达的一瞬间。也就是说，物体到达其最后处所并终止运动时的速度，用类似方法，将消失的量的最后比可以理解为既不是这些量消失之前的比，也不是之后的比，而是它消失那一瞬间的比，用类似方法，新生量的最初比是它们刚产生时的比，最初的与最后的和是它们刚开始时或刚结束时（或增加与减少时）的和。在运动尚存的最后时刻速度有一极限，不能超越，这就是最后速度；所有初始和最后的量或比也有极限。由于这些极限是确定的，实在的，所以求出它们就是严格的几何学问题。而可用以求解或证明任何其他事物的几何学也都是几何学。

还可能有人反对，说如果给定将消失量的最后比值，它们的最后量值也就给定了：因此所有量都包含不可分量，而这与欧几里得在《几何原本》第十卷中证明的不可通约量相矛盾。然而这一反对意见建立在一个错误命题上。量消失时的最后的比并不真的是最后量的比，而是无止境减少的量的比必定向之收敛的极限，比值可以小于任何给定的差向该极限趋近，决不会超过，实际上也不会达到，直到这些量无限减少。在无限大的量中这种事情比较明显。如果两个量，它们的差已给定，是无限增大的，则这些量的最后的比也将给定，即相等的比，但不能由此认为，它们中最后的或最大的量的比已给定。所以，如果在下文中出于易于理解的理由，我论及最小的，将消失的，或最后的量，读者不要以为是在指确定大小的量，而是指作无止境减小的量。

第2章

向心力的确定

命题1　定理1

作环绕运动的物体，其指向力的不动中心的半径所掠过的面积位于同一不动的平面上，而且正比于画出该面积所用的时间。

设时间分为相等的间隔，在第一时间间隔里物体在其惯性力作用下扫过直线AB。在第二时间间隔里，物体将（由定律Ⅰ）沿直线Bc一直运动到c，如果没阻碍的话，Bc等于AB，所以由指向中心的半径AS，BS，cS，可以得到相等的面积ASB，BSc。但当物体到达B时，设向心力立即对它施以巨大推斥作用，使它偏离直线Bc，迫使它沿直线BC运动。作cC平行BS，与BC相交于C，在第二时间间隔最后，物体（由定律推论Ⅰ）将出现在C，与三角形ASB处于同一平面，连接SC，由于SB与Cc平行，三角形SBC面积等于三角形SBc，所以也等于三角形SAB，由于同样理由，向心力依次作用于C，D，E等点，并使物体在每一个时间间隔内画出直线CD，DE，EF等，它们都处于同一平面。而且三角形SCD等于三角形SBC，SDE等于SCD，SEF等于SDE。所以，在相同时间里，在不动平面上画出相等面积：而且由命题，这些面积的任意的和SADS，SAFS都分别正比于它们的时间。现在，令这些三角形的数目增加，它们的底宽无限减少；（由引理3推论Ⅳ）它们的边界ADF将成为一条曲线：所以向心力连续使物体偏离该曲线的切线；而且，任意扫出的面积SADS，SAFS原先是正比于扫出它们所用时间的，在此情形下仍正比于所用时间。

证毕。

推论Ⅰ．被吸引向不动中心的物体的速度，在无阻力的空间中，反比于由中心指向轨道切线的垂线。因为在处所A，B，C，D，E的速度可以看做是全等三角形的底AB，BC，CD，DE，EF，这些底反比于指向它们的垂线。

推论Ⅱ．如果两段弧的弦AB，BC相继由同一物体在相等时间里画出，在无阻力空间中，作平行四边形ABCV，则该平行四边形的对角线BV，在对应弧长无限缩小时所获得的位置上延长，必定通过力的中心。

推论Ⅲ．如果弧的弦AB，BC与DE，EF在相等时间内画出，在无阻力空间中，作平行四边形ABCV，DEFZ，则在B和E点的力之比与对应弧长无限缩小时对角线BV，EZ的最后比相同。因为物体沿BC和EF的运动是（由本定律推论Ⅰ）沿Bc，BV和Ef，EZ运动的复合；但在本命题证明中，BV和EZ等于Cc和Ff，是由于向心力在B和E点的推斥作用产生的，所以正比于这些推斥作用。

推论Ⅳ．无阻力空间中使物体偏离直线运动并进入曲线轨道的力，正比于相等时间里所画出的弧的正矢，该正矢指向力的中心，并在弧长无限缩小时等分对应弦长。因为这些正矢是推论Ⅲ中对角线的一半。

推论Ⅴ．所以，这种力与引力的比，正如所讨论的正矢与抛体在相同时间内画出的抛物线弧上垂直于地平线的正矢的比。

推论Ⅵ．当物体运动所在平面，以及置于该平面上的力的中心不是静止的，而且做匀速直线运动的，上述结论（按定律推论Ⅴ）依然有效。

命题2　定理2

沿平面上任意曲线运动的物体，其半径指向静止的或做匀速直线运动的点，并且关于该点掠过的面积正比于时间，则该物体受到指向该点的向心力的作用。

第一种情形：任何沿曲线运动的物体（由定律Ⅰ）都受到某种力的作用迫使它改变直线路径。这种迫使物体离开直线运动的力，在相等时间里，使物体画出最小的三角形SAB，SBC，SCD等等，关于不动点S（由欧几里得《几何原本》第一卷命题40和定律Ⅱ）作用于处所B，其方向沿着平行于cC的直线，即沿着直线BS的方向。而在处所C，沿着平行于dD的直线的方向，即沿着直线CS的方向，等等；所以它总是沿着指向不动点S的方向。

证毕。

第二种情形：（由定律推论Ⅴ）物体作曲线运动所在的面，不论是静止的，或是与物体，与物体画出的图形，与中心点S一同做匀速直线运动，都没有区别。

推论Ⅰ．在无阻抗的空间或介质中，如果掠过的面积不正比于时间，则力不指向半径通过的点。如果掠过面积是加速的，则偏向运动所指的方向，如果是减速的，则背离运动方向。

推论Ⅱ．甚至在阻抗介质中，如果加速掠过面积，则力的方向也偏离半径的交点，指向运动所指方向。

附注

物体可能受到由若干力复合而成的向心力作用。在此情形下，命题的意义是，所有力的合力指向点S。但如果某个力连续地沿着物体所画表面的垂线方向，则该力将使物体偏离其运动平面，但并不增大或减小所画表面的面积，所以在考虑力的合成时忽略不计。

命题3　定理3

任何物体，其环绕半径指向另一任意运动物体的中心，所掠过的面积正比于时间，则该物体受到指向另一物体的向心力，以及另一物体所受到的所有加速力的复合力的作用。

令L表示一物体，T表示另一物体（由运动定律推论Ⅵ）如果两物体在平行线方向上受到一个新的力的作用，这个力与第二个物体T所受到的力大小相等方面相反，则第一个物体L仍像从前一样环绕第二个物体T掠过相等的面积；但另一个物体T受到的力现在被相等且相反的力所抵消，所以（由定律Ⅰ）另一个物体T现在不再受力，处于静止或匀速直线运动状态；而第一个物体L则受到两个力的差，即剩余的力的作用，连续环绕另一个物体T以正比于时间掠过面积。所以（由定理2）这些力的差是指向其环绕中心另一个物体T的。

证毕。

推论Ⅰ．如果一个物体L的环绕半径指向另一个物体T，掠过的面积正比于时间，则由第一个物体L所受到的合力（由定律的推论Ⅱ，不论这个力是简单的，或是几个力的复合），减去（由同一推论）另一物体所受到的全部加速力，最后剩余的推动第一个物体的力是指向环绕中心另一个物体T的。

推论Ⅱ．而且，如果掠过的面积近似正比于时间，则剩余力的指向也接近于另一个物体T。

推论Ⅲ．反之，如果剩余力指向接近于另一个物体T，则面积也接近于正比于时间。

推论Ⅵ．如果物体L的环绕半径指向另一物体T，其所掠过的面积与时间相比很不相等，而另一物体T处于静止或匀速直线运动状态，则指向另一个物体T的向心力作用或是消失，或是受到其他力的强烈干扰和复合；而所有这些力（如果它们有许多）的复合力指向另一个（运动的或不动的）中心。当另一个物体的运动是任意的时候，也可得出相同结论，这时产生作用的向心力是减去作用于另一个物体T的力所剩余的。

附注

由于掠过相等的面积意味着对物体影响最大的力有一个中心，这个力使物体脱离直线运动维持在轨道上，那么，我们为什么不能在以后的讨论中，把掠过相等面积当做自由空间所有环绕运动的中心存在的标志呢？

命题4　定理4

沿不同圆周等速运动的若干物体的向心力，指向各自圆周的中心，它们之间的比，正比于等时间里掠过的弧长的平方，除以圆周的半径。

这些力指向各自圆周的中心（由命题2和命题1，推论Ⅱ），它们之间的比，如同等时间内掠过的最小弧长的正矢的比（由命题1推论Ⅵ），即正比于同一弧长的平方除以圆周的直径（由引理7）。由于这些弧长的比就是任意相等时间里所掠过的弧长的比，而直径的比就是半径的比，所以力正比于任意相同时间里掠过的弧长的平方除以圆周半径。

证毕。

推论Ⅰ．由于这些弧长正比于物体的速度，向心力正比于速度的平方除以半径。

推论Ⅱ．由于环绕周期正比于半径除以速度，向心力正比于半径除以环绕周期的平方。

推论Ⅲ．如果周期相等，因而速度正比于半径，则向心力也正比于半径，反之亦然。

推论Ⅳ．如果周期与速度都正比于半径的平方根，则有关的向心力相等，反之亦然。

推论Ⅴ．如果周期正比于半径，因而速度相等，则向心力将反比于半径；反之亦然。

推论Ⅵ．如果周期正比于半径的3/2次方，则向心力反比于半径的平方；反之亦然。

推论Ⅶ．推而广之，如果周期正比于半径R的多次方Rn，因而速度反比于半径的Rn－1方，则向心力将反比于半径的R2n－1次方；反之亦然。

推论Ⅷ．物体运动掠过任何相似图形的相似部分，这些图形在相似位置上有中心，这时有关的时间、速度和力都满足以前的结论，只需要将以前的证明加以应用即可。这种应用是容易的，只要用掠过的相等面积代替相等的运动，用物体到中心的距离代替半径。

推论Ⅸ．由同样的证明可以知道，在给定向心力作用下沿圆周匀速运动的物体，其在任意时间内掠过的弧长，是圆周直径与同一物体受相同力作用在相同时间里下落空间的比例中项。

附注

第六推论的情形发生在天体中（如克里斯托弗·雷恩爵士，胡克博士和哈雷博士分别观测到的）；所以，我拟在下文中就与向心力随物体到中心距离的平方减少有关的问题作详尽讨论。

还有，由上述命题及其推论，我们可以知道向心力与任何其他已知力如重力的比，因为，如果一个物体因其重力沿以地球为心的圆周轨道运行，这个重力就是那个物体的向心力。由重物体的下落（根据本命题推论Ⅸ），它环绕一周的时间，以及在任意时间里掠过的弧长都可以知道。惠更斯先生在他的名著《论摆钟》中就是根据这一命题把重力与环绕物体的向心力作类比的。

也可以用这一方法证明上述命题。在任意圆内作内切多边形，其边数是任意的，如果物体以给定速度沿多边形的边运动，在各角顶点被圆周反弹，则每次反弹物体撞击圆周的力正比于其速度：所以，在给定时间里，这些力的和正比于速度与反弹次数的乘积；也就是说，（如果多边形已经给定）正比该给定时间里所掠过的长度，并随着相同长度与圆周半径的比值增减，即，正比于长度的平方除以半径，所以，当多边形的边无限减小时，趋于与圆周重合，这时，即正比于在给定时间里掠过的弧长除以半径，这就是物体施加给圆周的向心力，而圆周连续作用于物体使其指向中心的反向力，与之相等。

命题5　问题1

在任意处所，物体受指向某一公共中心的力的作用以给定速度运动并画出给定轨道图形，求该中心。

令三条直线PT，TQV，VR与已知图形在同样多的点P，Q，R上相切，并相交于T和V点。在切线上过P，Q，R点作垂线PA，QB和RC，与物体在P，Q，R点的速度成反比，即，PA与QB等价于Q点的速度与P点的速度的比，而QB比RC等于R点与Q点的速度比，过垂线端点A，B，C作直线AD，DBE，EC，使之互成直角，相交于D和E；再作直线TD，VE，并延长至S点，求得中心。

因为由中心S做出的切线PT，QT的垂线反比于物体在点P和Q的速度（由命题1推论Ⅰ），因而正比于垂线AP，BQ，即，正比于由D点做出的切线垂线。由此易于推知点S，D，T在同一条直线上，类似地可知点S，E，V也在同一条直线上，所以，中心S处于直线TD，VE相交处。

证毕。

命题6　定理5

在无阻力空间中，如果物体沿任意轨道环绕一不动中心运行，在最短时间里掠过极短弧长，该弧的正矢等分对应的弦，并通过力的中心：则弧中心的向心力正比于该正矢而反比于时间的平方。

因为给定时间的正矢正比于向心力（由命题1推论Ⅳ），而弧长随时间的增加作相同比率的增加，正矢将以该比率的平方增加（由引理11推论Ⅱ和推论Ⅲ），所以正比于力和时间的平方，两边同除以时间的平方，即得到力正比于正矢，反比于时间的平方。

证毕。

用引理10推论Ⅳ也能同样容易地证明该定理。

推论Ⅰ．如果物体P环绕中心S画出曲线APQ，直线ZPR与该曲线在任意点P上相切，由曲线上另一任意点Q作平行于距离SP的直线，与切线相交于R；再作QT垂直于距离SP，则向心力将反比于，如果该立方取点P点Q重合时的值的话。因为QR等于弧QP的二倍的正矢，该弧中点是P：也等于三角形SQP的二倍，或SP·QT正比于掠过二倍弧所用的时间，因此，可用以表示时间。

推论Ⅱ．由类似的理由，向心力反比于立方；如果SY是由力的中心伸向轨道切线PR的垂线的话。因为矩形SY·QP与SP·QT相等。

推论Ⅲ．如果轨道是圆周，或与一同心的圆周相切或相交，即，轨道在相切或相交处包含有极小角度的圆周，并与点P有相等的曲率与曲率半径；又，如果PV是该圆周上由物体通过力的中心做出的弦，则向心力反比于立方SY²·PV。因为PV就是。

推论Ⅳ．在相同假设下，向心力正比于速度的平方，反比于弦，因为由命题1推论Ⅰ，速度是垂线SY的倒数。

推论Ⅴ．所以，如果给定任意曲线图形APQ，因而向心力连续指向的点S也给定，即可得到向心力定律：物体P受该定律支配连续偏离直线运动，维持在图形边缘上，通过连续环绕画出相同图形。即，通过计算可以知道，立方或立方SY²·PV反比于QR向心力。下述问题将给出该定律实例。

命题7　问题2

如果物体沿圆周运动，求指向任意给定点的向心力的定律。

令VQPA是圆周，S是力所指向的给定中心，P是沿圆周运动的物体，Q是物体将要到达的处所，PRZ是圆周在前一个处所的切线。通过点S作弦PV，以及圆的直径VA，连接AP，作QT垂直于SP，并延长与切线PR相交于Z，最后，通过点Q作LR平行于SP，与圆周相交于L，与切线PZ相交于R。因为三角形ZQR，ZTP，VPA相似，RP²＝RL·QR，而。

所以，

等式两边同乘以，当点P与Q重合时，RL可写为PV，于是有：

所以，（由命题6推论Ⅰ和Ⅴ）向心力反比于，即（由于AV²已给定）反比于SP²与PV³的乘积。

完毕。

另一种解法

在切线PR上作垂线SY，（由于三角SYP，VPA相似）即有AV比PV等于SP比SY，所以，所以（由命题6推论Ⅲ和Ⅴ）向心力反比于，即（因为AV已经给定）反比于SP²·PV³。

推论Ⅰ．如果向心力永远指向的点S已给定，并位于圆周上，如位于V，则向心力反比于SP长度的5次方。

推论Ⅱ．使物体P沿圆周APTV环绕力的中心S运动的力，与使同一物体P沿同一圆周以相同周期环绕另一力的中心R运动的力的比，等于RP²·SP与直线SG的立方的比。直线SG是由第一个中心S做出的平行于物体到第二个中心R的距离PR，并与轨道切线PG相交于G点的直线距离。因为，由本命题，前一个力与后一个力的比等于RP²·PT³比SP²·PV³，也就是说，等于SP·RP²比，或正比于（因为三角形PSG，TPV相似）SG³。

推论Ⅲ，使物体P沿任意轨道环绕力的中心S运动的力，与使同一物体沿同一轨道以相同周期环绕另一任意力的中心R的力的比，等于立方SP·RP²，其中包括物体到第一个中心S的距离，和物体到第二个力的中心R的距离的平方，与直线SG的立方的比。SG是由第一个力的中心S沿平行于物体到第二个力的中心R的距离的直线到它与轨道切线PG的交点G的距离，因为在该轨道上任意一点P的力与它在相同曲率圆周上的力相等。

命题8　问题3

如果物体沿半圆周PQA运动，试求指向点S的向心力的规律，该点如此遥远，以至于所有指向该点的直线PS，RS，都可看做是平行的。

由半圆中心C作半径CA，与诸平行线正交于M，N点，连接CP，因为三角形CPM，PZT和RZQ相似，则有：

由圆的性质，当P和Q点重合时，PR²＝QR（RN＋QN）＝QR·2PM，所以，CP²:PM²＝QR·2PM:QT²，而且，，所以，（由命题6推论Ⅰ和V）向心力反比于，即（常数不予考虑）反比于PM³。

完毕。

由上述命题也容易推出相同结论。

附注

由类似理由，物体在椭圆上甚至双曲线或抛物线上运动时，所受到的向心力反比于它到位于无限遥远的力的中心的纵向距离的立方。

命题9　问题4

如果物体沿螺旋线PQS运动，以给定角度与所有半径SP，SQ相交，求指向该螺旋线的中心的向心力的规律。

设不定小的角度PSQ为已知，则因为所有的角均已给定，图形SPRQT也就给定。所以，比值也已给定，于是正比于QT（因为图形已给定），即正比于SP，但如果角度PSQ有任何变化，则相切角QPR相对的直线QR（由引理11）将以PR²或QT²的比率变化，所以，比值保持不变，仍是SP，而正比于SP³，所以，（由命题6推论Ⅰ和Ⅴ）向心力反比于距离SP的立方。

完毕。

另一种解法。

作切线的垂线SY，并作与螺旋线共心的圆周的弦PV与螺旋线相交，它与高度SP的比值是给定的。所以SP³正比于SY²·PV，即（由命题6推论Ⅲ和Ⅴ）反比于向心力。

引理12

所有关于给定椭圆或双曲线共轭直径外切的平行四边形都相等。

本书作者已在关于圆锥曲线内容中加以证明。

命题10　问题5

如果物体沿椭圆环行，求指向该椭圆中心的向心力的规律。

设CA，CB是该椭圆的半轴，GP，DK是其共轭直径，PF，QT垂直于共轭直径，Qv是到直径GP的纵坐标。如果作平行四边形QvPR，则（由圆锥曲线性质）Pv·vG:Qv²＝PC²:CD²，又由于三角形QvT，PCF相似，Qv²:QT²＝PC²:PF²，消去。由于QR＝Pv，以及（由引理12）BC·CA＝CD·PF，当点P与Q重合时，2PC＝vG，把外项与中项乘到一起，就得到。所以（由命题6推论Ⅴ）向心力反比于，即（因为2BC²·CA²已给定）反比于，亦即正比于距离PC。

完毕。

另一种解法

在直线PG上点T的另一侧，取点u使Tu等于Tv。再取uV，使uV:vG＝DC²:PC²。根据圆周曲线特性，Qv²:Pv·vG＝DC²:PC²，于是Qv²＝Pv·uV，两边同加Pu·Pv，则弧PQ的弦的平方将等于矩形PV·Pv。所以，与圆锥曲线相切于P点并通过Q点的圆周，也将通过点V，现在令点P与Q会合，则uV与vG的比值，等同于DC²与PC²的比值，将变成PV与PG的比值，或PV与2PC的比值，所以，PV等于，所以，物体PCP在椭圆上受到的力将反比于（由命题6推论Ⅲ），即（因为2DC²·PF²已给PC定）正比于PC。

完毕。

推论Ⅰ．所以，力正比于物体到椭圆中心的距离。反之，如果力正比于距离，则物体沿着中心与力的中心重合的椭圆运动，或沿椭圆蜕变成的圆周轨道运动。

推论Ⅱ．沿中心相同的椭圆轨道的环绕周期均相等，因为相似的椭圆所用时间相等（由命题4推论Ⅲ和Ⅷ）；但对于长轴相同的椭圆，环绕时间之间的比正比于整个椭圆的面积，反比于同一时间掠过的椭圆的面积。即正比于短轴，反比于在长轴顶点的速度，也就是正比于短轴，反比于公共长轴上同一点的纵坐标，所以（因为正反比值相等）比值相等，1:1。

附注

如果椭圆的中心被移到无限远处，它就演变为抛物线，物体将沿该抛物线运动，力将指向无限远处的中心，是一常数，这正是伽利略的定理。如果圆锥曲线由抛物线（通过改变圆锥截面）演变为双曲线，物体将沿双曲线运动，其向心力变为离心力。与圆周或椭圆中的方法相似，如果力指向位于横坐标上的圆形的中心，则这些力随着纵坐标的任意增减，或甚至于改变纵坐标与横坐标的夹角，总是增减其到中心的距离的比率。而运行周期不变。在所有种类图形中，如果纵坐标作任意增减，或它们相对横坐标的倾角改变，周期都将保持相是，而指向位于横坐标上任意处的中心的力随物体到中心距离比率的变化在不同的纵坐标上增减。

第3章

物体在偏心的圆锥曲线上的运动

命题11　问题6

物体沿椭圆运动，求指向椭圆焦点的向心力的规律。

令S为椭圆焦点，作SP与椭圆直径DK相交于E，与纵坐标Qv相交于x；画出平行四边形QxPR，显然EP等于长半轴AC：因为，由椭圆另一焦点H作HI平行于EC，由于CS，CH相等，ES，EI也将相等，所以EP是PS与PI的和的一半，即（因为HI与PR是平行线，角IPR与HPZ相等），PS与PH的和的一半，而PS与PH的和等于整个长轴2AC。作QT垂直于SP，并令L为椭圆的通径（the principal latus rectum）（或），即得到：

以及

由引理7推论Ⅱ，当点P与Q重合时，Qv²＝Qx²，而Qx²或Qv²:QT²＝EP²:PF²＝CA²:PF²，而且（由引理12）＝CD²:CB²。将四个等式中对应项乘到一起并整理简化，得到L·QR:QT²＝AC·L·PC²·CD²:PC·Gv·CD²·CB²＝2PC:Gv，因此AC·L＝2BC²。但当点P与Q重合时，2PC与Gv相等，所以量L·QR与QT²同它们成正比，而且相等。将这些等式两边同乘，则L·SP²将等于，所以（由命题6推论Ⅰ和Ⅴ）向心力反比于L·SP²，即反比于距离SP的平方。

完毕。

另一种解法

因为使物体P沿椭圆运动的指向椭圆中心的力，（由命题10推论Ⅰ）正比于物体到椭圆中心C的距离CP，作CE平行于椭圆切线PR，如果CE与PS相交于E点，则使同一物体P环绕椭圆中一其他任意点S的力，将正比于（由命题7推论Ⅲ），即如果点S是椭圆的焦点，因而PE是常数，将正比于SP²的倒数。

完毕。

我们曾用同样简捷的方式把第五个问题推广到抛物线和双曲线，在此本应也作同样的推广，但由于这个问题的重要性以及在以后的应用，我将用特殊的方法加以证明。

命题12　问题7

设一物体沿双曲线运动，求指向该图形焦点的向心力的定律。

令CA，CB为双曲线的半轴，PG，KD是不同的共轭直径，PF是共轭直径KD的垂线，Qv是相对于共轭直径GP的纵坐标。作SP与直径DK相交于E，与纵坐标Qv相交于x，画出平行四边形QRPx，显然EP等于半横轴AC，因为由双曲线另一焦点H作直线HI平行于EC，由于CS，CH相等，ES，EI也将相等，所以EP是PS与PI的差的一半，即（因为IH与PR平行，角IPR，HPZ相等），PS与PH差的一半，这个差等于轴长2AC，作QT垂直于SP，令L等于双曲线的通径（即等于），即得到

L·QR:L·Pv＝QR:Pv＝Px:Pv＝PE:PC＝AC:PC，和L·Pv:Gv·Pv＝L:Gv，以及Gv:Pv:Qv²＝PC²:CD²。由引理7推论Ⅱ，当P与Q重合时，Qx²＝Qv²，而且，

由引理12，＝CD²:CB²。

四个等式中对应项乘到一起，化简：

L·QR:QT²＝AC·L·PC²·CD²:PC·Gv·CD²·CB²＝2PC:Gv，在此AC·L＝2BC²，但点P与Q重合时，2PC与Gv相等，所以，量L·QR与QT²正比于它们，而且相等，等式两边同乘，得到L·SP²等于，所以（由命题6推论Ⅰ和Ⅴ）向心力反比于L·SP²，即反比于距离SP的平方。

完毕。

另一种解法

求出指向双曲线中心C的力，它正比于距离CP，然而由此（根据命题7推论Ⅲ）指向焦点S的力将正比于，即，由于PE是常数，正比于SP²的倒数。

完毕。

用相同方法可以证明，当物体的向心力变为离心力时，将沿共轭双曲线运动。

引理13

抛物线的隶属于其任何顶点的通径是该顶点到图形焦点距离的四倍。

作者已在论圆锥曲线内容中加以证明。

引理14

由抛物线焦点到其切线的垂线，是焦点到切点的距离，与顶点距离的比例中项。

令AP为抛物线，S是其焦点。A是顶点，P是切点，PO是主轴上的纵坐标，切线PM与主轴相交于M点，SN是由焦点到切点的垂线：连接AN，因为直线MS等于SP，MN等于NP，MA等于AO，直线AN与OP相平行，因而三角形SAN在A的角是直角，并与相等的三角形SNM，SNP相似，所以，PS比SN等于SN比SA。

证毕。

推论Ⅰ．PS²比SN²等于PS比SA。

推论Ⅱ．因为SA是常数，SN²正比于PS变化。

推论Ⅲ．任意切线PM，与由焦点到切线的垂线SN的交点，必落在抛物线顶点的切线AN上。

命题13　问题8

如果物体沿抛物线运动，求指向该图形焦点的向心力的定律。

保留上述引理的图，令P为沿抛物线运动的物体，Q为物体即将到达点。作QR平行于SP，QT垂直于SP，再作Qv平行于切线，与直径PG交于v，与距离SP交于x。因为三角形Pxv，SPM相似，SP与SM是同一三角形的相等边，另一三角形的边Px或QR与Pv也相等，但（因为是圆锥曲线）纵坐标Qv的平方等于由通径与直径小段Pv组成的矩形，即（由引理13）等于矩形4PS·Pv或4PS·QR；当点P与Q重合时，（由引理7推论Ⅱ）Qx＝Qv。所以，在这种情形下，Qx²等于矩形4PS·QR。但（因为三角形QxT，SPN相似），

（由引理14推论Ⅰ）＝4PS·QR:4SA·QR

所以，由（欧几里得《几何原本》第五卷命题9），QT²＝4SA·QR。该等式两边同乘，则将等于SP²·4SA：所以，（由命题6推论Ⅰ和Ⅴ）向心力反比于SP²·4SA，即，由于4SA是常数，反比于距离SP的平方。

完毕。

推论Ⅰ．由上述三个命题可知，如果任意物体P在处所P以任意速度沿任意直线PR运动，同时受到一个反比于由该处所到其中心的向心力的作用，则物体将沿圆锥曲线中的一种运动，曲线的焦点就是力的中心；反之亦然，因为焦点、切点和切线已知，圆锥曲线便决定了，切点的曲率也就给定了，而曲率决定于向心力和给定的物体速度。相同的向心力和相同的速度不可能给出两条相切的轨道。

推论Ⅱ．如果物体在处所P的速度这样给定，使得在无限小的时间间隔里通过小线段PR，而向心力在相同时间里使物体通过空间QR，则物体沿圆锥曲线中的一条运动，其通径在小线段PR，QR无限减小的极限状态下为。在这两个推论中，我把圆周当做椭圆，并排除了物体沿直线到达中心的可能性。

命题14　定理6

如果不同物体环绕公共中心运行，向心力都反比于其到该中心距离的平方，则它们的轨道的通径正比于物体到中心的半径在同一时间里所掠过的面积的平方。

因为（由命题13推动Ⅱ）通径L在点P与Q重合的极限状态下等于量。但小线段QR在给定时间里正比于产生它的向心力，即（由假定条件）反比于SP²。所以正比于QT²·SP²，即通径L正比于面积QT·SP的平方。

证毕。

推论．因此，正比于由其轴长组成的矩形的整个椭圆的面积，正比于其通径的平方根与周期的乘积。因为整个椭圆面积正比于给定时间里掠过的面积QT·SP乘以周期。

命题15　定理7

在相同条件下，椭圆运动的周期正比于其长轴的3/2次方（in ratione sesquiplicata）。

因为短轴是长轴与通径的比例中项，因此，长短轴的乘积等于通径的平方根与长轴的3/2次方的乘积。但两轴的乘积（由命题14推论）正比于通径的平方根与周期的乘积，双边同除以通径的平方根，即得到长轴的3/2次方正比于周期。

证毕。

推论．椭圆运动的周期与直径等于椭圆长轴的圆周运动的周期相等。

命题16　定理8

在相同条件下，通过物体作轨道切线，再由公共焦点作切线的垂线，则物体的速度反比于该垂线而正比于通径的平方根变化。

由焦点S作直线垂直于切线PR，则物体P的速度反比于量的平方根变化。因为速度正比于给定时间间隔内掠过的无限小弧长PQ，即（由引理7）正比于切线PR，也就是（因为有比例式PR:QT＝SP:SY）正比于，或反比于SY，正比于SP·QT，而SP·QT是给定时间里掠过的面积，也就是（由命题14）正比于通径的平方根。

证毕。

推论Ⅰ．通径正比于垂线的平方以及速度的平方变化。

推论Ⅱ．在距焦点最大和最小距离处，物体的速度反比于该距离而正比于通径的平方根，因为那些垂线此时就是距离。

推论Ⅲ．在距焦点最远或最近时，沿圆锥曲线的运动速度与沿以相同距离为半径的圆周的运动速度的比，等于通径的平方根与该距离二倍的平方根的比。

推论Ⅳ．沿椭圆做环绕运动的物体，在其与公共焦点的平均距离上，其速度与以相同距离做圆周运动的物体的速度相同，即（由命题4推论Ⅳ）反比于该距离的平方。因为此时垂线就是半短轴，也是该距离与通径的比例中项。令（诸半短轴的）比值的倒数乘以诸通径的平方根的比，即得到距离比值倒数的平方根。

推论Ⅴ．在同一图形，或甚至在不同图形中，诸通径是相等的，而物体的速度反比于由焦点到切线的垂线。

推论Ⅵ．在抛物线上，速度反比于物体到图形的焦点距离变化率的平方根，相对于该变化率，椭圆速度变化较大，而双曲线变化较小，因为（由引理14推论Ⅱ）由焦点到抛物线切线的垂线正比于距离的平方根。双曲线垂线变化较小，而椭圆的变化较大。

推论Ⅶ．在抛物线中，到焦点为任意距离的物体的速度，与以相同距离沿圆周作环绕运动的物体速度的比，等于数字2的平方根比1。对于椭圆该值较小，而双曲线较大。因为（由本命题推论Ⅱ）在抛物线顶点该速度适于这个比值，而（由本命题推论Ⅳ和命题4）在同一距离上都满足该比值。所以，对于抛物线，物体在其上各处的速度也等于沿以其距离的一半做圆周运动的速度。对于椭圆速度较小，而对于双曲线该速度较大。

推论Ⅷ．沿任何一种圆锥曲线运动的物体，其速度与以其通径的一半做圆周运动物体的速度的比，等于该距离与由焦点到曲线的切线的垂线的比，这可由推论Ⅴ得证。

推论Ⅸ．因而，由于（根据命题4推论Ⅵ）沿这种圆周运动的物体的速度与沿另一任意圆周运动的另一物体的速度比，反比于它们距离之比的平方根，所以，类似地，沿圆锥曲线运动物体的速度与沿以相同距离做圆周运动物体速度的比，是该共同距离以及圆锥曲线通径的一半，与由公共焦点到曲线切线的垂线的比的比例中项。

命题17　问题9

设向心力反比于物体处所到中心的距离的平方，该力的绝对值已知，求物体由给定处所以给定速度沿给定直线方向运动的路径。

令向心力指向点S，使得物体p沿任意给定轨道pq运动；设该物体在处所p的速度已知。然后，设物体P由处所P以给定速度沿直线PR的方向运动，但由于向心力的作用它立即偏离直线进入圆锥曲线PQ，这样，直线PR将与曲线在P点相切。类似地，设直线pr与轨道pq在p点相切。如果设想一垂线由S落向切线，则圆锥曲线的通径（由命题16，推论Ⅰ）与该轨道通径之比，等于它们的垂线之比的平方与速度之比的平方的乘积，因而是给定的。令该通径为L，圆锥曲线的焦点S也已给定。令角RPH为角RPS的补角，另一个焦点位于其上的直线PH位置已定，作SK垂直于PH，并作共轭半轴BC，即得到

两边同加

即有

因此PH的长度和方向都已确定。即，在P处物体的速度如果使得通径L小于2SP＋2KP，则PH将与直线SP位于切线PR的同一侧；所以图形将是椭圆，其焦点S，H，以及主轴SP＋PH都已确定，但如果物体速度较大，使得通径L等于2SP＋2KD，则PH的长度为无限大，所以图形变为抛物线，其轴SH平行于直线PK，因而也得到确定。如果物体在处所P的速度更大，直线PH处于切线的另一侧，使得切线自两个焦点中间穿过，图形将变为双曲线，其主轴等于线段SP与PH的差，也是确定的。因为在这些情形中，如果物体所沿圆锥曲线确定了，命题11，12，13已证明，向心力将反比于物体到力的中心距离的平方，所以，我们就能正确地得出物体在该力作用下自给定处所P以给定速度沿给定直线方向运动所画出的曲线。

完毕。

推论Ⅰ．因此，在每一种圆锥曲线中，由顶点D，通径L和给定的焦点S，即可以通过令DH比DS等于通径比通径与4DS的差来求得另一个焦点H，因为比例式

在本推论情形中变为

推论Ⅱ．所以，如果物体在顶点的速度为已知，则其轨道可以求出。即，令其通径与二倍距离DS的比，等于该给定速度与物体以距离DS做圆周运动的速度的比的平方（由命题16，推论Ⅲ），再令DH比DS等于通径比通径与4DS的差。

推论Ⅲ．如果物体沿任意圆锥曲线运动，并遭某种推斥作用被逐出其轨道，它以后运动所循的新轨道也可以求出。因为把物体原先的正常运动与单由推斥作用产生的运动加以合成，就可得到物体在被逐出点受给定直线方向的推斥作用后产生的运动。

推论Ⅳ．如果该物体连续受到某外力作用的骚扰，则可以通过采集该外力在某些点造成的变化，类推出它在整个序列中的影响，估计它在各点之间的连续作用，近似求出物体的运动。

附注

如果物体P受指向任意点R的向心力作用，沿以C为中心的任意圆锥曲线运动，并满足向心力定律；作CG平行于半径RP，与轨道切线相交于G点，则物体受到的力（根据命题10推论Ⅰ和附注，以及命题7推论Ⅲ）为。

第4章

由已知焦点求椭圆、抛物线和双曲线轨道

引理15

如果由椭圆或双曲线的两个焦点S，H作直线SV，HV相交于任意第三个点V，使HV等于图形的主轴，即等于焦点所在轴，而另一条直线SV被其上的垂线TR在T点等分，则该垂线TR将在某处与该圆锥曲线相切；或者反之，如果它们相切，则HV必等于图形的主轴。

因为，如果必要的话，可使垂线TR与HV相交于R，连接SR。由于TS与TV相等，所以直线SR与VR，以及角TRS与TRV均相等，因而点R在圆锥曲线上，TR将与它在同一点相切；反之亦然。

证毕。

命题18　问题10

由已知的一个焦点和主轴，做出椭圆或双曲线，使之通过给定点并与给定直线相切。

令S为图形的公共焦点；AB为任意圆锥曲线的主轴长度；P为圆锥曲线所应通过的点，TR为它应与之相切的直线。以P为中心，AB－SP为半径，如果轨道是椭圆的话，或者以AB＋SP为半径，如果轨道是双曲线的话，作圆周HG。在切线TR上作垂线ST并延长到V使TV等于ST。再以V为圆心以AB为半径作圆周FH。以此方法，无论是已知两点P与p，或两条切线TR与tr，或一点P与一条切线TR，都可以作两个圆周。令H为其公共交点。以S，H为焦点，由已知主轴作圆锥曲线，问题即得解。因为（椭圆时PH＋SP，双曲线时PH－SP均等于主轴）所作圆锥曲线将通过点P，且（由前述引理）与直线TR相切，由相同方法可使它通过两点P和p，或与两条直线TR和tr相切。

命题19　问题11

由一个已知焦点作抛物线使之通过已知点并与已知直线相切。

令S为焦点，P为给定点，TR为已知直线。以P为圆心，PS为半径作圆周FG，由焦点作切线的垂线ST，并延长到V点，使TV等于ST。用相同方法可作另一个圆fg，如果已知另一个点p；或求出另一个点v，如果另一条直线tr已知；再作直线IF，在已知两点P与p时，可使它与两圆相切；或两切线TR与tr已知时，使之通过两点V与v；或已知点P与切线TR时，使之与圆FG相切并通过点V，在FI上作垂线SI，K为其中点，以SK为主轴，K为顶点做出抛物线，问题即得到解决。因为该抛物线（SK等于IK，SP等于FP）将通过点P，而且（由引理14推论Ⅲ）因为ST等于TV，而角STR是直角，它将与直线TR相切。

完毕。

命题20　问题12

由一个已知焦点，做出通过已知点并与已知直线相切的圆锥曲线。

情形1．由已知焦点求圆锥曲线ABC，使之通过两点B，C。因为圆锥曲线类型已知，其主轴与焦点距离的比值也已知，取KB比BC以及LC比CS等于该值，以B，C为圆心，BK，CL为半径作两个圆；并在与它们相切于K和L的直线KL上作垂线SG；在SG上截取两点A与a，使GA比AS，以及Ga比aS等于KB比BS；再以Aa为轴，A与a为顶点做出圆锥曲线，问题得解。因为令H为所画图形的另一个焦点，由于GA:AS＝Ga:aS，即有Ga－GA:aS－AS＝GA:AS，或者，Aa:SH＝GA:AS，所以GA与AS的比等于所画图形的主轴与焦距的比，所以，所作图形正是所要求的类型。而且，由于KB比BS，以及IC比CS相等，该图形将通过点B，C，这正是圆锥曲线所要求的。

情形2．由焦点S作圆锥曲线，使之与两条直线TR，tr相切。过该焦点作这些切线的垂线ST，St，并延长到V，v，使TV，tv等于TS，tS，在O点等分Vv，并作其不定垂线OH，并与直线VS延长线相交，在VS线上截取K，R，使VK比KS，以及VR比RS等于要画的圆锥曲线的主轴与其焦距的比，以Kk为直线作圆与OH相交于H。以S，H为焦点，VH为主轴作圆锥曲线，问题得解。因为在X等分Kk，连接HX，HS，HV，Hv，由于VK比KS等于Vk比kS；因而求和等于VK＋Kk比KS＋kS，求差等于Vk－VK比kS－KS，即等于2VX比2KX以及2KX比2SX，所以等于VX比HX以及HX比SX，而三角形VXH，HXS相似，所以VH比SH等于VX比XH，所以等于VK比KS，所以，所画圆锥曲线的主轴VH与其焦距SH的比，等于所要求的圆锥曲线的主轴与焦距的比。所以它们类型相同。而且由于VH，vH等于主轴，VS，vS被直线TR，tr垂直等分，显然（由引理15）它们与所画曲线相切。

完毕。

情形3．由焦点S作圆锥曲线，使之在给定点P与直线TR相切。在直线TR上作垂线ST，延长到V使TV等于ST，连接VR，并在直线VS延长线上截取K，k两点，使VK比SK，以及VK比Sk，等于要画的椭圆主轴比其焦距，以Kk为直径作圆周与直线VR相交于H点；再以S，H为焦点，VH为主轴，作圆锥曲线，问题得解。因为VH:SH＝VK:SK，所以等于所要画的圆锥曲线的主轴比其焦距（我已在情形2中证明）；所以所画曲线与所要画的曲线类型相同，而由圆锥曲线特性知，直线TR等分角VRS，与曲线在点R相切。

完毕。

情形4．由焦点S作圆锥曲线APB使之与直线TR相切，并通过切线外任一已知点P，并与以S，h为焦点，以ab为主轴的两锥曲线apb相似。在切线TR上作垂线ST，延长至V点使TV等于ST；作角hsq，shq等于角VSP，SVP，以q为圆心，以其与ab的比等于SP与VS的比的长度为半径作圆周与图形apb交于P点。连接SP，作SH使SH比sh等于SP比sp，并使角PSH等于角psh，角VSH等于角psq。然后再以S，H为焦点，AB等于距离VH为主轴作圆锥曲线，问题得解。因为如果作sv使sv比sp等于sh比sq，角vsp等于角hsq，则角vsh等于角psq，三角形svh与spq相似，所以vh比pq等于sh比sq；即（因为三角形VSP，hsq相似）等于VS比SP，或等于ab比pq。所以vh等于ab，但由于三角形VSH，vsh相似，VH比SH等于vh比sh，即所画曲线的主轴与焦距的比等于主轴ab与焦距sh的比，所以所画图形与图形apb相似，而由于三角形PSH相似于三角形psh，该图形通过点P；又由于VH等于其主轴，VS垂直于直线TR且被TR等分，因而该图形与直线TR相切。

完毕。

引理16

由三个已知点向第四个未知点作三条直线，使其差或为已知，或为零。

情形1．令已知点为A，B，C，而Z是第四个要找出的点，由于直线AZ，BZ的差是给定的，点Z的轨迹将是双曲线，其焦点是A和B，主轴是给定的差，令该主轴为MN，取PM比MA等于MN比AB，作PR垂直于AB，并作PR的垂线ZR；则由双曲线特性知，ZR:AZ＝MN:AB。由类似的理由，点Z的轨迹是另一条双曲线，其焦点是A，C，主轴是AZ与CZ的差，作QS垂直于AC，对QS而言，如果由双曲线上任意一点Z作垂线ZS，则ZS比AZ等于AZ与CZ的差比AC。所以，ZR与ZS对AZ的比值是已知的，因而ZR比ZS的值也是已知的。所以，如果直线PR，SQ相交于T，作TZ和TA，则图形TRZS类型已知，而点Z位于其上的直线TZ位置也就给定。而直线TA与角ATZ也将给定；因为AZ与TZ比ZS的值已给定，它们之间的比也就给定，类似地三角形ATZ也可给定，其顶点是点Z。

证毕。

情形2．如果这三条直线中的两条，如AZ和BZ，是相等的，作直线TZ平分直线AB，再用与上述相同方法找出三角形ATZ。

证毕。

情形3．如果三条直线均相等。点Z将位于通过点A，B，C的圆周的圆心上。

证毕。

本引理中问题在维埃特⁽¹⁾收编的［佩尔吉的］阿波罗尼奥斯⁽²⁾《论切触》（Book of Tactions of Apollonius [of Perga]）中作了类似解决。

命题21　问题13

由一个已知焦点作圆锥曲线使之通过已知点并与已知直线相切。

令焦点S，点P和切线TR均给定，设求另一焦点H。在切线上作垂线ST并延长到Y，使TY等于ST，则YH等于主轴，连接SP，HP，则SP将是HP与主轴的差。用此方法，如果已知更多的切线TR，或已知更多的点P，总可以确定由所说的点Y或P到焦点H的同样多的直线YH或PH，它们中哪一个等于主轴，哪一个是主轴与已知长度SP的差；所以，也就知道它们中哪些是相等的，或具有给定的差，因此（由前述引理），另一个焦点H也就知道了，而已知焦点和轴长（或是YH，或者当为椭圆时，为PH＋SP；或者，当为双曲线时，为PH－SP）时，圆锥曲线给定。

完毕。

附注

当圆锥曲线是双曲线时，上述讨论中不包括共轭双曲线。因为物体沿一条双曲线连续运动时不可能跳跃到它的共轭双曲线轨道上。

已知三点的情形，可作更简捷的解决，令B，C，D为已知点。连接BC，CD，并延长到E，F，使EB比EC等于SB比SC，而FC比FD等于SC比SD，在EF上作垂线SG，BH，并将SG延长至a，使GA比AS以及Ga比aS等于HB比BS：则A为顶点，而Aa为曲线主轴，并由GA大于、等于或小于AS决定是椭圆、抛物线或双曲线。在前一情形中点a与点A同样落于直线GF的同侧；第二种情形里点a位于无限远处；第三种情形点a位于直线GF另一侧。因为如果在GF上作垂线CI，DK，则IC比HB等于EC比EB，即等于SC比SB，作置换调整，IC比SC等于HB比SB，或等于EC比SA，由类似理由可以证明，KD与SD比值相同，所以，点B，C，D位于以S为焦点的圆锥曲线上，并使得由焦点S到曲线上各点的直线，与由同一点到直线GF的垂线的比为已知值。

杰出的几何学家德拉希尔（M．de la Hire）⁽³⁾曾在他的著作《圆锥曲线》第八卷命题25中以几乎相同的方法解决了这一问题。

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(1) Vieta，1504—1603，法国数学家，法文件Francois Viète，他在历史上第一个引入系统的代数符号，并对方程论作了改进。——译者注。

(2) Apollonius，约公元前262—前190，古希腊数学家，是古代科学巨著。圆锥曲线。的作者。——译者注。

(3) M．de la Hire，1640—1718，法国画家、数学家和天文学家。映射几何和解析几何的先驱者之一，其《圆锥曲线》一书发表于1685年。——译者注。

第5章

焦点未知时怎样求轨道

引理17

如果由已知圆锥曲线上任一点P向其任意内接四边形ABDC的四个边AB，CD，AC，DB以已知夹角作同样多的直线PQ，PR，PS，PT，每边对应一条直线，则由位于相对边AB，CD上的矩形PQ·PR与位于另两相对边AC，BD上的矩形PS·PT的比是给定的。

情形1．首先设画向一对对边的直线分别与另两边平行，即PQ和PR与AC边，PS和PT与AB边相平行，而具一对对边，如AC与BD也相互平行。则等分这些平行边的直线是圆锥曲线的一条直径，而且同样等分RQ，令O为RQ的等分点，PO即为该直径上的纵坐标。延长PO到K，使OK等于PO，则OK为该直径在另一侧的纵坐标，因为点A，B，P和K都在圆锥曲线上，而PK以已知角与AB相交，则（由阿波罗尼奥斯的《论圆锥曲线》第三卷，命题17，19，21和23）矩形PQ·QK与矩形AQ·QB的比为给定值，但QK与PR相等，是相等直线OK，OP与OQ，QR的差，所以矩形PQ·QK与PQ·PR相等，所以，矩形PQ·PR与矩形AQ·QB的比，即与矩形PS·PT的比，是给定的。

证毕。

情形2．再设四边形相对边AC与BD不平行，作Bd平行于AC，与圆锥曲线相交于d，与直线ST相交于t。连接Cd与PQ交于r，作DM平行PQ与Cd交于M，与AB交于N，则（因为三角BTt与DBN相似）Bt或PQ:Tt＝DN:NG。同样Rr:AQ或PS＝DM:AN。所以，前项乘以前项，后项乘以后项，则矩形PQ·Rr比矩形PS·Tt等于矩形DN·DM比矩形NA·NB；同样（由情形1）运用除法，则矩形PQ·Pr比矩形PS·Pt等于矩形PQ·PR比PS·PT。

证毕。

情形3．最后设四条线PQ，PR，PS，PT不平行于边AC，AB，而是任意相交的。作Pq，Pr平行于AC，Ps，Pt平行于AB。因为三角形PQq，PRr，PSs，PTt的角是给定的，则PQ比Pq，PR比Pr，PS比Ps，PT比Pt的值也是给定的，所以，复合比PQ·PR比Pq·Pr以及PS·PT比Ps·Pt是给定的，但由前面已证明的，Pq·Pr比Ps·Pt为已知，所以PQ·PR比PS·PT也为已知。

证毕。

引理18

在相同条件下，如果作向四边形二条对边的直线的乘积PQ·PR比作向另两对边的直线的乘积PS·PT的值为已知，则点P位于围成该四边形的圆锥曲线上。

设圆锥曲线通过点A，B，C，D，以及无限多个点P中的一个，例如是P：则点P总是位于该曲线之上。如果否认这一点，连接AP与该圆锥曲线相交于P以外的一点比如b。所以，如果由点p和b以给定角度向四边形的边作直线pq，pr，ps，pt和bk，bn，bf，bd，则（由引理17）bk·bn比bf·bd等于pq·pr比ps·pt，而且等于（由假定条件）PQ·PR比PS·PT。因为四边形bkAf，PQAS相似，所以bk比bf等于PQ比PS。将此比例式对应项除前一比式，得到bn比bd等于PR比PT。所以，等角四边形Dnbd与DRPT相似，它们的对角线Db，DP重合，b落在直线AP与DP的交点上，因而与点P重合。所以，不论如何选取P，它总落在给定的圆锥曲线上。

证毕。

推论．如果由公共点P向三条已知直线AB，CD，AC作同样多的直线PQ，PR，PS，并一一对应，而且相应夹角也是已知的，其中任意两条的乘积PQ·PR与第三条PS的平方的比也是已知的，则引出直线的点P将位于与直线AB，CD相切于A和C的圆锥曲线上。反之亦然，因为三条直线AB，CD，AC的位置不变，令直线BD向AC趋近并与之重合，同样再令直线PT与PS重合，则乘积PT·PS变为PS²，原先与曲线相交于点A，B，C，D的直线AB，CD不再与之相交，而只是相切于曲线上相重合的点。

附注

本引理中，圆锥曲线的概念应作广义理解，经过锥体顶点的直线截面与平行于锥体底面的圆周截面都包括在内。因为如果点P处在连接A与D或C与B点的直线上，圆锥曲线就变成两条直线，其中一条就是点P所在的直线，另一条连接着四个点中的另外两个。如果四边形的相对角合起来等于两个直角，四条直线PQ，PR，PS，PT因而以直角或其他相等角引向四条边，而且矩形PQ·PR等于矩形PS·PT，则圆锥曲线变为圆。如果四条直线以任意角度画成，乘积PQ·PR比乘积PS·PT等于后两条直线PS，PT与其对应边夹角S，T的正弦的乘积比前两条直线PQ，PR与其对应边夹角Q，R的正弦的乘积，则圆锥曲线也是圆。在所有其他情形中，点P的轨迹是通常称之为圆锥曲线的三种曲线中的一种。也可以不用四边形ABCD，而代之以一种对边像对角线那样交叉的四边形。四个点A，B，C，D中的一个或两个也可以移到无限远距离处，这意味着四边形的边收敛于该点，成为平行线，在此情形下，圆锥曲线将通过余下的点，并在同一方向上以抛物线形式伸向无限远。

引理19

求出点P，使由它向已知直线AB，CD，AC，BD以已知角度做出的同样多的一一对应直线PQ，PR，PS，PT中的任意两条的乘积PQ·PR与另两条的乘积PS·PT的比值为给定值。

设引向已知直线AB，CD的二条直线PQ，PR包含上述乘积之一，并与另两条已知直线相交于A，B，C，D点，由这些点中的一个，设为A，作任意直线AH，使点P位于其上，令该直线与已知直线BD，CD相交于H和I；而且由于图形的所有角度都是已知的，PQ比PA，以及PA比PS，进而PQ比PS都是已知的。以该比值除给定比值PQ·PR比PS·PT，得到比值PR比PT，再乘以给定比值PI比PR，和PT比PH，即得到PI比PH的值，以及点P。

推论Ⅰ．由此可以在点P的轨迹上任意一点D作切线。在AH通过点D处，点P与D相遇，弦PD变成切线。在此情形中，趋于零的线段IP与PH的比的最后值可由上述推导求出，所以，作CF平行于AD，与BD相交于F，并以该最后比值截取E点，则DE即为所求切线；因为CF与趋于零的线段IH平行，并以相同比例在E和P截开。

推论Ⅱ．也可以求出所有点P的轨迹。通过点A，B，C，D中的一个，设为A作AE与轨迹相切，通过另一点B作平行于该切线的直线BF与轨迹交于F，并由本引理求出点F。在G点等分BF，作直线AG，它就是直径所在位置，BG与FG是其纵坐标，令AG与轨迹相交于H，则AH为直径或横向通径，而通径与它的比等于BG²比AG·GH。如果AG不与轨迹相交，AH为无限，则轨迹为抛物线；其对应于直线AG的通径为。但它如果与轨迹相交于某处，则轨迹为双曲线，此时点A与H位于点G的同一侧；对于椭圆，则点G位于点A与H之间；如果这时角AGB是直角，同时BG²等于乘积GA·GH，则这种情形下轨迹为圆。

这样，我们在此推论中对始自欧几里得，继之阿波罗尼奥斯所研究的著名四线问题给出解答，在此不用分析计算，而用几何作图，正是古人所要求的。

引理20

如果任意平行四边形ASPQ的相对角的顶点A与P与圆锥曲线相遇，这两个角的一条边AQ，AS的延长线与圆锥曲线在B，C相遇，再由B和C向圆锥曲线上第五个点D作两条直线BD，CD并延长与平行四边形的边PS，PQ相交于T和R；则由平行四边形边上截下的部分PR与PT的比为给定值；反之，如果截下的部分相互间有给定比值，则点D为通过点A，B，C，P的圆锥曲线上的点。

情形1．连接BP，CP，由点D作两条直线DG，DE，使DG平行于AB，并与PB，PQ，CA相交于H，I，G；另一条直线DE平行于AC，与PC，PS，AB相交于F，K，E，则（由引理17）乘积DE·DF与DG·DH的比为给定值。但PQ比DE（或IQ）等于PB比HB，因而等于PT比DH；整理得，PQ比PT等于DE比DH。类似地，PR比DF等于RC比DC，所以等于（IG或）PS比DG，调整得PR比PS等于DF比DG；将两组比式相乘，得到乘积PQ·PR比乘积PS·PT等于乘积DE·DF比乘积DG·DH，为给定值，而PQ与PS为已知，所以PR与PT的比值也就给定。

证毕。

情形2．如果PR与PT相互间比值给定，则由相似理由倒推回去，即得到乘积DE·DF比乘积DG·DH为给定值，因此点D（由引理18）位于通过点A，B，C，P的圆锥曲线上。

证毕。

推论Ⅰ．如果作BC与PQ相交于r，在PT上取t，使Pt比Pr等于PT比PR；则Bt将在B点与圆锥曲线相切。因为设点D与点B合并，使得弦BD消失，BT即成为切线，而CD和BT将与CB和Bt重合。

推论Ⅱ．反之，如果Bt是切线，直线BD，CD在曲线上任一点D上相遇，则PR比PT等于Pr比Pt。而反过来，如果PR比PT等于Pr比Pt，则BD与CD相遇于曲线上某点D。

推论Ⅲ．一条圆锥曲线与另一条圆锥曲线的交点不可能超过四个。因为，如果这是可能的，令两条圆锥曲线通过五个点A，B，C，P，O；令直线BD与两曲线相交于D和d，直线Cd与直线PQ相交于q。所以PR比PT等于Pq比PT：因而PR与Pq相等，与命题冲突。

引理21

如果两条能动且不确定的直线BM，CM通过给定点B，C并以其为极点，由两直线的交点M引第三条位置已知的直线MN，再作另两条不确定直线BD，CD，与前两条直线在给定点B，C形成给定角MBD，MCD：则直线BD，CD的交点D将画出圆锥曲线并通过点B，C。反之，如果直线BD，CD的交点D画出圆锥曲线并通过点B，C，A，而且角DBM总是等于已知角ABC，而且角DCM总是等于给定角ACB，则点M的轨迹是一条位置已定的直线。

在直线MN上给定一点N，当可动点M落到不动点N上时，令可动点D落到不动点P上。连接CN，BN，CP，BP，由点P作直线PT，PR与BD，CD相交于T和R，并使角BPT等于给定角BNM，角CPR等于给定角CNM。因为（由设定条件）角MBD，NBP相等，角MCD，NCP也相等，移去公共角NBD和NCD，则余下的角NBM与PBT，以及NCM与PCR相等；所以三角形NBM，PBT相似，三角形NCM，PCR也相似。所以，PT比NM等于PB比NB；PR与NM等于PC比NC。而点B，C，N，P是不可移动的，所以PT和PR与NM的比是给定的，因而这两个比之间也有给定比值；所以，（由引理20）点D随可动直线BT和CR连续运动，处于通过点B，C，P的圆锥曲线上。

证毕。

反之，如果可动点处于通过点B，C，A的圆锥曲线上，角DBM总是等于给定角ABC，角DCM总是等于给定角ACB，当点D相继落到圆锥曲线上任意两个不动点p，P上时，可动点M也相继落入不动点n，N。通过点n，N作直线nN：则该直线nN为点M的连续轨迹。因为，如果可能的话，令点M位于任意曲线上，因而点D将处于通过五点B，C，A，p，P的圆锥曲线上，同时点M持续处于一条曲线上。但由前面所证明的，点D也在通过五个相同点B，C，A，p，P的圆锥曲线上，同时点M保持在一条直线上，所以两条圆锥曲线通过五个相同点，与命题20推论Ⅲ相悖。所以，点M处于一条曲线上的假设是不合理的。

证毕。

命题22　问题14

作一条圆锥曲线使之通过五个给定点。

令五个给定点为A，B，C，P，D。由它们中的任意一个，比如A，到另外任意两点如B，C，它们可称之为极点，作直线AB，AC，再通过第四个点P作直线TPS，PRQ平行于上述两直线。再由两个极点B，C，作通过第五个点D的两条不确直线BDT，CRD，与上述两条直线TPS，PRQ（前者与前者，后者与后者）相交于T，R。再作直线tr平行于TR，在直线PT，PR上截取正比于PT，PR的部分Pt，Pr；如果通过其端点t，r，以及极点B，C作直线Bt，Cr，并相交于d，则点d即在所求圆锥曲线上，因为（由引理20）该点d处于通过四点A，B，C，P的圆锥曲线上；当线段Rr，Tt趋于零时，点d与点D重合，所以圆锥曲线通过五个点A，B，C，P，D。

证毕。

另一种解法

将已知点中三个例如A，B，C连接，并以其中两个点B，C为极点，使具有给定大小的角ABC，ACB旋转，先令边BA，CA移至点D，然后移至点P，在这两种情形中，另两个边BL，CL分别相交于点M，N。作不定直线MN，令两个可转动角绕极点B，C转动，由此边BL，CL或BM，CM产生的相交点设为m，它将永远处于不定直线MN上；而边BA，CA，或BD，CD的交点，现设为d，将画出所需的圆锥曲线PADdB，因为（由引理21）点d在通过点B，C的圆锥曲线上，当点m与点L，M，N重合时，点d（见图）将与点A，D，P重合。所以，由此将画出通过五个点A，B，C，P，D的圆锥曲线。

推论Ⅰ．由此容易画出一直线使之在给定点B与圆锥曲线相切，令点d与点B重合，则Bd即成为所要求的切线。

推论Ⅱ．由此可以像在引理19推论中那样求出圆锥曲线的中心、直径和通径。

附注

上述作图中的前一种可以加以简化，连接B，P，并在该直线上，如果必要的话，在其延长线上，取Bp比BP等于PR比PT；通过点p作不定直线pe平行于SPT，并使pe永远等于Pr；作直线Be，Cr相交于d。因为Pr比Pt，PR比PT，pB比PB，pe比Pt都是相同比值，pe与Pr永远相等。沿用此方法圆锥曲线上的点最容易找出，除非采用第二种作图法机械地描绘曲线。

命题23　问题15

作圆锥曲线通过四个给定点，并与给定直线相切。

情形1．设HB为已知切线，B为切点，C，D，P为另三个已知点。连接BC，作PS平行于BH，PQ平行于BC；画出平行四边形BSPQ，作BD与SP相交于T，CD与PQ相交于R。最后，作任意直线tr平行于TR，分别从PQ，PS分割出Pr，Pt正比于PR，PT，作Cr，Bt，它们的交点d（由引理20）总是落在所要画的圆锥曲线上。

另一种解法

令大小给定的角CBH绕极点B旋转，并使直线半径DC绕极点C旋转并向两边延长，角的一边BC与半径相交于点M，N，同时另一边与相同半径交于点P和D，再作不定直线MN，使半径CP或CD与角的BC边在该直线上保持相交，则角的另一边BH与半径的交点将描出所需的曲线。

因为，如果在前述问题的作图中，点A与点B重合，直线CA与CB也将重合，则直线AB的最后位置就是切线BH；所以，前述作图即与本问题作图相同。所以，BH边与半径的交点所画出的圆锥曲线将通过点C，D，P，并在B点与直线BH相切。

完毕。

情形2．设已知四点B，C，D，P均不在切线HI上。由相交于G的直线BD，CP各连接两个已知点，并与切线相交于H和I，在A分割切线，使得HA比IA等于CG和GP的比例中项与BH和HD的比例中项的乘积，再比GD和GB的比例中项与PI和IC的比例中项的乘积，则A就是切点。因为，如果平行于直线PI的HX与曲线相交于任意点X和Y，则点A（由圆锥曲线特性）将使得HA²比AI²的值等于乘积HX·HY比乘积BH·HD，或乘积CG·GP比乘积DG·GB；再乘以乘积BH·HD比乘积PI·IC。而在切点A找到之后，曲线即可以由第一种情形做出。

不过点A既可以在点H与I之间，也可以在其外，由此可画出两种曲线。

命题24　问题16

画一条圆锥曲线，使它通过三个已知点，并与两条已知直线相切。

设HI，KL为已知切线，B，C，D为已知点。通过已知点中的任意两个，设为B，D，作不确定直线BD与两条切线相交于点H，K，再用类似方法通过另外两点C，D作直线CD与两切线相交于I，L，将所画的直线相交于R，S，使得HR比KR等于BH和HD的比例中项比BK和KD的比例中项，IS比LS等于CI和ID的比例中项比CL和LD的比例中项，不过，交点在K和H，以及I和L之间或之外可以随意选定。然后作RS与两切线相交于A和P，则A与P就是切点。因为，如果在切线上任何其他位置上的A与P是切点，通过点H，I，K，L中的任意一个，设为任一条切线HI上的I，作直线IY平行于另一条切线KL，并与曲线相交于X和Y，在该直线上使IZ等于IX和IY的比例中项，则乘积XI·IY或IZ²（由圆锥曲线性质）比LP²将等于乘积CI·ID比乘积CL·LD；即（如图）等于SI比SL²。所以，IZ:LP＝SI:SL。所以，点S，P，Z在同一条直线上。而且，由于两切线相交于G，则乘积XI·IY或IZ²（由圆锥曲线性质）比IA²等于GP²比GA²，所以IZ:IA＝GP:GA。因而点Z，P，A在一条直线上，所以，点S，P，A也在一条直线上，由相同理由可以证明R，P，A也在一条直线上。因而切点A与P在直线RS上，而在找到这些点后，曲线即可以画出，与前述问题第一种情形相同。

完毕。

在本命题，以及前一命题情形2中，作图法相同，无论直线XY是否与曲线相交于X，Y。相交与否与作图无关。但已证明的作图是采用该直线与曲线相交的假设的，不相交的作图也就证明了。所以，出于简捷的考虑，我省略了详细的证明。

引理22

将图形变换为同种类的另一个图形。

设任意图形HGI需要加以变换。随意作两条平行线AO，BL与任意给定的第三条直线AB相交于A和B，并由图形中任意点G作任意直线GD平行于OA，并延长直线AB，然后由任意直线OA上的给定点O向点D作直线OD，与BL相交于d；由该交点作直线dg与直线BL成任意给定夹角，并使dg比Od等于DG比OD；则g是新图形hgi中对应于G的点。由类似方法可使第一个图形中若干点给出在图形中同样多的对应点，所以，如果设想点G以连续运动通过第一个图形中的所有点，则点g将相似地以连续运动通过新图形中所有的点，画出相同的图形，为了加以区别，我们称DG为原纵坐标，dg为新纵坐标，AD为原横坐标，ad为新横坐标，O为极点，OD为分割半径，OA为原纵半径，Oa（由它使平行四边形OABa得以完成）为新纵半径。

如果点G在给定直线上，则点g也将在一给定直线上，如果点G在一圆锥直线上，则点g也在一圆锥直线上，在此，我把圆也当做圆锥曲线中的一种。而且，如果点G在一条三次曲线上，点g也将在三次曲线上，对于更高次的曲线也是如此，点G与g所在的曲线其次数总是相同，因为ad:OA＝Od:OD＝dg:DG＝AB:AD；所以，AD等于，而DG等于。现在，如果点G在直线上，则在任何表示横坐标AD与纵坐标GD的关系的方程中，未确定的曲线AD和DG不会高于一次；在此方程中以代替AD，以代替DG，则得到的表示新横坐标ad和新纵坐标dg关系的方程也只是一次的，所以它只表示一条直线；但如果AD与DG（或它们中的一个）在原方程中升为二次方，则ad与dg在第二个方程中也类似地升到二次方。对于三次或更高次方也是如此。ad与dg在第二个方程中，以及AD与DG在原方程中所要确定的曲线其次数总是相同的，因而点G，g所在曲线的解析次数总是相同。

而且，如果任意直线与一个图形中的曲线相切，则同一直线以与曲线相同的方式移至新图形中也与新图形中的曲线相切；反之亦然。因为，如果原图形曲线上的任意两点相互趋近并重合，则相同的点变换到新图形中也将相互趋近并重合，所以，两个图形中哪些点构成的直线将变成曲线的切线。我本应用更几何的形式对此加以证明，但在此从简了。

所以，如果要将一个直线图形变换成另一个，只需要将原图形中包含的直线的交点加以变换，在新图形中通过已变换的交点作直线。但如果要变换曲线图形，则必须运用确定该曲线的方法，变换若干点、切线和其他直线。本引理可用于解决更困难的问题；因为由此我们可以把复杂的图形变换为较简单的。这样，把原纵坐标半径以通过收敛直线的交点的直线来代替，可以将收敛到一点的任意直线变换为平行线，因为这样使它们的交点落在无限远处；而平行线正是趋向于无限远处的一点的。在新图形的问题解决之后，如果运用相反的操作把新图形变换为原图形，就会得到所需要的解。

本引理还可用于解决立体问题。因为通常需要解决两条圆锥曲线相交的问题，它们中的任何一条，如果是双曲线或抛物线的话，都变换成椭圆，而该椭圆又很容易变换为圆。在平面构图问题中也是如此，直线与圆锥曲线可以变换为直线与圆。

命题25　问题17

作一圆锥曲线，使它通过两个已知点，并与三条已知直线相切。

通过任意两条切线的交点，以及第三条切线与通过两个已知点的直线的交点，作一条不确定直线，将此直线作为原纵坐标半径，运用前述引理把图形变换为新图形。在此图形中原先的两条切线变为相互平行，而第三条切线与通过两已知点的直线相互平行。设hi，kl为那两条平行的切线，ik为第三条切线，hl为与之相平行的通过两点a，b的直线，在新图形中圆锥曲线应通过两点，作平行四边形hikl，令直线hi，ik，kl相交于c，d，e，并使hc比乘积ahb的平方根，ic比id，以及ke比kd，等于直线hi与ki的和，比三条直线的和，第一条是直线ik，另两条是乘积ahb与alb的平方根；则c，d，e为切点。因为，由圆锥曲线的性质，

所以，

所以，由该给定比值可得到新图形中的切点c，d，e。运用前一引理的相反操作，将这些点变换到原图形中，由问题14即可画出所需圆锥曲线。

完毕。

不过，根据点a，b落在点h，l之间，或是在它们之外，点c，d，e相应地也落在点h，i，k，l之间或之外。如果a，b中的一个落在点h，l之间，而另一个在点h，l之外，则问题不可能求解。

命题26　问题18

作一圆锥曲线，使它通过一个已知点，并与四条已知直线相切。

由任意两条切线的交点到另两条切线的交点作一条不确定直线；并以此直线为原纵坐标半径，把图形（由引理22）变换为新图形，则两对在原纵坐标半径中相交的切线现在变为相互平行，令hi和kl，ik和hl为这两对平行线，作平行四边形hikl。令P为新图形中对应于原图形中已知点的点。通过图形中心O作pq:使Oq等于Op，q为在新图形中圆锥曲线必定要通过的另一个点。运用引理22的相反操作，将此点变换到原图形中，我们就得到圆锥曲线要通过的两个点。而由命题17，通过这两个点可以做出所要画的圆锥曲线。

引理23

如果两条已知直线AC，BD以已知点A，B为端点，相互间有给定比值，而连接不定点C，D的直线在K处以一给定比值分割，则点K在一给定直线上。

令直线AC，BD相交于E，在BE上取BG比AE等于BD比AC，令FD总是等于给定直线EG；则在图上，EC比GD，即比EF，等于AC比BD，所以是给定比值，所以三角形EFC形状已知。令CF在L处分割使CL比CF等于CK比CD，由于这是个已知比值，所以三角形EFL形状也为已知，因而点L在已知直线EL上，连接LK，三角形CLK，CFD相似，因为FD是已知直线，LK比FD为已知，所以LK就给定了，令EH等于LK，则ELKH总是平行四边形，所以点K总是在该平行四边形的已知边HK上。

证毕。

推论：因为图形EFLC形状已定，三条直线EF，EL和EC，也就是GD，HK和EC相互间有给定比值。

引理24

如果三条直线与一任意圆锥曲线相切，其两条直线相互平行且位置已知，则该圆锥曲线上与平行直线相平行的半径是由二平行线切点到它们被第三条切线截取的线段的比例中项。

令AF，GB为两条平行直线，与圆锥曲线ADB相切于A和B，EF为第三条直线与圆锥曲线相切于I，并与前两条切线相交于F和G，令CD为图形上平行于前两条切线的半径：则AF，CD，BG呈连续比例关系，因为，如果共轭直径AB，DM与切线FG相交于E和H，二直径相交于C，作平行四边形IKCL；由圆锥曲线性质，

所以，

或者

所以，

或者

所以，因为三角形EAF，ELI，ECH，EBG相似，

类似地，由圆锥曲线性质，

在最后二比例式中对应项相乘并化简，

证毕。

推论Ⅰ．如果两切线FG，PQ相交于O，且与两平行切线AF，BG相交于F和G，以及P和Q，则把本引理应用到EG和PQ上，

所以，

而且

或者

以及

推论Ⅱ．而且，通过点P和G以及F和Q的直线PG，FQ将与通过图形中心以及切点A，B的直线ACB相交。

引理25

如果一平行四边形的四个边与任意一条圆锥曲线相切，并且其延长线与第五条切线相交，则对于平行四边形对角上的两个相邻的边上被截取的两段，其一段与截开它的边的比等于相邻的边上切点到第三条边之间的部分比另一段。

令平行四边形MLIK的四条边ML，IK，KL，MI与圆锥曲线相交于A，B，C，D，令第五条切线FQ与这些边相交于F，Q，H和E，取两边MI，KI上的二段ME，KQ，或边KL，ML上的二段KH，MF，则

以及

因为，由前述引理推论Ⅰ，

用加法，

证毕。

而且，KH:HL＝BK或AM:AF，

用减法，

证毕。

推论Ⅰ．如果包含给定圆锥曲线的平行四边形为已知，则乘积KQ·ME以及与之相等的乘积KH·MF也就给定了。因为三角形KQH，MFE相似，因而这些乘积相等。

推论Ⅱ．如果作第六条切线ep与切线KI，MI相交于q和e，则乘积KQ·ME等于乘积Kq·Me，而且

再由减法，

推论Ⅲ．如果作Eq，eQ并进行二等分，再通过两个等分点作直线，则该直线将通过圆锥曲线中心，因为Qq:Ee＝KQ:Me，同一直线将通过所有直线Eq，eQ，MK的中点（由引理23），而直线MK的中点就是曲线的中心。

命题27　问题19

作一条圆锥曲线与五条已知直线相切。

设ABG，BCF，GCD，FDE，EA为位置已定的切线。在M，N平分由其任意四条切线组成的四边形ABFE的对角线AF，BE；（由引理25推论Ⅲ）通过等分点所作的直线MN将通过圆锥曲线中心，再在P和Q等分由另外任意四条切线组成的四边形BGDF的对角线（如果可以这样称它们的话）BD，GF，则通过等分点的直线PQ也将通过圆锥曲线中心；所以该中心在二条等分点连线的交点上，设为O，平行于任一切线BC作KL，使中心O正好位于两切线的中间，则KL将与要画的圆锥曲线相切，令该切线与另外两个任意切线GCD，FDE相交于L和K，不平行的切线CL，FK与平行切线CF，KL相交于点C和K，F和L，作直线CK，FL相交于R，再作直线OR并延长，与平行切线CF，KL在切点相交，这可以由引理24推论Ⅱ证明。用相同的方法可以找到其他切点，再由问题14做出圆锥曲线。

完毕。

附注

以上诸命题中也包含已知圆锥曲线的中心或渐近线的问题。因为当已知点、切线和中心时，也就知道了在中心另一侧相同距离处同样多的点和切线，渐近线可以看做是切线，其在无限远处的极点（如果可以这样称它的话）就是一个切点。设想一条切线的切点向无限远处移动，则切线最终变为渐近线，而上述问题中的作图就成了已知渐近线问题的作图了。

做出圆锥曲线后，可以这样找出它们的轴和焦点。在引理21的构图中，令其交点画出圆锥曲线的动角PBN，PCN的边BP，CP相互平行，并在图形中保持这样的位置使它们绕其极点B，C转动，同时过这二个角的另外二个边CN，BN的交点K或R画出圆BKGC。令O为该圆的中心。由该中心向在画圆锥曲线时使边CN，BN，保持交会的平行线MN作垂线OH并与圆相交于K和L。当另两个边CK，BK在与平行线MN距离最近的点K相交时，先前的两个边CP，BP将平行于长轴，垂直于短轴；如果这些边相交于最远点L，则发生相反情况。所以，当圆锥曲线的中心给定时，其轴也就给定，而它们已知时，其焦点也就易于求得了。

两个轴的平方的比等于KH比LH，因而容易通过四个给定点作已知类型的圆锥曲线，因为如果给定点中的两个是极点B，C，第三个将给出动角PCK和PBK；而已知这些，可做出圆BGKC。然后，因为圆锥曲线类型已定，OH比OK的值，因而OH本身也就给定。关于O以间隔OH为半径作另一个圆，而通过边CK，BK的交点与该圆相切的直线，在先前的边CP，BP相交于第四个已知点时，即变成平行线MN，由它即可画出圆锥曲线。此外，还可以作一个已知圆锥曲线的内接四边形（少数不可能的情形除外）。

还有些引理，通过已知点，相切于已知直线，可做出已知类型的圆锥曲线，其类型是，如果通过一已知点的直线位置已定，它将与给定圆锥曲线相交于两点，将这两点间距离二等分，则等分点将与另一个类型相同的圆锥曲线相切，且其轴平行于前一图形的轴。不过，我急于讨论更有用的事情。

引理26

三角形的类型和大小均给定，将其三个角分别对应于同样多的相互不平行的已知直线，使每个角与一条直线相接触。

三条不定直线AB，AC，BC位置已定，现在要求这样安置三角形DEF，使角D与直线AB相接触，角E与直线AC相接触，而角F与直线BC相接触，在DE，DF和EF上作三段圆弧DRE，DGF，EMF，其张角分别等于BAC，ABC，ACB。而这些圆弧这样面对直线DE，DF，EF，使字母DRED的转动顺序与字母BACB相同，字母DGFD的顺序与ABCA相同，而字母EMFE的顺序与字母ACBA相同；然后将这些圆弧拼成整圆，令前两个圆相交于G，并设它们的中心为P和Q，连接GP，PQ，使

以G为中心，间隔Ga为半径，画一个圆与第一个圆DGE相交于a，连接aD与第二个圆DFG相交于b，再作aE与第三个圆EMF相交于c，作图形ABCdef与图形abcDEF相似而且相等，则问题得解。

因为，作FC与aD相交于n，连接aG，bG，QG，QD，PD，并画出角EaD等于角CAB，角acF等于角ACB；所以三角形anc与三角形ABC等角，因而角anc或FnC等于角ABC，进而等于角FbD；所以点n落在点b上。而且，圆心角GPD的半角GPQ等于圆周角GaD，而圆心角GQD的半角GQP等于圆周角GbD的补角，因而等于角Gba。由此，三角形GPQ与Gab相似，而且

由图中可知，

因而ab与AB相等；至此我们证明了三角形abc，ABC不仅相似，而且相等，所以，由于三角形DEF的角D，E，F分别与三角abc的边ab，ac，bc相切，做出图形ABCdef相似且相等于图形abcDEF，则问题得解。

证毕。

推论．因此，可以做出一条直线，其给定长度的部分介于三条位置已定的直线之间。设有三角形DEF，其点D向边EF趋近，随着边DE，DF变成一条直线，三角形本身也变成一条直线，其给定部分DE介于位置已定的直线AB，AC之间，而其给定部分DF介于位置已定的直线AB，BC之间；然后把上述作图法用于本情形，问题得解。

命题28　问题20

作一类型和大小均已知的圆锥曲线，使其给定部分介于位置已定的三条直线之间。

设一条圆锥曲线可以画成相似且相等于曲线DEF，并可以被三条位置已定的直线AB，AC，BC分割为与该曲线的给定部分相似且相等的部分DE和EF。

作直线DE，EF，DF；将三角形DEF的角D，E，F与位置已定的直线相接触（由引理26）。再关于三角形画出圆锥曲线，使其与曲线DEF相似而且相等。

完毕。

引理27

作一类型已定的四边形，使其角分别与四条既不相互平行，又不向一公共点收敛的直线相接触。

令四条直线ABC，AD，BD，CE位置已定；第一条直线与第二条相交于A，与第三条相交于B，与第四条相交于C；设所要画的四边形fghi与四边形FGHI相似，其角f等于给定角F，与直线ABC相接触；其他的角g，h，i等于其他给定角G，H，I，分别与其他直线AD，BD，CE相接触。连接FH，并在FG，FH，FI上作同样多的圆弧FSG，FTH，FVI，其中第一个FSG张角等于角BAD，第二个FTH张角等于角CBD，第三个FVI张角等于角ACE。而这些圆弧这样面对直线FG，FH，FI，使字母FSGF的圆顺序与字母BADB相同，字母FTHF的旋转顺序与字母CBDC相同，而字母FVIF的顺序与字母ACEA相同。把这些圆弧拼成整圆，令P为第一个圆FSG的中心，Q为第二个圆FTH的中心，连接PQ并向两边延长，取QR使得QR:PQ＝BC:AB。而QR指向点Q的一侧，使得字母P，Q，R的顺序与字母A，B，C的相同；再以R为中心，RF为半径作第四个圆FNc与第三个圆FVI相交于c。连接Fc与第一个圆交于a，与第二个圆交于b。作aG，bH，cI，令图形ABCfghi相似于图形abcFGHI；则四边形fghi即是所要画的图形。

因为，令前两个圆相交于K，连接PK，QK，RK，aK，bK，cK，并把QP延长到L。圆周角FaK，FbK，FcK是圆心角FpK，FQK，FRK的一半，所以等于这些角的半角LPK，LQK，LRK。所以图形PQRK与图形abck等角且相似，因而ab比bc等于PQ比QR，即等于AB:BC。而由作图知，角fAg，fBh，fCi等于角FaG，FbH，FcI，所以，画出的图形ABCfghi将相似于图形abcFGHI，此后，画出的四边形fghi将相似于四边形FGHI，而且其角f，g，h，i与直线ABC，AD，BD，CE相接触。

证毕。

推论．可以作一条直线，其各部分以给定顺序介于四条给定直线之间，而且相互间呈已知比。令角FGH，GHI增大，使得直线FG，GH，HI成为同一条直线；根据本情形中问题的作图，可画出直线fghi，其各部分fg，gh，hi介于四条位置已定的直线之间，AB与AD，AD与BD，BD与CE，而且其相互间的比与直线FG，GH，HI间同样顺序的比相等。不过，这件事可以用更容易的方法来做：

把AB延长到K，BD延长到L，使BK比AB等于HI比GH；DL与BD等于GI比FG；连接KL与直线CE相交于i。把iL延长到M，使LM比iL等于GH比HI，再作MQ平行于LB，与直线AD相交于g，连接gi与AB，BD相交于f，h则问题得解。

因为，令Mg与直线AB相交于Q，AD与KL相交于S，作直线AP平行于BD并与iL相交于P，则gM比Lh（gi比hi，Mi比Li，GI比HI，AK比BK）与AP比BL比值相同，在R分割DL，使DL比RL取同一比值；因为gS比gM，AS比AP，以及DS比DL相等，所以，等于gS比Lh，AS比BL，DS比RL；相互混合，BL－RL比Lh－BL，等于AS－DS比gS－AS。即，BR比Bh等于AD比Ag，所以等于BD比gQ。或者，BR比BD等于Bh比gQ，或等于fh比fg。而由作图知，直线BL在D和R被分割的比值与直线FI在G和H被分割相同，所以BR比BD等于FH比FG。所以，fh比fg等于FH比FG。所以，类似地有gi比hi等于Mi比Li，即等于GI比HI，这意味着直线FI，fi在G和H，g和h被相似地分割。

证毕。

在本推论作图中，继作直线LK与CE相交于i之后，可以把iE延长到V，使EV比Ei等于FH比HI，然后作Vf平行于BD。如果以i为中心，IH为间隔作一圆交BD于X，再延长iX到Y使iY等于IF，再作Yf平行于BD，也得到相同结果。

克里斯托弗·雷恩爵士和瓦里斯博士很久以前曾给出这一问题的其他解法。

命题29　问题21

作一类型已定的圆锥曲线，使它被四条位置已定的直线分割成顺序、类型和比例均给定的部分。

设所要画的圆锥曲线相似于曲线FGHI，其各部分相似于且正比于后者的部分FG，GH，HI，介于位置已定的直线AB和AD，AD和BD，BD和CE之间，即，第一部分介于前两条直线之间，第二部分介于第二对直线之间，第三部分介于第三对直线之间。作直线FG，GH，HI，FI；（根据引理27）作四边形fghi相似于四边形FGHI，其角f，g，h，i分别依次与位置已定的直线AB，AD，BD，CE相接触，然后关于此四边形作圆锥曲线，则该圆锥曲线将相似于曲线FGHI。

附注

这个问题可用下述方法解出，连接FG，GH，HI，FI，延长GF到V，连接FH，IG，使角CAK，DAL等于角FGH，VFH，令AK，AL与直线BD相交于K和L，再作KM，LN，其中KM使得角AKM等于角GHI，且KM比AK等于HI比GH。令LN使角ALN等于角FHI，且LN比AL等于HI比FH。而AK，KM，AL，LN是这样指向直线AD，AK，AL的一侧，使得字母CAKMC，ALKA，DALND的轮换顺序与字母FGHIF相同；作MN与直线CE相交于i，使角iED等于角IGF，令PE比Ei等于FG比GI；通过P作PQf使它与直线ADE的夹角PQE等于角FIG，并与直线AB相交于f，连接fi。而PE和PQ是这样指向直线CE，PE的一侧，使得字母PEiP和PEQP的轮换顺序与字母FGHIF相同；如果在直线fi上以相同字母顺序作四边形fghi相似于四边形FGHI，再关于它作一类型已知的外切圆锥曲线，则问题得解。

迄此为止讨论的都是轨道的求法。下面要求出物体在这些轨道上的运动。

第6章

怎样求已知轨道上的运动

命题30　问题22

求沿抛物线运动的物体在任意给定时刻的位置。

令S为抛物线的焦点，A为其顶点；设4AS·M等于抛物线下被分割的部分APS的面积，它可以由半径SP在物体离开顶点后掠成，也可以是它到达那里之前的剩余。现在我们知道这块被分割的面积在数值上正比于时间。在G二等分AS，画垂线GH等于3M，以H为中心，HS为半径作一圆，与抛物线在所要求的点P相交。因为作PO垂直于主轴，作PH，则

因而，

以代替AO²，再把所有各项除以3PO，乘以2AS，得到

而GH等于3M，所以等于4AS·M。所以被分割的面积APS等于被分割的面积4AS·M。

完毕。

推论Ⅰ．所以GH比AS等于物体掠过弧AP所用时间比物体掠过由顶点A到焦点S处主轴垂线所截一段弧所用时间。

推论Ⅱ．设圆APS连续地通过运动物体P，则物体在点H处速度比它在顶点A的速度为3比8；所以，直线GH比物体在相同时间内以在顶点A的速度由A运动到P所画直线也是这个比值。

推论Ⅲ．另一方面，也可以求出物体掠过任意给定弧长AP所用时间，连接AP，在其中点作垂线与直线GH相交于H即可。

引理28

一般地，以任意直线分割的卵形面积不能用求解任意多个有限项和元的方程的方法求出。

设在卵形内任意给定一点，以它为极点一条直线作连续匀速转动，同时在此直线上有一可动点以正比于卵形内直线长的平方的速度由极点向外运动。这样，该点的运动轨迹是匝数不定的螺旋线。如果该直线所分割的卵形面积可由有限方程求出，则正比于该面积的动点到极点的距离也可由同一方程确定，因而螺旋线上所有点也都可以由有限方程求出，所以位置已知的直线与该螺旋线的交点也可由有限方程求出。但每一条无限直线与螺旋线有无限多个交点，而决定这两条线某一交点的方程会在同时以同样无限多个根表示出所有的交点，因而产生与交点数相同的元。两个圆相交于两个交点，其中一个交点如果不用能决定另一个交点的二元方程就无法找到。两条圆锥曲线可以有四个交点，一般而言，如果不用能决定所有交点的四元方程，无法找出其中任何一个。因为，当分别去找这些交点时，由于所有的定律与条件都相同，使每次的计算也都相同，所以结果也总是相同，它必定是同时表达了所有交点，完全没有区别。所以，当圆锥曲线与三次曲线相交时，因为其交点多到六个，因而需要六元方程；而两条三次曲线相交点时，其交点多达九个，因而需用九元方程。若不是这样的话，则所有立体问题都可以简化为平面问题，而那些维数高于立体的问题也可以简化为立体问题了。但我在此讨论的曲线其幂次不能降低。因为表达曲线的方程幂次一旦降低，则曲线将不再是完整的曲线，而是由二条或更多条曲线的组合，它们的交点可以由不同的计算分别确定。出于相同的理由，直线与圆锥曲线的两个交点总需要二元方程求解；直线与不能化简的三次曲线的三个交点要由三元方程求出；直线与不能化简的四次曲线的四个交点需由四元方程求出。以此类推至于无限。所以，直线与螺旋线的无数个交点，由于螺旋线是简单曲线，不能简化为更多曲线，需要用元和根数都无限多的方程加以总体表达。因为所有的定律和条件都相同。因为，如果由极点作该相交线的垂线，且与相交直线一同关于极点旋转，则螺旋线的交点将相互间交替变换，第一个或最近的一个交点，在直线转过一周后变为第二个，转二周后变为第三个，以此类推：与此同时方程保持不变，只是决定相交直线位置的量的数值不断改变。所以，由于这些量在旋转一周后都回到其初始数值，方程又回到其初始形式；因而同一个方程可以表示所有交点，它有可以表示所有交点的无限多个根。所以，一般而言，一条直线与一条螺旋线的交点不能由有限方程来确定；所以，一般而言，被任意直线分割的卵形面积不能由这种方程来表示。

出于同样理由，如果描述螺旋线的极点与动点间距离正比于被切割卵形的边长，则可以证明，该边长一般不能用有限方程表达。但我在此讨论的卵形不与伸向无限远的共轭图形相切。

推论．由焦点到运动物体的半径来表示的椭圆面积，不能由有限方程给出的时间来确定，因而不能由在几何上有理的曲线作图求出。在此，说这些曲线在几何上有理，是指其所有的点都可以由方程求出长度后加以确定。其他曲线（如螺旋线，割圆曲线，摆线）我称之为几何上无理的，因为其长度是或不是数与数的比（根据欧几里得《几何原本》第十卷）在算术上称为有理的或无理的。所以，我用下述方法，以几何上无理的曲线分割正比于时间的椭圆面积。

命题31　问题23

找出在指定时刻沿已知椭圆运动的物体的处所。

设A是椭圆APB顶点，S是焦点，O是中心；令P为所要找出的物体的处所。延长OA到G使得OG:OA＝OA:OS，作垂线GH；以O为中心，OG为半径作圆GEF；再以直线GH为底线，设圆轮GEF关于自己的轴在其上滚动，同时轮上的点A画出摆线ALI。然后取GK比轮的周长GEFG等于物体由A掠过弧AP所用的时间比它环绕椭圆一周所用时间。作垂线KL与摆线相交于L；再作LP平行KG，并与椭圆相交于P，即找出物体的处所。

因为，以O为中心，OA为半径画半圆AQB，如果必要的话，将LP延长到弧AQ于Q点，连接SQ，OQ，令OQ与弧EFG交于F，在OQ上作垂线SR。面积APS正比于面积AQS变化，即，正比于扇形OQA与三角形OQS的差，或正比于乘积与OQ·SR的差，即，因为是已知的，正比于弧AQ与直线SR的差；所以（因为已知比值SR比弧AQ的正弦，OS比OA，OA比OG，AQ比GF，以及相除后AQ－SR比GF－弧AQ的正弦都是相等的）正比于弧GF与弧AQ的正弦的差。

完毕。

附注

然而由于画出这条曲线很困难，用近似求解更为可取。首先，找出一个角B，它与半径的张角57.29578度角的比，等于焦距SH比椭圆直径AB。其次，找出一个长度L，使它半径的比等于上述比值的倒数。求出这些后，问题可以由下述分析解决。通过任意作图（甚至猜想），设我们知道物体的处所P靠近其真实处所P。然后在椭圆的轴上作纵坐标PR，由椭圆直径的比例，可以求出外切圆AQB的纵坐标RQ；设AO是半径，并与椭圆相交于P，则该纵坐标是角AOQ的正弦。这个角既使用接近于真实的数字粗略计算也已足够。设我们还知道该角正比于时间，即它与四个直角的比等于物体掠过弧Ap所用时间与环绕椭圆一周所用时间的比。令该角为N，再取角D，它与角B的比等于角AOQ的正弦比半径；取角E，使它比角N－AOQ＋D等于长度L比同一长度L减去角AOQ的余弦，当该角小于直角时，或加上该余弦，在它大于直角时。下一步，取角F使它比角B等于角AOQ＋E的正弦比半径；取角G，使它比角N－AOQ－E＋F等于长度L比同一长度L减去角AOQ＋E的余弦，当该角小于直角时，或加上该余弦，当它大于直角时。第三步，取角H，它与角B的比等于角AOQ＋E＋G的正弦比半径；取角I，它与角N－AOQ－E－G＋H的比，等于长度L比同一长度L减去角AOQ＋E＋G的余弦，当该角小于直角时，或加上该角的余弦，当它大于直角时，反复运用这一方法至于无限。最后，取角AOq等于角AOQ＋E＋G＋I＋，等等，由其余弦Or与纵坐标Pr（它与其正弦qr的比等于椭圆的短轴与长轴的比），即可得到物体的正确处所p。当角N－AOQ＋D为负时，角E前的＋号都应改为－，而－号都应改为＋。当角N－AOQ－E＋F以及角N－AOQ－E－G＋H为负时，角G和I前的符号都应作相同变化。但无限系列AOQ＋E＋G＋I＋；等等，收敛如此之快，很少需要计算到第二项E之后。这种计算以这一定理为基础，即面积APS正比于弧AQ与由焦点S垂点作向半径OQ的直线的差而变化。

用大致相同的方法，可以解决双曲线中的同一问题。令其中心为O，顶点为A，焦点为S，渐近线为OK；设其正比于时间的被分割面积数值已知，令其为A，设我们知道分割面积APS近乎于真实的直线SP的位置。连接OP，由A和P向渐近线作平行于另一渐近线的直线AI，PK；由对数表可知面积AIKP，以及与之相等的面积OPA，后者被从三角形OPS中减去后将余下被切除的面积APS。将2APS－2A，或2A－2APS，被分割的面积A，与被切除的面积APS的差的二倍，除以由焦点S垂直作向切线TP的直线SN，即得到弦PQ的长度。该弦PQ内接于A和P之间，如果被切除的面积APS大于被分割的面积A；而在其他情形，它则指向点P的另一侧：则点Q是更精确的物体处所。重复这种计算即可以越来越高的精度求得该处所。

运用这种计算可得对这一问题的普适的分析解。不过下述特殊计算更适用于天文学目的。设AO，OB，OD为椭圆半轴，L为其通径，D为短半轴OD与通径的一半的差：找出一个角Y，其正弦比半径等于差D与二轴的和的一半AO＋OD的乘积，比长轴AB的平方。再找出另一角Z，其正弦半径等于焦距SH与差D的乘积的二倍，比半长度AO的平方的三倍。一旦找到这些角，就可以这样确定物体的处所：取角T正比于通过弧BP的时间，或等于所谓平均运动；取角V，第一平均运动均差，比角Y，最大第一均差，等于二倍角T的正弦比半径；取角X，第二均差，比角Z，第二最大均差，等于角T的正弦的立方比半径的立方。然后取角BHP，平均差运动，或是等于T＋X＋V，角T，V，X的和，如果角T小于直角；或是等于T＋X－V，这些角的差，如果角T大于一个直角而小于二个直角；而如果HP与椭圆相交于P，作SP，则它将分割面积BSP，近似正比于时间。

这一方法看起来相当简捷，因为角V和X均为秒的若干分之一，是非常小的，随意求出其前二三位即足以敷用。类似地，它还以足够的精度解决行星运动理论问题。因为即使是火星轨道，其最大的中心均差达到10°，计算误差也很少超过1秒。而一旦平均运动差角BHP求出，真实运动角BSP，距离SP，也就易于用已知方法求出。

迄此讨论的是物体沿曲线的运动。但我们也会遇到运动物体沿直线上升或下落的情形，现在我继续讨论属于此类运动的问题。

第7章

物体的直线上升或下降

命题32　问题24

设向心力反比于处所到中心的距离的平方；求物体在给定时间内沿直线下落的距离。

情形1．如果物体不是垂直下落，它将（根据命题13，推论I）掠过一焦点在力的中心的圆锥曲线。设该圆锥曲线为ARPB，焦点为S。首先，如果轨迹是椭圆，在长轴AB上作半圆ADB，令直线DPC通过下落物体，与主轴成直角；再作DS，PS，则面积ASD将正比于面积ASP，所以也正比于时间。保持主轴AB不变，令椭圆的宽度连续缩小，面积ASD总是正比于时间。设宽度无限缩小；此时轨道APB与主轴AB重合，焦点S与主轴顶点B重合，则物体沿直线AC下落，面积ABD也将正比于时间。所以，如果取面积ABD正比于时间，并由点D作直线DC垂直落向直线AB，则物体在给定时间内由处所A垂直下落所掠过的距离可以求出。

完毕。

情形2．如果图形RPB是双曲线，在同一主轴AB上作直角双曲线BED；因为在几块面积与高度CP和CD之间有如下关系存在：CSP:CSD＝CBfD:CBED＝SPfB:SDEB＝CP:CD，以及面积SPfB正比于物体P通过弧PfB所用的时间而变化，面积SDEB也将正比于时间变化。令双曲线RPB的通径无限缩小，同时横轴保持不变，则弧PB将与直线CB重合，焦点S与顶点B重合，而直线SD与直线BD重合。所以面积BDEB将正比于物体C沿直线CB垂直下落所用时间而变化。

完毕。

情形3．由相似理由，如果图形RPB是抛物线，以同一顶点B作另一条抛物线BED，并使之保持不变，同时物体P沿其边缘运动的前一条抛物线随着其通径缩小并变为零而与直线CB重合，则抛物线截面BDED将正比于物体P或C落向中心S或C所用的时间而变化。

完毕。

命题33　定理9

在上述假设中，落体在任意处所C的速度与它环绕以B为中心，BC为半径的圆运动的速度的比，等于物体到该圆或直角双曲线的远顶点A的距离与该图形的主半径的比值的平方根。

令两个图形RPB，DEB的公共直径AB在O点被等分；作直线PT与图形RPB相切于P，并与公共直径AB（必要时作延长）相交于T；令SY垂直于该直线，BQ垂直于直径，设图形RPB的通径为L。由命题16推论IX知，物体沿关于中心S的曲线RPB运动时在任意处所P的速度，比它沿关于同一中心，半径为SP的圆运动的速度，等于乘积SP与SY²的比值的平方根。因为由圆锥曲线的性质，AC·CB比CP²等于2AO比L，所以等于L。所以这些速度相互间的比等于与SY²的比值的平方根。又根据圆锥曲线的性质。

所以，

而且，

由此，

而且，

由于，

即得到，

现在设图形RPB的宽CP无限缩小，使点P与点C重合，点S与点B重合，直线SP与直线BC重合，直线SY与直线BQ重合；则物体沿直线CB垂直下落的速度比它沿以B为中心，BC为半径的圆运动的速度，等于与SY²的比值的平方根，即（消去相等的比值SP比BC，以及BQ²比SY²）等于AC与AO或的比值的平方根。

证毕。

推论Ⅰ．当点B与S重合时，TC比TS将等于AC比AO。

推论Ⅱ．以给定距离绕中心做圆周运动的物体，当其运动变为竖直向上时，可上升到距中心二倍的高度。

命题34　定理10

如果图形BED是抛物线，则落体在任意处所C的速度等于物体以间隔BC的一半关于中心B做匀速圆运动的速度。

因为（由命题16，推论Ⅶ）物体沿关于中心S的抛物线RPB运动时，在任意处所P的速度，等于物体在间隔SP的一半处关于同一中心做匀速圆运动的速度，令抛物线宽CP无限缩小，使抛物线弧PfB与直线CB重合，中心S与顶点B重合，间隔SP与间隔BC重合，命题得证。

证毕。

命题35　定理11

在相同假设下，不定半径SD所掠过的图形的面积DES，等于物体以图形DES的通径的一半为半径关于中心S做匀速圆运动在相同时间里所掠过的面积。

设物体C在最小时间间隔里下落一个不定小线段Cc，同时另一物体K关于中心S沿圆周OKk作匀速运动，掠过弧Kk。作垂线CD，cd与图形DES相交于D，d。连接SD，Sd，SK，Sk，作Dd与轴AS交于T，并在其上作垂线SY。

情形1．如果图形DES是圆，或直角双曲线，在O点等分其横向直径AS，则SO为其半通径。而因为

以及

即得到

但（由命题33，推论Ⅰ）

即，如果点D，d合并，取线段的最后比值。所以，

而且，落体在C的速度比物体以间隔SC关于中心S作圆运动的速度，等于AC与AO或SK的比值的平方根（由命题33）；而该速度比物体沿圆OKk运动的速度等于SK与SC的比值的平方根（由命题4，推论Ⅵ）；因而，第一个速度比最后一个速度，即小线段Cc比弧Kk，等于AC与SC的比值的平方根，即等于AC与CD的比值。

所以，

因而，

而且

即面积KSk等于面积SDd。所以，在每一个时间间隔中，都产生出两个相等的面积元KSk和SDd，如果它们在大小趋于零，而数目无限增多，则（由引理Ⅳ的推论）得到二者同时产生的整个面积总是相等的。

证毕。

情形2．如果图形DES是抛物线，与上述情形相同，也有

即＝2:1，所以，

但落体在C点的速度等于在间隔处作匀速圆周运动的速度（由命题34）。而该速度比沿以半径SK作圆运动的速度，即小线段Cc比弧Kk，（由命题4，推论Ⅵ）等于SK与SC的比值的平方根；即等于SK比。所以等于，所以等于SY·Dd；即面积KSK等于面积SDd，与上述情形相同。

证毕。

命题36　问题25

求物体自给定处所A下落的时间。

在直径AS上，以开始下落时物体到中心距离为半径作半圆ADS，再以为中心作一相同的半圆OKH。由物体的任意处所C作纵坐标CD。连接SD，取扇形OSK等于面积ASD。显然（由命题35）在落体掠过距离AC的同时，另一关于中心S作匀速圆运动的物体将掠过弧OK。

完毕。

命题37　问题26

求由给定处所上抛或下抛物体所用的上升或下降的时间。

设物体以任意速度沿直线GS离开给定处所G，取GA比等于该速度与该物体以给定间隔SG关于中心S作匀速圆运动的速度的比值平方。如果该比值等于2比1，则点A在无限远处；此时应像命题34所说画一抛物线，其通径是任意的，顶点为S，主轴为SG；但如果该比值小于或大于2比1，则根据命题33，应在直径SA上，前一情形画一个圆，后一情形画一直角双曲线。然后关于中心S，以半通径为半径画一个圆HkK；再在物体开始上升或下降的处所G，以及其任意处所C，作垂直线GI，CD，与圆锥曲线或圆交于I和D。连接SI，SD，令扇形HSK，HSk等于弓形SEIS，SEDS，则在（由命题35）物体G掠过距离GC的同时，物体K掠过弧Kk。

完毕。

命题38　定理12

设向心力正比于物体的处所到中心的高度或距离，则物体下落的时间和速度，以及所掠过的距离，将分别正比于弧，弧的正弦和正矢。

设物体由任意处所A沿直线AS下落；关于力的中心S，以AS为半径作四分之一圆AE；令CD为任意弧AD的正弦，则物体A将在时间AD内下落掠过距离AC，并在处所C获得速度CD。

此定理证法与命题10相同，一如命题32由命题11得证。

推论Ⅰ．物体由处所A到达中心S所用时间，与另一物体掠过四分之一圆弧ADE所用时间相等。

推论Ⅱ．所以物体由任意处所到达中心的时间都相等。因为（由命题4，推论Ⅲ）所有环绕物体的周期都相等。

命题39　问题27

设已知任意种类的向心力，以及曲线图形的面积：求沿一直线上升或下落的物体在它所通过的不同处所的速度，以及它到达任一处所所用的时间；或反过来由速度或时间求出处所。

设物体E由任意处所A沿直线ADEC下落；在处所E设想一垂线EG总是正比于在该点指向中心C的向心力；令BFG为一曲线，是点G的轨迹。在开始运动处设EG与垂线AB重合；则在任意处所E物体的速度将是一条直线，其平方等于曲线面积ABGE。

完毕。

因为，在直线AE上取一段已知极小线段，令物体位D时直线EMG的处所在DLF；如果向心力使得一条直线，其平方等于面积ABGE，正比于落体的速度，则该面积将正比速度的平方；即，如果把在D和E处的速度记为V和V＋I，则面积ABFD将正比于VV，而面积ABGE正比于VV＋2VI＋II；由减法，面积DFGE正比于2VI＋II，所以将正比于；即，如果取这些量刚产生时的最初比值，则长度DF正比于量，所以也正比于该量的一半，但物体掠过极小线段DE所用时间正比于该线段，反比于速度V；而力正比速度的增量I，反比于时间；所以，如果取这些量刚产生时的最初比值，则力正比于，即正比于长度DF。所以正比于DF或EG的力将使物体以正比于其平方等于面积ABGE的直线的速度下落。

完毕。

而且，由于掠过极小的给定长度DE所用的时间反比于速度，因而也反比于其平方等于面积ABFD的直线；又由于线段DL，因而刚产生的面积DLME，反比于同一直线，则时间正比于面积DLME，所有时间的和将正比于所用面积的和；即（由引理4的推论），掠过AE所用的全部时间正比于整个面积ATVME。

证毕。

推论Ⅰ．令P为物体应由之开始下落的处所，使得当它受到任意已知的均匀向心力（如常见的引力）的作用时，在处所D获得的速度，等于另一物体受任意力作用下落到同一处所D时所获得的速度。在垂线DF上取DR，它比DF等于该均匀力比在处所D的另一个力。作矩形PDRQ，分割面积ABFD等于该矩形，则A为另一个物体所由之下落的处所。因为作矩形DRSE，由于面积ABFD比面积DFGE等于VV比2VI，所以等于比I，即等于总速度的一半比下落物体受变化力作用产生的速度增量；用类似方法，面积PQRD比面积DRSE等于总速度的一半比下落物体受均匀力作用产生的速度增量；而由于这些增量（考虑到初始时间的相等性）正比于产生它们的力，即，正比于纵坐标DF，DR，因而正比于新生面积DFGE，DRSE；所以，整个面积ABFD，PQRD相互间的比正比于总速度的一半；所以，由于这些速度相等，它们也相等。

推论Ⅱ．如果任意物体被由任意处所D以给定速度向上或向下抛出，并且所受到的向心力的定律已给定，则它在任意其他场所，如e的速度，可以这样求出：作纵坐标eg，取该速度比在处所D的速度等于其平方为矩形PQPD，再加上曲线面积DFge，如果处所e低于处所D，或减同一面积DFge，如果处所e高于D的直线，比其平方刚好等于矩形PQRD的直线。

推论Ⅲ．时间也可以这样求得：作纵坐标em反比于PQRD＋或－DFge的平方根，取物体掠过线段De的时间比另一物体受均匀力由P下落到达到D所用的时间等于曲线面积DLme比乘积2PD·DL。因为，物体受均匀力作用掠过线段PD的时间比同一物体掠过线段PE所用的时间等于PD与PE比值的平方根；即（极小线段DE刚刚产生），等于PD与或2PD与2PD＋DE的比值，由减法，它比物体掠过小线段DE所用的时间，等于2PD比DE，所以，等于乘积2PD·DL比面积DLME；两个物体掠过极小线段DE的时间比物体以变化运动掠过线段De的时间，等于面积DLME比面积DLMe；所以，上述时间中的第一个与最后一个的比等于乘积2PD·DL比面积DLme。

第8章

受任意类型向心力作用的物体环绕轨道的确定

命题40　定理13

如果一个物体受任意一种向心力的作用以某种方式运动，而另一物体沿一条直线上升或下落，且在某一相同高度上它们的速度相等，则在一切相等高度上它们的速度都相等。

令一物体由A通过D和E落向中心C，令另一物体由V沿曲线VIKk运动，以C为中心，取任意半径作同心圆DI，EK与直线AC相交于D和E，与曲线VIK相交于I和K。作IC与KE交于N，并在IK上作垂线NT；令两同心圆的间距DE或IK为极小；设在D与I的两物体速度相等。因为距离CD和CI相等，在D和I处的向心力也必相等。用等长短线DE和IN表示这些向心力；将长IN（由运动定律的推论Ⅱ）分解为两个力，NT与IT，则力NT的作用沿线段NT的方向，与物体的路径相垂直，对物体在该处的速度无影响或改变，只把它拉开直线方向，使它连续偏离轨道切线，沿曲线路径ITKR运行。所以该力只起到这种作用。而另一个力IT作用于物体的运动方向上，全部用于对它加速，在极短时间里产生的加速度正比于该时间，所以在相同的时间里，物体在D和I的加速度正比于线段DE，IT（如果取新生线段DE，IN，IK，IT，NT的最初比值）；而在不等的时间里加速度正比于这些线段与时间的乘积。但由于速度相等（在D和I），物体掠过DE和IK所用的时间正比于DE和IK的长度，所以，物体在通过线段DE和IK时的加速度正比于DE与IT，以及DE与IK的乘积；即，等于DE的平方比乘积IT·IK。而IT·IK等于IN的平方，即等于DE的平方；所以，物体在由D和I运动到E和K时产生的加速度相等。所以，物体在E和K的速度也相等：由相同的理由知，它们在以后任何相等的距离上总是相等的。

证毕。

又由相同的理由，在与中心相同距离处速度相等的物体，在上升到相同距离处时，递减的速度也相等。

推论Ⅰ．一个物体不论是悬于一根弦上摆动，或是被迫沿一光亮、完全平滑的表面作曲线运动，而另一物体沿直线上升或下落，只要它们在某一相同高度处速度相等，则它们在所有相同高度处的速度都相等。因为，在摆动物体的弦上，或在容器完全平滑的表面上，所发生的情形与横向力NT的影响相同。它既不使物体加速也不使之减速，只是迫使它偏离直线运动。

推论Ⅱ．设量P是物体由中心所能上升到的最大距离，不论是通过摆动，或是沿曲线转动，或是由曲线上某一点以其在该点的速度向上抛出。令量A为物体由其轨道上任意一点到中心的距离；再令向心力总是正比于量A的幂An－1，该幂的指数n－1是任意数减一，则在任意高度A，物体的速度正比于，因而是给定的。因为由命题39，沿直线上升或下落的物体的速度等于该值。

命题41　问题28

设任意类型的向心力，以及曲线图形的面积均为已知；求物体在其上运动的曲线，以及沿此曲线运动的时间。

令任意向心力指向中心C，要求出曲线VIKR。有一已知圆VR，其中心是C，任意半径是CV；由同一中心作另两个任意圆ID，KE，与曲线相交于I和K，与直线CV相交于D和E。然后作直线CNIX与圆KE，VR相交于N和X，作直线CKY与圆VR相交于Y。令点I与K无限接近；令物体由V通过I和K运动到k；再令点A为另一物体开始下落的处所，使到达D时的速度等于第一个物体在I的速度。以下方法与命题39相同，在最短给定时间内掠过的短线段IK将正比于该速度，因而也正比于其平方等于面积ABFD的直线，所以正比于时间的三角形ICK可以求出，所以KN反比于高度IC；即（如果给定任意量Q，高度IC等于A），正比于。令该量等于Z，设Q的大小在某一情形下使得

则在所有情形下

即

由减法，

所以，

由于

所以有

所以，在垂线DF上分别连续取Db，Dc等于，画出曲线ab，ac，焦点b和c，再由点V作直线AC的垂线Va，分割曲线面积VDba，VDca，并画出纵坐标Ez，Ex。因为乘积Db·IN或DbzE等于乘积A·KN的一半，或等于三角形ICK；而乘积DC·IN或DcxE等于乘积YX·XC的一半，或等于三角形XCY；即，因为VDba，VIC的新生面积元Dbze，ICK总是相等，而VDca，VCX的新生面积元DcxE，XCY总是相等：所以产生的面积VDba将等于产生的面积VIC，因而正比于时间，而产生的面积VDca等于产生的扇形VCX。所以，如果给定任意时间，其间物体由V开始运动，则正比于该时间的面积VDba也就给定，因而物体的高度CD或CI也就给定，面积VDca和与之相等的扇形VCX以及扇形张角VCI也都给定。而由已知的角VCI，高度CI，也可以求知物体在该时间之末时的处所。

完毕。

推论Ⅰ．因此，很容易找出物体的最大和最小高度，即曲线的回归点。因为当直线IK与NK相等时，即面积ABFD等于ZZ时，回归点通过由中心作向曲线VIK的垂线IC。

推论Ⅱ．也容易求出曲线在任意处所与直线IC的夹角KIN：通过给定的物体的高度IC，即通过使该角的正弦比半径等于KN比IK，也就是等于Z比面积ABFD的平方根。

推论Ⅲ．如果通过中心C和顶点V作一条圆锥曲线VRS，由其上任意一点，如R，作切线RT与主轴CV的延长线交于点T，连接CR。作直线CP等于横坐标CT，使角VCP正比于扇形VCR；如果指向中心的向心力反比于物体到中心距离的立方，且由处所V以适当速度沿垂直于直线CV的方向抛出一物体，则该物体总是沿着点P所在的曲线VPQ运动；如果圆锥曲线VRS是双曲线，则物体将落入中心；但如果它是椭圆，物体将连续升高，越来越远直至无限。反之，如果物体以任意速度脱离处所V，则根据它是直接落向中心，或是直接脱离而去，可判明图形VRS是双曲线或椭圆，该曲线可以给定比率增大或减小角VCP求出。在向心力变成离心力时，物体将直接沿曲线VPQ离去，该曲线可以取角VCP正比于椭圆扇形VRC，取长度CP等于长度CT，由上述相同方法求出。所有这些都可由上述命题通过某一曲线的面积求出，其方法十分容易，为求简捷在此从略。

命题42　问题29

已知向心力规律，求由给定处所以给定速度沿给定直线方抛出的物体的运动。

假设条件与上述三个命题相同，令物体在处所I抛出，方向沿着小线段IK，速度与另一物体在均匀向心力作用下由处所P下落到D处所获得的相同；令该均匀力比物体在I所受到的最初推动力等于DR比DF。令该物体向k运动；关于中心C以CR为半径作圆ke，与直线PD相交于e，再作曲线BFg，abv，acw的纵坐标eg，ev，ew。由给定矩形PDRQ和第一个物体所受到的向心力的定律，曲线BFg可通过命题27的作图及其推论I求出。然后由给定角CIK求出新生线段IK，KN的比例；因而，由命题28的作图法，求出量Q，以及曲线abv，acw；所以，在任意时间Dbve终了，物体的高度Ce或Ck，与扇形XCy相等的面积Dcwe，以及角ICK都可以求出，即可以找到物体所在的处所k。

完毕。

在以上几个命题中我们假设向心力随其到中心的距离而依照某种可以任意设定的规律变化，但在到中心相同距离处向心力处处相等。

迄此所讨论的物体运动都是沿着不动轨道运动。现在我们要在环绕力的中心的轨道上的物体运动中增加某些内容。

第9章

沿运动轨道的物体运动；回归点运动

命题43　问题30

使一物体沿一环绕力的中心转动的曲线运动，其方式与另一物体沿同一静止曲线运动相同。

在固定轨道VPK上，令物体P由V向K作环绕运动。由中心C连续作Cp等于CP，使角VCp正比于角VCP；直线Cp掠过的面积比直线CP在同一时间里掠过的面积VCP，等于直线Cp掠过的速度比直线CP掠过的速度，即等于角VCp比角VCP，所以其比值为已知，因而正比于时间。因为在固定平面上直线Cp掠过的面积正比于时间，所以物体在适当的向心力作用下，可以与点P一起在曲线上旋转，而此曲线则由同一个点P以刚刚阐述过的方法在一个固定平面上画出。使角VCu等于角PCp，直线Cu等于CV，图形uCp等于图形VCP，则物体总是位于点P，沿旋转图形uCp的图边运动，画出其（旋转）弧up所需时间，与另一物体P在固定图形VPK上画出相似且相等的弧VP所用时间相同。然后，由命题6推论V找出使物体得以沿着由点P在固定平面上画出的轨道旋转的向心力，问题即解决。

完毕。

命题44　定理14

使一个物体沿固定轨道运动的力，与使另一个物体沿一相同的旋转轨道作相同运动的力的差，反比于其共同高度的三次方而变化。

令固定轨道上的部分VP，PK相似且相等于旋转轨道上的部分up，pk；设点P与K间的距离为最小。由点k作垂线kr到直线pC，并延长到m，使mr比kr等于角VCp比角VCP。因为物体的高度PC与pC，KC与kC总是相等，所以线段PC与pC的增量或减量总是相等；如果把两个物体在处所P和p的运动分别分解为二（由运动定律的推论Ⅱ），其一指向中心，或沿着直线PC，pC，而另一个则与前一个相垂直，沿着垂直于直线PC，pC的方向；则指向中心的运动相等，而物体p的横向运动与物体P的横向运动的比，等于直线pC的角运动比直线PC的角运动；即等于角VCp比角VCP。所以，在同一时间里，物体P由两方面的运动到达点K，而物体p则以指向中心的相同运动由点p相等地运动到C；所以，当该时间终止时，它将位于通过点k与直线pC相垂直的直线mkr上某处，而其横向运动将使它获得一个到直线pC的距离，该距离比另一物体P所获得的到直线PC的距离，等于物体p的横向运动比另一个物体P的横向运动。由于kr等于物体P到直线PC的距离，而mr比kr等于角VCp比角VCP，即，等于物体p的横向运动比物体P的横向运动，所以，在该时间终了时，物体p将位于处所m。之所以如此，是因为如果物体p和P在直线pc和PC上作相等的运动，则在该方向上受到相等的作用力。但如果取角pCn比角pCk等于角VCp比角VCP，nC等于kC，在此情形下，物体p在时间终了时将的确在n；如果nCp大于角kCp，即，如果轨道upk以大于直线CP被携带前进速度的二倍运动，不论是前进或是后退，则物体p比物体P受到的作用力大。如果轨道的后退运动较慢，则受到的力小。二力的差将正比于在给定时间间隔内物体受该力差的作用所通过的处所的间距mn。关于中心C以间距cn或ck为半径作圆与直线mr，mn的延长线相交于s，t则乘积mn·mt等于乘积mk·ms，所以mn等于。但由于在给定时间里，三角形pck，pCn的大小已知，而kr和mr，以及它们的差mk，它们的和ms，反比于高度pC，所以，乘积mk·ms反比于高度pC的平方。而且，mt正比于，即正比于高度pC。这些都是新生线段的最初比值。所以，，即新生的短线段mn，以及与它成正比的力的差，反比于高度pC的立方。

证毕。

推论Ⅰ．在处所P与p，或K与k的力的差，比物体在与物体P于固定轨道上掠过弧PK相同的时间内由R做圆周运动到K所受到的力，等于新生线段mn比新生弧PK的正矢，即等于比，或等于mk·ms比rk的平方；也就是说，如果取给定量F和G的比值等于角VCP比角VCp，则二力之比等于GG-FF比FF。所以，如果由中心C以任意半径CP或Cp作一圆周扇形等于面积VPC，在任意给定的时间内物体沿固定轨道作环绕运动其到中心的半径所掠过的面积，则两个力，其一使物体P沿固定轨道运动，另一使物体p沿运动轨道运动，它们的差，与在面积VPC被掠过的同时使另一物体到中心的半径均匀掠过该扇形的向心力的比，等于GG-FF比FF。因为该扇形与面积pCk的比等于它们被掠过的时间的比。

推论Ⅱ．如果轨道VPK是椭圆，其焦点为C，上回归点是V，设有另一椭圆upk相似且相等于它，使得pc总是等于PC，角VCp比角VCP为给定比值G比F；令A等于高度PC或pC，2R等于椭圆的通径，则使物体在运动椭圆轨道上运动的力将正比于，反之亦然。令使物体沿固定轨道运动力以量表示，则在V的力为。然而，使一物体在距离CV处以与物体在椭圆轨道上V处相同速度做圆周运动的力，比在回归点V作用于作椭圆运动的物体的力，等于该椭圆通径的一半比该圆直径的一半CV，所以等于；而与此相比等于GG－FF比FF的力，等于；这个力（由本命题推论Ⅰ）正是物体P在V处沿固定椭圆VPK运动所受到的力与物体p在运动椭圆upk上所受的力的差。由本命题知，在任意其他高度A上该差与其自身在高度CV上的比等于比，因而该差在每一高度A上都正比于。所以在物体沿固定椭圆VPK所受的力上，加上差，其和就是物体在同一时刻沿运动椭圆upk运动所受到的力。

推论Ⅲ．如果固定轨道VPK是椭圆，其中心在力的中心C，设有一运动椭圆upk与之相似、相等而且共心；该椭圆的通径是2R，横向通径即长轴是2T；而且总有角VCp比角VCP等于G比F，则在相同时间里，使物体在固定轨道和运动轨道上运动的力分别等于和。

推论Ⅳ．如果令物体的最大高度CV为T，轨道VPK在V处的曲率半径，即弯曲度相同的圆的半径为R，使物体在处所V沿任意固定曲线VPK运动的向心力为，在另一处所P的力为X，高度CP为A，且取G比F等于角VCp比角VCP；则一般地，使同一物体在同一时间沿同一曲线upk作同一种圆运动的向心力，等于力的和。

推论Ⅴ．给定物体沿固定轨道的运动，则其绕力的中心的角运动也以给定比值增加或减少，所以，物体在新的向心力作用下所环绕的新的固定轨道可以求出。

推论Ⅵ．如果作不定长度的直线VP垂直于位置已定的直线CV，作CP及与之相等的Cp，使角VCp与角VCP有给定比值，则使物体沿点p连续画出的曲线Vpk运动的力，将反比于高度Cp的立方。因为物体P在没有力作用于它时，其惯性使它沿直线VP匀速前进，在加上指向中心C且反比于高度CP或Cp的立方的力后，物体（如刚才证明的）将偏离其直线运动而进入曲线Vpk。但该曲线Vpk与命题41推论Ⅲ中的曲线VPQ相同，物体在这种力吸引下将直接上升。

命题45　问题31

求非常接近于圆的轨道的回归点的运动。

本问题用算术方法求解，把物体在固定平面上沿运动椭圆（如在上述命题的推论Ⅱ和Ⅲ中那样）运动所画出的轨道，简化为求回归点的轨道图形；然后找出物体在固定平面上所画轨道的回归点。但要使轨道的图形相同，需使轨道得以画出的向心力相互之间的相同在高度上成正比。令点V是最高的回归点，T是最大高度CV，A是其他高度CP或Cp，X是高度差CV-CP；则使物体沿绕其焦点C转动的椭圆运动（如推论Ⅱ那样）的力，在推论Ⅱ中等于，即等于，以T－X代替A，即变为。用类似方法，任何其他向心力都可以化为分母是A³的分数，而分子可以通过合并同类项变为相似。这可以通过举例加以说明。

例1．设向心力是均匀的，因而正比于，或者，在分子中以T－X代替A，正比于。然后合并分子中的对应项，即使已知项与已知项相比，未知项与未知项相比，它变为

由于假设该轨道极为接近于圆，令它与圆相重合。因为在此情形下R与T相等，X无限缩小，则最后的比为

以及

所以，G比F，即角VCp比角VCP，等于。由于在固定椭圆中，当物体由上回归点落到下回归点时，将掠过一个，如果可以这样说的话，180°的角，而另一个在运动椭圆中的物体，处于我们所讨论的固定平面上，在其由上回归点落到下回归点时，掠过的角VCp。之所以如此是因为这个由受均匀向心力作用的物体画出的轨道相似于物体在固定平面上沿运动椭圆运动所画出的轨迹。通过这种项的比较，使这些轨道相似，但这不是普适的，仅当它们非常近似于圆时才成立。所以，一个物体，当它在均匀向心力作用下沿近圆轨道运动，由上回归点到下回归点总是关于中心掠过一个，或103°55′23″的角，然后再由下回归点掠过相同角度回到上回归点；循环往复以至无限。

例2．设向心力在正比于高度A的任意次幂，例如，An－3，或；在此，n－3与n表示幂的任意指数，可以是整数或分数，有理数或无理数，正数或负数。用我的收敛级数方法把分子An或（T－X）n化为不确定级数

将这些项与另一个分子的项

作比较，它即变为

，等等，当轨道趋近于圆时取最后比值，上式变为

或

而且

所以G比F，即角VCp比角VCP，等于1比。由于物体在椭圆中由上回归点落到下回归点时掠过的角VCP为180°，而在由一物体受正比于幂An－3的向心力作用下运动所画出的近圆轨道上，物体由上回归点下落到下回归点时掠过的角VCp等于，物体由下回归点返回上回归点时又重复该角，循环往复以至无限。如果向心力正比于物体到中心的距离，即正比于A，或，则n等于4，而等于2；所以上下回归点之间的角度为，或90°。所以，物体在掠过圆的四分之一部分后到达下回归点，掠过下一个四分之一部分后又到达上回归点，循环往复以至无限。这种情形也出现在命题10中。因为受这种向心力作用的物体沿固定椭圆运动，轨道的中心就是力的中心。如果向心力反比于距离，即正比于或，则n＝2，所以上下回归点间的角度为，或127°16′45″；所以受这种向心力作用的物体将持续重复这一角度，不断由上回归点到下回归点，又由下回归点到上回归点。而如果向心力反比于高度的11次幂的4次方根，即反比于，因而正比于或正比于，n等于，则等于360°；所以物体离开其上回归点连续运动，在完成一个环绕周期后到达下回归点，再环绕一周后又回到上回归点，如此不断地重复。

例3．取m和n表示高度的幂的指数，b和c为任意给定数，设向心力正比于，即正比于，或（由上述收敛级数方法）正比于

比较分子中的项，得到

，等等。当轨道接近于圆时取最后比值，得到

以及，。

令最大高度CV或T在算术上等于1，则该比例式变为，。因而G比F，即角VCp比角VCP，等于1比。所以，由于在固定椭圆上，角VCP介于上下回归点之间，为180°，而角VCp在由物体受正比于的向心力作用画出的轨道上介于相同的回归点之间，将等于一个的角。由相同的理由，如果向心力正比于，则回归点之间的角等于

对于较困难的情形也可以用相同的方法求解这种问题。向心力所正比的量必须分解成分母为A³的收敛级数。然后设该运算中出现的已知分子与未知分子的比，等于分子比同一分子中的未知部分。再舍去多余的量，令T为1，即可得到G与F的比例式。

推论Ⅰ．如果向心力正比于高度的任意次幂，则这个幂可以由回归点的运动求出；反之亦然。即，如果物体返回同一个回归点的整个角运动，比其环绕一周，或360°的角运动，等于数m比数n，且高度为A，则力将正比于高度A的幂，该幂的指数是。这种情形出现在第二个例子中。由此易于理解该力在其距中心最远处的减少最多不能超过高度比的立方。否则，受这种力作用的物体一旦离开回归点开始下落，将再也不能到达下回归点或最低高度，而是沿着命题41推论Ⅲ所讨论的曲线落向中心。但如果它离开下回归点后能稍稍上升，它将决不会回到上回归点。而是沿着同一推论和命题45推论Ⅳ所讨论的曲线无限上升。所以，当在距中心最远处力的减小大于高度比的立方时，物体一旦离开其回归点，便或是落向中心，或是逃逸到无限远，这由其开始运动时是下落或是上升来决定。但如果在距中心最远处力的减小或是小于高度比的立方，或是随高度的任意比率而增加，则物体决不会落向中心，而是在某一时刻到达下回归点；反之，如果物体交替地由其一个回归点到另一个回归点不断上升或下降，决不到达中心，则力或是在距中心最远处增大，或是其减小小于高度比的立方；物体由一个回归点到另一个回归点的时间越短，该力与该立方比值的比就越大。如果物体回到或离开上回归点前经过8，或4，或2，或周的上升和下降，即，如果m比n为8，或4，或2，或比1，则为，或，或或；则力正比于，或，或，或，即反比于，或，或，或。如果物体每运行一周回到同一个回归点，该回归点没有移动，则m比n等于1比1，所以等于A－2，或；所以力的减小是高度的平方比值，与以前证明相同。如果物体经过四分之三，或三分之二，或三分之一，或四分之一周的运行回到同一个回归点，则m比n等于或或或比1，所以等于或或A9－3或A16－3；所以力反比于或，或正比于A⁶或A¹³。最后，如果物体由其下回归点再回到同一个下回归点运行了整整一周又零三度，因而该回归点每当物体运行一周后向前移三度，则m比n等于363°比360°，或121比120，所以等于，因而向心力反比于，或近似反比于。所以向心力的减小比率略大于平方比率，但它接近平方比率比接近立方比率要强倍。

推论Ⅱ．如果一个物体受反比于高度平方的向心力作用，沿焦点位于力的中心的椭圆运动；有一个新的外力增强或减弱这个向心力，则该外力引起的回归点运动将（由第三个例子）可以求出；反之：如果使物体沿椭圆环绕的力正比于，而外力正比于cA，则净剩力正比于，（由第三个例子知）b等于1，m等于1，n等于4，则两回归点间角度等于。设该外力比使物体环绕椭圆的另一个力小357.45倍，即c为，A或F等于1；则等于或180.7623°，即180°45′44″。所以，物体离开上回归点后，要运动180°45′44″才到达下回归点，再重复这一角运动回到上回归点，所以每运行一周上回归点向前移动1°31′28″。月球回归点的移动约为该数值的一倍。

物体沿其平面通过力的中心的轨道的运动就讨论到此。现在要讨论在偏心平面上的运动。因为过去研究各物体运动的作者在考虑这类物体的上升或下落时，不是仅限于垂直方向上，而是涉及给定平面的所有倾斜角度；出于同样理由，我们在此要研究受任意力作用倾向中心的物体在偏心平面上的运动。假定这些平面完全光滑平坦，对在其上运动的物体没有任何阻碍。而且，在这些证明中，我将不用物体在其上滚动或滑动，因而是物体的切面的平面，而代之以与它们相平行的平面，物体的中心在其上运动并画出轨道。此后我还将用相同方法研究弯曲表面上的运动。

第10章

物体在给定表面上的运动；物体的摆动运动

命题46　问题32

设任意种类的向心力，力的中心以及物体在其上运动的平面均为已知，而且曲线图形的面积可以求出；求一物体以给定速度沿位于上述平面上的给定直线方向脱离一给定处所的运动。

令S为力的中心，SC为该中心到给定平面的最近距离，P为由处所P出发沿直径PZ方向运动的物体，Q为沿着曲线运动的同一物体，而PQR为要在给定平面上求出的曲线本身。连接CQ，QS，如果在QS上取SV正比于把物体吸引向中心S的力，作VT平行于CQ并与SC相交于T；则力SV可以分解为二（由运动定律推论Ⅱ），力ST和力TV；其中ST沿垂直于平面的直线方向吸引物体，完全不改变它在该平面上的运动；而另一个力TV的作用与平面本身的位置相重合，直接把物体吸引向平面上已知点C；所以它使得物体在平面上运动犹如力ST被除去一样，物体就像是在自由空间中受力TV的单独作用关于中心C运动。而已知使物体Q在自由空间中关于中心C环绕运动的向心力TV，即可求出（由命题42）物体画出的曲线PQR；物体在任何时刻的位置Q，以及物体在该处所Q的速度。反之亦然。

完毕。

命题47　定理15

设向心力正比于物体到中心的距离；则所有沿任意平面运动的物体都画出椭圆，而且在相同时间里完成环绕；而沿直线运动的物体，则往返交替，在相同时间里完成各自的往复周期。

设前述命题的所有条件均成立，把在任意平面PQR上运行的物体Q吸引向中心S的力SV，正比于距离SQ；则由于SV与SQ，TV与CQ成正比，在轨道平面上把物体吸引向已知点C的力TV正比于距离CQ。所以，把出现在平面PQR上诸物体吸引向点C的力，按距离的比例，等于相同物体被各自吸引向中心S的力；所以，诸物体将在任意平面PQR上关于点C在相同时间里沿相同图形运动，如同它们在自由空间中绕中心S运动一样；所以（由命题10推论Ⅱ和命题38推论Ⅱ）它们在相同时间里或是在该平面上画出关于中心C的椭圆，或是沿通过该平面上的中心C的直线往返运动；在所有情形下完成相同的时间周期。

证毕。

附注

在弯曲表面上物体的上升或下降运动与我们刚才讨论的运动有密切关系。设想在任意平面上作若干曲线，并使之沿任意给定的通过力的中心的轴旋转，画出若干曲面；做此类运动的物体其中心总是在这些表面上。如果这些物体通过斜向上升和下降而来回摆动，则它们的运动在通过转动轴的诸平面上进行，因而也在通过转动形成曲面的诸曲线上进行。所以，对于这些情形，只要考虑各曲线中的运动就足够了。

命题48　定理16

如果一只轮子直立于一只球的外表面，并绕其轴沿球上大圆滚动，则轮子边缘任意一点自其与球接触时起所掠过的曲线路径（该曲线路径可称为摆线或外摆线）的长度，与自该接触时刻起所通过的球的弧的一半的正矢的二倍的比，等于球与轮直径之和比球的半径。

命题49　定理17

如果轮子直立于球的内表面，并绕其轴沿球上大圆滚动，则轮子边缘上任意一点自其与球接触后所掠过的曲线路径的长度，与自接触后整个时间里所通过的球的弧的一半的正矢的二倍的比，等于球与轮直径的差比球的半径。

令ABL为球，C是其中心，BPV是立于球上的轮子，E是轮子中心，B是接触点，P是轮边缘上任意一点。设该轮沿大圆ABL由A经过B向L滚动，滚动方式总是使弧AB，PB相等，同时轮边缘上给定点P画出曲线路径AP。令AP为自轮子在A与球接触后画出的全部曲线路径，则该曲线路径的长度AP比弧的正矢的二倍等于2CE比CB。因为令直线CE（必要时延长）与轮相交于V，连接CP，BP，EP，VP；延长CP，并在其上作垂线VF。令PH，VH相交于H，与轮相切于P和V，并使PH在G分割VF，在VP上作垂线GI，HK。由中心C为任意半径作圆nom，与直线CP相交于n，轮子边缘BB相交于O，曲线路径AP相交于m；由中心V以Vo为半径作圆与VP延长线交于q。

因为滚动中总是关于接触点B转动，则直线BP垂直于轮上点P所画出的曲线AP，所以直线VP与此曲线相切于P。令圆nom的半径逐渐增加或减小，使得它最终与距离CP相等；由于趋于零的图形Pnomq与图形PFGVI相似，趋于零的短线段Pm，Pn，Po，Pq的最后比值，即曲线AP，直线CP，圆弧BP和直线VP暂时增量的比值，将分别与直线PV，PF，PG，PI的增量相等。但由于VF垂直于CF，VH垂直于CV，所以角HVG，VCF相等；角VHG（因为四边形HVEP在V与P的角是直角）等于角CEP，三角形VHG与CEP相似，因而有

由加法或减法，

以及

所以直线VP的增量，即直线BV－VP的增量，比曲线AP的增量，等于给定比值CB比2CE，所以（由引理4推论）由这些增量所产生的长度BV－VP与AP也比值相同。但如果BV是半径，VP是角BVP或的余弦，因而BV－VP是同一个角的正矢，则在该半径为的轮子上，BV－VP等于弧的正矢的二倍。所以AP比弧的正矢的二倍等于2CE比CB。

证毕。

为便于区分，我们把前一个命题中的曲线AP称为球外摆线，而后一命题中的另一个曲线称为球内摆线。

推论Ⅰ．如果画出整条摆线ASL，并在S处二等分，则PS部分的长度比长度PV（当EB是半径时，它是角VBP正弦的二倍）等于2CE比CB，因而比值是给定的。

推论Ⅱ．摆线AS半径的长度与轮子BV直径的比等于2CE比CB。

命题50　问题33

使摆动物体沿给定摆线摆动。

在以C为中心的球QVS内作摆线QRS，并在R加以二等分，与球表面在两边的极点Q和S相交。作CR在O等分弧QS，并延长到A，使得CA比CO等于CO比CR。关于中心C以CA为半径作外圆DAF，并在此圆内由半径为AO的轮画两个半摆线AQ，AS与内圆相切于Q和S，与外圆相交于A。由点A置一长度等于直线AR的细线，把物体T系于其上并使之这样在两个半摆线AQ，AS之间摆动：每当摆离开垂线AR时，细线AP的上部与它所摆向的半摆线APS压合，像固体那样紧贴在该曲线上，而同一根细线上未接触半摆线的其余部分PT仍保持直线状态。则重物T沿给定摆线QRS摆动。

完毕。

因为，令细线PT与摆线QRS相交于T，与圆QOS相交于V，作CV；由极点P和T向细线的直线部分作垂线BP，TW，与直线CV相交于B和W。显然，由相似图形AS，SR的作图和产生知，垂线PB，TW从CV上截下的长度VB，VW，等于轮子直径OA，OR。所以TP比VP（当是半径时，它是角VBP正弦的二倍）等于BW比BV，或AO＋OR比AO，即（由于CA与CO，CO与CR，以及由除法AO与OR均成正比）等于CA＋CO比CA，或者，如果在E二等分BV，等于2CE比CB，所以（由命题49推论Ⅰ），细线PT的直线部分总是等于摆线PS弧长，而整个细线APT总是等于摆线APS的一半，即（由命题49推论Ⅱ），等于长度AR，反之，如果细线总是等于长度AR，则点T总是沿摆线QRS运动。

证毕。

推论．细线AR等于半摆线AS，所以它与外球半径AC的比，等于相同的半摆线SR比内球半径CO。

命题51　定理18

如果球面各处的向心力都指向球心C，且在所有处所都正比于到球心的距离；当单独受该力作用的物体T沿摆线QRS摆动（按上述方法）时，所有的摆动，不管它们多么不同，其摆动时间都相等。

在切线TW的延长线上作垂线CX，连接CT。因为迫使物T倾向C的向心力正比于距离CT，将该力（按运动定律推论Ⅱ）分解为两部分CX，TX，其中CX把物体从P拉开，使细线PT张紧，而细线的阻力使之完全抵消，不产生其他作用；而另一个力TX是横向拉力，或把物体拉向X，使之沿摆线的运动加速。所以容易理解，正比于该加速力的物体的加速度，在每一时刻都正比于长度TX，即（因为CV与WV，TX与TW成正比，而且都是给定的）正比于长度TW，也即（由命题39推论Ⅰ）正比于摆线TR的弧长。所以，如果两个摆APT，Apt到垂线AR的距离不相等，令它们同时下落，则它们的加速度总是正比于所掠过的弧TR，tR。但运动开始时所掠过的部分正比于加速度，即正比于运动开始时将要掠过的全部距离，因而将要掠过的余下部分，以及其后的加速度，也正比于这些部分，也正比于全部距离，等等。所以，加速度，以及由此产生的速度，以及这些速度所掠过的部分，以及将要掠过的部分，都总是正比于全部余下的距离；所以，未掠过的部分相互间维持一个给定比值，将一同消失，即两个摆动物体将在同时到达垂线AR，另一方面，由于摆在最低处所R沿摆线减速上升，在所经过各处又受到它们下落时的加速力的阻碍，因而容易理解它们在上升或下落经过相同弧长时的速度相等，因而需用时间相等；所以，由于摆线置于垂线两侧的部分RS和RQ相似且相等，两个摆在相同时间里完成其摆动的全部或一半。

证毕。

推论．在摆线上T处使物体T加速或减速的力，与同一物体在最高处所S或Q的全部重量的比，等于摆线TR的弧长比弧SR或QR。

命题52　问题34

求摆在各处所的速度，以及完成全部与部分摆动的时间。

关于任意中心G，以等于摆线RS的弧长为半径画半圆HKM，并为半GK所等分。如果向心力正比于处所到中心的距离指向中心G，且在圆HIK上的力等于在球QOS表面上指向其中心的向心力，在摆T由最高处所S下落的同时，一个物体，比如L，从H向G下落；则由于作用于二物体上的力在开始时相等，且总是正比于将要掠过的空间TR，LG，所以，如果TR与LG相等，则在处所T和L也相等，因而易于理解这些物体在开始时掠过相等的空间ST，HL，以后仍在相等的力作用下继续掠过相等的空间。所以，由命题38，物体掠过弧ST的时间比一次摆动的时间，等于物体H到达L所用时间弧HI，比物体H将到达M所用时间半圆HKM。而摆锤在处所T的速度比其在最低处的R的速度，即物体H在处所L的速度比其在处所G的速度，或者，线段HL的瞬时增量比线段HG（弧HI，HK以均匀速度增加）的瞬时增量，等于纵坐标LI比半径GK，或等于比SR。所以，由于在不相等的摆动中相同时间里掠过的弧长正比于整个摆动弧长，则由给定时间，一般可以得到所有振动的速度和所掠过的弧长。这是求解问题的第一步。

现在令任意摆锤沿由不同的球内画出的不同摆线摆动，它们受到的绝对力也不同；如果任意球QOS的绝对力为V，则推动球面上摆锤的加速力，在摆锤直接向球心运动时，将正比于摆锤到球心的距离与球的绝对力的乘积，即正比于CO·V。所以，正比于该加速力CO·V的短线段HY可以在给定时间内画出：而如果作垂线YZ与球面相交于Z，则新生弧长HZ可表示该给定时间。但该新生弧长HZ正比于乘积GH·HY的平方根，因而正比于而变化。因而沿摆线QRS的一次全摆动的时间（它正比于半圆HKM，后者直接表示一次全摆动；反比于以类似方式表示给定时间的弧长HZ）将正比于GH而反比于；即，因为GH与SR相等，正比于，或（由命题50推论），正比于。所以，沿所有球或摆线的摆动、在某种绝对力驱使下，其变化正比于细线长度的平方根，反比于摆锤悬挂点到球心的距离的平方根，还反比于球的绝对力的平方根。

完毕。

推论Ⅰ．因此可以将物体的摆动、下落和环绕时间作相互比较。因为，如果在球内画出摆线的轮子的直径等于球的半径，则摆线成为通过球心的直线，而摆动变为沿该直线的上下往返。因而可求出物体由任一处所下落到球心的时间，以及物体在任意距离上绕球心匀速环绕四分之一周所用的时间。因为该时间（由情形2）比在任意摆线上的半振动时间等于。

推论Ⅱ．由此还可以推出克里斯托弗·雷恩爵士和惠更斯先生关于普通摆线的发现。因为如果球的直径无限增大，其球面将变成平面，向心力沿垂直于该平面的方向均匀作用，而我们的摆线则变得与普通摆线相同。但在此情形中介于该平面与画出摆线的点之间的摆线弧长等于介于相同平面和点之间的轮子的半弧长正矢的四倍，与克里斯托弗·雷恩爵士的发现相同。而介于这样的两条摆线之间的摆将在相等时间里沿一条相似且相等的摆线摆动，一如惠更斯先生所证明的。重物体的下落时间与一次振动时间相同，这也是惠更斯先已证明的。

这里证明的几个命题，适用于地球的真实构造。如果使轮子沿地球大圆滚动，则轮边的钉子的运动将画出一条球外摆线；在地下矿井或深洞中的摆将画出球内摆线，这些振动都可以相同时间进行。因为重力（第三编将要讨论）随其离开地球表面而减弱；在地表之上正比于到地球中心距离的平方根，在地表之下正比于该距离。

命题53　问题35

已知曲线图形的面积，求使物体沿给定曲线作等时摆动的力。

令物体T沿任意给定曲线STRQ摆动，曲线的轴AR通过力的中心C。作TX与曲线相切于物体T的任意处所，并在该切线TX上取TY等于弧长TR。该弧长可用普通方法由图形面积求得。由点Y作直线YZ垂直于切线，作CT与YZ相交于Z，则向心力将正比于直线TZ。

完毕。

因为，如果把物体由T吸引向C的力以正比于它的直线TZ来表示，则该力可以分解为两个力TY，YZ，其中YZ沿细绳PT的长度方向拉住物体，对其运动变化完全没有作用，而另一个力TY直接沿曲线STRQ方向对物体的运动加速或减速。所以，由于该力正比于将要掠过的空间TR，掠过二次摆动的两个成正比部分（一个较大，一个较小）的物体的加速或减速，将总是正比于这些部分，因而同时掠过这些部分。而在相同时间内连接掠过正比于整个摆程的部分的物体，将在相同时间内掠过整个摆程。

证毕。

推论Ⅰ．如果物体T由直细绳AT悬挂在中心A，掠过圆弧STRQ，同时受平行向下的任意力的作用，该力与均匀重力的比等于弧TR比其正弦TN，则各种摆动的时间相等。因为，TZ，AR相等，三角形ATN，ZTY相似，所以TZ比AT等于TY比TN；即，如果均匀的重力由给定长度AT表示，则使摆动等时的力TZ比重力AT等于与TY相等的弧长TR比该弧的正弧TN。

推论Ⅱ．在时钟里，如果通过某种机械把力加在维持运动的摆上，并将它与重力这样复合，使得指向下的合力总是正比于一条直线，该直线等于弧TR与半径AR的乘积除以正弦TN，则整个摆动具有等时性。

命题54　问题36

已知曲线图形的面积，求物体沿着位于经过力的中心的平面上的曲线在任意向心力作用下上升或下降的时间。

令物体由任意处所S下落，沿着经过力的中心C的平面上的给定曲线STtR运动。连接CS，并把它分为无数相等部分，令Dd为其中之一。以C为中心，以CD，Cd为半径作圆DT，dt与曲线STtR相交于T和t。由于向心力的规律已给定，物体开始下落的高CS也已给定，则物体在任意其他高度CT的速度可以求出（由命题39）。而物体掠过短线段Tt的时间正比于该线段，即正比于角tTC的正割而反比于速度。令正比于该时间的纵坐标DN在点D垂直于直线CS，由于Dd已给定，则乘积Dd·DN，即面积DNnd，将正比于同一时间。所以，如果PNn是点N连接接触的曲线，其渐近线SQ与直线CS垂直，则面积SQPND将正比于物下落经过曲线ST所用的时间；所以求出该面积也就求出了时间。

完毕。

命题55　定理19

如果物体沿任意曲线表面运动，该表面的轴通过力的中心，由物体作轴的垂线；并由轴上任意给定点作与之相等的平行线：则该平行线围成的面积正比于时间。

令BKL为曲线表面，T是在其上运动的物体，STR是物体在同一表面上掠过的曲线，S是曲线的起点，OMK是曲线表面的轴，TN是由物体作向轴的垂线；OP是由轴上给定点O做出的与之相等的平行线；AP是旋转线OP所在平面AOP上一点P掠过的路径；A是该路径对应于点S的起点；TC是由物体作向中心的直线；TG是其上与使物体倾向于中心C的力成正比的部分；TM是垂直于曲面的直线，TI是其上正比于物体压迫表面的力的部分，该力又受到表面上指向M的力的反抗；PTF是平行轴且通过物体的直线，而GF，IF是由点G，I向它所作的垂线且平行于PHTF。则由半径OP作运动开始后掠过的面积AOP，正比于时间。因为，力TG（由运动定律推论Ⅱ）分解为两个力TF，FG；而力TI分解为力TH，HI；但力TF，TH作用在与平面AOP相垂直的直线PF方向上，对垂直于该平面方向以外的运动变化无影响。所以，物体的运动，就其在平面位置相同方向上而言，即画出曲线在平面上投影AP的点P的运动，如同力TF，TH不存在一样，而物体的运动只受力FG，HI的作用；即与物体在平面AOP上受指向中心O的向心力作用画出曲线AP一样，该力等于力FG与HI的和。而受该力作用所掠过的面积AOP（由命题1）正比于时间。

证毕。

推论．由相同理由，如果物体受指向两个或更多位于同一条直线上CO上的中心的若干力的作用，并在自由空间中掠过任意曲线ST，相应的面积AOP总是正比于时间。

命题56　问题37

已知曲线图形面积，以及指向一给定中心的向心力的规律，和其轴通过该中心的曲面，求物体在该曲面上以给定速度沿曲面上的给定方向离开给定点所画出的曲线。

保留上述图形，令物体T离开给定处所S，沿位置已定的直线方向，进入要求的曲线STR，其在平面BDO上的正交投影是AP。由物体在高度SC的速度，可以求出它在任意高度TC的速度。从该速度令物体在给定时刻掠过其轨迹的一小段Tt，它在平面AOP上的投影是Pp。连接Op，并在曲面上关于中心T以Tt为半径作一个小圆，该圆在平面AOP上的投影是椭圆pQ。因为该小圆Tt的大小，以及它到轴CO的距离TN或PO已给定，椭圆pQ的形状、大小以及它到直线PO的距离也就给定。由于面积POp正比于时间，而时间已给定，因而角POp也给定。所以椭圆与直线Op的公共交点，以及曲线投影APp与直线OP的夹角OPp都可以求出。而由此（比较命题41与其推论Ⅱ）即易于看出确定曲线APp的方法。然后由若干投影点P向平面AOP作垂直线PT与曲面相交于T，即可得到曲面上各点T。

完毕。

第11章

受向心力作用物体的相互吸引运动

至此为止我论述的都是物体被吸引向不动中心的运动；虽然自然界中很可能不存在这种事情。因为吸引是针对物体的，而根据第三定律，被吸引与吸引物体的作用是相反且相等的；这使得两个物体，不论是被吸引者或是吸引者，都不是真正的静止，而两者（由运动定律推论Ⅳ）是相互吸引，绕公共重心旋转。如果有更多物体，不论是它们是受到一个物体的吸引，它们也吸引它，或是它们之间相互吸引，这些物体都将这样运动，使得它们的公共重心或是静止，或是沿直线做匀速运动。所以我现在来讨论相互吸引物体的运动，把向心力看做是吸引作用，虽然从物理学严格性上说它们也许应更准确地称为推斥作用。但这些命题只被看做是纯数学的，所以，我把物理考虑置于一边，用所熟悉的表达方式，使我所要说的更易于为数学读者理解。

命题57　定理20

两个相互吸引的物体，围绕它们的公共重心，也相互围绕对方，描出相似图形。

因为物体到它们公共重心的距离与物体成反比；因而相互间有给定比值；比值的大小与物体间的全部距离也呈固定比值。这些距离随着物体绕其公共端点以均匀角速度运动，因为位于同一条直线上，它们不会改变相互间的倾向。但相互间有给定比例的直线，也随物体绕其端点在平面上作均匀角速度运动，这平面或是相对于它们静止，或是作没有角运动的移动，而直线关于这些端点所画出的图形完全相似。所以，这些距离旋转画出的图形都是相似的。

证毕。

命题58　定理21

如果两个物体以某种力相互吸引，且绕公共重心旋转：则在相同力作用下，绕其中一个被固定物体旋转所得到的图形，相似且相等于这种相互环绕运动做出的图形。

令物体S和P关于它们的公共重心C旋转，方向是由S向T以及由P向Q。由给定点s连续作sp，sq等于且平行于SP，TQ；则点p绕固定点S旋转所作曲线pqv，将相似于且相等于物体S和P相互环绕所作的图形；因此，由定理20，也相似于相同物体关于它们的公共引力中心C旋转所得的曲线ST和PQV；而且这也可以由线段SC，CP与SP或相互间给定比例推知。

情形1．公共重心C（由运动定律推论Ⅳ）或是静止，或是匀速直线运动。首先设它静止，两物体位于s和p，在s处的不动，在p处的另一个运动，与物体S和P的情况相似。作直线PR和pr与曲线PQ的pq相交于p和q，并延长CQ和sq到R和r。因为图形CPRQ，sprq相似，RQ比rq等于CP比sp，所以有给定比值。所以如果把物体p吸引向物体S，因而也吸引向其间的引力中心C的力比把物体p吸引向中心S的力取相同比值，则这些力在相同时间里通过正比于该力的间隔RQ，rq把物体由切线PR，pr吸引向弧PQ，pq；所以后一种力（指向s）使物体p沿曲线pqv旋转，它与第一个力推动物体P旋转所沿的曲线PQV相似；它们的环绕在相同时间内完成。但由于这些力相互比值不等于CP与sp的比值，而是（因为物体S与s，P与p，以及距离SP与sp的相等性）相等，物体在相同时间内由切线所作的曲线也相等；所以物体p通过更大的间隔rq被吸引，需要正比于该间隔平方根的更长的时间；因为，由引理10，运动开始时掠过的距离正比于时间的平方。然后，设物体p的速度比物体P的速度等于距离sp与距离CP比值的平方根，使得相互间有简单比值的弧pq，PQ可以在正比于距离平方根的时间画出；而物体P，p总是受到相同的力吸引，将绕固定中心C和s画出相似图形PQV，pqv，其中后一图形pqv相似且相等于物体P绕运动物体S旋转所画出的图形。

证毕。

情形2．设公共重心，以及物体在其间相互运动的空间，沿直线匀速运动；则（由运动定律推论Ⅵ）在此空间中所有运动都与前一情形相同，所以物体相互间运动所画出的图形也相似且相等于图形pqv，如前所述。

证毕。

推论Ⅰ．所以两个以正比于其距离的力相互吸引的物体，（由命题10）都绕其公共重心，以及相互绕对方，画出共心的椭圆；反之，如果画出这样的图形，则力正比于距离。

推论Ⅱ．两个物体，其力反比于距离的平方，（由命题11，12，13）都环绕其公共重心，以及相互环绕对方，画出圆锥曲线，其焦点在图形环绕的中心。反之，如果画出这样的图形，则向心力反比于距离的平方。

推论Ⅲ．绕公共重心旋转的两个物体，其伸向该中心或对方的半径所掠过的面积正比于时间。

命题59　定理22

两个物体S和P绕其公共重心C运动的周期，比其中一个物体P绕另一个保持固定的物体S，并做出相似且相等于二物体相互环绕所作图形的运动的周期，等于比。

因为，由前一命题的证明，画出任意相似弧PQ和pq的时间的比等于比或，即等于比。将该比值叠加，画出整个相似弧PQ和pq的时间的和，即画出整个图形的总时间，等于同一比值，比。

证毕。

命题60　定理23

如果两个物体P和S，以反比于它们的距离平方的力相互吸引，绕它们的公共重心旋转：则其中一个物体，如P，绕另一个物体S旋转所画出的椭圆的主轴，与同一个物体P以相同周期环绕固定了的另一个物体S运动所画成的椭圆的主轴，二者之比等于两个物体的和S＋P比该和与另一个物体S之间的两个比例中项中前一项。

因为，如果画出椭圆是相等的，则由前一定理知，它们的周期的时间正比于物体S与物体的和S＋P的比的平方根。令后一椭圆的周期时间按相同比例减小，则周期相等；但由命题15，该椭圆的主轴将按前一比值的次幂减小；即，它的立方等于S比S＋P，因而它的轴比另一椭圆的轴等于S＋P与S比S＋P之间的两个比例中项中的前一个之间的比。反之，绕运动物体画出的椭圆的主轴比绕不动物体画出的椭圆主轴等于S＋P比S＋P与S之间的两个比例中项中的前一项。

证毕。

命题61　定理24

如果两个物体以任意种类的力相互吸引，不受其他干扰或阻碍，以任意方式运动，则它们的运动等同于它们并不相互吸引，而都受到位于它们的公共重心的第三个物体的相同的力的吸引；而且该吸引力的规律，就物体到公共重心的距离，以及两物体之间的距离而言，是相同的。

因为使物体相互吸引的力，在指向物体的同时，也指向位于物体之间连线上的公共引力中心；所以与从其间的物体上所发出的力相同。

证毕。

又，因为其中一个物体到公共中心的距离与两物体间距离的比值已给定，当然也就可以求出一个距离的任意次幂与另一种距离的同次幂的比值；还可以求出一个距离以任意方式与给定量组合而任意导出的新量，与另一个距离以相同方式与数量相同且与该距离和第一个距离有相同比值的量所复合而成的另一个新的量的比值。所以，如果一个物体受另一个物体的吸引力正比或反比于两物体间的相互距离，或正比于该距离的任意次幂；或者，正比于该距离以任意方式与给定量所复合而成的量；则使同一个物体为公共引力中心所吸引的相同的力，也以相同方式正比或反比于被吸引物体到公共引力中心的距离，或正比于该距离的任意次幂；或者，最后，正比于以相同方式由该距离与类似的已知量的复合量。即，吸引力的规律对这两种距离而言是相同的。

证毕。

命题62　问题38

求相互间吸引力反比于距离平方的两个物体自给定处所下落的运动。

由上述定理，物体的运动方式与它们受置于公共重心的三个物体吸引相同；由命题假设该中心在运动开始时是固定的，所以，（由运动定律推论Ⅳ）它总是固定的。所以物体的运动（由问题25）可以由与它们受指向该中心的力推动的相同方式求出；由此即得到相互吸引物体的运动。

完毕。

命题63　问题39

求两个以反比于其距离的平方的力相互吸引的物体自给定处所以给定速度沿给定方向的运动。

开始时物体的运动已给定，因而可以求出公共重心的均匀运动，以及随该中心沿直线做匀速运动的空间的运动，以及最初，或开始时物体相对于该空间的运动。（由运动定律推论Ⅴ和前一定理）物体随后在该空间中的运动，其方式与该空间和公共重心保持静止，以及二物体间没有吸引力，而受位于公共重心的第三个物体的吸引相同。所以在此运动空间中，每个离开给定处所，以给定速度沿给定方向运动，且受到指向该中心的向心力作用的物体的运动，可以由问题9和26求出，同时还可以求出另一个物体绕同一中心的运动。将此运动与该空间以及在其中环绕的物体的整个系统的匀速直线运动合成，即得到物体在不动空间中的绝对运动。

完毕。

命题64　问题40

设物体相互间吸引力随其到中心距离的简单比值而增加，求各物体相互间的运动。

设前两个物体T和L的公共重心是D。则由定理21推论I知，它们画出以D为重心的椭圆，由问题5可以求出椭圆的大小。

设第三个物体S以加速力ST，SL吸引前两个物体T和L，它也受到它们的吸引。力ST（由运动定律推论Ⅱ）可以分解为力SD，DT；而力SL可分解为力SD和DL。力DT，DL的合力是TL，它正比于使二物体相互吸引的加速力，将该力加在物体T和L的力上，前者加于前者，后者加于后者，得到的合力仍与先前一样正比于距离DT和DL，只是比先前的力大；所以（由命题10推论Ⅰ，命题4推论Ⅰ和Ⅷ）它与先前的力一样使物体画出椭圆，但运动得更快。余下的加速力SD和DL，通过其运动力SD·T和SD·L，沿平行于DS的直线TI和LK同样吸引物体，完全不改变物体相互间的位置，只能使它们同等地趋近直线IK，该直线通过物体S的中心，且垂直于直线DS。但这种向直线IK的趋近受到阻止，物体T和L在一边，而物体S在另一边组成的系统以适当速度绕公共重心C旋转。在这种运动中，由于运动力SD·T与SD·L的和正比于距离CS，物体S倾向于重心C，并关于该中心画出椭圆；而由于CS与CD成正比，点D画出与对应的类似椭圆。受到运动SD·T和SD·L吸引力的物体T和L，如前面所说，前者对应前者，后者对应后者，同等地沿平行直线TI和LK的方向，（由运动定律推论Ⅴ和Ⅵ）绕运动点D画出各自的椭圆。

完毕。

如果再加上第四个物体V，由同样的理由可以证明，该物体与点C关于围绕公共重心B画出椭圆；而物体T，L和S绕重心D和C的运动不变，只是速度加快了。运用相同方法还可以随意加上更多的物体。

完毕。

即使物体T和L相互吸引的加速力大于或小于它们按距离比例吸引其他物体的加速力，上述情形仍成立。令所有加速吸引力相互间的比等于吸引物体距离的比，则由以前的定理容易推知，所有物体都在一个不动平面上以相同周期关于它们的公共重心B画出不同的椭圆。

完毕。

命题65　定理25

力随其到中心距离的平方而减小的物体，相互间沿椭圆运动；而由焦点引出的半径掠过的面积极近似于与时间成正比。

在前一命题中我们已证明了沿椭圆精确进行的运动情形。力的规律与该情形的规律相距越远，物体运动间的相互干扰越大；除非相互距离保持某种比例，否则按该命题所假设的规律相互吸引的物体不可能严格沿椭圆运动。不过，在下述诸情形中轨道与椭圆差别不大。

情形1．设若干小物体围绕某个很大的物体在距它不同距离上运动，且指向每个物体的力正比于其距离。因为（由运动定律推论Ⅳ）它们全体的公共重心或是静止，或是匀速运动，设小物体如此之小，以至于根本不能测出大物体到该重心的距离；因而大物体以无法感知的误差处静止或匀速运动状态中；而小物体绕大物体沿椭圆运动，其半径掠过的面积正比于时间；如果我们排除由大物体到公共重心间距所引入的误差，或由小物体相互间作用所引入的误差的话。可以使小物体如此缩小，使该间距和物体间的相互作用小于任意给定值；因而其轨道成为椭圆，对应于时间的面积没有不小于任意给定值的误差。

证毕。

情形2．设一个系统，其中若干小物体按上述情形绕一个极大物体运动，或设另一个相互环绕的二体系统，做匀速直线运动，同时受到另一个距离很远的极大物体的推动而偏向一侧。因为沿平行方向推动物体的加速不改变物体相互间的位置，只是在各部分维持其间的相互运动的同时，推动整个系统改变其位置，所以相互吸引物体之间的运动不会因该极大物体的吸引而有所改变，除非加速吸引力不均匀，或相互间沿吸引方向的平行线发生倾斜。所以，设所有指向该极大物体的加速吸引力反比于它和被吸引物体间距离的平方，通过增大极大物体的距离，直到由它到其他物体所作的直线长度之间的差，以及这些直线相互间的倾斜都可以小于任意给定值，则系统内各部分的运动将以不大于任意给定值的误差继续进行。因为，由于各部分间距离很小，整个被吸引的系统如同一个物体，它像一个物体一样因而受到吸引而运动；即，它的重心将关于该极大物体画出一条圆锥曲线（即如果该吸引较弱画出抛物线或双曲线，如果吸引较强则画出椭圆）；而且由极大物体指向该系统的半径将正比于时间掠过面积，而由前面假设知，各部分间距离所引起的误差很小，并可以任意缩小。

证毕。

由类似的方法可以推广到更复杂的情形，以至于无限。

推论Ⅰ．在情形2中，极大物体与二体或多体系统越是趋近，则该系统内各部分相互间运动的摄动越大；因为由该极大物体作向各部分的直线相互间倾斜变大；而且这些直线比例不等性也变大。

推论Ⅱ．在各种摄动中，如果设系统所有各部分指向极大物体的加速吸引力相互之间的比不等于它们到该极大物体的距离的平方的反比，则摄动最大；尤其当这种比例不等性大于各部分到极大物体距离的不等性时更是如此。因为，如果沿平行线方向同等作用的加速力并不引起系统内部分运动的摄动，而当它不能同等作用时，当然必定要在某处引起摄动，其大小随不等性的大小而变化。作用于某些物体上较大推斥力的剩余部分并不作用于其他物体，必定会使物体间的相互位置发生改变。而这种摄动迭加到由于物体间连线的不等性和倾斜而产生摄动上，将使整个摄动更大。

推论Ⅲ．如果系统中各部分沿椭圆或圆周运动，没有明显的摄动，且它们都受到指向其他物体的加速力的作用，则该力十分微弱，或在很近处沿平行方向近于同等地作用于所有部分之上。

命题66　定理26

三个物体，如果它们相互吸引的力随其距离的平方而减小；且其中任意两个倾向于第三个的加速吸引力反比于相互间距离的平方；且两个较小的物体绕最大的物体旋转：则两个环绕物体中较靠内的一个作向最靠内且最大物体的半径，环绕该物体所掠过的面积更接近于正比于时间，画出的图形更接近于椭圆，其焦点位于二个半径的交点，如果该最大物体受到这吸引力的推动，而不是像它完全不受较小物体的吸引，因而处于静止；或者像它被远为强烈的，或远为微弱的力所吸引，或在该吸引力作用下被远为强烈地，或远为微弱地推动所表现的那样的话。

由前一命题的第二个推论不难得出这一结论，但也可以用某种更严格更一般的方法加以证明。

情形1．令小物体P和S在同一平面上关于最大物体T旋转，物体P画出内轨道PAB，S画出外轨道ESE。令SK为物体P和S的平均距离；物体P在平均距离处指向S的加速吸引力由直线SK表示。作SL比SK等于SK的平方比SP的平方，则SL是物体P在任意距离SP处指向S的加速吸引力。连接PT，作LM平行于它并与ST相交于M；将吸引力SL分解（由运动定律推论Ⅱ）为吸引力SM，LM。这样，物体P受到本三个吸引力的作用。其中之一指向T，来自物体T和P的相互吸引。该力使物体P以半径PT环绕物体T，掠过的面积正比于时间，画出的椭圆焦点位于物体T的中心；这一运动与物体T处于静止或受该吸引力而运动无关，这可以由命题11，以及定理21的推论Ⅱ和Ⅲ知道。另一个力是吸引力LM，由于它由P指向T，因而叠加在前一个力上，产生的面积，由定理21推论Ⅲ知，也正比于时间。但由于它并不反比于距离PT的平方，在迭加到前一个力上后，产生的复合力将使平方反比关系发生变化；复合力中这个力的比例相对于前一个力越大，变化也越大，其他方面则保持不变。所以，由命题11，定理21推论Ⅱ，画出以T为焦点的椭圆的力本应指向该焦点，且反比于距离PT的平方，而使该关系发生变化的复合力将使轨道PAB由以T的焦点的椭圆轨道发生变化；该力的关系变化越大，轨道的变化也同样大的变化，而且第二个力LM相对于第一个力的比例也越大，其他方面保持不变。而第三个力SM沿平行于ST的方向吸引物体P，与另两个力合成的新力不再直接由P指向T；这种方向变化的大小与第三个力相对于另两个力的比例相同，其他方面保持不变，因此，使物体P以半径TP掠过的面积不再正比于时间；相对于该正比关系发生变化的大小与第三个力相对于另两个力的比例的大小相同。然而这第三个力加剧了轨道PAB相对于前两种力造成的相对于椭圆图形的变化：首先，力不是由P指向T；其次，它不反比于距离PT的平方。当第三个力尽可能地小，而前两个力保持不变时，掠过的面积最为接近于正比于时间；而当第二和第三两个力，特别是第三个力，尽可能地小，第一个力保持先前的量不变时，轨道PAB最接近于上述椭圆。

令物体T指向S的加速吸引力以直径SN表示；如果加速吸引力SM与SN相等，则该力沿平行方向同等地吸引物体T和P，完全不会引起它们相互位置的改变，由运动定律推论Ⅵ，这两个物体之间的相互运动与该吸引力完全不存在时一样。由类似的理由，如果吸引力SN小于吸引力SM，则SM被吸引力SN抵消掉一部分，而只有（吸引力）剩余的部分MN干扰面积与时间的正比性和轨道的椭圆图形。再由类似的方法，如果吸引力SN大于吸引力SM，则轨道与正比关系的摄动也由吸引力差MN引起。在此，吸引力SN总是由于SM而减弱为MN，第一个与第二个吸引力完全保持不变。所以，当MN为零或尽可能小时，即当物体P和T的加速吸引力尽可能接近于相等时，亦即吸引力SN既不为零，也不小于吸引力SM的最小值，而是等于吸引力SM的最大值和最小值的平均值，即既不远大于也不远小于吸引力SK之时，面积与时间最接近于正比关系，而轨道PAB也最接近于上述椭圆。

证毕。

情形2．令小物体P，S关于大物体T在不同平面上旋转。在轨道PAB平面上沿直线PT方向的力LM的作用与上述相同，不会使物体P脱离该轨道平面。但另一个力NM，沿平行ST的直线方向作用（因而，当物体S不在交点连线上时，倾向于轨道PAB的平面），除引起所谓纵向摄动之外，还产生另一种所谓横向摄动，把物体P吸引出其轨道平面。在任意给定物体P和T的相互位置情形下，这种摄动正比于产生它的力MN；所以，当力MN最小时，即（如前述）当吸引力既不远大于也不远小于吸引力SK时，摄动最小。

证毕。

推论Ⅰ．所以，容易推知，如果几个小物体P，S，R等关于极大物体T旋转，则当大物体与其他物体相互间都受到吸引和推动（根据加速吸引力的比值）时，在最里面运动的物体P受到的摄动最小。

推论Ⅱ．在三个物体T，P，S的系统中，如果其中任意两个指向第三个的加速吸引力反比于距离的平方，则物体P以PT为半径关于物体T掠过面积时，在会合点A及其对点B附近时快于掠过方照点C和D。因为，每一种作用于物体P而不作用于物体T的力，都不沿直线PT方向，根据其方向与物体的运动方向相同或是相反，对它掠过面积加速或减速。这就是力NM。在物体由C向A运动时，该力指向运动方向，对物体加速；在到达D时，与运动方向相反，对物体减速；然后直到运动到B，它与运动同向；最后由B到C时它又与运动反向。

推论Ⅲ．由相同理由知，在其他条件不变时，物P在会合点及其对点比在方照点运动得快。

推论Ⅳ．在其他条件不变时，物体P在轨道在方照点比在会合点及其对点弯曲度大。因为物体运动越快，偏离直线路径越少。此外，在会合点及其对点。力KL，或NM与物体T吸引物体P的力方向相反，因而使该力减小；而物体P受物体T吸引越小，偏离直线路径越小。

推论Ⅴ．在其他条件不变时，物体P在方照点比在会合点及其对点距物体T更远。不过这仅在不计偏心率变化时才成立。因为如果物体P的轨道是偏心的，当回归点位于朔望点时，其偏心率（如将在推论Ⅸ中计算的）最大，因而有可能出现这种情况，当物体P的朔望点接近其远回归点时，它到物体T的距离大于在方照点的距离。

推论Ⅵ．因为使物体P滞留在其轨道上的中心物体T的向心力，在方照点由于力LM的加入而增强，而在朔望点由于减去力KL而削弱，又因为力KL大于LM，因而削弱的多于增强的；而且，由于该向心力（由命题4推论Ⅱ）正比于半径TP，反比于周期的平方变化，所以不难推知力KL的作用使合力比值减小；因此设轨道半径PT不变，则周期增加，并正比于该向心力减小比值的平方根；因此，设半径增大或减小，则由命题4推论Ⅵ，周期以该半径的次幂增大或减小。如果该中心物体的吸引力逐渐减弱，被越来越弱地吸引的物体P将距中心物体T越来越远；反之，如果该力越来越强，它将距T越来越近。所以，如果使该力减弱的远物体S的作用由于旋转而有所增减，则半径TP也相应交替地增减；而随着远物体S的作用的增减，周期也随半径的比值的次幂，以及中心物体T的向心力的减弱或增强比值的平方根的复合比值而增减。

推论Ⅶ．由前面证明的还可以推知，物体P所画椭圆的轴，或回归线的轴，随其角运动而交替前移或后移，只是前移较后移为多，因此总体直线运动是向前移的。因为，在方照点力MN消失，把物体P吸引向T的力由力LM和物体T吸引物体P的向心力复合而成。如果距离PT增加，第一个力LM近似于以距离的相同比例增加，而另一个力则以正比于距离比值的平方减少；因此两个力的和的减少小于距离PT比值的平方；因此由命题45推论Ⅰ，将使回归线，或者等价地，使上回归点后移。但在会合点及其对点使物体P倾向于物体T的力是力KL与物体T吸引物体P的力的差，而由于力KL极近似于随距离PT的比值而增加，该力差的减少大于距离PT比值的平方；因此由命题45推论Ⅰ，使回归线前移。在朔望点和方照点之间的地方，回归线的运动取决于这两种因素的共同作用，因此它按两种作用中较强的一项的剩余值比例前移或后移。所以，由于在朔望点力KL几乎是力LM在方照点的二倍，剩余在力KL一方，因而回归线向前移。如果设想两个物体T和P的系统为若干物体S，S，S，等等在各边所环绕，分布于轨道ESE上，则本结论与前一推论便易于理解了，因为由于这些物体的作用，物体T在每一边的作用都减弱，其减少大于距离比值的平方。

推论Ⅷ．但是，由于回归点的直线或逆行运动决定于向心力的减小，即决定于在物体由下回归点移向上回归点过程中，该力大于或是小于距离TP比值的平方；也决定于物体再次回到下回归点时向心力类似的增大；所以，当上回归点的力与下回归点的力的比值较之距离平方的反比值有最大差值时，该回归点运动最大。不难理解，当回归点位于朔望点时，由于相减的力KL或NM－LM的缘故，其前移较快；而在方照点时，由于相加的力LM，其后移较慢。因为前行速度或逆行速度持续时间很长，这种不等性相当明显。

推论Ⅸ．如果一个物体受到反比于它到任意中心的距离的平方的力的阻碍，环绕该中心运动；在它由上回归点落向下回归点时，该力受到一个新的力的持续增强，且超过距离减小比值的平方，则该总是被吸引向中心的物体在该新的力的持续作用下，将比它单独受随距离减小的平方而减小的力的作用更倾向于中心，因而它画出的轨道比原先的椭圆轨道更靠内，而且在下回归点更接近于中心。所以，新力持续作用下的轨道更为偏心。如果随着物体由下回归点向上回归点运动再以与上述的力的增加的相同比值减小向心力，则物体回到原先的距离上；而如果力以更大比值减小，则物体受到的吸引力比原先要小，将迁移到较大的距离，因而轨道的偏心率增大得更多。所以，如果向心力的增减比值在每一周中都增大，则偏心率也增大；反之，如果该比值减小，则偏心率也减小。

所以，在物体T，P，S的系统中，当轨道PAB的回归点位于方照点时，上述增减比值最小，而朔望点时最大。如果回归点位于方照点，该比值在回归点附近小于距离比值的平方，而在朔望点大于距离比值的平方；而由该较大比值即产生的回归线运动，正如前面所述。但如果考虑上下回归点之间的整个增减比值，它还是小于距离比值的平方。下回归点的力比上回归点的力小于上回归点到椭圆焦点的距离与下回归点到同一焦点的距离的比值的平方，反之，当回归点位于朔望点时，下回归点的力比上回归点的力大于上述距离比值的平方。因为在方照点，力LM叠加在物体T的力上，复合力比值较小；而在朔望点，力KL减弱物体T的力，复合力比值较大。所以，在回归点之间运动的整个增减比值，在方照点最小，在朔望点最大；所以，回归点在由方照点向朔望点运动时，该比值持续增大，椭圆的偏心率也增大；而在由朔望点向方照点运动时，比值持续减小，偏心率也减小。

推论Ⅹ．我们可以求出纬度误差。设轨道EST的平面不动，由上述误差的原因可知，两个力NM，ML是误差的唯一和全部原因，其中力ML总是在轨道PAB平面内作用，不会干扰纬度方向的运动；而力NM，当交会点位于朔望点时，也作用于轨道的同一平面，此时也不会影响纬度运动。但当交会点位于方照点时，它对纬度运动有强烈干扰，把物体持续吸引出其轨道平面；在物体由方照点向朔望点运动时，它减小轨道平面的倾斜，而当物体由朔望点移向方照点时，它又增加平面的倾斜。所以，当物体到达朔望点时，轨道平面倾斜最小，而当物体到达下一个交会点时，它又恢复到接近于原先的值。但如果物体位于方照点后的八分点（45°）即位于C和A，D和B之间，则由于刚才说明的原因，物体P由任一交会点向其后90°点移动时，平面倾斜逐渐减小；然后，在由下一个45°向下一个方照点移动时，倾斜又逐渐增加；其后，再由下一个45°度向交会点移动时，倾斜又减小。所以，倾斜的减小多于增加，因而在后一个交会点总是小于前一个交会点。由类似理由，当交会点位于A和D，B和C之间的另一个八分点时，平面倾斜的增加多于减小。所以，当交会点在朔望点时倾斜最大。在交会点由朔望点向方照点运动时，物体每次接近交会点，倾斜都减小，当交会点位于方照点同时物体位于朔望点时倾斜达到最小值；然后它又以先前减小的程度增加，当交会点到达下一个朔望点时恢复到原先值。

推论Ⅺ．因为，当交会点在方照点时，物体P被逐渐吸引离开其轨道平面，又因为该吸引力在它由交会点C通过会合点A向交会点D运动时是指向S的，而在它由交会点D通过对应点B移向交会点C时，方向又相反，所以，在离开交会点C的运动中，物体逐渐离开其原先的轨道平面CD，直至它到达下一个交会点，因而在该交会点上，由于它到原先平面CD距离最远，它将不在该平面的另一个交会点D，而在距物体S较近的一个点通过轨道EST的平面，该点即该交会点在其原先处所后的新处所。而由类似理由，物体由一个交会点向下一个交会点运动时，交会点也向后退移。所以，位于方照点的交会点逐渐退移；而在朔望点没有干扰纬度运动的因素，交会点不动；在这两种处所之间两种因素兼而有之，交会点退移较慢。所以，交会点或是逆行，或是不动，总是后移，或者说，在每次环绕中都向后退移。

推论Ⅻ．在物体P，S的会合点，由于产生摄动的力NM，ML较大，上述诸推论中描述的误差总是略大于对点的误差。

推论Ⅷ．由于上述诸推论中误差和变化的原因和比例与物体S的大小无关，所以即使物体S大到使二物体P和T的系统环绕它运动上述情形也会发生。物体S的增大使其向心力增大，导致物体P的运动误差增大，也使在相同距离上所有误差都增大，在这种情形下，误差要大于物体S环绕物体P和T的系统运动的情形。

推论ⅩⅣ．但是，当物体S极为遥远时，力NM，ML极其接近于正比于力SK以及PT与ST的比值；即，如果距离PT与物体S的绝对力二者都给定，反比于ST³；由于力NM，ML是前述各推论中所有误差和作用的原因；则如果物体T和P仍与先前相同，只改变距离ST和物体S的绝对力，所有这些作用都将极为接近于正比于物体S的绝对力，反比于距离ST的立方。所以，如果物体P和T的系统绕远物体S运动，则力NM，ML以及它们的作用，将（由命题4推论Ⅱ）反对于周期的平方。所以，如果物体S的大小正比于其绝对力，则力NM，ML及其作用，将正比于由T看远物体S的视在直径的立方；反之亦然。因为这些比值与上述复合比值相同。

推论ⅩⅤ．如果轨道ESE，PAB保持其形状比例及相互间夹角不变，而只改变其大小，且物体S和T的力或者保持不变，或者以任意给定比例变化，则这些力（即，物体T的力，它迫使物体P由直线运动进入轨道PAB，以及物体S的力，它使物体P偏离同一轨道）总是以相同方式和相同比例起作用。因而，所有的作用都是相似而且是成比例的。这些作用的时间也是成比例的；即，所有的直线误差都比例于轨道直径，角误差保持不变；而相似直线误差的时间，或相等的角误差的时间，正比于轨道周期。

推论ⅩⅥ．如果轨道图形和相互间夹角给定，而其大小、力以及物体的距离以任意方式变化，则我们可以由一种情形下的误差以及误差的时间非常近似地求出其他任意情形下的误差和误差时间。这可以由以下方法更简捷地求出。力NM，ML正比于半径TP，其他条件均不变；这些力的周期作用（由引理10推论Ⅱ）正比于力以及物体P的周期的平方。这正是物体P的直线误差；而它们到中心T的角误差（即回归点与交会点的运动，以及所有视在经度和纬度误差）在每次环绕中都极近似于正比于环绕时间的平方。令这些比值与推论ⅩⅣ中的比值相乘，则在物体T，P，S，的任意系统中，P在非常接近处环绕T运动，而T在很远处环绕S运动，由中心T观察到的物体P的角误差在P的每次环绕中都正比于物体P的周期的平方，而反比于物体T的周期的平方。所以回归点的平均直线运动与交会点的平均运动有给定比值；因而这两种运动都正比于物体P的周期，反比于物体T的周期的平方。轨道PAB的偏心率和倾角的增大或减小对回归点和交会点的运动没有明显影响，除非这种增大或减小确乎为数极大。

推论ⅩⅦ．由于直线LM有时大于，有时又小于半径PT，令LM的平均量由半径PT来表示：则该平均力比平均力SK或SN（它也可以由ST来表示）等于长度PT比长度ST。但使物体T维持其环绕S的轨道上的平均力SN或ST与使物体P维持在其环绕T的力的比值，等于半径ST与半径PT的比值，与物体P环绕T的周期的平方与物体T环绕S的周期的平方的比值的复合。因而，平均力LM比使物体P维持在其环绕T的轨道上的力（或使同一物体P在距离PT处关于不动点T作相同周期运动的力）等于周期的平方比值。因而周期给定，同时距离PT、平均力LM也给定；而这个力给定，则由直线PT和MN的对比也可非常近似地得出力MN。

推论ⅩⅧ．利用物体P环绕物体T的相同规律，设许多流动物体在相同距离处环绕物体T运动；它们数目如此之多，以至于首尾相接，形成圆形流体圈，或圆环，其中心在物体T；这个环的各个部分在与物体P相同的规律作用下，在距物体T更近处运动，并在它们自己以及物体S的会合点及其对点运动较快，而在方照点运动较慢。该环的交会点或它与物体S或T的轨道平面的交点在朔望点静止；但在朔望点以外，它们将退行，或逆行方向运动，在方照点时速度最大，而在其他处所较慢。该环的倾角也变化，每次环绕中它的轴都摆动，环绕结束时轴又回到原先的位置，唯有交会点的岁差使它作少许转动。

推论ⅩⅨ．设球体T包含若干非流体物体，被逐渐扩张其边缘延伸到上述环处，沿球体边缘开挖一条注满水的沟道；该球绕其自身的轴以相同周期匀速转动。则水被交替地加速或减速（如前一推论那样），在朔望点速度较快，方照点较慢，在沟道中像大海一样形成退潮和涨潮。如果撤去物体S的吸引，则水流没有潮涌和潮落，只沿球的静止中心环流。球做匀速直线运动，同时绕其中心转动时与此情形相同（由运动定律推论V），而球受直线力均匀吸引时也与此情形相同（由运动定律推论Ⅵ）。但当物体S对它有作用时，由于吸引力的变化，水获得新的运动；距该物体较近的水受到的吸引较强，而较远的吸引较弱。力LM在方照点把水向下吸引，并一直持续到朔望点：而力KL在朔望点向上吸引水，并一直持续到方照点；在此，水的涌落运动受到沟道方向的导引，以及些微的摩擦除外。

推论ⅩⅩ．设圆环变硬，球体缩小，则水的涌落运动停止；但环面的倾斜运动和交会点岁差不变。令球与环共轴，且旋转时间相同，球面接触环的内侧并连为整体；则球参与环的运动，而整体的摆动，交会点的退移一如我们所述，与所有作用的影响完全相同。当交会点在朔望点时，环面倾角最大。在交会点向方照点移动时，其影响使倾角逐渐减小，并在整个球运动中引入一项运动。球使该运动得以维持，直至环引入相反的作用抵消这一运动，并入相反方向的新的运动。这样，当交会点位于方照点时，使倾角减小的运动达到最大值，在该方照点后八分点处倾角有最小值；当交会点位于朔望点时，倾斜运动有最大值，在其后的八分点处斜角最大。对于没有环的球，如果它的赤道地区比极地地区略高或略密一些，则情形与此相同，因为赤道附近多出的物体取代了环的地位。虽然我们可以设球的向心力任意增大，使其所有部分像地球上各部分一样竖直向下指向中心，但这一现象与前述各推论却少有改变；只是水位最高和最低处有所不同；因为这时水不再靠向心力维系在其轨道内，而是靠它所沿着流动的沟道维系。此外，力LM在方照点吸引水向下最强，而力KL或NM－LM在朔望点吸引水向上最强。这些力的共同作用使水在朔望点之前的八分点不再受到向下的吸引，而转为受到向上吸引；而在该朔望点之后的八分点不再受到向上的吸引，而转为向下的吸引。因此，水的最大高度大约发生在朔望点后的八分点，其最低高度大约发生在方照点之后的八分点；只是这些力对水面上升或下降的影响可能由于水的惯性，或沟道的阻碍而有些微推延。

推论Ⅻ．由同样的理由，球上赤道地区的过剩物质使交会点退移，因此这种物质的增多会使逆行运动增大，而减少则使逆行运动减慢，除去这种物质则逆行停止。因此，如果除去较过剩者更多的物质，即如果球的赤道地区比极地地区凹陷，或物质稀薄，则交会点将前移。

推论ⅩⅫ．所以，由交会点的运动可以求出球的结构。即，如果球的极地不变，其（交会点的）运动逆行，则其赤道附近物体较多；如果该运动是前行的，则物质较少。设一均匀而精确的球体最初在自由空间中静止；由于某种侧面施加于其表面的推斥力使其获得部分转动和部分直线运动。由于该球相对于其通过中心的所有轴是完全相同的，对一个方向的轴比对另一任意轴没有更大的偏向性，则球自身的力决不会改变球的转轴，或改变转轴的倾角。现在设该球如上述那样在其表面相同部分又受到一个新的推斥力的斜向作用，由于推斥力的作用不因其到来的先后而有所改变，则这两次先后到来的推斥力冲击所产生的运动与它们同时到达效果相同，即与球受到由这二者复合而成的单个力的作用而产生的运动相同（由运动定律推论Ⅱ），即产生一个关于给定倾角的轴的转动。如果第二次推斥力作用于第一次运动的赤道上任意其他处所，情形与此相同，而第一次推斥力作用在由第二次作用所产生的运动的赤道上的任意一点上的情形也与此完全相同；所以二次推斥力作用于任意处的效果均相同，因为它们产生的旋转运动与它们同时共同作用于由这两次冲击分别单独作用所产生的运动的赤道的交点上所产生的运动相同。所以，均匀而完美的球体并不存留几种不同的运动，而是将所有这些运动加以复合，化简为单一的运动，并总是尽其可能地绕一根给定的轴作单向匀速转动，轴的倾角总是维持不变。向心力不会改变轴的倾角，或转动的速度。因为如果设球被通过其中心的任意平面分为两个半球，向心力指向该中心，则该力总是同等地作用于这两个半球，所以不会使球关于其自身的轴的转动有任何倾向。但如果在该球的赤道和极地之间某处添加一堆像山峰一样的物质，则该堆物质通过其脱离运动中心的持续作用，干扰球体的运动，并使其极点在球面上游荡，关于其自身以及其对点运动画出圆形，极点的这种巨大偏移运动无法纠正，除非把此山移到二极之一，在此情形中，由推论ⅩⅪ，赤道的交会点顺行；或移至赤道地区，这种情形中，由推论ⅩⅩ，交会点逆行；或者，最后一种方法，在轴的另一边加上另一座新的物质山堆，使其运动得到平衡；这样，交会点或是顺行，或是逆行，这要由山与新增的物质是近于极地或是近于赤道来决定。

命题67　定理27

在相同的吸引力规律下，较外的物体S，以它伸向较内的物体P与T的公共重心点O的半径环绕该重心运动，比它以伸向最里面最重的物体T的半径环绕该物体T的运动，所掠过的面积更近于正比于时间，画出的轨道更近于以该重心为焦点的椭圆。

因为物体S指向T和P的吸引力复合成其绝对吸引力，它更近于指向物体T和P的公共重心O，而不是最大的物体T；它更近于反比于距离SO的平方，而不是距离ST的平方；这稍作考虑即可明白。

证毕。

命题68　定理28

在相同的吸引力规律下，如果最里面最大的物体像其他物体一样也受到该吸引力的推动，而不是处于静止，完全不受吸引力作用，或者，不是被或是极强或是极弱地吸引而极强或是极弱地被推动，则最外面的物体S，以其伸向较内的物体P和T的公共重心的半径，关于该重心所掠过的面积更近于正比于时间，其轨道也更近于以该重心为焦点的椭圆。

该定理可以用与命题66相同的方法证明，但由于它冗长繁琐，我在此略过。可以用如下简便方法来考虑。由前一命题的证明易知，物体S受到两个力的共同作用而倾向的中心，非常接近于另两个物体的公共重心，如果该中心与该公共重心重合，而且这三个物体的公共重心是静止的，物体S位于其一侧，而那两个物体的公共重心位于其另一侧，都将关于该静止公共重心画出真正的椭圆。这可以由命题58推论Ⅱ，比较命题64和65的证明推知。现在这一精确的椭圆运动受到二个物体的重心到使第三个物体S被吸引的中心的距离的微小干扰，而且，还要加上三个物体公共重心的运动，摄动增加更多。所以，当三个物体的公共重心静止时，即当最里面、最大的物体T受到与其他物体一样的吸引力作用时，摄动最小；而当三物体的公共重心，由于物体T的运动的减小而开始运动，并越来越剧烈时，摄动最大。

推论．如果若干小物体绕大物体旋转，容易推知，如果所有物体都受到正比于其绝对力，反比于距离平方的加速力的相互吸引和推动，如果每个轨道的焦点都位于所有较靠里面物体的公共重心上（即，如果第一个和最靠里面的轨道的焦点位于最大和最里面物体的重心上；第二个轨道的焦点位于最里面二个物体的公共重心上；第三个轨道的焦点位于最里面的三个物体的公共重心上，以此类推），而不是最里面的物体处于静止，而且是所有轨道的公共焦点，则轨道接近于椭圆，面积的生成也比较均匀。

命题69　定理29

在若干物体A，B，C，D，等等的系统中，如果其中一个，如A，吸引所有其他物体B，C，D，等等，加速力反比于到吸引物体距离的平方；而另一个物体，如B，也吸引所有其他物体A，C，D，等等，加速力也反比于到吸引物体的距离的平方；则吸引物体A和B的绝对力相互间的比就等于这些力所属的物体A和B的比。

因为，由假设知，所有物体B，C，D，指向物体A的加速吸引力在距离相同时相等；由类似方法知所有物体指向B的加速吸引力在距离相同处也相等。而物体A的绝对吸引力比物体B的绝对吸引力，等于所有物体指向物体A的绝对吸引力比在相同距离处所有物体指向物体B的绝对吸引力；物体B指向物体A的吸引力比物体A指向物体B的加速吸引力也与此相等。但是，物体B指向物体A的加速吸引力比物体A指向物体B的加速吸引力等于物体A的质量比物体B的质量；因为运动力（由第二，第七和第八定义）正比于加速力乘以被吸引的物体，且由第三定律相互间是相等的。所以物体A的绝对加速力比物体B的绝对加速力等于物体A的质量比物体B的质量。

证毕。

推论Ⅰ．如果系统A，B，C，D中的每一个物体都独自以反比于它到吸引物体的距离的平方的加速力吸引其他物体，则所有这些物体的绝对力之间的比等于它们自身的比。

推论Ⅱ．由类似理由，如果系统A，B，C，D中的每一个物体都独自吸引其他物体，其加速力或是反比或是正比于它到吸引物体的任意次幂；或者，该力按某种共同规律由它到吸引物体间的距离来决定；则易知这些物体的绝对力正比于物体自身。

推论Ⅲ．在一系统中力正比于距离的平方而减少，如果小物体沿椭圆绕一个极大物体运动，它们的公共焦点位于极大物体的中心，椭圆形状极为精确；而且，伸向该极大物体的半径精确地正比于时间掠过半径；则这些物体的绝对力相互间的比，或是精确地或是接近于等于物体的比，反之亦然。这可以由命题68的推论与本命题的第一个推论比较得证。

附注

由这些命题自然使我们推知向心力与这种力通常所指向的中心物体之间类似之处；因为有理由认为被指向物体的向心力应当由这些物体的性质和量来决定，如我们在磁体实验中所见到的那样。当发生这种情形时，我们必须通过赋予它们中每一个以适当的力来计算物体的吸引，再求出它们的总和。我在此使用吸引一词是广义的，指物体所造成的相互趋近的一切企图，不论这企图来自物体自身的作用，由于发射精气而相互靠近或推移；或来自以太，或空气，或任意媒介的相互作用，不论这媒介是物质的还是非物质的，以任意方式促使处于其中的物体相互靠拢。我使用推斥一词同样是广义的。在本书中我并不想定义这些力的类别或物理属性，而只想研究这些力的量与数学关系，一如我们以前在定义中所声明的那样。在数学中，我们研究力的量以及它们在任意设定条件下的相互关系，而在物理学中，则要把这些关系与自然现象作比较，以便了解这些力在哪些条件下对应着吸引物体的哪些类型。做完这些准备工作之后，我们就更有把握去讨论力的本质、原因和关系。现在，让我们再来研究用哪些力可以使由具有吸引能力的部分组成的球体必定按上述方式相互作用，以及因此会产生哪些类型的运动。

第12章

球体的吸引力

命题70　定理30

如果指向球面每一点的相等的向心力随到这些点的距离的平方减小，则该球面内的小球将不会受到这些向心力的吸引。

令HIKL为球面，P是球面内的小球。通过P向球面作条直线HK，IL，截取极短弧长HI，KL；因为（由引理7推论Ⅲ）三角形HPI，LPK相似，这些弧正比于距离HP，LP；落在由通过P的直线在球面上所限定的弧HI和KL之内的那些粒子，正比于这些距离的平方。所以这些粒子作用于物体P上的力相互间相等。因为力正比于粒子，反比于距离的平方。这两个比值复合成相等的比值1:1。所以吸引相等，但作用于相反方向上，相互抵消。由类似理由，整个球面产生的吸引由于反向吸引而全部抵消。所以物体P完全不受这些吸引力的作用。

证毕。

命题71　定理31

在相同条件下，球面外小球受到的指向球面中心的吸引力反比于它到该中心距离的平方。

令AHKB，ahkb为关于中心S。s的两个相等的球面，它们的直径为AB，ab；令P和p为二球面外直径延长线上的小球。由小球作直线PHK，PIL，phk，pil，在大圆AHB，ahb上截取相等弧长HK，hk，IL，il；并作这些直线的垂线SD，sd，SE，se，IR，ir；其中SD，sd与PL，pl交于F和f。再在直径上作垂线IQ，iq。现在令角DPE，dpe消失；因为DS与ds，ES与es相等，故可以取直线PE，PF与pe，pf，以及短线段DF，df相等；因为当角DPE，dpe共同消失时，它们的比值是相等的比值。由此可得：

以及

将对应项相乘，

又，

以及

因而，

将其对应项与前面相似的比例式相乘：

即，等于当半圆AKB关于其直径AB旋转时弧IH所掠过的环面，比当半圆akb关于其直径ab旋转时弧ih所掠过的环面。而由假设条件知，使这些环面沿指向它们的方向吸引小球P和p的力正比于环面自身，反比于环面到小球的距离的平方；即等于pf·ps比PF·PS。又，这些力与其沿直线PS，ps指向球心的斜向部分（由像定律推论Ⅱ中那样力的分角得到）的比，等于PI比PQ，以及pi比pq；即（由于三角形PIQ与PSF，以及pig与psf相似）等于PS比PF以及ps比pf。所以，吸引小球P指向S的吸引力比吸引小球p指向s的力，等于比，即等于ps²比PS²。而且，由类似理由，弧KL，kl旋转生成的环面吸引小球的力的比也等于ps²比PS²。在球面上，只要取sd等于SD，se等于SE，则所分割的环面对小球的吸引力的比总是有相同的比值。所以，把它们再组合起来，整个球面作用于小球的力的比也有相同比值。

证毕。

命题72　定理32

如果指向球上若干点的相等的向心力随其到这些点的距离的平方而减小，而且球的密度以及球直径与小球到球中心的比值为给定值，则使小球被吸引的力正比于球半径。

因为，设想两个小球分别受到两个球的吸引，一个吸引一个，另一个吸引另一个，且它们到球心的距离分别正比于球的直径；则球可以分解为与小球所在位置相对应的相似粒子。则一个小球对球各相似粒子的吸引比其他小球对其他球同样多的相似粒子的吸引，等于正比于各部分间的比值与反比于距离平方的比值的复合比。而各粒子正比于球，即正比于直径的立方，而距离正比于直径；所以第一个比值正比于后一个比值的二次反比，变成直径与直径的比值。

证毕。

推论Ⅰ．如果多个小球绕由同等吸引的物质组成的球做圆周运动，且到球中心的距离正比于它们的直径，则环绕周期相等。

推论Ⅱ．反之，如果周期相等，则距离正比于直径。这两个推论可由命题4推论Ⅲ得证。

推论Ⅲ．如果两个物体形状相似密度相等，其上各点的相等的向心力随到这些点的距离的平方而减少，则使处于相对于两个物体相似位置上的小球受吸引的力之间的比，等于物体的直径的比。

命题73　定理33

如果已知球上各点相等的向心力随到这些点的距离的平方而减小，则球内小球受到的吸引力正比于它到中心的距离。

在以S为中心的球的ACBD中，置入一小球P；关于同一中心S，以间隔SP为半径作一内圆PEQF。易知（由命题70）共心球组成的球面差AEBF对于其上的物体P不发生作用，吸引力被反向吸引所抵消。所以只剩下内球PEQF的吸引力，而（由命题72）该吸引力正比于距离PS。

证毕。

附注

我在此设想的构成固体的表面，并不是纯数学面，而是极薄的壳体，其厚度几乎为零；即，当壳体的数目不断增加时，最终构成球的新生壳体的厚度无限减小。同样地，构成线、面和体的点也可看做是一些相等的粒子，其大小也是完全不可想像的。

命题74　定理34

在相同条件下，球外的小球受到的吸引力反比于它到球心的距离的平方。

设该球分割为无数共心球面，各球面对小球的吸引（由命题71）反比于小球到球心的距离的平方。通过求和，这些吸引力的和，即整个球对小球的吸引力，也等于相同比值。

证毕。

推论Ⅰ．均匀球在相同距离处的吸引力的比等于球自身的比。因为（由命题72）如果距离正比于球的直径，则力的比等于直径的比。令较大的距离以该比值减小，使距离相等，则吸引力以该比值的平方增大；所以它与其他吸引力的比等于该比值的立方，即等于球的比值。

推论Ⅱ．在任意距离处吸引力正比于球，反比于距离的平方。

推论Ⅲ．如果位于均匀球外的小球受到的吸引力反比于它到球心距离的平方，而球由吸引粒子组成，则每个粒子的力将随小球到每个粒子的距离的平方而减小。

命题75　定理35

如果加在已知球上的各点的向心力随到这些点的距离的平方而减小，则另一个相似的球也受到它的吸引，该力反比于二球心距离的平方。

因为，每个粒子的吸引反比于它到吸引球的中心的距离的平方（由命题74），因而该吸引力如同出自一个位于该球心的小球。另一方面，该吸引力的大小等于该小球自身所受到的吸引，如同它受到被吸引球上各粒子以等于它吸引它们的力吸引它一样。而小球的吸引（由命题74）反比于它到被吸引球的中心的距离的平方；所以，与之相等的球的吸引的比值相同。

证毕。

推论Ⅰ．球对其他均匀球的吸引正比于吸引的球除以它们的中心到被他们吸引的球心距离的平方。

推论Ⅱ．被吸引的球也能吸引时情形相同。因为一个球上若干点吸引另一个球上若干点的力，与它们被后者吸引的力相同；由于在所有吸引作用中（由第三定律），被吸引的与吸引的点二者同等作用，吸引力由于它们的相互作用而加倍，而其比例保持不变。

推论Ⅲ．在涉及物体关于圆锥曲线的焦点运动时，如果吸引的球位于焦点，物体在球外运动，则上述诸结论均成立。

推论Ⅳ．如果环绕运动发生在球内，则仅有物体绕圆锥曲线的中心运动才满足上述结论。

命题76　定理36

如果若干球体（就其物质密度和吸引力而言）相互间由其中心到表面的同类比值完全不相似，但各球在其到中心给定距离处是相似的，而且各点的吸引力随其到被吸引物体的距离的平方而减小：则这些球体中的一个吸引其他球体的全部的力反比于球心距离的平方。

设若干同心相似球AB，CD，EF，等等。其中最里面的一个加上最外面的一个所包含的物质其密度大于球心，或者减去球心处密度后余下同样稀薄的物质。则由命题75，这些球体将吸引其他相似的同心球GH，IK，LM等，其中每一个对其他一个的吸引力反比于距离SP的平方。运用相加或相减方法，所有这些力的总和，或者其中之一与其他的差，即整个球体AB（包括所有其他同心球或它们的差）的合力吸引整个球体GH（包括所有其他同心球或它们的差）也等于相同比值。令同心球数目无限增加，使物质密度同时使吸引力在沿由球面到球心的方向上按任意给定规律增减；并通过增加无吸引作用的物质补足不足的密度，使球体获得所期望的任意形状；而由前述理由，其中之一吸引其他球体的力同样反比于距离的平方。

证毕。

推论Ⅰ．如果有许多此类的球，在一切方面相似，相互吸引，则每个球体对其他一个球体的加速吸引作用，在任意相等的中心距离处，都正比于吸引球体。

推论Ⅱ．在任意不相等的距离处，正比于吸引球体除以二球心距离的平方。

推论Ⅲ．一个球相对于另一个球的运动吸引，或二者间的相对重量，在相同的球心距离处，共同正比于吸引的与被吸引的球，即正比于这两个球的乘积。

推论Ⅳ．在不同的距离处，正比于该乘积，反比于二球心距离的平方。

推论Ⅴ．如果吸引作用由两个球相互作用产生，上述比例式依然成立。因为两个力的相互作用仅使吸引作用加倍，比例式保持不变。

推论Ⅵ．如果这样的球绕其他静止的球转动，每个球绕另一个球转动，而且静止球与运动球心的距离正比于静止球的直径，则环绕周期相同。

推论Ⅶ．如果周期相同，则距离正比于直径。

推论Ⅷ．在绕圆锥曲线焦点的运动中，如果具有上述条件和形状的吸引球位于焦点上，上述结论成立。

推论Ⅸ．如果具有上述条件的运动球也能吸引，结论依然成立。

命题77　定理37

如果球心各点的向心力正比于这些点到被吸引物体的距离，则两个相互吸引的球的复合力正比于二球心间的距离。

情形1．令AEBF为一个球体，S是其中心；P是被它吸引的小球；PASB为球体通过小球中心的轴；EF，ef是分割球体的两个平面，与该轴垂直，而且在球的两边到球心的距离相等；G和g是二平面与轴的交点；H是平面EF上任意一点。点H沿直线PH方向作用于小球P的向心力正比于距离PH；而（由运动定律推论Ⅱ）沿直线PG方向或指向球心S的力，也正比于长度PG。所以，平面EF上所有点（即整个平面）向中心S吸引小球P的力正比于距离PG乘以这些点的数目，即正比于由平面EF和距离PG构成的立方体。由相似方法，使小球P被吸引向球心S的平面ef的力，正比于该平面乘以其距离Pg，或正比于相等平面EF乘以距离Pg；这两个平面的力的和正比于平面EF乘以距离的和PG＋Pg，即正比于该平面乘以中心到小球距离PS的二倍；即正比于平面EF的二倍乘以球心到小球距离PS，或正比于相等平面EF＋ef乘以相同距离。而由类似理由，整个球体上球心两边到球心距离相同的所有平面的力，都正比于这些平面的和乘以距离PS，即正比于整个球体与距离PS的乘积。

证毕。

情形2．设小球P也吸引球体AEBF。由相同理由，则使球体被吸引的力也正比于距离PS。

证毕。

情形3．设另一球体包含无数小球P。因为使每个小球被吸引的力正比于小球到第一个球心的距离，同样也正比于第一个球，因而这个力好像是从一个位于球心的小球所发出的一样。则使第二个球体中所有小球被吸引的力，即整个第二个球被吸引的力，也如同是受到位于第一个球心的小球所发生的吸引力一样；所以正比于两个球心之间的距离。

证毕。

情形4．令两球相互吸引，则吸引力加倍，但比例不变。

证毕。

情形5．令小球P置于球体AEBF内，因为平面ef作用于小球的力正比于该平面与距离pq所围成的立方体；而平面EF的相反的力正比于它与距离PG所围成的立方体；二者的复合力正比于两个立方体的差，即正比于两个相等平面的和乘以距离的差的一半；即，正比于该和乘以pS，小球到球心的距离。而且，由类似理由，通过整个球体的所有平面EF，ef的吸引力，即，整个球体的吸引力，正比于所有平面的和，或正比于整个球体，也正比于pS，小球到球体中心的距离。

证毕。

情形6．如果由无数小球p组成的新球体置于第一个球体AEBF之内，可以证明，与前述相同，不论是一个球体吸引另一个，或是二者相互吸引，吸引力都正比于二球心的距离pS。

证毕。

命题78　定理38

设有二球体，由球心到球面方向上既不相似也不相等，但到中心相等距离处均相似；而且每个点的吸引力正比于到被吸引物体的距离，则使两个这样的球体相互吸引的全部的力正比于二球心之间的距离。

这可以由前一个命题得证，与命题76可由命题75得证一样。

推论．以前在命题10和64中所证明的物体绕圆锥曲线运动的结论，当吸引作用来自具有上述条件的球体的力，以及被吸引物体也是同类球体时，均都成立。

附注

至此我已解释了吸引的两种基本情形；即当向心力随距离的比的平方而减小，或随距离的简单比值而增大，使物体在这两种情形下都沿圆锥曲线转动，并组合成球体，其向心力按同样定律随其到球心的距离而增减，一如球体内各部分那样；这一点极为重要。至于其他情形，其结论有欠优雅和重要，如果把它们像上述情形一样详加论述则有失繁冗。以下我宁可用一种普适的方法对它们作总体的解释和求解。

引理29

如果围绕中心S画一任意圆周AEB，又绕中心P也画两个圆周EF和ef，并与第一个圆相交于E和e，与直线PS相交于F和f；再在PS上作垂线ED，de：则如果弧长EF，ef的距离无限减小，趋于零的线段Dd与趋于零的线段Ff的最后比值等于线段PE比线段PS。

如果直线Pe与弧EF相交于q；而直线Ee与趋于零的弧Ee重合，并延长与直线PS相交于T；再由S向PE作垂线SG，则，因为三角形DTE，dTe，DES相似，

又因为三角形Eeq，ESG（由引理8，和引理7推论Ⅲ）相似，

将两比例式对应项相乘，

（因为三角形PDE，PGS相似）。

证毕。

命题79　定理39

设一表面EFfe的宽度无限缩小，并刚好消失；而同一个表面绕轴PS转动产生一个球状凹凸形体，其各部分受到相等的向心力：则形体吸引位于P的小球的力，等于立方体DE²·Ff的比值与使位于Ff处给定部分吸引同一个小球的力的比值的复合比值。

首先考虑弧FE旋转而成的球面EF的力，该弧在某处，比如r被直线de分割，这样，弧rE旋转而成的面的圆环部分将比例于短线Dd，而球体的半径PE保持不变；正如阿基米德在他的著作《论球体和柱体》中所证明的那样。直线PE或Pr分布于整个圆锥体表面，圆环面的力沿着直线PE或Pr的方向，比例于该圆环本身；即，正比于短线Dd，或者，等价地，正比于球体的已知半径PE与短线段Dd的乘积；但该力沿直线PS方向指向球心S，小于PD与PE的比值，所以正比于PD·Dd。现在，设线段DF被分割成无数个相等的粒子，每个粒子都以Dd表示，则表面FE也被分割成同样多个圆环；它们的力正比于所有乘积PD·Dd的总和，即正比于，所以正比于DE²。再将表面FE乘以高度Ff；则立体EFfe作用于小球P的力正比于DE²·Ff；即，如果这个力已知，其上任一给定粒子Ff在距离PF处作用于小球P的力。而如果这个力为未知，则立体EFfe的力将正比于立体DE²·Ff乘以该未知力。

证毕。

命题80　定理40

如果以S为中心的球体ABE上若干相等部分都受到相等的向心力作用；而且在球AB的直径上置一小球，并在直径上取若干点D，在其上作垂线DE与球体相交于E，如果在这些垂线上取长度DN正比于量，同时也正比于球体内位于轴上的一粒子在距离PE处作用于小球的力：则使小球被吸引向球体的全部力正比于球体AB的轴与点N的轨迹曲线ANB所围成的面积ANB。

设前一引理和定理的作图成立，把球体AB的轴分割为无数相等粒子Dd，则整个球体分为同样多的凹凸圆片EFfe；作垂线dn。由前一定理，圆片EFfe吸引小球P的力正比于DE²·Ff与一个粒子在距离PE或PF处作用于小球的力的乘积。但（由上述引理）Dd比Ff等于PE比PS，所以Ff等于；而DE²·Ff等于；所以圆片EFfe的力正比于与一个粒子在距离PF处的作用力的乘积即，由命题知，正比于DN·Dd，或正比于趋于零的面积DNnd。所以，所有圆片作用于小球的总力正比于所有面积DNnd，即整个球的力正比于整个面积ANB。

证毕。

推论Ⅰ．如果指向若干粒子的向心力在所有距离上都相等，而且DN正比于，则球体吸引小球的全部力正比于面积ANB。

推论Ⅱ．如果各粒子的向心力反比于它到被吸引的小球的距离的立方，而且DN正比于，则整个球体对小球P的吸引力正比于面积ANB。

推论Ⅲ．如果各粒子的向心力反比于被它吸引的小球的距离的立方，而且DN正比于，则整个球体对小球的吸引力正比于面积ANB。

推论Ⅳ．一般地，如果指向球体若干粒子的向心力反比于量V；而且DN正比于；则整个球体吸引小球的力正比于面积ANB。

命题81　问题41

在上述条件下，求面积ANB。

由点P作直线PH与球体相切于H；在轴PAB上作垂线HI，在L＝等分PI；则（由欧几里得《几何原本》第二卷命题12）PE²等于PS²＋SE²＋2PS·SD。但因为三角形SPH，SHI相似，SE²或SH²等于乘积PS·IS。所以，PE²等于PS与PS＋SI＋2SD的乘积，即PS与2LS＋2SD的乘积，也即PS与2LD的乘积。而且，DE²等于SE²－SD²，或等于

即

由于LS²－SE²或LS²－SA²（由欧几里得《几何原本》第二卷命题6）等于乘积LA·LB。

所以，把DE²以

代替，则正比于长度DN（由前一命题推论Ⅳ）的量可以分解为三部分

如果以向心力的反比值代替V，以PS与2LD的比例中项代替PE，则这三部分即变成同样多的曲线的纵坐标，曲线的面积可由普通方法求出。

完毕。

例1．如果指向球体各粒子的向心力反比于距离，以距离PE代替V，2PS·LD代替PE²；则DN正比于。设DN等于其二倍；则纵坐标的已知部分²SL与长度AB构成长方形面积2SL·AB；其不确定部分LD以连续运动垂直通过同一长度，并在其运动中通过增减其一边或另一边的长度使之总是等于长度LD，做出面积，即面积SL·AB；它被从前一个面积2SL·AB中减去后，余下面积SL·AB。但用相同方法垂直地连续通过同一长度的第三部分，将画出一个双曲线的面积，将其从面积SL·AB中减去后就余下要求的面积ANB。由此得到本问题的作图法。在点L，A，B作垂线Ll，Aa，Bb；使Aa等于LB，Bb等于LA。以Ll和LB为渐近线，通过点a，b作双曲线ab。作弦线ba，则所围的面积aba就是要求的面积ANB。

例2．如果指向球体各粒子的向心力反比于距离的立方，或（是同一回事）正比于该立方除以一个任意给定平面；以代替V，以2PS·LD代替PE²；则DN正比于

即（因为PS，AS，SI连续成正比），正比于

将这三部分通过长度AB，第一部分产生双曲线的面积；第二部分产生面积；第三部分产生面积，即，。从第一个面积中减去第二个和第三个面积的和，则余下的即是要求的面积ANB。由此得本问题的作图法。在点L，A，S，B，作垂线Ll，Aa，Ss，Bb，其中设Ss等于SI；通过点s，以Ll，LB为渐近线作双曲线asb与垂线Aa，Bb相交于a和b；从双曲线面积AasbB中减去面积2SA·SI，即得到要求的面积ANB。

例3．如果指向球体各粒子的向心力随其到各粒子的距离的四次方而减小；以代替V，以代替PE，则DN正比于

将这三部分通过长度AB，产生以下三个面积产生产生产生。经过化简后得到，和。从第一项中减去后两项，得到。所以小球所受到的指向球体中心的总力正比于，即反比于PS³·PI。

完毕。

运用相同方法可以求出位于球体内小球受到的吸引力，但采用下述定理将更为简便。

命题82　定理42

一个以S为心以SA为半径的球体，如果取SI，SA，SP为连续正比项，则位于球体内任意位置I的小球所受到的吸引力，与位于球体外P处的所受到力的比，等于两者到球心的距离IS，PS的比值的平方根，与在这两处P和I指向球心的向心力的比值的平方根的复合比。

如果球体各粒子的向心力反比于被它们吸引的小球的距离，则整个球体吸引位于I处小球的力，比它吸引位于P处小球的力，等于距离SI与距离SP的比值的平方根，以及位于球心的任意粒子在I处产生的向心力与同一粒子在P处产生的向心力的比值二者的复合比。即，反比于距离SI，SP相互间比值的平方根。这两个比值的平方根复合成相等比值，所以，整个球体在I与在P处产生的吸引相等。由类似计算，如果球上各粒子的力反比于距离的平方，则可以发现I处的吸引力比P处的吸引力等于距离SP比球体半径SA。如果这些力反比于距离比值的立方，在I和P处吸引力的比将等于SP²比SA²；如果反比于比值的四次方，则等于SP³比SA³。所以，由于在最后一种情形中P处的吸引力反比于PS²·PI，在I处的吸引力将反比于SA³·PI，即因为SA³给定，反比于PI。用相同方法可以此类推至于无限。该定理的证明如下：

保留上述作图，一个小球在任意处所P，其纵坐标DN正比于。所以，如果画出IE，则任意其他处所的小球，如I处，其纵坐标（其他条件不变）正比于。设由球体任意点E发出的向心力在距离IE和PE处的比为PEn比IEn（在此，数值n表示PE与IE的幂次），则这些纵坐标变为和，相互间比值为PS·IE·IEn比IS·PE·PEn。因为SI，SE，SP是连续正比的，三角形SPE，SEI相似；因而IE比PE等于IS比SE或SA。以IS与SA的比值代替IE与PE的比值，则纵坐标比值变为PS·IEn与SA·PEn的比值。但PS与SA的比值是距离PS与SI的比值的平方根，而IEn与PEn的比值，（因为IE比PE等于IS比SA）是在距离PS，IS处吸引力的比值的平方根。所以，纵坐标，进而纵坐标画出的面积，以及与它成正比的吸引力之间的比值，是这些比值的平方根的复合比。

证毕。

命题83　问题42

求使位于球体中心处一小球被吸引向任意一球冠的力。

令P为球体中心处物体，RBSD为平面RDS与球表面RBS之间的球冠。令DB为由球心P画出的球面EFG分割于F，并将球冠分割为BREFGS与FEDG两部分。设该球冠不是纯数学的而是物理的表面，具有某种厚度，但又是完全无法测度的。令该厚度为O，则（由阿基米德所证明的）该表面正比于PF·DF·O。再设球上各粒子吸引力反比于距离的某次幂，其指数为n；则表面EFG吸引物体P的力将（由命题79）正比于，即，正比于。令垂线FN乘以O正比于这个量；则纵坐标FN连续运动通过长度DB所画出的曲线面积BDI，将正比于整个球冠吸引物体P的力。

命题84　问题43

求不在球心处而在任意一球冠轴上的小球受该球冠吸引的力。

令物体P位于球冠EBK的轴ADB上，受到球冠的吸引。关于中心P以PE为半径画球面EFK，它把球冠分为二部分EBKFE和EFKDE。用命题81求出第一部分的力，再由命题83求出后一部分的力，二力的和就是整个球冠EBKDE的力。

完毕。

附注

叙述完球体的吸引力后，应该接着讨论由吸引的粒子以类似方法组成的其他物体的吸引定律；但我的计划不拟专门讨论它们。只需补述若干与这些物体的力以及由此产生的运动有关的普适命题即足以敷用，因为这些知识在哲学研究中用处不大。

第13章

非球形物体的吸引力

命题85　定理42

如果一个物体受到另一个物体的吸引，而且该吸引作用在它与吸引物体相接触时远大于它们之间有极小间隔时；则吸引物体各粒子的力，在被吸引物体离开时，以大于各粒子的距离比值的平方而减小。

如果力随着到各粒子的距离的平方而减小，则指向球体的吸引力（由命题74）应反比于被吸引物体到球心距离的平方，不会由于接触而有显著增大，而如果在被吸引物体离开时，吸引力以更小的比率减小，则更不可能增大。所以，本命题在吸引球体的情形中是显而易见的。在凹形球壳吸引外部物体的情形中也是一样。而当球壳吸引位于其内部的物体时则更是如此，因为吸引作用在通过球壳的空腔时被扩散，受到反向吸引力的抵消，因而在接触处甚至没有吸引作用。如果在这些球体或球壳远离接触点处移去任意部分，并在其他任意地方增补新的部分，也就对吸引物体作了随意的改变；但在远离接触点处增补或移去的部分对两物体接触而产生的吸引作用没有明显增强。所以本命题对于所有形状的物体都适用。

命题86　定理43

如果组成吸引物体的粒子的力，在吸引物体离开时，随到各粒子距离的三次或多于三次方而减小，则在接触点的吸引力远大于吸引与被吸引物体相互分离时的情形，尽管分离的间隔极小。

当被吸引小球向这种吸引球靠近并接触时，吸引力无限增大，这已在问题41的第二和第三个例子的求解中表明。靠近凹形球壳的物体的吸引（通过比较这些例子和定理41）也是一样，不论被吸引物体是置于球壳之外，还是放在空腔内。而通过移去球体或球壳上接触点以外任意地方的吸引物质，使吸引物体变为预期的任意形状，本命题仍将普适于所有物体。

证毕。

命题87　定理44

如果两个物体相似，并包含吸引作用相同的物质，分别吸引两个正比于这些物体且位置与它们相似的小球，则小球指向整个物体的加速吸引将正比于小球指向物体的与整体成正比且位置相似的粒子的加速吸引。

如果把物体分为正比于整体的粒子，且在其中位置相似，则指向一个物体中任一粒子的吸引力比指向另一个物体中对应粒子的吸引力，等于指向第一个物体中若干粒子的吸引力比指向另一个物体中对应粒子的吸引力；而且，通过比较知，也等于指向整个第一个物体的吸引力比指向整个第二个物体的吸引力。

推论Ⅰ．如果随着被吸引小球距离的增加，各粒子的吸引力按距离的任意次幂的比率减小，则指向整个物体的加速吸引力将正比于物体，反比于距离的幂，如果各粒子的力随被吸引小球的距离的平方而减小，而且物体正比于A³和B³，则物体的立方边，以及被吸引小球到物体的距离正比于A和B；而指向物体的加速吸引将正比于和，即，正比于物体的立方边A和B。如果各粒子的力随到被吸引小球距离的立方减小，则指向整个物体的加速吸引将正比于和，即，相等。如果力随四次方减小，则指向物体的吸引正比于和，即反比于立方边A和B。其他情形以此类推。

推论Ⅱ．另一方面，由相似物体吸引位置相似小球的力，可以求出在被吸引小球离开时各粒子的吸引力减小的比率；如果这种减小仅仅正比或反比于距离的某种比率的话。

命题88　定理45

如果任意物体中相等粒子的吸引力正比于到该粒子的距离，则整个物体的力指向其重心；对于由相似且相等物质构成，且球心在重心上的球体，它的力情况相同。

令物体RSTV的粒子A，B以正比于距离AZ，BZ的力吸引任意小球Z，二粒子是相等的；如果它们不相等，则力共同正比于这些粒子与距离AZ，BZ，或者（如果可以这样说的话）正比于这些粒子分别乘以它们的距离AZ，BZ。以A·AZ和B·BZ表示这些力。连接AB，并在G被分割，使AG比BG等于粒子B比粒子A；则G为A和B二粒子的公共重心。力A·AZ可以（根据运动定律推论Ⅱ）分解为力A·GZ和A·AG；而力B·BZ可以分解为B·GZ和B·BG。因为A垂直于B，BG垂直于AG，力A·AG与B·BG相等，所以沿相反方向作用而相互抵消。只剩下力A·GZ和B·GZ。它们由Z指向中心G，复合为力（A＋B）·GZ；即，它等同于吸引粒子A和B一同置于其公共重心上组成一只较小的球体所产生的力。

由相同理由，如果加上第三个粒子C，它的力与指向中心G的力（A＋B）·GZ复合，形成指向位于G的球体与粒子C的公共重心的力；即指向三个粒子A，B，C的公共重心；等同于该球体与粒子C同置于它们的公共重心组成一更大的球体；可以照此类推至于无限。所以任意物体RSTV的所有粒子的合力与该物体保持其重心不变而变为球体形状后相同。

证毕。

推论．被吸引物体Z的运动与吸引物体RSTV变为球体后相同；所以，不论该吸引物体是静止，还是做匀速直线运动，被吸引物体都将沿中心在吸引物体重心上的椭圆运动。

命题89　定理46

如果若干物体由其力正比于相互间距离的相等粒子组成，则使任意小球被吸引的所有力的合力指向吸引物体的公共重心；而且其作用与这些吸引物体保持其公共重心不变而组成一只球体相同。

本命题的证明方法与前一命题相同。

推论．所以被吸引物体的运动，与吸引物体保持其公共重心不变而组成一只球体后相同。所以，不论吸引物体的公共重心是静止，还是做匀速直线运动，被吸引物体都将沿其中心在吸引物体公共重心上的椭圆运动。

命题90　问题44

如果指向任意圆周上各点的向心力相等，并随距离的任意比率而增减；求使一小球被吸引的力，即，该小球位于一条与圆周平面成直角且穿过圆心的直线上某处。

设一圆周圆心为A，半径为AD，处在以直线AP为垂线的平面上；所要求的是使小球P被吸引指向同一圆周的力。由圆上任一点E向被吸引小球P作直线PE。在直线PA上取PF等于PE，并在F作垂线FK，正比于E点吸引小球P的力。再令曲线IKL为点K的轨迹。令该曲线与圆周平面相交于L。在PA上取PH等于PD，作垂线HI与曲线相交于I；则小球P指向圆周的吸引力将正比于面积AHIL乘以高度AP。

完毕。

因为，在AE上取极小线段Ee，连接Pe，又在PE，PA上取PC，Pf，二者都等于Pe。因为，在上述平面上以A为圆心，AE为半径的圆上任意点E吸引物体P的力，设正比于FK，所以该点把物体吸引向A的力正比于；整圆把物体P吸引向A的力共同正比于该圆和；而该圆又正比于半径AE与宽Ee的乘积，该乘积又（因为PE与AE，Ee与CE成正比）等于乘积PE·CE或PE·Ef；所以该圆把物体P吸引向A的力共同正比于PE·Ff和；即正比于Ff·FK·AP，或正比于面积FKkf乘以AP。所以，对于以A为圆心，AD为半径的圆，把物体P吸引向A的力的总和，正比于整个面积AHIKL乘以AP。

证毕。

推论Ⅰ．如果各点的力随距离的平方减小，即，如果FK正比于，因而面积AHIKL正比于；则小球P指向圆的吸引力正比于

即，正比于。

推论Ⅱ．一般地，如果在距离D的点的力反比于距离的任意次幂；即，如果FK正比于，因而面积AHIKL正比于；则小球P指向圆的吸引力正比于。

推论Ⅲ．如果圆的直径无限增大，数n大于一；则小球P指向整个无限平面的吸引力反比于PAn－2，因为另一项已变为零。

命题91　问题45

求位于圆形物体轴上的小球的吸引力，指向该圆形物体上各点的向心力随距离的某种比率减小。

令小球P位于物体DECG的轴AB上，受到该物体的吸引。令与该轴垂直的任意圆RFS分割该物体；圆半径FS在一穿过轴的平面PALKB上，在FS上（由命题90）取长度FK正比于使小球被吸引向该圆的力。令点的轨迹为曲线LKI，与最外面的圆AL和BI的平面相交于L和I；则小球指向物体的吸引力正比于面积LABI。

完毕。

推论Ⅰ．如果物体是由平行四边形ADEB绕轴AB旋转而成的圆柱体，而且指向其上各点的向心力反比于到各点距离的平方；则小球P指向该圆柱体的吸引正比于。因为纵坐标FK（由命题90推论Ⅰ）正比于。该量的第一部分乘以长度AB，表示面积1·AB；另一部分乘以长度PB，表示面积1·（PE－AD）（这易于由曲线LKI的面积求得）；用类似方法，同一部分乘以长度PA表示面积1·（PDAD），乘以PB与PA的差AB，表示面积差1·（PE－PD）。由第一项1·AB中减去最后一项1·（PE－PD）。余下的面积LABI等于1·（AB－PE＋PD）。所以吸引力正比于该面积AB－PE＋PD。

推论Ⅱ．还可以求出椭球体AGBC吸引位于其外且在轴AB上的物体P的力。令NKRM为一圆锥曲线，其垂直于PE的纵坐标ER总是等于线段PD的长度，PD由向该纵坐标与椭圆体的交点D连续画出。由该椭圆体的顶点A，B向其轴AB作垂线AK，BM，分别等于AP，BP，与圆锥曲线相交于K和M；连接KM，分割出面积KMRK。令S为椭圆体的中心，SC为其长半轴；则该椭圆体吸引物体P的力比以AB为直径的球体吸引同一物体的力等于比。运用同一原理可以计算出椭圆体球冠的力。

推论Ⅲ．如果小球位于椭球内部的轴上，则吸引力正比于它到球心的距离。这可以容易地由下述理由推出，无论该小球是在轴上还是在其他已知直径上。令AG-OF为吸引椭球，球心为S，P是被吸引物体。通过物体P作半径SPA，再作二条直线DE，FG与椭球交于D和E，F和G；令PCM，HLN为与外面的椭球共心且相似的两个内椭球的表面，其中第一个通过物体P，并与直线DE，FG相交于B和C；后者与相同直线交于H和I，K和L。令所有椭球共轴，且直线被二边截下的部分DP和BE，FP和CG，DH和IE，FK和LG分别相等；因为直线DE，PB和HI在同一点被二等分，直线FG，PC和KL也在同一点被二等分。现设DPF，EPG表示以无限小顶角DPF，EPG画出的相反圆锥曲线，则线段DH，EI也为无限小。由椭球表面分割的圆锥曲线的局部DHKF，GLIE，根据线段DH和EI的相等性知，相互间的比等于到物体P距离的平方，因而对该物体吸引相同。由类似理由，如果把空间DPF，EGCB用无数与上述椭球相似且共轴的椭球加以分割，则得到的所有粒子也都在两边对物体P施加同等反向的吸引。所以，圆锥曲线DPF与圆锥曲线局部EGCB的力相等，而且由于反向作用而相互抵消。这一情形适用于所有内椭球PCBM以外的物质的力。所以，物体P只受到内椭球PCBM的吸引，所以（根据命题72推论Ⅲ）它的吸引力比整个椭球AGOD对物体A的吸引力等于距离PS比距离AS。

完毕。

命题92　问题46

已知吸引物体，求指向其上各点向心力减小的比率。

该已知物体必定是球体、圆柱体或某种规则形状物体，它对应于某种减小率的吸引力规律可以由命题80，81和91求出。然后，通过实验，可以测出在不同距离处的吸引力，求出整个物体的吸引规律，由此，即可求得不同部分的力的减小比率；问题得解。

命题93　定理47

如果物体的一边是平面，其余各边都无限伸展，由吸引作用相等的相等粒子组成。当到该物体的距离增大时，其力以大于距离的平方的某次幂的比率减小，一个置于该平面某一侧之前的小球受到整个物体的吸引；则随着到平面距离的增大，整个物体的吸引力将按一个幂的比率减小，幂的底是小球到平面的距离，其指数比距离的幂指数小3。

情形1．令LGI为标界物体的平面。物体位于平面指向I一侧，令物体分解为无数平面mHM，nIN，oKO等等，都与GL平行。首先设被吸引物体C置于物体之外。作CGHI垂直于这些平面，并令物体中各点的吸引力按距离的幂的比率减小，幂指数是不小于3的数n。因而（由命题90推论Ⅲ）任意平面mHM吸引点C的力反比于CHn－2。在平面mHM上取长度HM反比于CHn－2，则该力正比于HM。以类似方法，在各平面lGL，nIN，oKO等上取长度GL，IN，KO等，反比于CGn－2，CIn－2，CKn－2等，这些平面的力正比于如此选取的长度，所以力的和正比于长度的和，即整个物体的力正比于向着OK无限延伸的面积GLOK。而该面积（由已知求面积方法）反比于CGn－3，所以整个物体的力反比于CGn－3。

证毕。

情形2．令小球C置于平面lGL的在物体内的另一侧，取距离CK等于距离CG。在平行平面lGL，oKO之间的物体局部LGloKO对位于其正中的小球C，既不从一边又不从另一边吸引，相对点的反向作用由于相等而抵消。所以小球只受到位于平面OK以外的物体的吸引。而该吸引力（同情形1）反比于CKn－3，即反比于CKn－3（因为CG，CK相等）。

证毕。

推论Ⅰ．如果物体LGIN的两侧以两个无限的平行平面LG，IN为边，它的吸引力可以由整个无限物体LGKO的吸引力中减去无限延伸至KO的较远部NIKO求得。

推论Ⅱ．如果移去该物体较远的部分，则由于其吸引较之较近部分的吸引小得不可比拟，较近处部分的吸引，将随着距离的增大，近似地以幂CGn－3的比率减小。

推论Ⅲ．如果任意有限物体，以平面为其一边，吸引置于平面中间附近的小球，小球与平面间的距离较之吸引物体的尺度极小；且吸引物体由均匀部分构成，其吸引力随大于距离的四次方的幂减小；则整个物体的吸引力将极近似于以一个幂的比率减小，幂的底是该极小距离，指数比前一指数小了。但该结论不适用于物体的组成粒子的吸引力随距离的三次幂减小的情形；因为，在此情形中，推论Ⅱ中无限物体的较远部分的吸引总是无限大于较近部分的吸引。

附注

如果一物体被垂直吸引向已知平面，由已知的吸引定律求解该物体的运动；这一问题可以（由命题39）求出物体沿直线落向平面的运动，再（由运动定律推论Ⅱ）将该运动与沿平行于该平面的直线方向的运动相复合。反之，如果要求沿垂直方向指向平面的吸引力的定律，这种吸引力使物体沿一已知曲线运动，则问题可以沿用第三个问题的方法求解。

不过，如果把纵坐标分解为收敛级数，运算可以简化。例如，底数A除以纵坐标长度B为任意已知角数，该长度正比于底的任意次幂；求使一物体沿纵坐标方向被吸引向或推斥开该底的力，物体在该力作用沿纵坐标上端画出的曲线运动；设该底增加了一个极小的部分O，把纵坐标分解为无限级数。

设吸引力正比于级数中O为二次方的项，即正比于。所以要求的力正比于，或者，等价地，正比于。如果纵坐标画出抛物线，m＝2，而n＝1，力正比于已知量2B°，因而是已知的。所以，在已知力作用下物体沿抛物线运动，正如伽利略所证明的那样。如果纵坐标画出双线，m＝0－1，n＝1，则力正比于2A－3或2B³；所以正比于纵坐标的立方的力使物体沿双曲线运动。对此类命题的讨论到此为止，下面我将论述一些与尚未涉及的运动有关的命题。

第14章

受指向极大物体各部分的向心力推动的极小物体的运动

命题94　定理48

如果两个相似的中介物相互分离，其间隔空间以两平行平面为界，一个物体受垂直指向二中介物之一的吸引力或推斥力的作用通过该空间，而不受其他力的推动或阻碍；在距平面距离相等处吸引力是处处相等的，都指向平面的同一侧方向；则该物体进入其中一个平面的入射角的正弦比自另一平面离开的出射角的正弦为一给定比值。

情形1．令Aa和Bb为二个平行平面，物体自第一个平面Aa沿直线GH进入，在穿越整个中介空间过程中受到指向作用介质的吸引或推斥，令曲线HI表示该作用，而物体又沿直线IK方向离开。作IM垂直于物体离开的平面Bb，与入射直线GH的延长线相交于M，与入射平面Aa相交于R；延长出射直线KI与HM相交于L。以L为圆心，LI为半径作圆，与HM相交于P和Q，与MI的延长线相交于N；首先如果吸引力或推斥力是均匀的，曲线HI（伽利略曾证明过）是抛物线，其性质是，已知通径乘以直线M等于HM的平方；而且直线HM在L处被二等分。如果作MI的垂线LO，则MO与OR相等，加上相等的ON，OI，整个MN，IR也相等。所以，由于IR已知，MN也已知，乘积MI·MN比通径乘以IM，即比HM²也为一已知比值。但乘积MI·MN等于乘积MP·MQ，即比平方差ML²－PL²或LI²；而HM²与其四分之一的平方ML²有给定比值；所以，ML²－LI²与ML²的比值是给定的，把LI²与ML²的比值加以变换，其平方根，LI比ML也是给定值。而在每个三角形中，如LMI，角的正弦正比于对边，所以入射角LMR的正弦比出射角LIR的正弦是给定的。

证毕。

情形2．设物体先后通过以平行平面AabB，BbcC等隔开的若干空间，在其中它分别受到均匀力的作用，但在不同空间中力也不同；由刚才所证明的，在第一平面Aa上，入射角的正弦比由第二个平面Bb出射角的正弦为给定值；而这一在第二个平面Bb上的入射角的正弦比自第三个平面Cc的出射角的正弦也为给定值；这个正弦比自第四个平面的出射角的正弦还是给定值，以此类推到无限；通过将这些量相乘，物体自第一个平面入射角的正弦比自最后一个平面出射角的正弦的比为给定值。现在令平面之间的间隔趋于零，则它们的数目无限增多，使得物体受到规律已知的吸引或推斥力的作用连续运动，它自第一个平面入射角的正弦与自最后一个平面同样为已知的出射角的正弦的比，也是给定值。

证毕。

命题95　定理49

在相同条件下，物体入射前的速度与出射后的速度的比等于出射角的正弦比入射角的正弦。

取AH等于Id作垂线AG，dK与入射线和出射线GH，IK相交于G和K。在GH上取TH等于IK，在平面Aa上作垂线Tv。（由运动定律推动Ⅱ）将物体运动分解为二部分，一部分垂直于平面Aa，Bb，Cc等，另一部分与他们平行。沿垂直于这些平面方向作用的吸引或推斥力对沿平行方向的运动无影响，所以在相等时间里物体沿该方向的运动通过直线AG与点K以及点I与直线dK之间的相等的平行间隔；即在相等的时间里画出相等的直线GH和IK。所以入射前的速度比出射后的速度等于GH比IK或TH，即等于AH或Id比vH，即（设TH或IK为半径）等于出射角的正弦比入射角的正弦。

命题96　定理50

在相同条件下，且入射前的运动快于入射后的运动，则如果入射线是连续偏折的，物体将最终被反射出来，且反射角等于入射角。

设物体与前面一样在平行平面Aa，Bb，Cc等等之间通过，画出抛物线弧；令这些弧为HP，PQ，QR等。又令入射线GH这样倾斜于第一个平面Aa，使得入射角正弦比正弦与之相等的圆半径，等于同一个入射角正弦比由平面Dd进入空间DdeE的出射角的正弦；因为现在该出射角正弦与上述半径相等，出射角成为正角，因而出射线与平面Dd重合。令物体在R点到达该平面；因为出射线与平面重合，物体不可能再达到平面Ee。但它也不可能沿出射线Rd前进；因为它总是受到入射介质的吸引和推斥。所以，它将在平面Cc和Dd之间返回，画出一个顶点在R（由伽利略的证明推知）的抛物线弧，以与在Q入射的相同角度与平面Cc相交于q；然后沿与入射弧QP，PH等相似且相等的抛物线弧qp，ph等行进，与其余平面以与入射时在P，H等处相同的角度在p，h等处相交，最后在h以与在H处进入同一平面相同的倾斜离开第一个平面。现设平面Aa，Bb，Cc等的间隔无限缩小，数目无限增多，使按已知规律作用的吸引或推斥力连续变化；则出射角总是等于对应的入射角，直至最后出射角等于入射角。

证毕。

附注

这些吸引作用极为类似于斯奈尔（Snell）发现的光的反射和折射角有给定正割比，因而也像笛卡儿所证明的那样有给定正弦比。因为木星卫星的现象已经表明，许多天文学家已经证实，光是连续传播的，从太阳到地球大约需要七八分钟。而且，空气中的光束（最近格里马尔迪〔Grimaldi〕发现，我本人也试验过，光通过小孔射入暗室）经过物体的棱边时，不论物体是透明的或不透明的（如金、银或铜币的圆形成方形边缘，或刀、石块、玻璃的边缘）都像受到它们的吸引一样而围绕物体弯曲或屈折；最靠近物体的光弯曲得最厉害，如像受到最强烈的吸引一样；我也十分仔细地观察了这一现象。距离物体较远的光束弯曲较小；反而远的光束则向相反方向弯曲，形成三个彩色条纹。图中s表示刀口，或任意一种楔形AsB；gowog，fnunf，emtme，dlsld是沿着弧owo，nun，mtm，lsl向刀口弯曲的光束；弯曲的大小程度随到刀口的距离而定。由于光束的这种弯曲发生在刀口以外的空气中，因而落在刀口上的光束必定在接触刀口之前已首先弯曲。落在玻璃上的光束情形也相同。所以，折射不是发生在入射点，而是由光束逐渐的、连续的弯曲造成的；折射部分发生于光束接触玻璃前的空气中，部分发生于（如果我没有想错）入射以后的玻璃中；如图中所示，光束ckzc，biyb，ahxa落在r，q，p，弯曲发生在k和z，i和y，h和x之间。所以，因为光线的传播与物体的运动相类似，我认为把下述命题付诸光学应用是不会有错的，在此，完全不考虑光线的本质，或探究它们究竟是不是物体；只是假定物体的路径极其相似于光线的路径而已。

命题97　问题47

设在任意表面上入射角的正弦与出射角的正弦的比为给定值；且物体路径在表面附近的偏折发生于极小空间内，可以看做是一个点；求能使所有自一给定处所发生的小球会聚到另一给定处所的面。

令A为小球所要发散的处所；B为它们所要会聚的处所；CDE为一曲线，当它绕轴AB旋转时即得到所求曲面；D，E为曲线二个任意点；EF，EG为物体路径AD，DB上的垂线，令点D趋近点E；使AD增加的线段DF与使DB减少的线段DG的比，等于入射正弦与出射正弦的比。所以，直线AD的增加量与直线DB的减少量的比为给定值；因而，如在轴AB上任取一点C，使曲线CDE必定经过该点，再按给定比值取AC的增量CM比BC的减量CN，以A，B为圆心，AM，BN为半径作两个圆相交于点D；则该点D与所要求的曲线CDE相切，而且，通过使它在任意处相切，可求出曲线。

完毕。

推论Ⅰ．通过使点A或B某些时候远至无穷，某些时候又趋向点C的另一侧，可以得到笛卡儿在《光学》和《几何学》中所画的与折射有关的图形。笛卡儿对此发明秘而不宣，我在此昭示于世。

推论Ⅱ．如果一个物体按某种规律沿直线AD的方向落在任意表面CD上，将沿另一直线DK的方向弹出；由点C作曲线CP，CQ总是与AD，DK垂直；则直线PD，QD的增量，因而由增量产生的直线PD，QD本身相互间的比，将等于入射正弦与出射正弦的比。反之亦然。

命题98　问题48

在相同条件下，如果绕轴AB作任意吸引表面CD，规则的或不规则的，且由给定处所A出发的物体必定经过该面；求第二个吸引表面EF，它使这些物体会聚于一给定处所B。

令连线AB与第一个面交于C与第二个面交于E，点D为一任意点。设在第一个面上的入射正弦与出射正弦的比，以及在第二个面上的出射正弦与入射正弦的比，等于任意给定量M比另一任意给定量N；延长AB到G，使BG比CE等于M－N比N；延长AD到H，使AH等于AG；延长DF到K，使DK比DH等于N比M。连接KB，以D为圆心，DH为半径画圆与KB延长线相交于L，作BF平行于DL；则点F与直线EF相切，当它绕轴AB转动时，即得到要求的面。

完毕。

设曲线CP，CQ分别处处垂直于AD，DF，曲线ER，ES垂直于FB，FD，因而QS总是等于CE；而且（由命题97推论Ⅱ）PD比QD等于M比N，所以等于DL比DK，或FB比FK；由相减法，等于DL－FB或PH－PD－FB比FD或FQ－QD；由相加法，等于PH－FB比FQ，即（因为PH与CG，QS与CE相等），等于CE＋BG－FR比CE－FS。而（因为BG比CE等于M－N比N）CE＋BG比CE等于M比N；所以，由相减法，FR比FS等于M比N；所以（由命题97推论Ⅱ）表面EF把沿DF方向落于其上的物体沿直线FR弹射到处所B。

证毕。

附注

用同样的方法可以推广到三个或四个面。但在所有形状中，球形最适于光学应用。如果望远镜的物镜由两片球形玻璃制成，它们之间充满水，则利用水的折射来纠正玻璃外表面造成的折射误差到足够精度不是不可能的。这样的物镜比凸透镜或凹透镜好，不仅由于它们易于制作，精度高，还由于它们能精确折射远离镜轴的光线。但不同光线有不同的折射率，致使光学仪器终究不能用球形或任何其他形状而臻于完美。除非能纠正由此产生的误差，否则校正其他误差的所有努力都将是徒劳的。

第二编　物体（在阻滞介质中）的运动

· Book Two Of the Motion Bodies ·

受与速度成正比的阻力作用的物体运动——受正比于速度平方的阻力作用的物体运动——物体受部分正比于速度部分正比于速度平方的阻力的运动——物体在阻滞介质中的圆运动——流体密度和压力；流体静力学——摆体的运动与阻力——流体的运动，及其对抛体的阻力——通过流体传播的运动——流体的圆运动

剑桥大学三一学院正门

第1章

受与速度成正比的阻力作用的物体运动

命题1　定理1

如果一个物体受到的阻力与其速度成正比，则阻力使它损失的运动正比于它在运动中所掠过的距离。

因在每个相等的时间间隔里损失的运动都正比于速度，即，正比于掠过距离的微小增量，所以，通过加以复合知，整个时间中损失的运动正比于掠过的距离。

证毕。

推论．如果该物体不受任何引力作用，仅靠其惯性力推动在自由空间中运动，并且已知其开始运动时的全部运动，以及它掠过部分路程后剩余的运动，则也可以求出该物体能在无限时间中所掠过的总距离。因为该距离比现已掠过的距离等于开始时的总运动比该运动中已损失的部分。

引理1

正比于其差的几个量连续正比。

则由相减法，

证毕。

命题2　定理2

如果一个物体受到正比于其速度的阻力，并只受其惯性力的推动而运动，通过均匀介质，把时间分为相等的间隔，则在每个时间间隔的开始时的速度形成几何级数，而其间掠过的距离正比于该速度。

情形1．把时间分为相等间隔；如果设在每个间隔开始时阻力以正比于速度的一次冲击对物体作用，则每个间隔里速度的减少量都正比于同一个速度。所以这些速度正比于它们的差，因而（根据第二编引理1）连续正比。所以，如果越过相等的间隔数把任意相等的时间部分加以组合，则在这些时间开始时的速度正比于从一个连续级数中越过相等数目的中间项取出的项。但这些项的比值是由中间项相等比值重复组合得到的，因而是相等的。所以正比于这些项的速度，也构成几何级数，令相等的时间间隔趋于零，其数目趋于无限，使阻力的冲击复得连续；则在相等时间间隔开始时连续正比的速度这时也连续正比。

情形2．由相减法，速度的差，即每个时间间隔中所失去的速度部分正比于总速度；而每个时间间隔中掠过的距离正比于失去的速度部分（由第一编，命题1），因而也正比于总距离。

推论．如果关于直角渐近线AC，CH作双曲线BG，再作AB，DG垂直于渐近线AC，把运动开始时物体的速度和介质阻力用任意已知线段AC表示，而若干时间以后的用不定直线DC表示；则时间可以由面积ABGD表示，该时间中掠过的距离可以由线段AD表示。因为，如果该面积随着点D的运动而与时间一样均匀增加，则直线DC将按几何比率随速度一同减少；而在相同时间里所画出的直线AC部分，也将以相同比率减少。

命题3　问题1

求在均匀介质中沿直线上升或下落的物体的运动，其所受阻力正比于其速度，还有均匀重力作用于其上。

设物体上升，令任意给定矩形BACH表示重力；而直线AB另一侧的矩形BADE表示上升开始时的介质阻力。通过点B，关于直角渐近线AC，CH作一双曲线，与垂线DE，de相交于G，g；上升的物体在时间DGgd内掠过距离EGge；在时间DGBA内掠过整个上升距离EGB；在时间ABKI内掠过下落距离BFK；在时间IKki内掠过下落距离KFfk；而物体在此期间的速度（正比于介质阻力）分别为ABED，ABed，o，ABFI，ABfi；物体下落所获得的最大速度为BACH。

因为，把矩形BACH分解为无数小矩形Ak，Kl，Lm，Mn等，它们将正比于在同样多相等时间间隔内产生的速度增量；则o，Ak，Al，Am，An等正比于总速度，因而（由命题）正比于每个时间间隔开始时的介质阻力。取AC比AK，或ABHC比ABkK等于第二个时间间隔开始时的重力比阻力；则从重力中减去阻力，ABHC，KkHC，LlHC，MmHC等等，将正比于在每个时间间隔开始时使物体受到作用的绝对力，因而（由定律I）正比于速度的增量，即，正比于矩形Ak，Kl，Lm，Mn等等，因而（由第一编引理1）组成几何级数。所以，如果延长直线Kk，Ll，Mm，Nn等等使之与双曲线相交于q，r，s，t等，则面积ABqK，KqrL，LrsM，MstN等将相等，因而与相等的时间以及相等的重力相似。但面积ABqK（由第一编引理7推论Ⅲ和引理8）比面积Bkq等于Kq比，或AC比，即等于重力比第一个时间间隔中间时刻的阻力。由类似理由，面积qKLr，rLMs，sMNt等等比面积qklr，rlms，smnt等等，等于重力比第二，第三，第四等等时间间隔中间时刻的阻力。所以，由于相等于面积BAKg，qKLr，rLMs，sMNt等等相似于重力，面积Bkg，qklr，rlms，smnt等等也相似于每个时间间隔中间时刻的阻力，即（由命题），相似于速度，也相似于掠过的距离。取相似量以及面积Bkq，Blr，Bms，Bnt等等的和，它将相似于掠过的总距离；而面积ABqK，ABrL，ABsM，ABtN等等也与时间相似。所以，下落的物体在任意时间ABrL内掠过距离Blr，在时间LrtN内掠过距离rlnt。

完毕。

上升运动的证明与此相似。

推论Ⅰ．物体下落所能得到的最大速度比任意已知时间内得到的速度等于连续作用于它之上的已知重力比在该时间末阻碍它运动的阻力。

推论Ⅱ．时间作算术级数增加时，物体在上升中最大速度与速度的和，以及在下落中它们的差，都以几何级数减少。

推论Ⅲ．在相等的时间差中，掠过的距离的差也以相同几何级数减少。

推论Ⅳ．物体掠过的距离是两个距离的差，其一正比于开始下落后的时间，另一个则正比于速度；而这两个（距离）在开始下落时相等。

命题4　问题2

设均匀介质中的重力是均匀的，并垂直指向水平面：求其中受正比于速度的阻力作用的抛体的运动。

令抛体自任意处所D沿任意直线DP方向抛出，在运动开始时的速度以长度DP表示。自点P向水平线DC作垂线PC，与DC相交于A，使DA比AC等于开始向上运动时所受到的介质阻力的垂直分量，比重力；或（等价地）使得DA与DP的乘积比AC与CP的乘积等于开始运动时的全部阻力比重力。以DC，CP为渐近线作任意双曲线GTBS与垂线DG，AB相交于G和B；作平行四边形DGKC，其边GK与AB相交于Q。取一段长度N，使它与QB的比等于DC比CP；在直线DC上任意点R作其垂线RT，与双曲线相交于T，与直线EH，GK，DP相交于I，t和V；在该垂线上取Vr等于，或，等价地，取Rr等于；抛体在时间DRTG内将到达点r，画出曲线DraF，即点r的轨迹；因而将在垂线AB上的点a达到其最大高度；以后即向渐近线PC趋近，它在任意点r的速度正比于曲线的切线rL。

完毕。

因为

所以RV等于，而且Rr（即RV－Vr，或）等于。现在令面积RDGT表示时间，且把物体的运动（由运动定律推论Ⅱ）分为两部分，一为向上的，另一为水平的。由于阻力正比于运动，把它也分解为与这二种运动成正比且方向相反的两部分：因而表示水平方向运动的长度（由第二编命题2）正比于线段DR，而高度（由第二编命题3）正比于面积DR·AB－RDGT，即正比于线段Rr。但在运动刚开始时面积RDGT等于乘积DR·AQ，因而该线段Rr或比DR等于AB－AQ或QB比N，即等于CP比DC；所以等于开始时向上的运动比水平的运动。由于Rr总是正比于高度，DR总是正比于水平长度，而开始运动时Rr比DR等于高度比长度，由此可以推出，Rr比DR总是等于高度比长度；所以物体将沿点r的轨迹曲线DraF运动。

证毕。

推论Ⅰ．Rr等于；所以，如果延长RT到X，使RX等于，即，如果作平行四边形ACPY，作DY与CP相交于Z，再延长RT与DY相交于X；则Xr等于，因而正比于时间。

推论Ⅱ．如果按几何级数选取无数个线段CR，或等价地，取无数个线段ZX，则有同样多个线段Xr按算术级数与之对应。所以曲线DraF很容易用对数表做出。

推论Ⅲ．如果以D为顶点作一抛物线，把直径DG向下延长，其通径比2DP等于运动开始时的全部阻力比重力，则物体由处所D沿直线DP方向在均匀阻力的介质中画出曲线DraF的速度，与它由同一处所D沿同一直线DP方向在无阻力介质中画出一抛物线的速度相同。因为在运动刚开始时，该抛物线的通径为；而Vr等于或。如果作一条直线与双曲线GTS相切于G，则它平行于DK，因而Tt等于，而N等于。所以Vr等于，即（由于DR与DC，DV与DP成正比），等于；通径等于，即（因为QB与CK，DA与AC成正比），等于，所以通径比2DP等于DP·DA比CP·AC；即等于阻力比重力。

证毕。

推论Ⅳ．如果从任意处所D以给定速度抛出一物体，抛出方向沿着位置已定的直线DP，且在运动开始时介质阻力为已知，则可以求出物体画出的曲线DraF。因为速度已知，则容易求出抛物线的通径。再取2DP比该通径等于引力比阻力，即可求出DP。然后在DC上取A，使CP·AC比DP·DA等于重力比阻力，即求得点A，因此得到曲线DraF。

推论Ⅴ．反之，如果已知曲线DraF，则可以求出物体在每一个处所r的速度和介质的阻力。因为CP·AC与DP·DA比值已知，则开始运动时的介质阻力，以及抛物线的通径可以求出。因而也可以求出开始运动时的速度，再由切线rL的长度即可求得与它成正比的任意处所r的速度以及与该速度成正比的阻力。

推论Ⅵ．由于长度2DP比抛物线的通径等于在D处的引力比阻力，由速度的增加可知阻力也以相同比率增加，而抛物线通径以该比率的平方增加，容易推知长度2DP仅以该简单比率增加；所以它总是正比于速度；角度CDP的变化对它的增减没有影响，除非速度也变化。

推论Ⅶ．由此得到一种与该现象很近似的求曲线DraF的方法。因而可以求出被抛射物体受到的阻力和速度。由处所D沿不同角度CDP和CDp以相同速度抛出两个相等的物体，测知它们落在地平面DC上的位置F，f。然后在DP或Dp上任取一段长度表示D处的阻力，它与重力的比为任意比值，令该比值以任意长度SM表示。然后，由该假设长度DP计算出长度DF，Df；再由计算出的比值减去由实验测出的同一比值；令该差值以垂线MN表示。通过不断设定阻力与引力的新比值SM得到新的差MN，重复两到三次，在直线SM的一侧画出正差值，另一侧画出负差值；通过点N，N，N画出规则曲线NNN，与直线SMMM相交于X，则SX就是要求的阻力与重力的实际比值。由该比值可以计算出长度DF；而那个与假设长度DP的比等于实验测出的长度DF与刚计算出的长度DF的比的长度，就是DP的实际长度。求出这些以后，就既可以得到物体画出的曲线DraF，又可以得到物体在任一处所的速度和阻力。

附注

不过，物体的阻力正比于速度，与其说是物理实际，不如说是数学假设。在完全没有粘度的介质中，物体受到的阻力都正比于速度的平方。因为，运动速度较快的物体在较短时间内把占较大速度中较多比例的运动传递给等量的介质；而在相同时间里，由于受到扰动的介质数量较多，被传递的运动正比于该比比例的平方；而阻力（由运动定律Ⅱ和Ⅲ）正比于被传递的运动。所以，让我们看看这一阻力定律带来什么样的运动。

第2章

受正比于速度平方的阻力作用的物体运动

命题5　定理3

如果一物体受到的阻力正比于其速度的平方，在均匀介质中运动时只受其惯性力的推动；按几何级数取时间值，并将各项由小到大排列；则每个时间间隔开始时的速度是由一个几何级数的倒数；而每个时间间隔内物体越过的距离相等。

由于介质的阻力正比于速度的平方，而速度的减少正比于阻力：如果把时间分为无数相等间隔，则各间隔开始时速度的平方正比于相同速度的差。令这些时间间隔为直线CD上选取的AK，KL，LM等等，作垂线AB，Kk，Ll，Mm等等，与以C为中心，以CD，CH为直角渐近线的双曲线BklmG相交于B，k，l，m等等；则AB比Kk等于CK比CA，由相减法，AB－Kk比Kk等于AK比CA，交换之，AB－Kk比AK等于Kk比CA；所以等于AB·Kk比AB·CA。所以既然AK和AB·CA是已知的，AB－Kk正比于AB·Kk；最后，当AB与Kk重合时正比于AB²。由类似理由，Kk－Ll，Ll－Mm等等都分别正比于Kk2，Ll2等等。所以线段AB，Kk，Ll，Mm等等的平方正比于它们的差；所以，既然前面已证明速度的平方正比于它们的差，则这两个级数量是相似的。由此还可以推知这些线段掠过的面积与这些速度掠过的距离也是相似级数。所以，如果以线段AB表示第一个时间间隔AK开始时的速度，以线段Kk表示第二个时间间隔KL开始时的速度，以面积AKkB表示第一个时间内掠过的长度，由以后的速度可以由以下线段Ll，Mm等等来表示，掠过的长度可以由面积Kl，Lm等等来表示。经过组合后，如果以AM表示全部时间，即各间隔总和，以AMmB表示全部长度，即其各部分之总和，设时间AM被分割为部分AK，KL，LM等等，使得CA，CK，CL，CM等按几何级数排列，则这些时间部分也按相同几何级数排列，而对应的速度AB，Kk，Ll，Mm等等则按相同级数的倒数排列，而相应的空间Ak，Kl，Lm等等都是相等的。

证毕。

推论Ⅰ．可以推知，如果以渐近线上任意部分AD表示时间，以纵坐标AB表示该时间开始时的速度，而以纵坐标DG表示结束的速度；以邻近的双曲线面积ABGD表示掠过的全部距离；则任意物体在相同时间里以初速度AB通过无阻力介质的距离，可以由乘积AB·AD表示。

推论Ⅱ．由此，可以求出在阻抗介质中掠过的距离，方法是它与物体在无阻力介质中以均匀速度AB掠过的距离的比，等于双曲线面积ABGD比乘积AB·AD。

推论Ⅲ．也可以求出介质的阻力。在运动刚开始时，它等于一个均匀向心力，该力可以使一个物体在无阻力介质中的时间AC内获得下落速度AB。因为如果作BT与双曲线相切于B，与渐近线相交于T，则直线AT等于AC，它表示该均匀分布的阻力完成抵消速度AB所需的时间。

推论Ⅳ．由此还可以求出该阻力与重力或其他任何已知向心力的比例。

推论Ⅴ．反之，如果已知该阻力与任何已知向心力的比值，则可以求出时间AC，在该时间内与阻力相等的向心力可以产生正比于AB的速度；由此也可以求出点B，通过它可以画出以CH，CD为渐近线的双曲线；还可以求出距离ABGD，它是物体以开始运动时的速度AB在任意时间AD内掠过均匀阻力介质的距离。

命题6　定理4

均匀而相等的球体受到正比于速度平方的阻力，在惯性力的推动下运动，它们在反比于初始速度的时间内掠过相同的距离，而失去的速度部分正比于总速度。

以CD，CH为直角渐近线作任意双曲线BbEe，与垂线AB，ab，DE，de相交于B，b，E，e；令垂线AB，DE表示初速度，线段Aa，Dd表示时间。因而（由假设）Aa比Dd等于DE比AB，也（由双曲线性质）等于CA比CD；经过组合知，等于Ca比Cd。所以，面积ABba，DEed，即掠过的距离，相互间相等，而初速度AB，DE正比于末速度ab，de；所以，由相减法，正比于速度所失去的部分AB－ab，DE－de。

证毕。

命题7　定理5

如果球体的阻力正比于速度的平方，则在正比于初速度反比于初始阻力的距离内，它们失去的运动正比于其全部，而掠过的距离正比于该时间与初速度的乘积。

因为运动所失去的部分正比于阻力与时间的乘积，所以该部分应正比于全部，阻力与应正比于运动的时间的乘积，所以时间正比于运动反比于阻力。所以在以该比值选取的时间间隔内，物体所失去的运动部分总是正比于其全部，因而余下的速度也总正比于初速度。因为速度的比值是给定的，它们所掠过的距离正比于初速度与时间的乘积。

证毕。

推论Ⅰ．如果速度相同的物体其阻力正比于直径的平方，不论均匀球体以什么样的速度运动，在掠过正比于其直径的距离后，所失去的运动部分都正比于其全部。因为每个球的运动都正比于其速度与质量的乘积，即正比于速度与其直径立方的乘积；阻力（由命题）则正比于直径的平方与速度的平方的乘积；而时间（由命题）与前者成正比，与后者成反比；所以，正比于时间与速度的距离也正比于直径。

推论Ⅱ．如果速度相同的物体的阻力正比于其直径的3/2次幂，则以任意速度运动的均匀球体在掠过正比于其直径3/2次幂的距离后，所失去的运动部分正比于其全部。

推论Ⅲ．一般而言，如果速度相同的物体受到的阻力正比于直径的任意次幂，则以任意速度运动的均匀球体，在失去其运动的部分正比于总运动量时，所掠过的距离正比于直径的立方除以该幂。令球体直径为D和E；如果在速度相等时阻力正比于Dn和En，则球体以任意速度运动并失去其运动的部分正比于全部时，所掠过的距离正比于D3－n和E3－n，而所余下的速度相互间的比值等于开始时的比值。

推论Ⅳ．如果球是不均匀的，较密的球所掠过的距离的增加正比于密度。因为在相等速度下，运动正比于密度，而时间（由命题）也正比于运动增加，所掠过的距离则正比于时间。

推论Ⅴ．如果球在不同的介质中运动，在其他条件相同时，在阻力较大的介质中，距离正比于该较大阻力减小。因为时间（由命题）的减少正比于增加的阻力，而距离正比于时间。

引理2

任一生成量（genitum）的瞬（moment）等于各生成边（generating sides）的瞬乘以这些边的幂指数，再乘以它们的系数，然后再求总和。

我称之为生成量的任意量，不是由若干分立部分相加或相减形成的，而是在算术上由若干项通过相乘、相除或求方根产生或获得的；在几何上则由求容积和边，或求比例外项和比例中项形成。这类量包括有乘积，商，根，长方形，正方形，立方体，边的平方和立方以及类似的量。在此，我把这些量看做是变化的和不确定的，可随连续的运动或流动增大或减小；所谓瞬，即指它们的瞬时增减；可以认为，呈增加时瞬为正值，呈减少时瞬为负值。但应注意这不包括有限小量。有限小量不是瞬，却正是瞬所产生的量。我们应把它们看做是有限的量所刚刚新生出的份额。在此引理中我们也不应将瞬的大小，而只应将瞬的初始比，看做是新生的。如果不用瞬，则可以用增加或减少（也可以称做量的运动、变化和流动）的速率，或相应于这些速率的有限量来代替，效果相同。所谓生成边的系数，指的是生成量除以该生成边所得到的量。

因此，本引理的含义是，如果任意量A，B，C等等由于连续的流动而增大或减小，而它们的瞬或与它们相应的变化率以a，b，c来表示，则生成量AB的瞬或变化等于aB＋bA；乘积ABC的瞬等于aBC＋bAC＋cAB；而这些变量所产生的幂，的瞬分别为；一般地，任意幂的瞬为。生成量A²B的瞬为2aAB＋bA²；生成量A³B⁴C²的瞬为3aA²B⁴C²＋4bA³B³C²＋2cA³B⁴C；生成量或A³B－2的瞬为3aA²B－2－2bA³B－3；以此类推。本引理可以这样证明：

情形1．任一长方形，如AB，由于连续的流动而增大，当边A和B尚缺少其瞬的一半和时，等于乘以，或者；而当边A和B长出半个瞬时，乘积变为乘以，或者。将此乘积减去前一个乘积，余下差aB＋bA。所以当变量增加a和b时，乘积增加aB＋bA。

证毕。

情形2．设AB恒等于G，则容积ABC或CG（由情形1）的瞬为gC＋cG，即（以AB和aB＋bA代替G和g），aBC＋bAC＋cAB。不论乘积有多少变量，瞬的求法与此相同。

证毕。

情形3．设变量A，B和C恒相等；则A²，即乘积AB的瞬aB＋bA变为2aA；而A³，即容积ABC的瞬aBC＋bAC＋cAB变为3aA²。同样地，任意幂An的瞬是naAn－1。

证毕。

情形4．由于乘以A是1，则的瞬乘以A，再加上乘以a，就是1的瞬，即等于零。所以，，或A－1的瞬是。一般地，由于乘An等于1，的瞬乘以An再加上乘以naAn－1等于零。所以或A－n的瞬是。

证毕。

情形5．由于乘以等于的瞬乘以等于a（由情形3）；所以，的瞬等于或。推而广之，令等于B，则Am等于Bn，所以maAm－1等于nbBn－1，maA－1等于nbB－1，或；所以等于b，即等于的瞬。

证毕。

情形6．所以，生成量AmBn的瞬等于Am的瞬乘以Bn，再加上Bn的瞬乘以Am，即maAm－1Bn＋nbBn－1Am；不论幂指数m和n是整数还是分数，是正数还是负数，对于更高次幂也是如此。

证毕。

推论Ⅰ．对于连续正比的量，如果其中一项已知，则其余项的变化率正比于该项乘以该项与已知项间隔项数。令A，B，C，D，E，F连续正比；如果C为已知，则其余各项的瞬之间的比为－2A，－B，D，2E，3F。

推论Ⅱ．如果在四个正比量里两个中项为已知，则端项的变化率正比于该端项。这同样适用于已知乘积的变量。

推论Ⅲ．如果已知两个平方的和或差，则变量的瞬反比于该变量。

附注

我在1672年12月10日致科林斯（J．Collins）⁽¹⁾先生的信中，曾谈到一种切线方法，我猜测它与司罗斯（Sluse）⁽²⁾当时尚未发表的方法是相同的，这封信中说：

这是一种普适方法的特例或更是一种推论，它不仅可以毫不困难地推广到求作无论是几何的还是力学的曲线的切线，或与直线及其他曲线有关的方法中，还可用于解决有关曲率、面积、长度、曲线的重心等困难问题；它还不（像许德⁽³⁾的求极大值与极小值方法那样）仅限于不含不尽根量的方程，把我的方法和这种方法联合运用于求解方程，可将它们化简为无限极数。

以上是那封信中的一段话。其中最后几句是针对我在1671年写成的一篇关于这项专题研究的论文的。这个普适方法的基础已包含在上述引理中。

命题8　定理6

如果均匀介质中的物体在重力的均匀作用下沿一条直线上升或下落；将它所掠过的全部距离分为若干相等部分，并将各部分起点（根据物体上升或下落，在重力中加上或减去阻力）与绝对力对应起来：则这些绝对力组成几何级数。

令已知线段AC表示重力；不定线段AK表示阻力；二者的差KC表示下落物体的绝对力；线段AP表示物体速度，它是AK和AC的比例中项，因而正比于阻力的平方根，短线段KL表示给定时间间隔中阻力的增量，而短线段PQ表示速度的瞬时增量；以C为中心，以CA，CH为直角渐近线，作双曲线BNS与垂线AB，KN，LO相交于B，N和O。因为AK正比于AP²，其中一个的瞬KL正比于另一个的瞬2AP·PQ，即，正比于AP·KG；因为速度的增量PQ（由定律Ⅱ）正比于产生它的力KC。将KL的比值乘以KN的比值，则乘积KL·KN正比于AP·KC·KN；即（因为乘积KC·KN已知），正比于AP，但双曲线KNOL的面积与矩形KL·KN的最后比值，在点K与L重合时，变为相等比值。所以，双曲线趋于零的面积正比于AP。所以整个双曲线面积ABOL由总是正比于速度AP的间隔组成；因而它本身也正比于速度掠过的距离。现将该距离分为若干相等部分ABMI，IMNK，KNOL等等，则对应的绝对力AC，IC，KC，LC等等构成几何级数。

证毕。

由类似理由，在物体的上升中，在点A的另一侧取相等面积ABmi，imnk，knol等等，则可以推知绝对力AC，iC，kC，lC等连续正比。所以如果整个上升和下降距离分为相等部分，则所有的绝对力lC，kC，iC，AC，IC，KC，LC等等构成连续正比。

证毕。

推论Ⅰ．如果以双曲线面积ABNK表示掠过的距离，则重力物体的速度和介质的阻力，可以分别用线段AC，AP和AK表示；反之亦然。

推论Ⅱ．物体在无限下落中所能达到的最大速度可以线段AC表示。

推论Ⅲ．如果对应于已知速度的介质阻力为已知，则可以求出最大速度。方法是令它比该已知速度等于重力比该已知阻力的平方根。

命题9　定理7

在相同条件下，如果取圆与双曲线张角的正切正比于速度，再取一适当大小的半径，则物体上升到最高处所的总时间正比于圆的扇形，而由最高处下落的总时间正比于双曲线的扇形。

在表示重力的直线AC上作与之相等的垂线AD，以D为圆心，AD为半径作一个四分之一圆AtE，再作直角双曲线AVZ，其轴为AK，顶点为A，渐近线为DC。作Dp，Dp；则圆扇形AtD正比于上升到最高处所的总时间；而双曲线扇形ATD则正比于由该最高处下落的总时间；如果这成立，则切线Ap，AP正比于速度。

情形1．作Dvq在扇形ADt和三角形ADp上切下变化率或同时掠过的小间隔tDv和qDp。由于这些间隔（因为属于共同角D）正比于边的平方，间隔tDv正比于，即（因为tD已知），正比于。但pD²等于AD²＋Ap²，即，AD²＋AD·Ak，或者AD·Ck；而qDp等于。所以扇形间隔tDv正比于；即正比于速度的减小量pq，反比于减慢速度的力Ck；所以正比于对应于速度减量的时间间隔。通过组合，在扇形ADt中所有间隔tDv的总和正比于对应于不断变慢的速度Ap所失去的每一个小间隔pq的时间间隔的总和，直到该趋于零的速度消失；即，整个扇形ADt正比于上升到最高处所的时间。

证毕。

情形2．作DQV在扇形DAV和三角形DAQ上割下小间隔TDV和PDQ；这两个小间隔相互间的比等于DT²比DP²，即（如果TX与AP平行）等于DX²比DA²或TX²比AP²；由相减法，等于DX²－TX²比DA²－AP²，但由双曲线性质知，DX²－TX²等于AD²；而由命题所设条件，AP²等于AD·AK。所以二间隔相互间的比等于AD²比AD²－AD·AK；即等于AD比AD－AK或AC比CK；所以扇形的间隔TDV等于；所以（因为AC与AD已知）等于；即，正比于速度的增量，反比于产生该增量的力；所以正比于对应于该增量的时间间隔。通过组合知，使速度AP产生全部增加量PQ的总时间间隔，正比于扇形ATD的间隔；即总时间正比于整个扇形。

证毕。

推论Ⅰ．如果AB等于AC的四分之一部分，则在任意时间内物体下落所掠过的距离，比物体以其最大速度AC在同一时间内匀速运动所掠过的距离，等于表示下落掠过的距离的面积ABNK比表示时间的面积ATD。因为

由本编引理2推论I，

所以

而由于

将对应项相乘，

如上所述，

所以，

即，等于落体速度比它在下落中所能获得的最大速度。所以，由于面积ABNK和ATD的变化率LKNO和DTV正比于速度，在同一时间里产生的这些面积的所有部分正比于同一时间里掠过的距离；所以自下落开始后产生的整个面积ABNK和ADT，正比于下落的全部距离。

证毕。

推论Ⅱ．物体上升所掠过的距离情况相同，也就是说，总距离比同一时间中以均匀速度AC掠过的距离，等于面积ABnK比扇形ADt。

推论Ⅲ．物体在时间ATD内下落的速度，比它同一时间里在无阻力空间中所可能获得的速度，等于三角形APD比双曲线扇形ATD。因为在无阻力介质中速度正比于时间ATD，而在有阻力介质中正比于AP，即正比于三角形APD。而在刚开始下落时，这些速度与面积ATD，APD一样，都是相等的。

推论Ⅳ．由同样理由，上升速度比物体相同时间里在无阻力空间中所损失的上升运动，等于三角形ApD比圆扇形AtD；或等于直线Ap比弧At。

推论Ⅴ．所以，物体在有阻力介质中下落所获得的速度AP，比它在无阻力空间中下落获得最大速度AC所需时间，等于扇形ADT比三角形ADC；而物体在无阻力介质中由于上升而失去速度Ap的时间，比它在有阻力介质中上升失去相同速度所需时间，等于弧At比切线Ap。

推论Ⅵ．由已知时间可以求出上升或下落的距离。因为物体无限下落的最大速度是已知的（由本编定理6推论Ⅱ和Ⅲ）；因而也可以求出物体在无阻力空间中下落获得这一速度所需要的时间。取扇形ADT或ADt比三角形ADC等于已知时间比刚求出的时间，即可以求出速度AP或Ap，以及面积ABNK或ABnk，它与扇形ADT或ADt的比等于所求距离与前面求出的在已知时间内以最大速度匀速运动掠过的距离的比。

推论Ⅶ．采用反向推导，由已知上升或下落的距离ABnk或ABNK，可以求出时间ADt或ADT。

命题10　问题3

设均匀重力垂直指向地平面，阻力正比于介质密度与速度平方的乘积：求使物体沿任意给定曲线运动的各点介质密度，以及物体的速度，和各点的介质阻力。

令PQ为与纸平面垂直的平面；PFHQ为一曲线，与该平面相交于点P和Q；物体沿此曲线由F到Q经过四个点G，H，I，K；GB，HC，ID，KE是由这四点向地平面作的四条平行纵坐标，落向地平线PQ上的垂点B，C，D，E；令纵坐标间距BC，CD，DE相等。由点G和H作直线GL，HN与曲线相切于点G，H，并与纵坐标向上的延长线CH，DI相交于L和N；作出平行四边形HCDM。则物体掠过弧GH，HI的时间，正比于物体在该时间里由切点下落的高度LH，NI的平方根；而速度正比于掠过的长度GH，HI，反比于时间。令T和t表示时间，和表示速度，则时间t内速度的减量为。该减量是由阻碍物体的阻力和对它加速的重力所产生的。伽利略曾证明过，掠过距离NI的落体所受重力产生的速度，可以使它在相同时间里掠过二倍的距离；即，速度：但如果物体掠过的是弧HI，这个力只使弧增加长度HI－HN，或者；所以产生速度。将这一速度加上前述减量，就可以得阻力单独产生的速度减量，即。由于在同一时间里重力使落体产生速度，则阻力比重力等于

现设横坐标CB，CD，CE为－o，o，2o，纵坐标CH为P；MI为任意级数Qo＋Ro²＋So²＋等等。则级数中第一项以后的所有项，即Ro²＋So²＋等等，等于NI；而纵坐标DI，EK和BG则分别为P－Qo－Ro²－So³－等等。P－2Qo－4Ro²－8So³－等等，以及P＋Qo－Ro²＋So³－等等。取纵坐标的差BG－CH与CH－DI的平方，再加上BC与CD的平方，即得到弧GH，HI的平方oo＋QQoo－2QRo³＋等等以及oo＋QQoo＋2QRo³＋等等，它们的根与就是弧GH和HI。而且，如果由纵坐标CH中减去纵坐标BG与DI的和的一半，由纵坐标DI中减去纵坐标CH与EK的和的一半，则余下Roo与Roo＋3So³，这是弧GI和HK的正矢。它们正比于短线段LH和NI，因而正比于无限小时间T和t的平方：因而比值正比于或的平方变化；在中代入刚才求出的，GH，HI，MI和NI的值，得到。由于2NI等于2Roo，则阻力比重力等于比2Roo，即等于。

速度等于一物体自任意处所H沿切线HN方向在真空中画出抛物线的速度，该抛物线的直径为HC，通径为或。

阻力正比于介质密度与速度平方的乘积；因而介质密度正比于阻力，反比于速度平方；即，正比于，反比于；即正比于。

完毕。

推论Ⅰ．如果将切线HN向两边延长，使它与任意纵坐标AF相交于T，则等于，因而由上述推导知可以替代。由此，阻力比重力等于3S·HT比4RR·AC；速度正比于，介质密度正比于。

推论Ⅱ．由此，如果像通常那样曲线PFHQ由底或横坐标AC与纵坐标CH的关系来决定，纵坐标的值分解为收敛级数，则本问题可利用级数的前几项简单地解决；如下例所示。

例1．令PFHQ为直径PQ上的半圆，求使抛体沿此曲线运动的介质密度。

在A二等分直径PQ，并令AQ为n；AC为a；CH为e；CD为o；则DI²或AQ²－AD²＝nn－aa－2ao－oo，或ee－2ao－oo；用我们的方法求出根，得到

在此取nn等于ee＋aa，则

在此级数中我用这一方法区分不同的项：不含无限小o的项为第一项；含该量一次方的为第二项，含二次方的为第三项，三次方的为第四项；以此类推以至无限。其第一项在这里是e，总是表示位于不确定量o的起点的纵坐标CH的长度，第二项是，表示CH与DN的差，被平行四边形HCDM切下的短线段MN；因而总是决定着切线HN的位置；在此，方法是取。第三项是，表示位于切线与曲线之间的短线段IN；它决定切角IHN，或曲线在H的曲率。如果该短线段IN有确定量，则它由第三项与其以后无限多个项决定。但如果该短线段无限缩短，则以后的项比第三项为无限小，可以略去。第四项决定曲率的变化；第五项是该变化的变化，等等。顺便指出，由此我们得到了一种不容轻视的方法，利用这一级数可以求解曲线的切线和曲率问题。

现在，将级数

与级数

作一比较，以和代替P，Q，R和S，以或代替；则得到介质和密度正比于；即（因为n为已知），正比于或，即，正比于切线HT的长度，它由PQ上的垂直半径截得；而阻力比重力等于3a比2n，即，等于3AC比圆的直径PQ；速度则正比于。所以，如果物体自处所F以一适当速度沿平行于PQ的直线运动，介质中各点H的密度正比于切线HT的长度，且注意点H处的阻力比重力等于3AC比PQ，则物体将画出圆的四分之一FHQ。

完毕。

但如果同一物体由处所P沿垂直于PQ的直线运动，且在开始时沿着半圆PFQ的弧，则必须在圆心A的另一侧选取AC或a；所以它的符号也应改变，以－a代替＋a。对应的介质密度正比于。但自然界中不存在负密度，即，使物体运动加速的密度；所以，不可能使物体自动由P上升画出圆的四分之一PF，要获得这一效应，物体应能在推动的介质中而不是在有阻力的介质中，得到加速。

例2．令曲线PFQ为抛物线，其轴垂直于地平线PQ；求使抛体沿该曲线运动的介质密度。

由抛物线性质，乘积－PQ·DQ等于纵坐标DI与某个已知直线的乘积；即，如果该直线是b，而PC为a；PQ为c；CH为e；CD为o；则乘积

所以，。现在，以该级数中第二项代替Qo，以第三项代替Roo。但由于没有更多的项，第四项的系数S是零；所以，介质的密度所正比的量是零。所以，在介质密度为零的地方，抛体沿抛物线运动。这正是伽利略所证明了的。

完毕。

例3．令曲线AGK为双曲线，其渐近线NX垂直于地平面AK：求使抛体沿此曲线运动的介质密度。

令MX为另一条渐近线，与纵坐标DG的延长线相交于V；由双曲线性质，XV与VG的乘积是已知的，DN与VX的比值也是已知的，所以DN与VG的乘积也为已知。令该乘积为bb；作平等四边形DNXZ，令BN为a；BD为o；NX为c；令已知比值VZ比ZX或DN为，则DN等于a－o，VG等于，VZ等于，而GD或NX－VZ－VG等于

把项分解为收敛级数

则GD等于

该级数第二项就是Qo；第三项改变符号就是Ro²；第四项，改变符号就是So³，它们的系数和就是前述规则中的Q，R和S，完成这一步后，得到介质的密度正比于

或者

即，如果在VZ上取VY等于VG，则正比于，因为aa与是XZ和ZY的平方。但阻力与重力的比值等于3XY与2YG的比值；而速度则等于可使该物体画出一抛物体的速度，其顶点为G，直径为DG，通径为。所以，设介质中各点G的密度反比于距离XY，而且任意点G的阻力比重力等于3XY比2YG；当物体由点A出发以适当速度运动时，将画出双曲线AGK。

完毕。

例4．设AGK是一条双曲线，其中心为X，渐近线为MX，NX，使得画出矩形XZDN后，其边ZD与双曲线相交于G，与渐近线相交于V，VG反比于线段ZX或DN的任意次幂DNn，幂指数为n：求使抛体沿此曲线运动的介质密度。

分别以A，O，C代替BN，BD，NX，令VZ比XZ或DN等于d比e，且VG等于；则DN等于或等于

将项分解为无限级数

则GD等于

该级数的第二项就是Qo，第三项是Roo，第四项bbO³是So³，因此在任意处所G介质的密度等于

所以，如果VZ上取VY等于n·VG，则密度正比于XY的倒数。因为A²与是XZ和ZY的平方。而同一处所G的介质阻力比重力等于比4RR，即等于XY比。速度则与使物体沿一条抛物线的相同，该抛物线顶点是G，直径为GD，通径为或。

完毕。

附注

由与推论Ⅰ相同的方法，可得出介质的密度正比于，如果阻力正比于速度V的任意次幂Vn，则介质密度正比于

所以，如果能求出一条曲线，使得与，或与的比值为已知，则在阻力正比于速度V的任意次幂Vn的均匀介质中，物体将沿此曲线运动。现在还是让我们回到比较简单的曲线上来。

由于在无阻力介质中只存在抛物线运动，而这里所描述的双曲线运动是由连续阻力产生的；所以很明显抛体在均匀阻力介质中的轨道更近于双曲线而不是抛物线。这样的轨道曲线当然属于双曲线类型，但它的顶点距渐近线较远，而在远离顶点处较之这里所讨论的双曲线距渐近线更近。然而，其间的差别并不太大，在实用上可以足够方便地以后者代替前者，也许这些比双曲线更有用，虽然它更精确，但同时也更复杂。具体应用按下述方法进行。

作平行四边形XYGT，则直线GT将与双曲线相切于G，因而在G点介质密度反比于切线GT，速度正比于；阻力比重力等于。

所以，如由处所A抛出的物体沿直线AH的方向画出双曲线AGK，延长AH与渐近线NX相交于H，作AI与它平行并与另一条渐近线MX相交于I；则A处介质密度反比于AH，物体速度正比于，阻力比重力等于AH比。由此得出以下规则。

规则1．如果A点的介质密度以及抛出物体的速度保持不变，而角NAH改变；则长度AH，AI，HX不变。所以，如果在任何一种情况下求出这些长度，则由任意给定角NAH可以很容易求出双曲线。

规则2．如果角NAH，与A点的介质密度保持不变，抛出物体的速度改变，则长度AH维持不变；而AI则反比于速度的平方改变。

规则3．如果角NAH，物体在A点的速度以及加速引力保持不变，而A点的阻力与运动引力的比以任意比率增大；则AH与AI的比值也以相同比率增大；而上述抛物线的通径保持不变，与它成正比的长度也不变；因而AH以同一比率减小，而AI则以该比率的平方减小。但当体积不变而比重减小，或当介质密度增大，或当体积减小，而阻力以比重量更小的比率减小时，阻力与重量的比增大。

规则4．因为在双曲线顶点附近的介质密度大于处所A的，所以要求平均密度，应先求出切线GT的最小值与切线AH的比值，而A点的密度的增加应大于这两条切线的和的一半与切线GT最小值的比值。

规则5．如果长度AH，AI已知，要画出图形AGK，则延长HN到X，使HX比AI等于n＋1比1；以X为中心，MX，NX为渐近线，通过点A画出双曲线，使AI比任意直线VG等于XVn比XIn。

规则6．数n越大，物体由A上升的双曲线就越精确，而向K下落的就越不精确；反之亦然。圆锥双曲线是这二者的平均，并比所有其他曲线都简单。所以，如果双曲线属于这一类，要找出抛体落在通过点A的任意直线上的点K，令AN延长与渐近线MX，NX相交于M，N，取NK等于AM。

规则7．由此现象得到一种求这条双曲线的简便方法。令两个相等物体以相同速度沿不同角度HAK，hAk抛出，落在地平面上的点K和k处；记下AK与Ak比值，令其为d比e。作任意长度的垂线AI，并任意设定长度AH或Ah，然后用作图法，或使用直尺与指南针，收集AK，Ak的长度（用规则6）。如果AK与Ak的比值等于d与e比值，则AH长度选取正确。如果不相等，则在不定直线SM上取SM等于所设AH的长；作垂线MN等于二比值的差再乘以任意已知直线。由类似方法，得到若干AH的假设长度，对应有不同的点N；通过所有这些点作规则曲线NNXN，与直线SMMM相交于X。最后，设AH等于横坐标SX，再由此找出长度AK；则这些长度比AI的假设长度，以及这最后假设的长度AH，等于实验测出的AK，比最后求得的长度AK，它们就是所要求的AI和AH的真正长度，而求出这些后，也就可求出处所A的介质阻力，它与重力的比等于AH比。令介质密度按规则4增大，如果刚求出的阻力也以同样比率增大，则结果更为精确。

规则8．已知长度AH，HX；求直线AH的位置，使以该已知速度抛出的物体能落在任意点K上。在点A和K，作地平线的垂直线AC，KF；把AC竖直向下画，并等于AI或。以AK，KF为渐近线，画一条双曲线，它的共轭线通过点C；以A为圆心，间隔AH为半径画一圆与该双曲线相交于点H；则沿直线AH方向抛出的物体将落在点K上。

完毕。

因为给定长度AH的缘故，点H必定在画出的圆图上，作CH与AK和KF相交于点E和F；因为CH，MX平行，AC与AI相等，所以AE等于AM；因而也等于KN，而CE比AE等于FH比KN，所以CE与FH相等。所以点H又落在以AK，KF为渐近线的双曲线上，其共轭曲线通过点C；因而找出了该双曲线与所画出的圆周的公共交点。

完毕。

应当说明的是，不论直线AKN与地平线是平行还是以任意角倾斜，上述方法都是相同的；由两个交点H，h得到两个角NAH，NAh；在力学实践中，一次只要画一个圆就足够了，然后用长度不定的直尺向点C作CH，使其在圆与直线FK之间的部分FH等于位于点C与直线AK之间的部分CE即可。

有关双曲线的结论都很容易应用于抛物线。因为如果以XAGK表示一条抛物线，在顶点X与一条直线XV相切，其纵坐标IA，VG正比于横坐标XI，XV的任意次幂XIn，XVn；作XT，GT，AH，使XT平行于VG，令GT，AH与抛物线相切于G和A：则由任意处所A，沿直线AH方向，以一适当速度抛出的物体，在各点G的介质密度反比于切线GT时，将画出这条抛物线。在此情形下，在G点的速度将等于物体在无阻力空间中画出圆锥抛物线的速度，该抛物线以G为顶点，VG向下的延长线为直径，为通径。而G点的阻力比重力等于GT比。所以，如果NAK表示地平线，点A的介质密度与抛出物体的速度不变，则不论角NAH如何改变，长度AH，AI，HX都保持不变；因而可以求出抛物线的顶点X，以及直线XI的位置；如果取VG比IA等于XVn比XIn，则可求得抛物线上所有的点G，这正是抛体所经过的轨迹。

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(1) John Collins（1625—1683），英国代数学家。未受过大学教育，1667年当选皇家学会会员。曾与当时的科学家（主要是数学家）有大量书信交往。——译者注。

(2) Rene－Francois de Sluse（1622—1685），法国业余数学家，与巴斯卡、惠更斯、瓦里斯等有大量书信交往，1674年当选为皇家学会会员。——译者注。

(3) John van Waveren Hudde（1628—1704），荷兰数学家。英译本误作Hudden。——译者注。

第3章

物体受部分正比于速度部分正比于速度平方的阻力的运动

命题11　定理8

如果物体受到部分正比于其速度部分正比于其速度的平方的阻力，在均匀的介质中只受到惯性力的推动而运动；而且把时间按算术级数划分：则反比于速度的量，在增加某个给定量后，变为几何级数。

以C为中心，CADd和CH为直角渐近线画双曲线BEe，令AB，DE，de平行于渐近线CH。在渐近线CD上令A，G为已知点；如果由双曲线面积ABED表示的时间均匀增加，则以GD为其倒数的长度DF与给定直线CG所共同组成的长度CD所表示的速度按几何级数增加。

因为，令小面积DEed为时间的最小增量，则Dd反比于DE，因而正比于CD。所以的减量（由第二编引理2），也正比于或，即正比于。所以，当时间ABED均匀地增加给定间隔EDde时，以与速度相同的比率减小。因为速度的减量正比于阻力，即（由题设），正比于两个量的和，其中之一正比于速度，另一个正比于速度的平方；而的减量正比于量和，其中第一项是本身，后一项正比于：所以正比于速度，二者的减量是类似的。如果量GD反比于，并增加给定量CG；则当时间ABED均匀增加时，其和CD按几何级数增加。

证毕。

推论Ⅰ．如果点A和G已知，双曲线面积ABED表示时间，则速度由GD的倒数表示。

推论Ⅱ．取GA比GD等于任意时间ABED开始时速度的倒数比该时间结束时速度的倒数，则可以求出点G。求出该点后，则可由任意给定的其他时间求出速度。

命题12　定理9

在相同条件下，如果将掠过的距离分为算术级数，则速度在增加一个给定量后变为几何级数。

设在渐近线CD上已知点R，作垂线RS与双曲线相交于S，令掠过的距离以双曲线面积RSED表示；则速度正比于长度GD，该长度与给定线CG组成的长度CD，当距离RSED按算术级数增加时，按几何级数减小。

因为，空间增量EDde为给定量，GD的减量短线Dd反比于ED，因而正比于CD；即正比于同一个CD与给定长度CG的和。而在掠过给定空间间隔DdeE所需的正比于速度的时间中，速度的减量正比于阻力乘以时间，即正比于两个量的和，反比于速度，这两个量中之一正比于速度，另一个正比于速度的平方；因而正比于两个量的和，其中一个是给定的，另一个正比于速度。所以，速度以及直线GD二者的减量正比于给定量与一个减小量的乘积；而因为两个减量相似，两个减小的量，即速度与线段GD，也总是相似的。

证毕。

推论Ⅰ．如果以长度GD表示速度，则掠过的距离正比于双曲线面积DESR。

推论Ⅱ．如果任意设定点R，则通过取GR比GD等于开始时的速度比掠过距离RSED后的速度，则可以求出点G。求出点G后，即可由给定速度求出距离；反之亦然。

推论Ⅲ．由于由给定时间（通过命题11）可以求出速度，而（由本命题）距离又可以由给定速度推出，所以由给定时间可以求出距离；反之亦然。

命题13　定理10

设一物体受竖直向下的均匀重力作用沿一直线上升或下落；受到的阻力同样部分正比于其速度，部分正比于其平方：如果作几条平行于圆和双曲线直径且通过其共轭直径端点的直线，而且速度正比于平行线上始自一给定点的线段，则时间正比于由圆心向线段端所作直线截取的扇形面积；反之亦然。

情形1．首先设物体上升，以D为圆心，以任意半径DB画圆的四分之一BETF，通过半径DB的端点B作不定直线BAP平行于半径DF。在该直线上设有已知点A，取线段AP正比于速度。由于阻力的一部分正比于速度，另一部分正比于速度的平方，令整个阻力正比于AP²＋2BA·AP。连接DA，DP，与圆相交于E和T，令DA²表示重力，使得重力比P处的阻力等于DA²比AP²＋2BA·AP；则整个上升时间正比于圆的扇形EDT。

作DVQ，分割出速度AP的变化率PQ，以及对应于给定时间变化率的扇形DET的变化率DTV；则速度的减量PQ正比于重力DA²与阻力AP²＋2BA·AP的和；即（由欧几里得《几何原本》第二卷命题12），正比于DP²。而正比于PQ的面积DPQ正比于DP²，面积DTV比面积DPQ等于DT²比DP²，因而DTV正比于给定量DT²。所以，面积EDT减去给定间隔DTV后，均匀地随着未来时间的比率减小，因而正比于整个上升时间。

情形2．如果物体的上升速度像前一情形那样以长度AP表示，则阻力正比于AP²＋2BA·AP；而如果重力小得不足以用DA²表示，则可以这样取BD的长度，使AB²－BD²正比于重力，再令DF垂直且等于DB，通过顶点F画出双曲线FTVE，其共轭半径为DB和DF，曲线与DA相交于E，与DP，DQ相交于T和V；则整个上升时间正比于双曲线扇形TDE。

因为在已知时间间隔中产生的速度减量PQ正比于阻力AP²＋2BA·AP与重力AB²－BD²的和，即正比于BP²－BD²，但面积DTV比面积DPQ等于DT²比DP²；所以，如果作GT垂直于DF，则上述比等于GT²或者GD²－DF²比BD²，也等于GD²比BP²，由相减法知，等于DF²比BP²－BD²。所以，由于面积DPQ正比于PQ，即，正比于BP²－BD²，因而面积DTV正比于给定量DF²。所以，面积EDT在每一个相等的时间间隔内，通过减去同样多的间隔DTV，将均匀减小，因而正比于时间。

证毕。

情形3．令AP为下落物体的速度，AP²＋2BA·AP为阻力，BD²－AB²为重力，角DBA为直角。如果以D为中心，B为顶点，作直角双曲线BETV与DA，DP和DQ的延长线相交于E，T，V；则该双曲线的扇形DET正比于整个下落时间。

因为速度的增量PQ，以及正比于它的面积DPQ，正比于重力减去阻力的剩余，即正比于

或BD²－BP²。而面积DTV比面积DPQ等于DT²比DP²；所以等于GT²或GD²－BD²比BP²；也等于GD²－BD²，由相减法，等于BD²比BD²－BP²。所以，由于面积DPQ正比于BD²－BP²，面积DTV正比于给定量BD²。所以面积EDT在若干相等的时间间隔内，加上同样多的间隔DTV后，将均匀增加，因而正比于下落时间。

证毕。

推论．如果以D为中心，以DA为半径，通过顶点A作一个弧At与弧ET相似，其对角也是ADT，则速度AP比物体在时间EDT内在无阻力空间由于上升所失去或由于下落所获得的速度，等于三角形DAP的面积比扇形DAt的面积；因而该速度可以由已知的时间求出。因为在无阻力的介质中速度正比于时间，所以也正比于这个扇形；在有阻力介质中，它正比于该三角形；而在这二种介质中，当它很小时，趋于相等，扇形与三角形也是如此。

附注

还可以证明这种情形，物体上升时，重力小得不足以用DA²或AB²＋BD²表示，但又大于以AB²－DB²来表示，因而只能用AB²表示。不过我在此拟讨论其他问题。

命题14　定理11

在相同条件下，如果按几何级数取阻力与重力的合力，则物体上升或下落所掠过的距离，正比于表示时间的面积与另一个按算术级数增减的面积的差。

取AC（在三个图中）正比于重力，AK正比于阻力；如果物体上升，这二者取在点A的同侧，如果物体下落，则取在两侧。作垂线Ab，使它比DB等于DB²比4BA·CA；以CK，CH为直角渐近线作双曲线bN；再作KN垂直于CK，则面积AbNK在力CK按几何级数取值时按算术级数增减，所以，物体到其最大高度的距离正比于面积AbNK减去面积DET的差。

因为AK正比于阻力，即，正比于AP²·2BA·AP；设任意给定量Z，取AK等于；则（由本编引理2）AK的瞬KL等于或者，而面积AbNK的瞬等于或者。

情形1．如果物体上升，重力正比于AB²＋BD²，BET是一个圆，则正比于重力的直线AC等于，而DP²或AP²＋2BA·AP＋AB²＋BD²等于AK·Z＋AC·Z或CK·Z；所以面积DTV比面积DPQ等于DT²或DB²比CK·Z。

情形2．如果物体上升，重力正比于AB²－BD²，则直线AC等于，而DT²比DP²等于DF²或DB²比BP²－BD²或AP²＋2BA·AP＋AB²－BD²，即，比AK·Z＋AC·Z或CK·Z。所以面积DTV比面积DPQ等于DB²比CK·Z。

情形3．由相同理由，如果物体下落，因而重力正比于BD²－AB²，直线AC等于；则面积DTV比面积DPQ等于DB²比CK·Z，与前述相同。

所以，由于这些面积总是取这同一个比值，如果不用不变的面积DTV表示时间的瞬，而代之以任意确定的矩形BD·m，则面积DPQ，即比BD·m等于CK·Z比BD²，因而PQ·BD³等于2BD·m·CK·Z，而以前求出的面积AbNK的瞬KLON变成。由面积DET减去它的瞬DTV或BD·m，则余下。所以，瞬的差，即面积的差的瞬，等于；所以（因为是给定量）正比于速度AP；即正比于物体在上升或下落中掠过距离的瞬。所以，二面积的差，与正比于瞬，且与之同时开始又同时消失的距离的增减，是成正比的。

证毕。

推论．如果以M表示面积DET除以直线BD所得到的长度；再取一个长度V，使它比长度M等于线段DA比线段DE；则物体在有阻力介质中上升或下落的总距离，比在无阻力介质中相同时间内由静止开始下落的距离，等于上述面积差比；因而可以由给定时间求出。因为在无阻力介质中距离正比于时间的平方，或正比于V²；又因为BD与AB是已知的，也即正比于。该面积等于面积的瞬是m；所以该面积的瞬是。而该瞬比上述二面积DET与AbNK的差的瞬，即比，等于比，或等于乘以DET比DAP；所以，当面积DET与DAP极小时，比值为1。所以，当所有这些面积都极小时，面积以及面积DET与AbNK的差，有相等的瞬；所以二者相等，由于在下落开始与上升终了时的速度，因而在两种介质中所掠过的距离，是趋于相等的，所以二者相比等于面积比面积DET与AbNK的差；而且，由于在无阻力介质中距离连续正比于，而在有阻力介质中，距离连续正比于面积DET与AbNK的差；由此必然推导出在二种介质中，相同时间内所掠过的距离的比，等于面积比面积DET与AbNK的差。

证毕。

附注

球体在流体中受到的阻力部分来自粘滞性，部分来自摩擦，部分来自介质密度。其中来自流体密度的那部分阻力，我已讨论过，是正比于速度的平方的；另一部分来自流体的粘滞性，它是均匀的，或正比于时间的瞬；因此，我们现在可以进而讨论这种物体运动，它受到的阻力部分来自一个均匀的力，或正比于时间的瞬，部分正比于速度的平方。不过早在前面的命题8和9及其推论中，就已经为解决这种问题彻底扫清了道路。因为在这些命题中，可以将上升物体的重力所带来的均匀阻力，代之以介质的粘滞性所产生的均匀阻力，前提是物体只受惯性力的推动；而当物体沿直线上升时，可把均匀力叠加在重力上，当物体沿直径下落时，则从中减去。还可以进而讨论受到部分是均匀的，部分正比于速度，部分正比于同一速度的平方的阻力的物体的运动。而我在前述的命题13和14中为此铺平了道路，其中，只要用介质粘滞性产生的均匀阻力代替重力，或者像以前那样，代之以二者的合力。我们还有其他问题要讨论。

第4章

物体在阻滞介质中的圆运动

引理3

令PQR为一螺旋线，它以相同角度与所有的半径SP，SQ，SR等相交。作直线PT与螺旋相交于任意点P，与半径SQ相交于T；作PO，QO与螺旋线垂直，并相交于O，连接SO：如果点P和Q趋于重合，则角PSO成为直角，而乘积TQ·2PS与PQ²的最后的比成为相等的比。

因为，由直角OPQ，OQR中减去相等的角SPQ，SQR，余下的角OPS，OQS仍相等。所以，通过点O，P，S的圆必定也通过点Q。令点P与Q重合，则该圆在P，Q重合处与螺旋线相切，因而与直线OP垂直相交。所以，OP成为该圆的直径，而角OSP位于半圆上，所以是直角。

证毕。

作QD，SE垂直于OP，则几条线最后的比等于

以及

将相等比式中对应项相乘，

因而PQ²等于TQ·2PS。

证毕。

命题15　定理12

如果各点的介质密度反比于由该点到不动中心的距离，且向心力正比于密度的平方，则物体沿一螺旋线运动，该线以相同角度与所有转向中心的半径相交。

设所有条件与前述引理相同，延长SQ到V，使得SV等于SP。令物体在任意时间内在有阻力介质中掠过极小弧PQ，而在二倍的时间里掠过极小弧PR；而阻力造成的弧的减量，或它们与在无阻力介质中相同时间内所掠过的弧的差，相互间的比值正比于生成它们的时间的平方；所以弧PQ的减量是弧PR的减量的四分之一。因而，如果取面积QSr等于面积PSQ，则弧PQ的减量也等于矩线Rr的一半；所以阻力与向心力之间的比等于短线与同时生成的TQ的比。因为物体在点P受到的向心力反比于SP²，而（由第一编引理10）该力所产生的短线TQ正比于一个复合量，它正比于该力以及掠过弧PQ所用的时间的平方（在此我略去阻力，因为它比起向心力来为无限小），由此导出TQ·SP²，即（由上述引理），，正比于时间的平方，因而时间正比于；而在该时间里物体掠过弧PQ的速度，正比于或，即，反比于SP的平方根。而且，由相同理由，掠过弧QR的速度反比于SQ的平方根。现在，弧PQ与QR的比等于速度的比；即，等于SQ比SP的平方根，或等于SQ比；而因为角SPQ，SQr相等，面积PSQ，QSr相等，弧PQ比弧Qr等于SQ比SP。取正比部分的差，得到，弧PQ比弧Rr等于SQ比，或。因为，点P与Q重合时，SP－与的最终比值是相等比值。由于阻力产生的弧PQ的减量或其二倍Rr，正比于阻力与时间的平方的乘积，所以阻力正比于。取PQ比Rr等于SQ比，因而正比于，或正比于。因为点P与Q重合时，SP与SQ也重合，三角形PVQ成为一直角三角形；又因为三角形PVQ，PSO相似，PQ比等于OP比。所以正比于阻力，即，正比于点P的介质密度与速度平方的乘积。抽去速度的平方部分，即，则余下P处的介质密度，它正比于。令螺旋线为已知的，因为OS比OP为已知，点P处介质密度正比于。所以在密度反比于距离SP的介质，物体将沿该螺旋线运动。

证毕。

推论Ⅰ．在任意处所P的速度，恒等于物体在无阻力介质中受相同向心力以相同距离做圆周运动的速度。

推论Ⅱ．如果距离SP已知，则介质密度正比于，但如果距离未知，则正比于。所以螺旋线适用于任何介质密度。

推论Ⅲ．在任意处所P的阻力比同一处所的向心力等于比OP。因为二力相互间的比等于Rr比TQ，或等于比，即等于VQ比PQ，或比OP。所以给定了螺旋线，也就给定了阻力与向心力的比值；反之，由该比值也可求出螺旋线。

推论Ⅳ．除非阻力小于向心力的一半，物体不会沿螺旋线运动。令阻力等于向心力的一半，螺旋线与直线PS重合，在该直线上，物体落向中心，其速度比先前讨论过的沿抛物线（第一编定理10）在无阻力介质中下落的速度，等于1比2的平方根。所以下落时间反比于速度，因而是给定的。

推论Ⅴ．因为在到中心距离相等处，螺旋线PQR上的速度等于直线SP上的速度，螺旋线的长度比直线PS的长度为给定值，即，等于OP比OS；沿螺旋线下落的时间与沿直线下落的时间的比也为相同比值，因而是给定的。

推论Ⅵ．如果由中心引出两条任意半径作两个圆；保持二圆不变，使螺旋线与半径PS的交角任意改变；则物体在两个圆之间沿螺旋线环绕的圈数正比于，或正比于螺旋线与半径PS夹角的正切；而同一环绕的时间正比于，即正比于同一个角的正割，或反比于介质密度。

推论Ⅶ．如果物体在密度反比于处所到中心距离的介质中沿任意曲线绕该中心运动，且在B点与第一个半径AS的交角与在A点相同，其速度与在A点的速度的比正比于到中心的距离的平方根（即，等于AS比AS与BS的比例中项），则该物体将连续掠过无数个相似的环绕轨道BFC，CGD，等等，将半径AS分割为连续正比的部分AS，BS，CS，DS等。但环绕周期正比于轨道周长AEB，BFC，CGD等，反比于在这些轨道起点A，B，C等处的速度，即，正比于。而物体到达中心的总时间比做第一个环绕的时间，等于所有连续正比项等直至无穷的和，比第一项；即非常近似地等于第一项比前两项的差，或比AB。因而容易求出总时间。

推论Ⅷ．由此也可以足够近似地推出，物体在密度均匀或按任意设定规律变化的介质中的运动。以S为中心，以连续正比的半径SA，SB，SC等画出数目相同的圆；设在以上讨论的介质中，在任意两个圆之间的环绕时间，比在相同圆之间在拟定介质中的环绕时间，近似等于这两个圆之间拟定介质的平均密度，比上述介质的平均密度；而且在上述介质中上述螺旋线与半径AS的交角的正割正比于在拟定介质中新螺旋与同一半径的交角的正割；以及在两个相同的圆之间环绕的次数都近似正比于交角的正切；如果在每两个圆之间的情形处处如此，则物体的运动连续通过所有的圆。由此方法可以毫不困难地求出物体在任意规则介质中环绕的运动和时间。

推论Ⅸ．虽然这些偏心运动是沿近似于椭圆的螺旋线进行的，但如果假设这些螺旋线的若干次环绕是在相同距离进行的，而且其倾向于中心的程度与上述螺旋线是相同的，则也可以理解物体是怎样沿着这螺旋线运动的。

命题16　定理13

如果介质在各处的密度反比于由该处到不动中心的距离，而向心力反比于同一距离的任意次幂；则物体沿螺旋线的环绕与所有指向中心的半径都以给定角度相交。

本命题的证明与前一命题相同。因为如果在P处的向心力反比于距离SP的任意次幂SPn＋1，其指数为n＋1；则与前者相同，可以推知物体掠过任意弧PQ的时间正比于PQ；而P处的阻力正比于，或正比于，因而正比于，即反比于SPn＋1。所以，由于速度反比于处的密度反比于SP。

推论Ⅰ．阻力比向心力等于比OP。

推论Ⅱ．如果向心力反比于SP³，则等于O；因而阻力与介质密度均为零，情形与第一编命题9相同。

推论Ⅲ．如果向心力反比于半径SP的任意次幂，其指数大于3，则正阻力变为负值。

附注

本命题与前一命题均与不均匀密度的介质有关，它们只适用于物体运动如此之小的场合，以至于对物体一侧的介质密度高出另一侧的部分可以不予考虑。此外，等价地，我还设阻力正比于密度。所以，在阻力不正比于密度的介质中，密度必须迅速增加或减小，使得阻力的出超或不足部分得以抵消或补充。

命题17　问题4

一个物体的速度规律已知，沿一条已知螺旋线环绕，求介质的向心力和阻力。

令螺旋线为PQR。由物体掠过极小弧段PQ的速度可以求出时间；而由正比于向心力的高度TQ，以及时间的平方，可以求出向心力。然后由相同时间间隔中画出的面积PSQ和QSR的差RSr，可以求出物体的变慢；而由这一变慢可以求出阻力和介质密度。

命题18　问题5

已知向心力规律，求使一物体沿已知螺旋线运动的介质各处的密度。

由向心力必定可以求出各处的速度；然后由速度的变慢可以求出介质密度。这与前一命题相同。

不过，我在本编命题10和引理2中已解释过处理这类问题的方法；不拟再向读者详细介绍这些繁琐的问题。现在我将增加某些与运动物体的力以及该运动发生于其中的介质的密度和阻力有关的内容。

第5章

流体密度和压力；流体静力学

流体定义

流体是这样一种物体，它的各部分能屈服于作用于其上的力，而且这种屈服能使它们相互间轻易地发生运动。

命题19　定理14

盛装在任意静止容器内的均匀而静止并且在各方向上都受到压迫的流体的各部分（不考虑凝聚力、重力以及一切向心力），在各方面上都受到相等的压力，停留在各自的处所，不会因该压力而产生运动。

情形1．令流体盛装于球形容器ABC内，各方面均匀受到压迫：则该压力不会使流体的任何部分运动。因为，如果任意部分D运动，则各边上到球心距离相等的类似部分必定都在同时也作类似的运动；因为它们所受到的压力都是相似而且相等的；而不是由于这种压力而产生的运动都是不可能的。而如果这些部分都向中心附近运动，则流体必定向球心集聚，这与题设矛盾，如果它们远离球心而去，则流体必定向球面集聚，这也与题设矛盾。它们不能向任何方向运动，只能保持其到中心的不变距离，因为相同的理由可以使它们向相反方向运动；而同一部分不可能同时向相反的两个方向运动，所以流体的各部分都不会离开其处所。

证毕。

情形2．该流体的所有球形部分在各方向上都受到相等的压力。因为令EF为流体的球体部分；如果它不是受到各方面相等的压力，则压力较小方面会增加压力直到各方面压力相等；而该部分（由情形1）将停留在其位置上。但在压力增加之前，它们不会离开原先的位置（由情形1）；而由流体定义，增加新的压力后它们将会由这些位置运动。这两个结论相互矛盾。所以球体EF各方向上受不等压力的说明是错误的。

证毕。

情形3．此外，球的不同部分的压力也相等。因为球体毗邻部分在接触点相互施加相等的压力（由第三定律）。但（由情形2）它们向各方面都施以相同的压力。所以球体的任意两个不毗邻的部分，由于能与这二者都接触的中介部分的作用，相互间也施以相等的压力。

证毕。

情形4．流体的所有部分处处压力相等。因为任意两个部分都与球体的某些点保持接触；它们对这些球体部分的压力相等（由情形3），因而受到的反作用也相等（由定律Ⅲ）。

证毕。

情形5．由于流体的任意部分GHI被封闭在流体的其余部分内，如同盛装在容器中一样，对各方面的压力相等，而且它的各部分也相互间同等压迫，因而相互间维持静止；所以说流体的所有部分GHI向各方面施加压力，相互间也同等地压迫，而且相互间保持静止。

证毕。

情形6．如果流体盛装在一个屈服物质或非刚体的容器中，且各方面压力不相等，则由流体定义，容器也将向较大的压力屈服。

情形7．所以，在非流动的或刚体容器中，流体不会向一个方向维持较其他方向更大的压力，而是在短时间内向它屈服；因为容器的刚性边壁不会随流体一同屈服，而屈服的流体会压迫容器的对边，这样各方面的压力趋于相等。而因为流体一旦屈服于压力较大的部分而运动，即受到容器对面边壁阻力的抗衡，使一瞬间各方面的压力变为相等，不发生局部运动；由此知，流体的各部分（由情形5）相互间同等压迫，维持静止。

证毕。

推论．所以流体各部分相互之间的运动不可能由于外表面所传递的压力而有所改变，除非该表面的形状发生改变，或由于流体所有各部分间相互压力较强或较弱，使它们相互间的滑移有或多或少的困难。

命题20　定理15

如果球形流体的所有部分在到球心距离相等时是均匀的，置于一同心的瓶上，都被吸引向球心，则该瓶所承受的是一个柱体的重量，其底等于球的表面，而高度则等于覆盖的流体。

令DHM为瓶的表面，AEI为流体的上表面。把流体分为等厚度的同心球壳，相应的是无数个球面BFK，CGL等等；设重力只作用于每个球壳的外表面，而且对球面上相等的部分作用相等。因而上表面AEI只受到其自身重力的作用，这个力使上表面的所有部分，以及第二个表面BFK（由命题19），根据其大小而受到相等的压力。类似地，第二个表面BFK也受到其自身的重力作用，该力叠加在前一种力上使压力加倍。而第三个表面CGL则根据该力的大小，在其自身重力之外又受到这一压力的作用，使它的压力增为三倍。用类似的方法，第四个表面的压力是四倍，第五个表面的压力是五倍，以此类推。所以作用于每个表面的压力并不正比于上层流体的体积量，而是正比于到达流体上表面的层数；等于最低层乘以层数；即，等于一个体积的重量，它与上述柱体的最后的比（当层数无限增加，层厚无限减小，使由下表面到上表面的重力作用变得连续时）是相等的比。所以，下表面承受着上述柱体的重量。

证毕。

由类似理由，流体的重力按到中心的距离的任意给定比率减小，以及流体的上部稀薄，而下部稠密，都是本命题的明证。

证毕。

推论Ⅰ．瓶并未受到其上的流体全部重量的压力，只承受本命题中所述的那一部分压力；其余压力为球形流体的拱曲表面所承受。

推论Ⅱ．压力的量在到中心距离相等处总是相等的，不论表面受到的力是平行于地平面，或是垂直于它，与它斜向相交。也不论流体是由受压表面沿直线向上涌出，或是自蜿蜒曲折的洞穴和隧道斜向流出，也不论这些通道是规则或不规则的，是宽是窄。这些条件不能使压力有任何改变，这可以由将本定理应用到若干种流体的情形得到证明。

推论Ⅲ．由同一证明还可以推出（由命题19），重流体各部分自身相互间不会因为其上部重量的压力而运动，因凝聚而产生的运动除外。

推论Ⅳ．如果一个比重相同又不会压缩的另一个物体没入流体中，它将不会因其上部的重量而发生运动：它既不下沉也不上浮，外形也不改变。如果它是球体，尽管有此压力它仍保持球形，如果它是立方体，则仍保持立方体，不论它是柔软的或是流体的，也不论它是在该流体中自由游动或沉入底部。因为流体内部各部分与没入其中的部分状态相同；而具有相同的尺度、外形和比重的没入物体，其情形都与此相似。如果没入的物体保持其重量，分解而转变成流体，则这个物体如果原先是上浮的、下沉的，或受某种压力变为新形状的，都将类似地仍然上浮、下沉或变为新形状；这是因为其重力和其运动的其他原因得以维持。但是（由命题19，情形5）它现在应是静止的，保持其原形。所以与上一种情形相同。

推论Ⅴ．如果物体的比重大于包围着它的流体，它将下沉；而比重较轻的则上浮，所获得的运动和外形变化正比于其重力所出超或不足部分。因为出超或不足的部分其效果等同于一个冲击，它可以使与流体各部分取得的平衡受到作用；这与天平一边的重量增减的情形相类似。

推论Ⅵ．所以在流体内的物体有两种重力：其一是真实和绝对的，另一种是表象的，普通的和相对的。绝对重力是使物体竖直向下的全部的力；相对和普通的重力是重力的超出部分，它使物体比周围的流体更强烈地竖直向下。第一种重力使流体和物体的所有部分被吸引在适当的处所；所以它们的重力合在一起即构成总体的重量。因为全体合在一起就是重量，正如盛满液体的容器那样；全体的重量等于所有部分的重量的和，是由所有部分组成的。另一种重力并不使物体被吸引在其处所；即，通过相互比较，它们并不超出，但阻碍相互的下沉倾向，使其像没有重量那样滞留在原处。空气中的比空气轻的物体，一般被认为是没有重量的。而重于空气的物体通常是有重量的，因为它们不能为空气的重量所承担。普通重量无非是物体的重量超出空气重量的部分。因而没有重量的物体，一般也称为轻物体，它们轻于空气，被向上托起，但这只是相对地轻，不是真实的，因为它们在真空中仍是下沉的。同样，在水中，物体由其重量决定下沉或上浮，相对地表现出重或是轻；它们相对的、表象的重或轻正是它们的真实重量超出或不足于水的重量的部分。不过那些重于流体而不下沉，轻于流体而不上浮的物体，虽然它们的真实重量增加了总体重量，但一般而言，它们在水中没有相对重量。这些情形可以作类似的证明。

推论Ⅶ．已证明的结论适用于与所有其他向心力有关的场合。

推论Ⅷ．所以，如果介质受到其自重或任意其他向心力的作用，在其中运动的物体受到同一种力的更强烈的作用；则二种力的差正是运动力，在前述命题中，我都称之为向心力。但如果该物体受此力作用较轻，则力的差变为离心力，而且只能按离心力来处理。

推论Ⅸ．但是，由于流体的压力不改变没入其中的物体的形状，因而（由命题19推论）也不改变其内部各部分相互间的位置关系；因而，如果动物没入流体中，而且所有的知觉是由各部分的运动产生的，则流体既不伤害浸入的躯体，也不刺激任何感觉，除非躯体受到压迫而蜷缩。所有为流体所包围的物体系统都与此情形相同。系统的所有部分都像在真空中一样受到同一种运动的推动，只保留相对重量；除非流体或多或少地阻碍它们的运动，或在压力下被迫与之结合。

命题21　定理16

令任意流体的密度正比于压力，其各部分受反比于到中心距离平方的向心力的吸引竖直向下：则如果该距离是连续正比的，则在相同距离处的流体密度也是连续正比的。

令ATV表示流体的球形底面，S是球心，SA，SB，SC，SD，SE，SF等等是连续正比的距离。作垂线AH，BI，CK，DL，EM，FN等等，正比于A，B，C，D，E，F处的介质密度；则这些处所的比重正比于等，或者完全等价地，正比于等。首先设这些重力由A到B，由B到C，由C到D等等都是均匀的连续的，而在点B，C，D等处形成减量台阶。将这些重力乘以高度AB，BC，CD等即得到压力AH，BI，CK等等，它们作用于底ATV（由定理15）。所以，部分A承受着AH，BI，CK，DL等直至无限的所有压力；部分B承受着除第一层AH以外的所有压力；而部分C承受着除前二层以外的所有压力；以此类推：所以第一部分A的密度AH比第二部分B的密度BI，等于AH＋BI＋CK＋DL等等所有无限多项的和比BI＋CK＋DL等等所有无限多项的和。而第二部分B的密度BI比第三部分C的密度CK，等于BI＋CK＋DL＋……的和比CK＋DL＋……的和。所以这些和正比于它们的差AH，BI，CK等等，因而是连续正比的。而由于在处所A，B，C等的密度正比于AH，BI，CK等，它们也是连续正比的。间隔地取值，在连续正比的距离SA，SC，SE处，密度AH，CK，EM也连续正比。由类似理由，在连续正比的任意距离SA，SD，SG处，密度AH，DL，GO也是连续正比的。现在令A，B，C，D，E等点重合，使由底A到流体顶部的比重级数变为连续的，则在连续正比的任意距离SA，SD，SG处，相应也连续正比的密度AH，DL，GO仍将维持连续正比。

证毕。

推论．如果A，E两处的流体密度为已知，则可以求出任意其他处所Q的密度。以S为中心，关于直角渐近线SQ，SX作双曲线与垂线AH，EM，QT相交于a，e和q，与渐近线SX的垂线HX，MY，TZ相交于h，m和t。作面积YmtZ比已知面积YmhX等于给定面积EeqQ比给定面积EeaA；延长直线Zt截取线段QT正比于密度。因为，如果直线SA，SE，SQ是连续正比的，则面积EeqQ，EeaA相等，而与它们正比的面积YmtZ，XhmY也相等；而直线SX，SY，SZ，即AH，EM，QT连续正比，如它们所应当的那样，如果直线SA，SE，SQ按其他次序成连续正比序列，则由于正比的双曲线面积，直线AH，EM，QT也按相同的次序构成连续正比序列。

命题22　定理17

令任意流体的密度正比于压力，其各部分受反比于到中心距离平方的重力作用而竖直向下：则如果按调和级数取距离，在这些距离上的流体密度构成几何级数。

令S为中心，SA，SB，SC，SD，SE为按几何级数取的距离。作垂线AH，BI，CK等等。它们都正比于A，B，C，D，E等处的流体密度，而对应的比重则正比于等等。设这些重力是均匀连续的，第一个由A到B，第二个由B到C，第三个由C到D，等等，它们乘以高度AB，BC，CD，DE等等，或者，等价地，乘以距离SA，SB，SC，等等，正比于这些高度，则得到表示压力的等等，所以，由于密度正比于这些压力的和，则密度的差AH－BI，BI－CK等正比于这些和的差。以S为中心，SA，Sx为渐近线，画任意双曲线，与垂线AH，BI，CK等相交于a，b，c等，作于渐近线Sx上的与垂线Ht，Iu，Kw相交于h，i，k；则密度的差tu，uw等将正比于等，即正比于Aa，Bb等。因为，由双曲线的特性，SA比AH或St等于th比Aa，因而等于Aa。由类似理由，等于Bb，等等。但Aa，Bb，Cc等是连续正比的，因而也正比于它们的差Aa－Bb，Bb－Cc等等，所以矩形tp，uq等等也正比于这些差；也正比于矩形的和tp＋uq成tp＋uq＋ur与差Aa－Cc或Aa－Dd的和的比。设这些项中的若干个与所有差的和，如Aa－Ff，正比于所有矩形zthn的和。无限增加项数，减小点A，B，C等之间的距离，则这些矩形等于双曲线面积zthn，因而差Aa－Ff正比于该面积。现取按调和级数取任意距离SA，SD，SF，则差Aa－Dd，Dd－Ff相等；所以面积thlx，xlnz正比于这些差，而且相互相等，而密度St，Sx，Sz，即AH，DL，FN则连续正比。

证毕。

推论．如果已知流体的两个密度AH，BI，则可以求出对应于其差tu的面积thiu；因而取面积thnz比该已知面积thiu等于差Aa－Ff比差Aa－Bb，即可以求出任意高度SF的密度FN。

附注

由类似理由可以证明，如果流体各部分的重力正比于到中心距离的立方，反比于距离SA，SB，SC等等的平方（即，）减小，并按算术级数取值，则密度AH，BI，CK等构成几何级数。而如果重力正比于距离的四次幂，反比于距离的立方（即，）等，按算术级数取值，则密度AH，BI，CK等等也构成几何级数。以此类推可至无限。而且，如果流体各部分的重力在所有距离处都是相同的，距离为算术级数，则密度也是几何级数，正如哈雷博士所发现的那样。如果重力正比于距离，而距离的平方为算术级数，则密度仍是几何级数。以此类推可至无限。当流体因压迫而集聚，其密度正比于压迫力；或者，等价地，当流体所占据的空间反比于这个力时，上述情形均成立。还可以设想一些其他的凝聚规律，如凝聚力的立方正比于密度的四次幂，或力的比值的立方等于密度比值的四次幂：在此情形下，如果重力反比于到中心距离的平方，则密度反比于距离的立方。设压力的立方正比于密度的五次幂；如果重力反比于距离的平方，则密度反比于距离的3/2次幂。设压力正比于密度的平方，重力反比于距离的平方，则密度反比于距离。但就我们的空气而言，这个关系取自实验，它的密度精确地，至少是极为近似地正比于压力；因而地球大气中的空气密度正比于上面全部空气的重量，即，正比于气压计中的水银高度。

命题23　定理18

如果流体由相互离散的粒子组成，密度正比于压力，则各粒子的离心力反比于它们中心之间的距离。反之，如果各粒子是相互离散的，离散力反比于它们中心间的距离的平方，则由此组成的弹性流体，其密度正比于压力。

设流体贮存于立方空间ACE中，然后被压缩入较小的立方空间ace；在这两个空间中各粒子维持着相似的相互位置关系，距离正比于立方的边AB，ab；而介质的密度反比于包含的空间AB³，ab³。在大立方体ABCD的平面边取一平方形DP等于小立方体的平面边db；由题设知，平方形DP压迫其内部流体的压力，比平方形db压迫其内部流体的压力，等于两种介质相互间的比，即等于ab³比AB³。但平方形DB压迫其内部流体的压力比平方形DP压迫其内部相同流体的压力，等于平方形DB比平方形DP，即等于AB²比ab²。所以两式的对应项相乘，平方形DB压迫流体的压力比平方形db压迫其内部流体的压力等于ab比AB。作平面FGH，fgh通过两个立方体的内部，把流体分为两部分。这两部分相互间的压力等于它们受到平面AC，ac的压力，即相互比值等于ab比AB：因而承受该压力的离心力也有相同比值。在两个立方空间中，被平面FGH，fgh隔开的粒子数目相同，位置相似，所有的粒子产生的作用于全体的力正比于各粒子间相互作用的力。所以在大立方体中被平面FGH隔开的各粒子间的作用力，比在小立方体中被平面fgh隔开的各粒子间的作用力，等于ab比AB，即，反比于各粒子之间的距离。

证毕。

反之，如果某一粒子的力反比于距离，即反比于立方体的边AB，ab；则力的和也为相同比值，而边DB，db的压力正比于力的和；因而平方形DP的压力比边DB的压力等于ab²比AB²。将比例式中对应项相乘，得到平方形DP的压力比边db的压力等于ab³比AB³；即，在一个中的压力比在另一个中的压力等于前者的密度比后者的密度。

证毕。

附注

由类似理由，如果各粒子的离心力反比于中心之间距离的平方，则压力的立方正比于密度的四次幂。如果离心力反比于距离的三次或四次幂，则压力的立方正比于密度的五次或六次幂。一般地，如果D是距离，E是受压流体的密度，离心力反比于距离的任意次幂Dn，其指数为n，则压力正比于幂En＋2的立方根，其幂指数为n＋2；反之亦然。所有这些要求离心力仅发生于相邻接的粒子之间，或相距不远者，磁体提供了一个这方面的例子。磁体的力会因为间隔的铁板而减弱，几乎终止于该铁板：因为远处的物体受磁体的吸引不如受铁板的吸引强，参照此方法，各粒子排斥与它同类型的邻近粒子，而对较远处的则无作用，则这种粒子所组成的流体与本命题所讨论的流体相同。如果粒子的力向所有方向无限扩散，则要构成具有相同密度的较大量的流体，需要更大的凝聚力。但弹性流体究竟是否由这种相互排斥的粒子组成，这是个物理学问题。我们在此只对由这种粒子组成的流体的性质做出证明，哲学家们不妨对这个问题作一讨论。

第6章

摆体的运动与阻力

命题24　定理19

几个摆体的摆动中心到悬挂中心的距离均相等，则摆体物质的量的比等于在真空中重量的比与摆动时间比的平方的乘积。

因为一个已知的力在已知时间内所能使已知物体产生的速度正比于该力和时间，反比于物体，力或时间越大，或物体越小，则所产生的速度越大。这是第二运动定律的内容。如果各摆长度相同，在到摆距离相等处运动力正比于重量：则如果两个摆体掠过相等弧度，把这两个弧度分为若干相等部分；由于摆体掠过弧的对应部分所用的时间正比于总摆动时间，摆过各对应部分的速度相互间的比，正比于运动力和总摆动时间，反比于物质的量：所以物质的量正比于摆动的力和时间，反比于速度。但速度反比于时间，因而时间正比于而速度反比于时间的平方，因而物质的量正比于运动力和时间的平方，即正比于重量与时间的平方。

证毕。

推论Ⅰ．如果时间相等，则各自物质的量正比于重量。

推论Ⅱ．如果重量相等，则物质的量正比于时间的平方。

推论Ⅲ．如果物质的量相等，则重量反比于时间的平方。

推论Ⅳ．完全等价地，由于时间的平方正比于摆长，所以如果时间与物质的量都相等，则重量正比于摆长。

推论Ⅴ．一般地，摆体的物质的量正比于重量和时间平方，反比于摆长。

推论Ⅵ．但在无阻力介质中，摆体的物质的量正比于相对重量和时间平方，反比于摆长。因为前面已证明，相对重量是物体在任意重介质中的运动力；所以它在无阻力介质中的作用与真空中的绝对重量相同。

推论Ⅶ．由此得到一种方法，用以比较物体各自所含物质的量，以及同一物体在不同处所的重量，以了解重力变化情况。我通过极为精密的实验发现，物质含物质的量总是正比于它们的重量。

命题25　定理20

在任意介质中受到的阻力正比于时间的变化率的摆体，与在比重相同的无阻力介质中运动的摆体，它们在摆动中在相同时间内都画出一条摆线，而且共同掠过成正比的弧段。

令物体D在无阻力介质中摆动时，在任意时间内画出的一段摆线弧为AB。在C点二等分该弧，使C为其最低点；则物体在任意处所D，或d，或E受到的加速力，正比于弧长CD，或Cd，或CE。令该力以这些弧表示；由于阻力正比于时间的变化率，因而是已知的，令它以摆线弧的已知段CO表示，取弧Od比弧CD等于弧OB比弧CB：则摆体在有阻力介质中的d点受到的力为力Cd超出阻力CO的部分，以弧Od表示，它与摆体D在无阻力介质中的处所D受到的力的比，等于弧Od比弧CD；而在处所B，等于弧OB比弧CB。所以如果两个摆体D，d自处所处B受到这二个力的推动，由于在开始时力正比于弧CB和OB，则开始的速度与所掠过的弧比值相同，令该弧为BD为Bd，则余下的弧CD，Od比值也相同。所以正比于弧CD，Od的力在开始时也保持相同比值，因而摆体以相同比值共同摆动。所以力，速度和余下的弧CD，Od总是正比于总弧长CB，OB，而余下的弧是共同掠过的。所以两个摆体D和d同时到达处所C和O；在无阻力介质中的摆动到达处所C，而另一个在有阻力介质中的摆动到达处所O。现在，由于在C和O的速度正比于弧CB，OB，摆体仍以相同比值掠过更远的弧。令这些弧为CE和Oe。在无阻力介质中的摆体D在E处受到的阻力正比于CE，而在有阻力介质中的摆体d在e处受到的阻力正比于力Ce与阻力CO的和，即正比于Oe；所以两摆体受到的阻力正比于弧CB，OB，即正比于弧CE，Oe；所以以相同比值变慢的速度的比也为相同的已知比值。所以速度以及以该速度掠过的弧相互间的比总是等于弧CB和OB的已知比值。所以，如果整个弧长AB，aB也按同一比值选取，则摆体D和d同时掠过它们，在处所A和a同时失去全部运动。所以整个摆动是等时的，或在同一时间内完成的；而共同掠过弧长BD，Bd，或BE，Be，正比于总弧长BA，Ba。

证毕。

推论．所以在有阻力介质中，最快的摆动并不发生在最低点C，而是发生在掠过的总弧长Ba的二等分点O。而摆体由该点摆向点a的减速度与它由B落向O的加速度相同。

命题26　定理21

受阻力正比于速度的摆体，沿摆线作等时摆动。

如果两个摆体到悬挂中心的距离相等，摆动中掠过的弧长不相等，但在对应弧段的速度的比等于总弧长的比；则正比于速度的阻力的比也等于该弧长比。所以，如果在正比于弧长的重力产生的运动力上叠加或减去这些阻力，则得到的和或差的比也为相同的比值；而由于速度的增量或减量正比于这些和或差，速度总是正比于总弧长；所以，如果速度在某种情况下正比于总弧长，则它们总是保持相同比值。但在运动开始时，当摆体开始下落并掠过弧时，此刻正比于弧的力所产生的速度正比于弧。所以，速度总是正比于尚未掠过的总弧长，而这些弧将在同一时间内画出。

证毕。

命题27　定理22

如果摆体的阻力正比于速度的平方，则在有阻力介质中摆动的时间，与在比重相同但无阻力介质中摆动的时间的差，近似地正比于摆动掠过的弧长。

令等长摆在有阻力介质中掠过不等弧长A，B；则沿弧A摆动的物体的阻力比在B弧上对应部分摆动的物体的阻力等于速度平方的比，即近似等于AA比BB。如果弧B的阻力比弧A的阻力等于AB比AA，则沿弧A和B的摆动时间相等（由前一命题）。所以弧A的阻力AA或弧B的阻力AB在弧A上引起的时间超过在无阻力介质中的时间；而阻力BB在弧B上引起的时间超过在无阻力介质中的时间。而这些超出量近似地正比于有效力AB和BB，即正比于弧A和B。

证毕。

推论Ⅰ．因此，由在有阻力介质中不相等的弧摆动时间可以求出在比重相同的无阻力介质中的摆动时间。因为这个时间差比沿短弧摆动时间超出在无阻力介质中的时间等于两个弧的差比短弧。

推论Ⅱ．短弧摆动更近于等时性，极小的摆动其时间近似等于在无阻力介质中的时间。而作较大弧摆动所需时间略长，因为在摆体下落中受到使时间延长的阻力，与下落所掠过的长度相比，较之随后的上升所遇到的使时间缩短的阻力变大了。不过，摆动时间的长度似乎因介质的运动而延长。因为减速的摆体其阻力与速度比值较小，而加速的摆体该比值较匀速运动为大；因为介质从摆体获得某种运动，与它们作同向运动，在前一种受到的推动较强，后一情形较弱；造成摆体运动的快慢变化。所以就与速度相比较而言，在摆体下落时阻力较大，而上升时较小；这二者导致时间的延长。

命题28　定理23

如果摆体沿摆线摆动，阻力正比于时间的变化率，则阻力与重力的比，等于下落所掠过的整个弧长减随后上升的弧长的差值比摆长的二倍。

令BC表示下落掠过的弧长，Ca为上升弧长，Aa为二弧的差：其他条件与命题25的作图和证明相同，则摆体在任意处所D受到的作用力比阻力等于弧CD比弧CO，后者是差Aa的一半。所以，在摆线的起点或最高点。摆体所受到的作用力，即重力，比阻力等于最高点与最低点C之间的摆线弧比弧CO；即（把它们都乘以2），等于整个摆弧或摆长的二倍比弧Aa。

证毕。

命题29　问题6

设沿摆线摆动的摆体的阻力正比于速度的平方；求各处的阻力。

令Ba为一次全摆动的弧长，C为摆线最低点，CZ为整个摆线的半长，等于摆长。要求在任意处所D摆体的阻力。在O，S，P，Q点分割直线OQ，使（作垂线OK，ST，PI，QE，以O为中心，OK，OQ为渐近线，作双曲线TIGE与垂线ST，PI，QE相交于T，I和E，通过点I作KF。平行于渐近线OQ，与渐近线OK相交于K，与垂线ST和QE相交于L和F）双曲线面积PIEQ比双曲线面积PITS等于摆体下落掠过的弧BC比上升掠过的弧Ca；以及面积IEF比面积ILT等于OQ比OS。然后以垂线MN截取双曲线面积PINA，使该面积比双曲线面积PIEQ等于弧CZ比下落掠过的弧BC。如果垂线RG截取双曲线面积PIGR，使它比面积PIEQ等于任意弧CD比整个下落弧长BC，则在任意处所D的阻力比重力等于面积比面积PINM。

因为，在处所Z，B，D，a重力作用于摆体的力正比于面积CZ，CB，CD，Ca，而这些弧正比于面积PINM，PIEQ，PIGR，PITS；令这些面积分别表示这些弧和力。令Dd为摆体下落中掠过的极小距离；以极小面积RGgr表示，夹在平行线RG，rg之间。延长rg到h，使GHhg和GRgr为面积IGH，PIGR的瞬时减量。则面积的增量，或者，，比面积PIGR的减量RGgr或Rr·RG，等于比RG；因而等于比OR·GR或OP·PI，即（因为OR·HG，OR·HR－OR·GR，ORHK－OPIK，PIHR和PIGR＋IGH相等）等于PIGR＋比OPIK。所以，如果面积称为Y，且已知面积PIGR的减量RGgr，则面积Y的增量正比于PIGR－Y。

如果以V表示摆体在D处受重力作用的力，它正比于将要掠过的弧CD，以R表示阻力，则V－R为摆体在D处受到的总力，所以速度增量正比于V－R与产生它的时间间隔的乘积。而速度本身又正比于同时所掠过的距离增量而反比于同一个时间间隔。所以，由于命题规定阻力正比于速度平方，阻力增量（由引理2）正比于速度与速度增量的乘积，即正比于距离的瞬与V－R的乘积；所以，如果给定距离增量正比于V－R；即，如果以PIGR表示力V，以任意其他面积Z表示阻力，则正比于PIGR－Z。

所以，面积PIGR按照给定的负瞬而均匀减小，而面积Y则以PIGR－Y的比率增大，面积Z按PIGR－Z的比率增大。所以，如果面积Y和Z是同时开始的，且在开始时是相等的，则它们通过增加相等的量而持续相等；而又以相似的方式减去相等的变化率而减小，并一同消失。反之，如果它们同时开始和消失，则它们有相同的瞬因而总是相等。因为，如果阻力Z增加，则摆体上升所掠过的弧Ca和速度都减少；而运动和阻力都消失的点向点C趋近，因而阻力比面积Y消失得快。当阻力减小时，则又发生相反的过程。

面积Z产生和消失于阻力为零之处，即运动开始处，弧CD等于弧CB，而直线RG落在直线QE上；以及运动终止处，弧CD等于弧Ca，而直线RG落在直线ST上。面积Y或也产生和消失了阻力为零之处，所以在该处和IGH相等。即（如图），在该处直线RG先后落在直线QE和ST上。所以这些面积同时产生和消失，因而总是相等。因此，面积等于表示阻力的面积Z，它比表示重力的面积PINM，等于阻力比重力。

推论Ⅰ．在最低处所C，阻力比重力等于面积比面积PINM。

推论Ⅱ．在面积PIHR比面积IEF等于OR比OQ处，阻力有最大值。因为在此情形下它的变化率（即，PIGR－Y）为零。

推论Ⅲ．也可以求出在各处的速度，它正比于阻力的平方根变化，而且在运动开始时等于在无阻力介质中沿相同摆线摆动的摆体速度。

但是，由于在本命题中求解阻力和速度很困难，我们拟补充下述命题。

命题30　定理24

如果直线aB等于摆动体所掠过的摆线弧长，在其上任意点D作垂线DK，该垂线比摆长等于摆体在该点受到的阻力比重力：则在整个下落过程和随后的整个上升过程所掠过的弧差乘以相同的弧的和的一半等于所有垂线构成的面积BKa。

令一次全摆动掠过的摆线弧长以与它相等的直线aB表示，而在真空中掠过的弧长以长度AB表示。在C点二等分AB，则C表示该摆线的最低点，而CD正比于重力所产生的力，它使摆体在点D受到沿摆线切线方向的作用，与摆长的比等于在D点的力比重力。所以，令该力以长度CD表示，而重力以摆长表示；如果在DE上取DK比摆长等于阻力比重力，则DK表示阻力。以C为中心，间隔CA或CB为半径画半径BEeA。令物体在极短时间里掠过距离Dd；作垂线DE，de与半圆相交于E，e，则它们正比于摆体在真空中由点B下落到D和d所获得的速度。这已由第一编命题52证明过。所以，令这些速度以垂线DE，de表示；令DF为摆体在有阻力介质中由B下落到D的速度。如以C为圆心、间隔CF为半径画圆FfM与直线de和AB相交于f和M，则M为这样的处所，如果摆体此后在上升中不受阻力作用可到达于此，df为其在d点获得的速度。因此，如果Fg表示摆体掠过极短距离Dd由于介质阻力而失去速度的瞬；而取CN等于Cg；则N也是这样一个处所，如果摆体不再受到阻力，它可以上升到该处，而MN表示由速度损失造成的上升减量。作Fm垂直于df，则阻力DK造成的速度DF的减量Fg，比力CD产生的同一速度的增量fg，等于作用力DK比作用力CD。但因为三角形Fmf，Fhg，FDC相似，fm比Fm或Dd等于CD比DF；将对应项相乘，得到Fg比Dd等于DK比DF。而Fh比Fg也等于DF比CF；也将对应项相乘，得到Fh或MN比Dd等于DK比CF或CM；所以，所有MN·CM的和等于所有Dd·DK的和。在动点M设直角纵坐标总是等于不定直线CM，它在连续运动中与整个长度Aa相乘；该运动中产生的四边形，或相等的矩形，等于所有的MN·CM的和，因而等于所有Dd·DK的和，即等于面积BKVTa。

证毕。

推论．由阻力的规律，以及弧Ca，CB的差Aa，可以近似求出阻力与重力的比。

因为，如果阻力DK是均匀的，则图形BKTa是Ba和DK构成的矩形；因而与Aa构成的矩形等于Ba与DK构成的矩形，而DK等于。所以，由于DK表示阻力，摆长表示重力，则阻力比重力等于比摆长；这与命题28的证明完全相同。

如果阻力正比于速度，则图形BKTa近似于椭圆。因为，如果摆体在无阻力介质中的一次全摆动掠过弧长BA，其在任意点D的速度应正比于直径AB上的圆的纵坐标。所以，由于Ba是在有阻力介质中，BA是在无阻力介质中近似正比于时间掠过的，所以在Ba上各点的速度比在长度BA上对应点的速度近似等于Ba比BA，而在有阻力介质中点D的速度正比于在直径Ba上画出的椭圆弧的纵坐标；所以图形BKVTa近似于椭圆。由于假设阻力正比于速度，令OV在中点O的阻力；以中心O，半轴OB，OV画椭圆BRVSa，近似等于图形BKVTa及其相等矩形Aa·BO。所以Aa·BO比OV·BO等于该椭圆面积比OV·BO；即，Aa比OV等于半圆面积比半径的平方，或近似等于11比7；所以比摆长等于摆动体的阻力比其重力。

如果阻力DK正比于速度平方变化，则图形BKVTa极近似于抛物线，其顶点是V。轴为OV，因而近似等于和OV构成的矩形。所以乘以Aa等于，所以OV等于；所以点O对摆动体的阻力比其重力等于比摆长。

我的这些结论其精度足敷实际应用。因为将椭圆或抛物线BRVSa在中点V与图形BKVTa合并，该图形如果在指向BRV或VSa一侧较大，则在另一侧较小，因而近似与之相等。

命题31　定理25

如果在所有与掠过弧成正比的部分对摆动体的阻力按给定比率增大或减小，则下落掠过的弧与随后上升所掠过的弧长的差也将按同一比率增大或减小。

因为该差是由于介质阻力对摆的减速造成的，因而应正比于总减速和与之成正比的减速阻力。在前一命题中直线与弧CB，Ca的差Aa构成的矩形等于面积BKTa。而如果长度aB不变，该面积正比于纵坐标DK增大或减小；即正比于阻力，因而正比于长度aB与阻力的乘积。所以Aa与组成的矩形正比于aB与阻力的乘积，所以Aa正比于阻力。

证毕。

推论Ⅰ．如果阻力正比于速度，在相同介质中弧差正比于掠过的总弧长；反之亦然。

推论Ⅱ．如果阻力正比于速度平方变化，则该差正比于该弧长的平方变化；反之亦然。

推论Ⅲ．一般地，如果阻力正比于速度的三次或其他任意次幂，该差正比于整个弧长的相同次幂变化；反之亦然。

推论Ⅳ．如果阻力部分正比于速度的一次幂；部分正比于它的平方变化，则该差部分正比于整个弧长的一次幂，部分正比于其平方变化；反之亦然。因而，阻力及速度间的规律和比率与该差及弧长间的规律和比率总是相同的。

推论Ⅴ．所以，如果摆相继掠过不相等的弧，并能找出该差相对于该弧长的增量或减量比率，则也可以求出阻力相对于较大或较小速度的增量或减量比率。

总注

由这些命题，我们可以通过在介质中摆体的摆动来求介质阻力。我用下述实验求空气阻力。系在牢固钩子上的细线，下悬一木质球，球重盎司，直径英寸，钩与球摆动中心的间距为英尺。在悬线上距悬挂点10英尺1英寸处作一标记点；并在与该点等长的地方放置一把直尺，我就用这套装置观察摆所掠过的长度。然后记下球失去其运动的部分的摆动次数。如果将摆由其垂直位置拉开2英寸，然后放开，则在其整个下落中掠过一个2英寸的弧，而在由该下落和随后的上升组成的第一次全摆动中，掠过差不多4英寸弧，摆经过164次摆动失去其运动的部分，这样，在它最后一次上升中掠过英寸弧。如果它第一次下落掠过的弧长为4英寸，则经过121次全摆动失去其运动的部分，在其最后一次上升中掠过弧长英寸。如果第一次下落掠过弧长为8，16，32或64英寸，则它分别经过次摆动失去其运动的部分。所以，在第1，2，3，4，5，6次情况中，第一次下落与最后一次上升所掠过的弧长的差分别是英寸。在每次情况中以摆动次数除差，则在掠过弧长为30，60，120英寸的平均摆动中，下落与随后上升掠过的弧长的差分别为英寸。在幅度较大的摆动中这些差近似正比于掠过弧长的平方，而在较小幅度的摆动中略大于该比率；所以（由本编命题引推论Ⅱ）球的阻力在运动很快时近似正比于速度的平方，而在运动较慢时略大于该比率。

现在令V表示每次摆动中的最大速度，A，B，C为给定量，设弧长差等于＋CV²。由于在摆线中最大速度正比于摆动掠过弧长的，而在圆周中则正比于该弧的弦；所以弧长相等时摆线上速度大于圆周上的速度，比值为弧的比其弦；但圆运动时间大于摆线运动，其比值反比于速度；因此该项弧差（正比于阻力与时间平方的乘积）在二种曲线上近似相等并不难理解：摆线运动中，该差一方面近似正比于弧与弦的比值的平方而随阻力增加，因为速度按该简单比值增大；另一方面又以同一平方比值随时间的平方减小。所以要在摆线中作此项观察，必须取与圆周运动得到的相同的弧差，并设最大速度近似正比于半摆弧或全弧，即正比于数。所以在第2，4，6次情况中，V取1，4和16；而在第2次情况中弧差；在第4次情况中，4A＋8B＋16C；在第6次情况中，。解这些方程得到A＝0.0000916，B＝0.0010847，C＝0.0029558。所以弧差正比于0.0000916V＋；因而由于（把命题30应用到该情况中）在速度为V的摆动弧的中间，球阻力比其重量等于比摆长，代入刚才求出的数值，球阻力比其重量等于比悬挂中心与直尺之间的摆长，即，比121英寸，所以，由于V在第2次情况中为1，第4次为4，第6次为16，阻力比球重量在第二次情况中等于0.0030345比121；第4次为0.041748比121；第6次为0.61705比121。

在第6次情况中，细线上标记的点所掠过的弧长为，或英寸。由于半径为121英寸，而悬挂点与球心之间的摆长为126英寸，球心掠过的弧长为英寸。由于空气阻力的原因，摆动体的最大速度并不落在掠过弧的最低点处，而是接近于全弧的中点处，该速度近似等于球在无阻力介质中下落掠过上述弧的半长，即英寸所获得的速度，以及沿上述化简摆运动而得到的摆线运动的速度；所以该速度等于该球由相当于该弧的正矢的高度下落而获得的速度。但摆线的正矢比英寸的弧等于同一段弧比252英寸摆长的二倍，所以等于15.278英寸。所以摆的速度等于同一物体下落掠过15.278英寸的空间所获得的速度。所以球以该速度受到的阻力比其重量等于0.61705比121，或（如果只取阻力正比于速度的平方）等于0.56752比121。

我通过流体静力学实验发现，该木质球的重量比与它体积相同的水球的重量等于55比97；由于121比213.4也有相同比值，当这样的水球以上述速度运动时遇到的阻力，比其重量等于0.56752比213.4，即等于。由于水球在以均匀速度连续掠过的30.556英寸的长度的时间内，其重量可以产生下落水球的全部速度，所以在同一时间里均匀而连续作用的阻力将完全抵消一个速度，它与另一个的比为，即总速度的部分。所以在该球以均匀速度连续运动掠过其半径的长度，或英寸所需的时间里，它失去其运动的部分。

我还记录了摆失去其运动的部分的摆动次数。在下表中，上面一行数字表示第一次下落掠过的弧长，单位是英寸。中间一行表示最后一次上升掠过的弧长；下面一行是摆动次数。之所以说明这个实验，在于它比上述失去运动部分的实验更精确。有关计算留给有兴趣的读者。

第一次下落

最后一次上升

摆动次数

随后，我将一个直径2英寸，重盎司的铅球系在同一根细线上，使球心与悬挂点间距英尺，记录运动失去其给定部分的摆动次数。以下第一个表表示失去总运动部分的摆动次数；第二个表为失去总运动的的摆动次数。

第一次下落

最后一次上升

摆动次数

第一次下落

最后一次上升

摆动次数

取第一个表中的第3，5，7次记录，分别以1，4，16表示这些观察中的最大速度，并向前面一样一般取量V，则在第3次观察中有，第5次有16C，第7次中有。解这些方程得到A＝0.001414，B＝0.000297，C＝0.000879。因此，以速度V的球其阻力比其重量盎司等于0.0009V＋比摆长121英寸。如果只取阻力的正比于速度平方的部分，则它与重量的比等于0.000659V²比121英寸。而在第一次实验中阻力的这一部分比木球的重量盎司等于0.002217V²比121；因此木球的阻力比铅球的阻力（它们的速度相同）等于乘以0.002217比乘以0.000659，即比1。两球的直径为和2英寸，它们的平方相互间的比为比4，或约等于比1。所以这两个速度相等的球的阻力的比小于直径比的平方。但我们还没有考虑细线的阻力，它当然相当大，应当从已求出的摆的阻力中减去。我无法精确求出它的值，但发现它大于较小的摆的总阻力的部分；因此在减去细线的阻力后，球的阻力的比近似等于直径比的平方。因为7比，或比1与直径的比比1的平方差别极小。

由细线阻力的变化率较之大球的为小，我又以直径英寸的球做了实验。悬挂点与摆心之间的摆长为英寸，悬挂点与线上标记点间距英寸，在摆第一次下落中标记点掠过弧长32英寸。在最后一次上升中同一标记点掠过弧长28英寸，中间摆动5次。弧长的和，或平均摆动总长60英寸；弧差4英寸。其部分，或在一次平均摆动中下落与上升的弧差为英寸。这样，半径比半径，等于标记点在一次平均摆动中掠过的总弧长60英寸比球心在一次平均摆动中掠过的总弧长英寸；差与新的差0.4475的比值也与之相同。如果掠过的弧长不变，摆长按126比的比值增加，则摆动时间增加，摆动速度按同一比值的平方变慢；使得下落与随后上升掠过的弧长的差0.4475保持不变。如果掠过的弧长按比增加，则差0.4475按该比值的平方增加，变为1.5295。如果设摆的阻力正比于速度的平方情况也与此相同。所以，如果摆掠过的总弧长为英寸，悬挂点与摆心间距126英寸，则下落与随后上升的弧长差为1.5295英寸。该差乘以摆球的重量208盎司，得318.86。又，在上述木质球摆中，当摆心到悬挂点长为126英寸，总摆弧长英寸时，下降与上升的弧差为乘以。该值乘以摆球重量盎司，得49.396。我将差乘以重量目的在于求阻力。因为该差由阻力引起，并正比于阻力反比于重量。所以阻力的比等于数318.316比49.396。但小球阻力中正比于速度平方的部分，与总阻力的比等于0.56752比0.61675，即等于45.453比49.396。而在较大球中阻力的相同部分几乎等于总阻力，所以这些部分间的比近似等于318.136比45.453，即等于7比1。但球的直径为和英寸。它们的平方与间的比等于7.438:1，即近似于球阻力7和1的比。这些比值的差不可能大于细线产生的阻力。所以对于相等的球，阻力中正比于速度平方的部分，在速度相同情况下，也正比于球直径的平方。

不过，我在这些实验中使用的最大球不是完全球形的，因而在上述计算中，出于简捷，忽略了一些细小差别：在一个不十分精确的实验中不必为计算的精确性而担心。所以我希望再用更大更多形状更精确的球做实验，因为真空中的情形取决于此。如果按几何比例选取球，设其直径为4，8，16，32英寸，可以由实验数据按该级数推论出使用更大的球时所发生的情况。

为比较不同流体的阻力，我做了以下尝试。我制作了一个木箱，长4英尺，宽1英尺，高1英尺。该木箱不用盖子，注满泉水，其中浸入摆体，在水中使其摆动。我发现重盎司，直径英寸的铅球在其中的摆动情况如下表所示；由悬挂点到细线上某个标记点的摆长为126英寸，到摆心长英寸。

第一次下落标记点弧长，单位英寸

最后一次上升弧长，单位英寸

正比于失去运动的弧长差，单位英寸

水中的摆动次数

空气中的摆动次数

在第4列实验中失去相同运动的摆动次数空气中为535，水中为。在空气中的摆动的确略快于在水中的摆动。但如果在水中的摆动按这样的比率加快，使摆的运动在二种介质中相等，所得到的在水中的摆动次数却仍然是，与此同时失去与以前相同的运动量；因为阻力增大了，时间的平方却按同一比值的平方减小。所以，速度相等的摆，在空气中经过535次，在水中经过次摆动，所损失的运动相等。所以摆在水中的阻力比其在空气中的阻力等于535比。这是第4列实验情况反映的总阻力的比例。

令AV＋CV²表示球在空气中以最大速度V摆动时下落与随后上升掠过的弧差；由于在第4列情况中最大速度比第1列情况中的最大速度等于1比8；在第4列情况中的弧差比第1列情况中的弧差等于比，或等于比4280；在这两个情况中以1和8代表速度，和4280代表弧差，则或A＋80C＝535；然后解这些方程，得和；所以正比于的阻力变为正比于。所以在第4列情形中，速度为1，总阻力比其正比于速度平方的部分等于或比；因而摆在水中的阻力比在空气中的阻力正比于速度平方的部分（该部分在快速运动时是唯一值得考虑的），等于比乘以535比，即571比1，如果在水中摆动时全部细线没入水中，其阻力将更大；于是在水中的摆动阻力，即其正比于速度平方的部分（快速运动物体唯一需要考虑的），比完全相同的摆以相同速度在空气中摆动的阻力，等于约850比1，即近似等于水的密度比空气密度。

在此计算中，我们也应该取摆在水中的阻力的正比于速度平方的部分；不过我发现（这也许看起来很奇怪）水中阻力的增加大于速度比值的平方。我在考虑其原因时想到，水箱相对于摆球的体积而言太窄了，这窄度限制了水屈服于摆球的运动。因为当我将一个直径仅1英寸的摆球浸入水中时，阻力几乎正比于速度的平方增加。我又做了一个双球摆实验，其较轻靠下面的一个在水中摆动，而较大在上面的一个被固定在细线上刚好高于水面的地方，在空气中摆动，它能维持摆的运动，使之持续长久。这套装置的实验结果如下表所示。

第一次下落弧

最后一次上升弧

正比于损失运动量的弧差

摆动次数

为比较两种介质的阻力，我还试验过铁摆在水银中的摆动。铁线长约3英尺，摆球直径约英寸。在铁线刚好高于水银处，固定了一个大得使摆足以运动一段时间的铅球。然后在一个约能盛3磅水银的容器中交替注满水银和普通水，以使摆在这种不同的流体中相继摆动，找出它们的阻力比值；实验表明水银的阻力比水的阻力约为13或14比1；即等于水银密度比水密度。然后我又用了稍大的球，其中一个直径约或英寸，得出的水银阻力比水阻力为约12或10比1。但前一个实验更为可靠，因为在后者中容器相对于浸入其中的摆球太窄；容器应当与球一同增大。我拟以更大的容器用熔化的金属以及其他冷的和热的液体重复这些实验；但我没有时间全部重复；此外，由上述所说的，似乎足以表明快速运动的物体其阻力近似正比于它们于其中运动的流体的密度。我不是说精确地；因为密度相同的流体，粘滞性大的其阻力无疑大于滑润的；如冷油大于热油，热油大于雨水，而雨水大于酒精。但在很容易流动的液体中，如在空气、食盐水、酒精、松节油和盐类溶液，通过蒸馏滤去杂质并被加热的油、矾油、水银和熔化的金属中，以及那些通过摇晃容器对它们施加压力可以使运动保持一段时间，并在倒出来时容易分解成液滴的液体中，我不怀疑已建立的规则能足够精确地成立，特别当实验是用较大的摆体并运动较快时更是如此。

最后，由于某些人认为，存在着某种极为稀薄而精细的以太介质，可以自由穿透所有物体的孔隙；而这种穿透物体孔隙的介质必定会引起某种阻力；为了检验物体运动中所受到的阻力究竟是只来自它们的外表面，抑或是其内部各部分也受到作用于表面的阻力的作用，我设计了以下实验。我把一只圆松木箱用11英尺长的细绳悬起来，通过一钢圈挂在一钢制钩子上，构成上述长度的摆。钩子的上侧为锋利的凹形刀刃，使得钢圈的上侧在该刀刃上能更自由地运动；细绳系在钢圈的下侧。制成摆以后，我把它由垂直位置拉开约6英尺的距离，并处在垂直于钩刃的平面上，这样可使摆在摆动时钢圈不会在钩子上滑动和偏移；因为悬挂点位于钢圈与钩刃的接触点，是应当保持不动的。我精确记录了摆拉开的位置，然后加以释放，并记下了第1，2，3次摆动所回到的位置。这一过程我重复了多次，以尽可能精确地记录摆动位置。然后我在箱子中装满铅或其他近在手边的重金属。但开始时，我称量了空箱子的重量，以及缠在箱子上的绳子，和由钩子到箱子之间绳子的一半的重量。因为在摆自垂直位置被拉开时，悬挂摆的绳子总是以其半重量作用于摆。在此重量之上我又加上了箱内空气的重量。空箱的总重量约为装满金属后箱重的。由于箱子装满金属后会把绳子拉长，增加摆长，我又适当缩短绳子使它在摆动时的摆长与空箱摆动时相同。然后把摆拉到第一次记录的位置处，释放之，数得大约经过77次摆动，箱子回到第二个记录位置，再经过相同摆动次数回到第三个位置，其后摆动同样次数回到第四个位置。由此我得到结论，装满重物的箱子所受到的阻力，与空箱阻力的比值不大于78:77。因为如果阻力相等，则装满的箱子的惯性比空箱的惯性大78倍，这将使它的摆动运动持续相同倍数的时间，因而应在78次摆动后回到标记点。但实际上是在77次摆动后回到标记点的。

所以，令A表示箱子外表面受到的阻力，B为对空箱内表面的阻力，如果速度相同的物体内各部分的阻力正比于物质，或正比于受到阻力的粒子数，则78B为装满的箱子内部所受到的阻力；因而空箱的全部阻力A＋B比满箱的总阻力A＋78B，等于77比78，由相减法，A＋B比77B等于77比1；因而A＋B比B等于77比1，再由相减法，A比B等于5928比1。所以空箱内部的阻力要小于其外表面阻力的5000倍以上。该结果来自这样的假设，即装满的箱子其较大的阻力不是来自任何其他的未知原因，而只能是某种稀薄流体对箱内金属的作用所致。

这个实验是凭记忆描述的，原始记录已遗失；我不得不略去一些已遗忘的细节；我又没有时间再将实验重做一次。我第一次实验时，钩子太软，装满的箱很快就停止摆动。我发现原因是钩子不足以承受箱子的重量，致使摆动过程中钩子时左时右地弯曲。后来我又做了一只足够坚硬的钩子，悬挂点不再移动，即得到上述所有情形。

第7章

流体的运动，及其对抛体的阻力

命题32　定理26

设两个相似的物体系统由数目相同的粒子组成，一一对应的粒子相似而且成正比，位置相似，而相互间密度有给定比值；令它们各自在正比的时间内开始运动（即在一个系统内的粒子相互间运动，另一个系统内的粒子相互间运动）。如果同一系统内的粒子只在反射时相互接触；相互间既不吸引也不排斥，只受到反比于对应粒子的直径，正比于速度平方的加速力：则这两个系统中的粒子将在成正比的时间里维持各自之间的相似运动。

相似的物体在相似的位置，意味着将一个系统中的粒子与另一个系统中相对应的粒子作比较，当它们各自之间作相似运动时，在成正比的时间之末处于相似的位置上。因而时间是成正比的，其间相对应的粒子掠过相似轨迹的相似且成正比的部分。所以，如果设两个这样的系统，其对应粒子由于在开始时作相似的运动，则将维持这种相似的运动与另一个粒子相遇；因为如果它们不受到力的作用，由第一定律知，将沿直线做匀速运动。但如果它们相互间受到某种力的作用，而且这些力反比于对应粒子的直径正比于速度的平方，且因为这些粒子位置相似，受力成正比，则使对应粒子受到推动，且由所有作用力复合而成的总力（由运动定律推论Ⅱ）将有相似的方向，而且其作用效果与由各粒子相似的中心位置所发出的力相同；而且这些合力相互间的比等于复合成它们的各力的比，即，反比于对应粒子的直径，正比于速度的平方：所以将使对应粒子持续掠过该轨迹。如果这些中心是静止的，上述结论成立（由第一编命题4推论Ⅰ和Ⅷ）；但如果它们是运动的，由移动的相似性知，它们在系统粒子中的位置关系保持相似，使得粒子画出图形所引入的变化也保持相似。所以，对应于相似粒子的运动保持相似，直至它们第一次相遇；由此产生相似的碰撞和反弹；而这又导致粒子之间的相似运动（由于刚才说明的原因），直到它们再次相互碰撞。这个过程不断重复直至无限。

证毕。

推论Ⅰ．如果两个物体，它们与系统的对应部分相似且位置也相似，以类似的方式在它们之间按成正比的时间运动，它们的大小以及速度的比等于对应部分大小以及密度的比，则这些物体将在正比的时间内以类似方式维持运动；因为两个系统以及两个部分的多数情形是完全相同的。

推论Ⅱ．如果两个系统中所有相似的且位置相似的部分相互间静止；其中两个最大的分别在两个系统中保持对应，开始沿位置相似的直线以任意相似的方式运动，则它们将激发系统中其余部分的类似运动，并将在这些部分中以类似方式按正比时间维持运动；因而将掠过正比于其直径的距离。

命题33　定理27

在同样条件下，系统中较大的部分受到的阻力正比于其速度的平方、其直径的平方，以及系统中该部分的密度。

因为阻力部分来自系统各部分间相互作用的向心或离心力，部分来自各部分与较大部分间的碰撞与反弹。第一部分阻力相互间的比等于产生它们的总运动力的比，即等于总加速力与相应部分的物质的量的乘积的比；即（由命题），正比于速度的平方，反比于对应部分间的距离，正比于对应部分的物质的量：因而，由于一个系统中各部分间距比另一个系统各部分的间距，等于前一个系统的粒子或部分的直径比另一个系统的对应粒子或部分的直径，而且由于物质的量正比于各部分的密度与直径的立方，所以阻力相互间的比正比于速度的平方与直径的平方以及系统各部分的密度。

证毕。

后一种阻力正比于对应的反弹次数与反弹力的乘积；但反弹次数的比正比于对应部分的速度反比于反弹间距。而反弹力正比于速度与对应部分的大小和密度的乘积；即正比于速度与这些部分的直径立方以及密度的乘积。所以综合所有这些比值，对应部分阻力间的比正比于速度的平方与直径的平方以及各部密度的乘积。

证毕。

推论Ⅰ．所以，如果这些系统是两个弹性系统，与我们的空气相似，它们各部分间保持静止；而两个相似物质的大小与密度正比于流体的部分，被沿着位置相似的直线方向抛出；流体粒子相互作用的加速力反比于被抛出物质的直径，正比于其速度的平方；则二物体将在正比的时间内在流体中激起相似的运动，并将掠过相似的且正比于其直径的距离。

推论Ⅱ．在同一种流体中快速运动的抛体遇到的阻力近似正比于其速度的平方。因为如果远处的粒子相互作用的力随速度平方增大，则抛体受到的阻力精确正比于同一个比的平方；所以在一种介质中，如果其各部分处于相互间无作用的距离上，则阻力精确正比于速度平方。设有三种介质A，B，C，由相似相等且均匀分布于相等距离上的部分组成。令介质A和B的各部分相互分离，作用力正比于T和V；令介质C的部分间完全没有作用。如果四个相等的物体D，E，F，G运动进入介质中，前两个物体D和E进入前两种介质A和B，另两个物体F和G进入第三种介质C；如果物体D的速度比物体E的速度，以及物体F的速度比物体G的速度，等于力T与V的比值的平方根；则物体D的阻力比物体E的阻力，以及物体F的阻力比物体G的阻力，等于速度的平方相比；所以物体D的阻力比物体F的阻力等于物体E的阻力比物体G的阻力。令物体D与F速度相等，物体E与G速度也相等；以任意比率增加物体D和F的速度，按相同比率的平方减小介质B的粒子的力，则介质B将任意趋近介质C的形状和条件；所以相等的且速度相等的物体E和G在这些介质中的阻力将连续趋于相等，使得其间的差最终小于任意给定值。所以，由于物体D和F的阻力的比等于物体E和G的阻力的比，它们也将以相似的方式趋于相等的比值。所以，当物体D和F以极快速度运动时，受到的阻力极近于相等；因而由于物体F的阻力正比于速度的平方，特体D的阻力也近似正比于同一值。

推论Ⅲ．在弹性流体中运动极快的物体其阻力几乎与流体各部分间没有离心力因而不相互远离无异；只是这要求流体的弹性来自粒子的向心力，而物体的速度如此之大，不允许粒子有足够时间相互作用。

推论Ⅳ．在其相距较远的各部分无相互远离运动的介质中，由于相似且等速的物体的阻力正比于直径的平方，因而以极快的相等速度运动的物体，其在弹性介质中所受的阻力近似正比于直径的平方。

推论Ⅴ．由于相似、相等、等速的物体，在密度相同其粒子不相互远离的介质中，将在相等的时间内撞击等量的物质，不论组成介质的粒子是大是小，是多是少，因而对这些物质施加相等的运动量，反过来（由第三运动定律）又受到前者等量的反作用，即，受到相等的阻力；所以，也可以说，在密度相同的弹性流体中，当物体以极快的速度运动时，它们的阻力几乎相等，不论流体是由较大的或细微的部分所组成。因为速度极大的抛体，其阻力并不因为介质的细微而明显减小

推论Ⅵ．对于弹性力来自粒子的离心力的流体，上述结论均成立。但如果这种力来自某种其他原因，如来自粒子像羊毛球或树枝那样的膨胀，或任何其他原因，使得粒子相互间的自由运动受到阻碍，则由于介质的流体性变小，阻力比上述推论为大。

命题34　定理28

在由相等且自由分布于相等距离上的粒子所组成的稀薄介质中，直径相等的球或柱体沿柱体的轴以相等速度运动，则球的阻力仅为柱体阻力的一半。

由于不论是物体在静止介质中运动，抑或介质粒子以相同速度撞击静止物体，介质对物体的作用都是相同的（由运动定律推论V），让我们假设物体是静止的，看看它受到运动介质的什么样的推力。令ABKI表示球体，球心为C，半径为CA，令介质粒子以给定速度沿平行于AC的直线方向作用于球体；令FB为这些直线中的一条在FB上取LB等于半径CB，作BD与球相切于B。在KC和BD上作垂线BE，LD；则一个介质粒子沿FB方向斜向地在B点撞击球体的力，比同一个粒子与柱体ONGQ（围绕球体的轴ACI画出）垂直相遇于b的力，等于LD比LB，或BE比BC。又，该力沿其入射方向FB或AC推动球体的效率，比相同的力沿其确定方向，即沿直接撞冲球体的直线BC方向，推动球体的效率，等于BE比BC。连接这些比式，一个粒子沿直线FB方向斜向落在球体上推动该球沿其入射方向运动的效果，比同一粒子沿同一直线垂直落在柱体上推动它沿同一方向运动的效果，等于BE²比BC²。所以，如果在垂直于柱体NAO的圆底面且等于半径AC的bE上取bH等于；则bH比bE等于粒子撞击球体的效果比它撞击柱体的效果。所以，由所有直线bH组成的立方体比由所有直线bE组成的立方体等于所有粒子作用于球体的效果比所有粒子作用于柱体的效果。但这些立方体中的前一个是抛物面的，其顶点在C，主轴为CA，通径为CA，而后一个立方体是一个与抛物面外切的柱体。所以，介质作用于球体的总力是它作用于柱体总力的一半。所以如果介质粒子是静止的，柱体和球体以相等速度运动，则球体的阻力为柱体阻力的一半。

证毕。

附注

用同样方法可以比较其他形状物体的阻力；并可以求出最适于在有阻力介质中维持其运动的物体形状。如在以O为中心以OC为半径的圆形底面CEBH上，取高度OD，可以作一平截头圆锥体CBGF，它沿轴向向D方向运动所受到的阻力小于任何底面与高度均相同的平截头圆锥体；在Q二等分高度OD，延长OQ到S，使QS等于QC，则S为已求出的平截头锥体的顶点。

顺便指出，由于角CSB总是锐角，由上述可知，如果立方体ADBE是由椭圆或卵形线ADBE关于其轴AB旋转所成，而形成的图形又在点F，B和I与三条直线FG，GH，HI相切，使得GH在切点B与轴垂直，而FG，HI与GH的夹角FGB，BHI为135°：则由图形ADFGHIE关于同一个轴AB旋转所成的立方体，其阻力小于前述立方体，当二者都沿其轴AB方向运动，且以各自的极点B为前沿时。我认为本命题在造船中有用。

如果图形DNFG是这样的曲线，当由其上任意点N作垂线NM落于轴AB上，且由给定点G作直线GR平行于在N与该图形相切的直线，与轴延长线相交于R时，MN比GR等于GR³比4BR·GB²，此图形关于其轴AB旋转所成的立方体，当在上述稀薄介质中由A向B运动时，所受到的阻力小于任何其他长度与宽度均相同的圆形立方体。

命题35　问题7

如果一种稀薄介质由极小的，静止的，大小相等且自由分布于相等距离处的粒子组成：求一球体在这种介质中匀速运动所受到的阻力。

情形1．设一有相同直径与高度的圆柱体沿其轴向在同一种介质中以相同速度运动；设介质的粒子落在球或柱体上以尽可能大的力反弹回来。由于球体的阻力（由前一命题）仅为柱体阻力的一半，而球体比柱体等于2比3，且柱体把垂直落于其上的粒子以最大的力反弹回来，传递给它们的速度是其身的二倍；可知柱体匀速运动掠过其轴长的一半时，传递给粒子的运动比柱体的总运动，等于介质密度比柱体密度；而球体在向前匀速运动掠过其直径长度时，传递给粒子相同的运动量；在它匀速掠过其直径的三分之二的时间内，它传递给粒子的运动比球体的总运动等于介质的密度比球体密度。所以，球遇到的阻力，与在它匀速通过其直径的三分之二的时间内使其全部运动被抵消或产生出来的力的比，等于介质的密度比球体的密度。

情形2．设介质粒子碰撞球体或柱体后并不反弹；则与粒子垂直碰撞的柱体把自己的速度直接传递给它们，因而遇到的阻力只有前一情形的一半，而球体遇到的阻力也只有其一半。

情形3．设介质粒子以某种既不是最大，也不为零的平均速度自球体反弹回来；则球的阻力为第一种情形的阻力与第二种情形的阻力的比例中项。

完毕。

推论Ⅰ．如球体与粒子都是无限坚硬的，而且完全没有弹性力，因而也没有反弹力，则球体的阻力比在该球在掠过其直径的三分之四的时间内使其全部运动被抵消或产生的力，等于介质的密度比球体密度。

推论Ⅱ．其他条件不变时，球体阻力正比于速度平方变化。

推论Ⅲ．其他条件不变时，球体阻力正比于直径平方变化。

推论Ⅳ．其他条件不变时，球体阻力正比于介质密度变化。

推论Ⅴ．球体阻力正比于速度平方，直径平方，以及介质密度三者的乘积。

推论Ⅵ．因此可以这样表示球体的运动及其阻力，令AB为时间，在其中球体由于均匀维持的阻力而失去全部运动，作AD，BC垂直于AB。令BC为全部运动，通过点C，以AD，AC为渐近线，作双曲线CF。延长AB到任意点E。作垂线EF与双曲线相交于F。作平行四边形CBEG，作AF交BC于H。如果球体在任意时间BE内，在无阻力介质中，以其初始运动BC均匀掠过由平行四边形表示的距离CBEG，则在有阻力介质中相同时间内掠过由双曲线面积表示的距离CBEF；在该时间末它的运动由双曲线的纵坐标EF表示，失去的运动部分为FG。在同一时间之末其阻力由长度BH表示，失去的阻力部分为CH。所有这些可以由第二编命题5推论Ⅰ和Ⅲ导出。

推论Ⅶ．如果在时间T内球体受均匀阻力R的作用失去其全部运动M，则相同的球体在时间t内，在阻力R正比于速度平方减小的有阻力介质中失去其运动M的部分，而余下部分；所掠过的距离比它在相同时间t内以均匀运动M所掠过的距离，等于数的对数乘以数2.302585092994，比数，因为双曲线面积BCFE比矩形BCGE也是该数值。

附注

在本命题中，我已说明了在不连续介质中球形抛体的阻力及受阻滞情形，而且指出这种阻力，与在球体以均匀速度掠过其直径的三分之二长度的时间内能使球体总运动被抵消或产生的力的比等于介质密度比球体密度，条件是球体与介质粒子是完全弹性的，并受到最大反弹力的作用；当球体与介质粒子无限坚硬因而反弹力消失时，这种力减弱为一半。但在连续介质中，如水、热油、水银，球体在其中通过时并不直接与所有产生阻力的所有流体粒子相碰撞，而只是压迫邻近它的粒子，这些粒子压迫稍远的，它们再压迫其他粒子，如此等等；在这种介质中阻力又减小一半。在这些极富流动性的介质中，球体的阻力，与在它以均匀速度掠过其直径的部分所用的时间内，使其全部运动被抵消或产生的力的比，等于介质的密度比球体的密度。我将在下面证明这一点。

命题36　问题8

球自柱形桶底部孔洞中流出的水的运动。

令ACDB为柱形容器，AB为其上端开口，CD为平行于地平面的底，EF为桶底中间的圆孔，G为圆孔中心，GH为垂直于地平面的桶轴。再设柱形冰块APQB体积与桶容积相等，并且是共轴的，以均匀运动连续下落，其各部分一旦与表面AB接触，即融化为水，受其重量驱使流入桶中，并且在下落中形成水柱ABNFEM，通过孔洞EF并刚好将它填满。令冰块均匀下落的速度和在圆AB内的连续水流速度等于水下落掠过距离IH所获得的速度；令IH与HG位于同一条直线上；通过点I作直线KL平行于地平线，与冰块的两侧边相交于K和L。则水自孔洞EF流出的速度与自I流过距离IG所获得的速度相等。所以，由伽利略定理，IG比IH等于水自孔洞流出速度，比水在圆AB的流速的平方，即，等于圆AB与圆EF比值的平方；这二个圆都反比于在相同时间里等量通过它们并完全把它们填满的水流速度。我们现在考虑的是水流向地平面的速度，不考虑与之平行使水流各部分相互趋近的运动；因为它既不是由重力产生的，也不改变重力引起的使水流向地平面的运动。我们的确要假定水的各部分有些微凝聚力，它使水在下落过程中以与地平面相平行的运动相互趋近以保持单一的水柱，防止它们分袭为几个水柱；但由这种凝聚力产生的平行于地平面的运动不在我们讨论之列。

情形1．设包围着水流ABNFEM的水桶总容积都充满了冰，水像流过漏斗那样自冰中穿过。如果水只是非常接近于冰，但不与之接触；或者等价地，如果冰面足够光滑，水虽然与它接触，却可以在其上自由滑移，完全不受到阻力；则水仍将像以前一样以相同速度自孔洞EF中穿过，而水柱ABNFEM的总重量仍是把水自孔洞挤出的动力，桶底则支撑着环绕该水柱的冰的重量。

现设桶中的冰融化为水；流出的水保持不变，因为其流速仍像从前一样不变。它之所以不变小，是因为融化了的冰也倾向于下落；它之所以不变大，是因为已成为水的冰不可能克服其他水的下落而独自上升。在流动的水中同样的力永远只应产生同样的速度。

但在位于桶底的孔洞，由于流水粒子有斜向运动，必使水流速度略大于从前。因为现在水的粒子不再全部垂直地通过该孔洞，而是自桶侧边的所有方向流下，向孔洞集聚，以斜向运动通过它；并且在聚集向孔洞时汇集成一股水流，其在孔洞下侧的直径略小于在孔洞处直径；它的直径与孔洞的直径的比等于5比6，或极近于比，如果我的测量正确的话。我制作了一块薄平板，在中间穿凿一个孔洞，圆洞直径约为1英寸的八分之五。为了不对流出的水加速使水流更细，我没有把这块平板固定在桶底，而是固定在桶边，使水沿平行于地平面的方向涌出。然后将桶注满水，放开孔洞使水流出；在距孔洞约半英寸处极精确地测得水流的直径为英寸。所以该圆洞的直径与水流的直径的比极近似地等于25比21。所以，水流径孔洞时自所有方面收缩，在流出水桶后该集聚作用使水流变得更小，这种变小使水流加速直到距孔洞半英寸处，在该距离处水流比孔洞处为小，而速度更大，其比值为25:25比21:21，或非常近似于17比12；即约为比1。现在，由此实验可以肯定，在给定的时间内，自桶底孔洞流出的水量等于在相同时间内以上述速度自另一个圆洞中自由流出的水量，后者与前者直径的比为21比25。所以，通过孔洞本身的水流的下落速度近似等于一重物自桶内静止水的一半高度落下所获得的速度。但水在流出后更受到集聚作用的加速，在它到达约为孔洞直径的距离处时，所获得的速度与另一个速度的比约为比1；一个重物差不多要从桶内静止水的全部高度处下落才能获得这一速度。

所以，在以下的讨论中，水流的直径我们以称为EF的较小孔洞表示。设另一个平面NW在孔洞EF的上方，与孔平面平行，到孔洞的距离为同一孔洞的直径，并被凿出一个更大的洞ST，其大小刚好使流过下面孔洞EF的水把它填满。所以该孔洞的直径与下面孔洞直径的比约为25比21。通过这一方法，水将垂直流过下面的孔洞；而流出的水量取决于这最后一个孔洞的大小，将极近似地与本问题的解相同。可以把两个平面之间的空间与下落的水流看做是桶底。为了使解更简单和数学化，最好只取下平面为桶底，并假设水像通过漏斗那样自冰块中流过，经过下平面上的孔洞EF流出水桶，并连续地保持其运动，而冰块保持静止。所以在以下讨论中令ST为以Z为中心的圆洞直径，桶中的水全部自该孔洞流出。而令EF为另一个孔洞直径，水流过它时把它全部充满，不论流经它的水是自上面的孔洞ST来，还是像穿过漏斗那样自桶冰块中间而来。令上孔洞ST的直径比下孔洞EF的直径约为25比21，令两个孔洞所在平面之间距离等于小孔洞的直径EF。则自孔洞ST向下流过的水的速度，与一物体自高度IZ的一半下落到该孔洞时所获得的速度相同；而两种流经孔洞EF的水流速度，都等于一物体自整个高度IG自由下落所获得的速度。

情形2．如果孔洞EF不在桶底中间，而是在其他某处，则如果孔洞大小不变，水流出的速度与从前相同。因为虽然重物沿斜线下落到同样的高度比沿垂直线下落需要的时间要长，但在这两种情形中它所获得的下落速度相同；正如伽利略所证明的那样。

情形3．水自桶侧边孔洞流出的速度也相同。因为，如果孔洞很小，使得表面AB与KL之间的间隔可以忽略不计，而沿水平方向流出的水流形成一抛物线图形；由该抛物线的通径可以知道，水流的速度等于一物体自桶内静止水高度IG或HG下落所获得的速度。因为，我通过实验发现，如果孔洞以上静止水高度为20英寸，而孔洞高出一与地平面平行的平面也是20英寸，则由此孔洞喷出的水流落在此平面上的点，到孔洞平面的垂直距离极近似于37英寸。而没有阻力的水流应落在该平面上40英寸处，抛物线状水流的通径应为80英寸。

情形4．如果水流向上喷出，其速度也与上述相同。因为向上喷出的小股水流，以垂直运动上升到GH或GI，即桶中静止水的高度；它所受到的微小空气阻力在此忽略不计；所以它喷出的速度与它从该高度下落获得的速度相等。静止水的每个粒子在所有方面都受到相等的压力（由第二编命题19），并总是屈服于该压力，倾向于以相等的力向某处涌出，不论是通过桶底的孔洞下落，或是自桶侧边的孔洞沿水平方向喷出，或是导入管道自管道上侧的小孔涌出。这一结果不仅仅是从理论推导出来的，也是由上述著名实验所证明了的，水流出的速度与本命题中所导出的结果完全相同。

情形5．不论孔洞是圆形、方形、三角形，或其他任何形状，只要面积与圆形相等，水流的速度都相等；因为水流速度不决定于孔洞形状，只决定于孔洞在平面KL以下的深度。

情形6．如果桶ABCD的下部为静止水所淹没，且静止水在桶底以上的高度为GR，则在桶内的水自孔洞EF涌入静止水的速度等于水自高度IR落下所获得的速度；因为桶内所有低于静止水表面的水的重量都受到静止水的重量的支撑而平衡，因而对桶内水的下落运动无加速作用。该情形通过实验测定水流出的时间也可以得到证明。

推论Ⅰ．因此，如果水的深度CA延长到K，使AK比CK等于桶底任意位置上的孔洞的面积与圆AB的面积的比的平方，则水流速度将等于水自高度KC自由落下所获得的速度。

推论Ⅱ．使水流的全部运动得以产生的力等于一个圆形水柱的重量，其底为孔洞EF，高度为2GI或2CK。因为在水流等于该水柱时，它由其自身重量自高度GI落下所获得的速度等于它流出的速度。

推论Ⅲ．在桶ABDC中所有水的重量比其中驱使水流出的部分的重量，等于圆AB与EF的和比圆EF的二倍。因为令IO为IH与IG的比例中项，则自孔洞EF流出的水，在水滴自I下落掠过高度IG的时间内，等于以圆EF为底，2IG为其高的柱体，即，等于以AB为底，2IO为高的柱体。因为圆EF比圆AB等于高度IH比高度IG的平方根；即等于比例中项IO比IG。而且，在水滴自I下落掠过高度IH的时间内，流出的水等于以圆AB为底，2IH为高的柱体；在水滴自I下落经过H到G掠过高度差HG的时间内，流出的水，即立方体ABNFEM内所包含的水，等于柱体的差，即等于以AB为底，2HO为高的柱体。所以，桶ABDC中所有的水比装在上述立方体ABNFEM中的下落的水，等于HG比2HO，即，等于HO＋OG比2HO，或者IH＋IO比2IH。但装在立方体ABGNFEM中的所有水的重量都用于把水逐出水桶；因而桶中所有水的重量比该部分使水外流的重量等于IH＋IO比2IH，所以等于圆EF与AB的和比圆EF的2倍。

推论Ⅳ．桶ABDC中所有水的重量比另一部分由桶底支撑着的水的重量，等于圆AB与EF的和比这二者的差。

推论Ⅴ．该桶底支撑着的部分的重量比用于使水流出的重量等于圆AB与EF的差比小圆EF，或等于桶底面积比孔洞的二倍。

推论Ⅵ．重量中压迫桶底的部分比垂直压迫的总重量等于圆AB比圆AB与EF的和，或等于圆AB比圆AB的二倍减去桶底面积的差。因重量中压迫桶底的部分比桶中水的总重量等于圆AB与EF的差比这二者的和（由推论Ⅳ）；而桶中水总重量比垂直压迫桶底的水总重量等于圆AB比圆AB与EF的差。所以，将二比例式中对应项相乘，压迫桶底的重量部分比垂直压迫桶底的所有水的重量等于圆AB比圆AB与EF的和，或比圆AB的二倍减桶底的差。

推论Ⅶ．如果在孔洞EF的中间置一小圆片PQ，它也以G为圆心，平行于地平面，则该小圆片支撑的水的重量大于以该小圆片为底，高为GH的水柱重量的三分之一。因为仍令ABNFEM为下落的水柱，其轴为GH，令所有对该水柱顺利而迅速地下落无影响的水都冻结，包括水柱周围的与小圆片之上的。令PHQ为小圆片之上冻结的水柱，其顶点为H，高为GH。设这样的水柱因其自身重量而下落。且既不依附也不压迫PHQ，而是完全没有摩擦地与之自由滑动，除在开始下落时紧挨着冰柱顶点的水柱或许会发生凹形。由于围绕着下落水柱的冻结水AMEC，BNFD，其内表面AME，BNF向着该下落水柱弯曲，因而大于以小圆片PQ为底，高GH的圆锥体；即，大于底与高与相同的柱体的三分之一。所以，小圆片所支撑的水柱的重量，大于该圆锥的重量，既大于柱体的三分之一。

推论Ⅷ．当圆PQ很小时，它所支撑的水的重量似乎小于以该圆为底，高为HG的水柱重量的三分之二。因为，在上述诸条件下，设以该小圆片为底的半椭球体，其半轴或高为HG。该图形等于柱体的三分之二，被包含在冻结水柱PHQ之内，其重量为小圆片所支撑。因为水的运动虽然是直接向下的，而该柱的外表面必定与底PQ以某种锐角相交，水在其下落中被连续加速，这种加速使水流变细。所以，由于该角小于直角，该水柱的下部将位于半椭球之内。其上部则为一锐角或集于一点；因为水流是自上而下的，水在顶点的水平运动必定无限大于它流向地平面的运动。而且该圆PQ越小，柱体的顶部越尖锐；由于圆片无限缩小时，角PHQ也无限缩小，因而柱体位于半椭球之内。所以柱体小于半椭球，或小于以该小圆片为底，高为GH的柱体的三分之二部分。所以小圆片支撑的水力等于该柱体的重量，而周围的水则被用以驱使水流出孔洞。

推论Ⅸ．（就我所知）小圆片所支撑的重量比以该小圆片为底，高为的水柱重量，等于EF²比，或非常接近等于圆EF比该圆减去小圆片PQ的一半的差。

引理4

如果一个圆柱体沿其长度方向匀速运动，它所受到的阻力完全不因为其长度的增加或减少而改变；因而它的阻力等于一个直径相同，沿垂直于圆面方向匀速运动的圆的阻力。

因为柱体的边根本不向着运动方向；当其长度无限缩小为零时即变为圆。

命题37　定理29

如果一圆柱体沿其长度方向在被压缩的、无限的和非弹性的流体中匀速运动，则其横截面所引起的阻力比在其运动过四倍长度的时间内使其全部运动被抵消或产生的力，近似等于介质的密度比柱体密度。

令桶ABDC以其底CD与静止水面接触，水自桶内通过垂直于地平面的柱形管道EFTS流入静止水；令小圆片PQ与地平面平行地置于管道中间任意处；延长CA到K，使AK比CK等于管道EF的孔洞减去小圆片PQ的差比圆AB的平方。则（由命题36情形5，情形6和推论Ⅰ）水通过小圆片与桶之间的环形空间的流动速度与水下落掠过高度KC或IC所获得的速度完全相同。

（由命题36推论Ⅹ）如果桶的宽度是无限的，使得短线段HI消失，高度IG，HG相等；则流下的水压迫小圆片的力比以该小圆片为底，高为的水柱的重量，非常接近等于EF²比。因为通过整个管道均匀流下的水对小圆片PQ的压力无论它置于管道内何处都是一样的。

现设管道口EF，ST关闭，令小圆片在被自所有方向压缩的流体中上升，并在上升时推挤其上方的水通过小圆片与管道壁之间的空间向下流动。则小圆片上升的速度比流下的水的速度，等于圆EF与PQ的差比圆PQ；而小圆片上升的速度比这两个速度的和，即比向下流经上升小圆片的水的相对速度，等于圆EF与PQ的差比圆EF，或等于EF²－PQ²比EF²。令该相对速度等于小圆片不动时使上述水通过环形空间的速度，即等于水下落掠过高度IG所获得的速度；则水力对该上升小圆片的作用与以前相同（由运动定律推论Ⅴ）；即，上升小圆片的阻力比以该小圆片为底，高为的水柱的重量，近似等于EF²比。而该小圆片的速度比水下落掠过高度IG所获得的速度，等于EF²－PQ²比EF²。

令管道宽度无限增大；则EF²－PQ²与EF²，以及EF²与之间的比最后变为等量的比。所以这时小圆片的速度等于水下落掠过高度IG所获得的速度；其阻力则等于以该小圆片为底，高为IG的一半的水柱重量，该水柱自此高度下落必能获得小圆片上升的速度；且在此下落时间内，水柱可以此速度运动过其四倍的距离。而以此速度沿其长度方向运动的柱体的阻力与小圆片的阻力相同（由引理4），因而近似等于在它掠过四倍长度时产生其运动的力。

如果柱体长度增加或减少，则其运动，以及掠过其四倍长度所用的时间，也按相同比例增加或减小；因而使如此增加或减小的运动得以抵消或产生的力保持不变；因为时间也按相同比例增加或减少了；所以该力仍等于柱体的阻力，因为（由引理4）该阻力也保持不变。

如果柱体的密度增加或减小，其运动，以及使其运动得以在相同时间内产生或抵消的力，也按相同比例增加或减小。因而任意柱体的阻力比该柱体在运动过其四倍长度的时间内使其全部运动得以产生或抵消的力，近似等于介质密度比柱体密度。

证毕。

流体必须是因压缩而连续的；之所以要求它连续和非弹性，是因为压缩产生的压力可以即时传播；而作用于运动物体上的相等的力不会引起阻力的变化。由物体运动所产生的压力在产生流体各部分的运动中被消耗掉，由此产生阻力，但由流体的压缩而产生的压力，不论它多么大，只要它是即时传播的，就不产生流体的局部运动，不会对在其中的运动产生任何改变；因而它既不增加也不减小阻力。这可以由本命题的讨论得到证明，压缩产生的流体作用不会使在其中运动物体的后部压力大于前部，因而不会使阻力减小。如果压缩力的传播无限快于受压物体的运动，则前部的压缩力不会大于后部的压缩力。而如果流体是连续和非弹性的，则压缩作用可以得到无限快的即时传播。

推论Ⅰ．在连续的无限介质中沿其长度方向匀速运动的柱体，其阻力正比于速度平方、直径平方，以及介质密度的乘积。

推论Ⅱ．如果管道的宽度不无限增加，柱体沿其长度方向在管道内的静止介质中运动，其轴总是与管道轴重合，则其阻力比在它运动过其四倍长度的时间内能使其全部运动产生或被抵消的力，等于EF²比，乘以EF²比EF²－PQ²的平方，再乘以介质密度比柱体密度。

推论Ⅲ．相同条件下，长度L比柱体四倍长度等于比EF²乘以EF²－PQ²比EF²的平方：则柱体阻力比柱体运动过长度L时间内使其全部运动得以产生或抵消的力，等于介质密度比柱体密度。

附注

在本命题中，我们只讨论了由柱体横截面引起的阻力，而忽略了由斜向运动所产生的阻力。因为，与命题36情形1一样，斜向运动使桶中的水自所有方向向孔洞EF集聚，对水自该孔洞流出有阻碍作用，在本命题中，水的各部分受到水柱前端的压力，斜向运动屈服于这种压力，向所有方向扩散，阻碍水通过水柱前端附近流向后部，迫使流体从较远处流过；它使阻力的增加，大致等于它使水流出水桶的减少，即，近似等于25比21的平方。仍与前述命题情形1一样，我们今桶中所有围绕着水柱的水都冻结，使水的各部分能垂直而从容地通过孔洞EF，而其斜向运动与无用部分都没有运动，在本命题中，则设水的各部分能尽可能直接而迅速地屈服于斜向运动并做出反应，使斜向运动得以消除，水的各部分可以自由穿过水柱，只有其横截面能够产生阻力，因为不能使柱体前端变尖，除非使其直径变小；所以必须假设作斜向和无用运动并产生阻力的流体部分，在柱体两端保持相互静止和连续，并与柱体连接在一起。令ABCD为一矩形，AE和BE为二段抛物线弧，其轴为AB，其通径与柱体下落以获得运动速度所掠过的空间HG的比，等于HG比。令DF与CF为另两段关于轴CD的抛物线弧，其通径为前者的四倍；将这样的图形关于轴EF旋转得到一个立方体，其中部ABDC是我们刚讨论过的圆柱体，其两端部分ABE和CDF则包含着相互静止的流体部分，并固化为两个坚硬物体与圆柱体的两端粘接在一起形成一头一尾。如果这样的立方体EACFDB沿其轴长FE方向向着E的方向运动，则其阻力近似等于我们在本命题中所讨论的情形；即，阻力与在它匀速运动过长度4AC的时间内能使柱体的全部运动被抵消或产生的力的比，近似等于流体密度比柱体密度。而且（由命题36推论Ⅶ）该阻力与该力的比至少为2比3。

引理5

如果先后将宽度相等的圆柱体、球体和椭球体放入柱形管道中间，并使它们的轴与管道轴重合，则这些物体对流过管道的水的阻碍作用相等。

因为介于管道壁与圆柱体、球体和椭球体之间使水能通过的空间是相等的；而自相等空间流过的水相等。

如在命题36推论Ⅶ中已解释过的那样，本引理的条件是，所有位于圆柱体、球体，或椭球体上方的水，其流动性对于水尽可能快地通过该空间不是必要的，都被冻结起来。

引理6

在相同条件下，上述物体受到流经管道的水的作用是相等的。

这可以由引理5和第三定律证明。因为水与物体间的相互作用是相等的。

引理7

如果管道中的水是静止的，这些物体以相等速度沿相反方向在管道中运动，则它们相互间的阻力是相等的。

这可以由前一引理得到证明，因为它们之间的相对运动保持不变。

附注

所有凸起的圆形物体，其轴与管道轴相重合，都与此情形相同。或大或小的摩擦会产生某些差别；但我们在这些引理中假设物体是十分光滑的，而介质的黏性与摩擦为零；能够以其斜向和多余运动干扰、阻碍水流过管道的流体部分，像冻结的水那样被固定起来，并以前一命题的附注中所解释的方式与物体的力和后部相粘连，相互间保持静止；因为在后面我们要讨论横截面极大的圆形物体所可能遇到的极小阻力问题。

浮在流体上的物体作直线运动时，会使流体将其前部抬起，而将其后部下沉，钝形物体尤其如此；因而它们遇到阻力略大于头尾都是尖形的物体。在弹性流体中运动的物体，如果其前后均为钝形，在其前部聚集起稍多的流体，而在其后部则使之稍稀薄；因而它所遇到的阻力也略大于头尾都是尖形的物体。但在这些引理和命题中，我们不讨论弹性流体，而只讨论非弹性流体；不讨论漂浮在流体表面的物体，而讨论深浸于其中的物体。一旦知道了在非弹性流体中物体的阻力，即可以在像空气那样的弹性流体中，以及在像湖泊和海洋那样的静止流体表面上，略为增加一些阻力。

命题38　定理30

如果一个球体在压缩了的无限的非弹性流体中匀速运动，则其阻力比在它掠过其直径的三分之八长度的时间内使其全部运动被抵消或产生的力，极近似地等于流体的密度比该球体的密度。

因为球体比其外接圆柱体等于2比3；因而在柱体掠过其直径四倍长度的时间内使同一柱体全部运动被抵消的力，可以在球体掠过其直径三分之二，即，其直径的三分之八长度的时间内，抵消球体的全部运动。现在，柱体的阻力比这个力极近似地等于流体的密度比柱体或球体的密度（由命题37），而球体阻力等于柱体的阻力（由引理5，6，7）。

证毕。

推论Ⅰ．在压缩了的无限介质中，球体阻力正比于速度平方、直径平方与介质密度的乘积。

推论Ⅱ．球体以其相对重量在有阻力介质中下落所能获得的最大速度，与相同重量的球体在无阻力介质中下落时所获得的速度相等，掠过的距离比其直径的三分之四等于球密度比介质密度。因为球体以其下落所获得的速度运动时，掠过的距离比其直径的三分之八等于球密度比流体密度；而它的产生这一运动的重力比在球以相同速度掠过其直径的三分之八的时间内，产生同样运动的力，等于流体密度比球体密度；因而（由本命题）重力等于阻力，不能使球加速。

推论Ⅲ．如果给定球的密度和它开始运动时的速度，以及球在其中运动的静止压缩流体的密度，则可以求出任意时间球体的阻力和速度，以及它所掠过的空间（命题35，推论Ⅶ）。

推论Ⅳ．球在压缩了的静止的且密度与它自身相同的流体中运动时，在掠过其二倍直径的长度之前已失去其运动的一半（也由推论Ⅶ）。

命题39　定理31

如果一球体在密封于管道中的压缩流体中运动，其阻力比在它掠过直径的三分之八长度的时间内使其全部运动被抵消或产生的力，近似等于管口面积比管口减去球大圆一半的差；与管口面积比管口减去球大圆的差；以及流体密度比球体密度的乘积。

这可以由命题37推论Ⅱ，以及与前一命题相同的方法得到证明。

附注

在以上两个命题中，我们假设（与以前在引理5中一样）所有在球之前的、其流动性能使阻力作同样增加的水都已冻结。这样，如果这些水变为流体，它将多少会使阻力增加。但在这些命题中这种增加如此之小，可以忽略不计，因为球体的凸面与水的冻结所产生的效果几乎完全相同。

命题40　问题9

由实验求出一球体在具有理想的流动性和压缩了的介质中运动的阻力。

令A为球体在真空中的重量，B为在有阻力介质中的重量，D为球体直径，F为某一距离，它比等于球体密度比介质密度，即等于A比A－B，G为球以重量B在无阻力介质中下落掠过距离F所用的时间，而H为该下落所获得的速度。则由命题38推论Ⅱ，H为球体以重量B在有阻力介质中所能获得的最大下落速度；而当球体以该速度下落时，它遇到的阻力等于其重量B；由命题38推论Ⅰ可知，以其他任意速度运动时的阻力比重量B等于该速度与最大速度H的比的平方。

这正是流体物质的惰性所产生的阻力。由其弹性、黏性和摩擦所产生的阻力，可以由以下方法求出。

令球体在流体中以其重量B下落；P表示下落时间，以秒为单位，如果G是以秒给定的话。求出对应于的对数的绝对数N，令L为数的对数；则下落所获得的速度为，所掠过的高度为。如果流体有足够深度，可以略去4.605170186LF项；而为掠过的近似高度。这些公式可以由第二编命题9及其推论推出，其前提是球体所遇到的阻力仅来自物质的惰性。如果它确实遇到了其他任何类型的阻力，则下落将变慢，并可由变慢时间量求出这种新的阻力的量。

为便于求得在流体中物体下落的速度，我制成了如下表格，其第一列表示下落时间；第二列表示下落所获得的速度，最大速度为100,000,000；第三列表示在这些时间内下落掠过的距离，2F为物体在时间G内以最大速度掠过的距离；第四列表示在相同时间里以最大速度掠过的距离。第四列中的数为，由此减去数1.3862944－4.6051702L，即得到第三列数；要得到下落掠过的距离必须将这些数乘以距离F。此处加上第五列数值，表示物体以其相对重量的力B在真空中相同时间内下落所掠过的距离。

附注

为由实验求出阻力，我制作了一个方形木桶，其内侧长和宽均为9英寸，深英尺，盛满雨水；又制备了一些包含有铅的蜡球，我记录了这些球下落的时间，下落高度为112英寸。1立方英尺雨水重76镑；1立方英寸雨水重盎司，或谷；直径1英寸的水球在空气中重132.645谷，在真空中重132.8谷；其他任意球体的重量正比于它在真空中的重量超出其在水中重量的部分。

实验1．一个在空气中重谷的球，在水中重77谷，在4秒钟内掠过全部112英寸高度。经多次重复这一实验，该球总是需用完全相同的4秒钟。

该球在真空中重谷；该重量超出其在水中的重量部分为谷。因此球的直径为0.84224英寸。水的密度比该球的密度，等于该出超部分比球在真空中的重量；而球直径的部分（即2.24597英寸）比距离2F也等于该值，所以2F应为4.4256英寸。现在，该球在真空中以其全部重量谷向下落，一秒钟内掠过英寸；而在无阻力的水中以其重量77谷在相同时间内掠过95.219英寸；它在掠过2.2128英寸的G时刻获得它在水中下落所可能达到的最大速度H，而时间G比一秒钟等于距离F2.2128英寸与95.219英寸之比的平方根。所以时间G为0.15244秒。而且，在该时间G内，球以该最大速度H可掠过距离2F，即4.4256英寸；所以球4秒钟内将掠过116.1245英寸的距离。减去距离1.3862944·F，或3.0676英寸，则余下113.0569英寸的距离，这就是球在盛于极宽容器中的水里下落4秒钟所掠过的距离。但由于上述木桶较窄，该距离应按一比值减小，该比值为桶口比它超出球大圆的一半的差值的平方根，乘以桶口比它超出球大圆的差值，即等于1比0.9914。求出该值，即得到112.08英寸距离，它是球在盛于该木桶中的水里下落4秒钟所应掠过的距离，应与理论计算接近，但实验给出的是112英寸。

实验2．三个相等的球，在空气和水中的重量分别为谷和谷，令它们先后下落；在水中每个球都用15秒钟下落掠过112英寸高度。

通过计算．每个球在真空中重谷；该重量超出其在水中重量部分为谷；球直径为0.81296英寸；该直径的部分为2.16789英寸；距离2F为2.3217英寸；在无阻力水中，重谷的球一秒钟内掠过的距离为12.808英寸，求出时间G为0.301056秒。所以，一个球体以其谷的重量在水中下落所能获得的最大速度，在时间0.301056秒内掠过距离2.3217英寸；在15秒内掠过115.678英寸。减去距离1.3862944F，或1.609英寸，余下距离114.069英寸；所以这就是当桶很宽时球在相同时间内所应掠过的距离。但由于桶较窄，该距离应减去0.895英寸。所以该距离余下113.174英寸，这就是球在这个桶中15秒钟内所应下落的近似距离。而实验值是112英寸。差别不大。

实验3．三个相等的球，在空气和水中分别重121谷和1谷，令其先后下落；它们分别在46秒、47秒和50秒内通过112英寸的距离。

由理论计算，这些球应在约40秒内完成下落。但它们下落得较慢，其原因究竟是在较慢的运动中惰性力产生的阻力在其他原因产生的阻力中所占比例较小；或是由于小水泡妨碍球的运动；或是由于天气或放之下沉的手较温暖而使蜡稀疏；或者，还是因为在水中称量球体重量有未察觉的误差，我尚不能肯定。所以，球在水中重量应有若干谷，这时实验才有明确而可靠的结果。

实验4．我是在得到前述几个命题中的理论之前开始上述流体阻力的实验研究的。其后，为了对所发现的理论加以检验，我又制作了一个木桶，其内侧宽英寸，深英尺。然后又制作了四个包含着铅的蜡球，每一个在空气中重量都是谷，在水中重谷。把它们放入水中，并用一只半秒摆测定下落时间。球是冷却的，并在称量和放入水中之前已冷却多时；因为温暖会使蜡稀疏，进入减少球在水中的重量；而变得稀疏的蜡不会因为冷却而立即恢复其原先的密度。在放之下落之前，先把它们都没入水中，以免其某一部分露出水面而在开始下落时产生加速。当它们投入水中并完全静止后，极为小心地放手令其下落，以免受到手的任何冲击。它们先后以和51次摆动的时间下落掠过15英尺又2英寸的高度。但实验时的天气比称量时略寒冷，所以我后来又重做了一次；这一次的下落时间分别是和53次；第三次实验的时间是和53次摆动。经过几次实验，我认为下落时间以和50次摆动最常出现。下落较慢的情况，可能是由于碰到桶壁而受阻造成的。

现在按我们的理论来计算。球在真空中重谷；该重量超出其在水的重量谷；球直径为0.99868英寸；该直径的部分为2.66315英寸；距离2F为2.8066英寸；重谷的球在无阻力的水中一秒钟可以掠过9.88164英寸；时间G为0.376843秒。所以，球在其重量谷的力作用下，以其在水中下落所能获得的最大速度运动，在0.376843秒内可以掠过2.8066英寸长的距离，一秒内可以掠过7.44766英寸。

25秒或50次摆动内，距离为186.1915英寸。减去距离1.386294F，或1.9454英寸，余下距离184.2461英寸，这便是该球体在该时间内在极大的桶中所下落的距离。因为我们的桶较窄，令该空间按桶口比该桶口超出球大圆的一半的平方，乘以桶口比桶口超出球大圆的比值缩小；即得到距离181.86英寸，这就是根据我们的理论，球应在50次摆动时间内在桶中下落的近似距离。而实验结果是，在或50次摆动内，掠过距离182英寸。

实验5．四个球在空气中重，水中重谷，下落时间为和30次，有几次是31，32和33次摆动，掠过的高度为15英尺2英寸。

按理论计算它们的下落时间应为大约29次摆动。

实验6．五个球，在空气中重谷，水中重谷，几次下落时间为，16，17和18次摆动，掠过高度为15英尺2英寸。

按理论计算它们的下落时间应为大约15次。

实验7．四个球，在空气中重谷，水中重谷，几个下落时间为和33次摆动，掠过高度为15英尺英寸。

按理论计算，它们的下落时间应为约28次摆动。

这些球重量相同，下落距离相同，但速度却有快有慢，我认为原因如下：当球被释放并开始下落时，会绕其中心摆动，较重的一侧最先下落，并产生一个摆动运动。较之完全没有摆动的下沉，球通过其摆动传递给水较多的运动；而这种传递使球自身失去部分下落运动；因而随着这种摆动的或强或弱，下落中受到的阻碍也就或大或小。此外，球总是偏离其向下摆动的一侧，这种偏离又使它靠近桶壁，甚至有时与之发生碰撞。球越重，这种摆动越剧烈；球越大，它对水的推力越大。所以，为了减小球的这种摆动，我又制作了新的铅和蜡球，把铅封在极靠近球表面的一侧；并且用这样的方式加以释放，在开始下落时尽可能使其较重的一侧处于最低点。这一措施使摆动比以前大为减小，球的下落时间不再如此参差不齐：如下列实验所示。

实验8．四个球在空气中重139谷，水中重谷，令其下落数次，大多数时间都是51次摆动，再也没有超过52次或少于50次，掠过高度为182英寸。

按理论计算，它们的下落时间应为52次。

实验9．四只球在空气中重谷，水中重谷，几次下落时间从未少于12次摆动，也从未超过13次。掠过高度182英寸。

按理论计算，这些球应在约次摆动中完成下落。

实验10．四只球，在空气中重384谷，水中重谷，几次下落时间为和19次摆动，掠过高度英寸。在落到桶底之前，第19次摆动时，我曾听到几次它们与桶壁相撞。

按理论计算，它们的下落时间应为约次摆动。

实验11．三只球，在空气中重48谷，水中重谷，几次下落时间为，45和46次摆动，多数为44和45次，掠过高度约为英寸。

按理论计算，它们的下落时间应为约次摆动。

实验12．三只相等的球，在空气中重141谷，在水中重谷，几次下落时间为61，62，63，64和65次摆动，掠过空间为182英寸。

按理论计算，它们应在约次摆动内完成下落。

由这些实验可以看出，当球下落较慢时，如第二，四，五，八，十一和十二次实验，下落时间与理论计算吻合很好；但当下落速度较快时，如第六，九和十次实验，阻力略大于速度平方。因为球在下落中略有摆动；而这种摆动，对于较轻而下落较慢的球，由于运动较弱而很快停止；但对于较大而下落较快的球，摆动持续时间较长，需要经过若干次摆动后才能为周围的水所阻止。此外，球运动越快，其后部受流体压力越小；如果速度不断增加，最终它们将在后面留下一个真空空间，除非流体的压力也能同时增加。因为流体的压力应正比于速度的平方增加（由命题32和33），以维持阻力的相同的平方比关系。但由于这是不可能的，运动较快的球其后部的压力不如其他方位的大；而这种压力的缺乏导致其阻力略大于速度的平方。

由此可知我们的理论与水中落体实验是一致的。余下的是检验空气中的落体。

实验13．1710年6月，有人在伦敦圣保罗大教堂顶上同时落下两只球，一只充满水银，另一只充气；下落掠过的高度是220英尺。当时用一只木桌，其一边悬挂在铁铰链上，另一边由木棍支撑。两只球放在该桌面上，由一根延伸到地面的铁丝拉开木棍实现两球同时向地面落下；这样，当木棍被拉掉时，仅靠铰链支撑的桌子绕着铰链向下跌落，而球开始下落。在铁丝拉开木棍的同一瞬间，一只秒摆开始摆动。球的直径和重量，以及下落时间列入下表。

不过观测到的时间必须加以修正；因为水银球（按伽利略的理论）在4秒时间内可掠过257英尺，而220英尺只需要秒。因此，在木棍被拉开时木桌并不像它所应当的那样立即翻转；这一迟缓在开始时阻碍了球体的下落。因为球放在桌子中间，而且的确距轴而不是距木棍较近。因此下落时间延长了约；应通过减去该时间进行修正，对大球尤其如此，由于球直径较大，在转动的桌子上停留时间较其他球更长。修正以后，六个较大球的下落时间变为。

所以充满空气的第五只球，其直径为5英寸，重483谷，下落时间秒，掠过距离220英尺。与此球体积相同的水重16,600谷；体积相同的空气重谷，或谷；所以该球在真空中重谷；该重量与体积等于该空气的重量的比，为比；而2F比该球直径的，即比英寸，也等于该值。因此，2F等于28英尺11英寸。一只以其谷的全部重量在真空中下落的球，在一秒钟内可掠过英寸；而以重量483谷下落则掠过185.905英寸；以该483谷重量在真空中下落，在秒又的时间内可掠过距离F，或14英尺英寸，并获得它在空气中下落所能达到的最大速度。以这一速度，该球在秒时间内掠过245英尺英寸。减去1.3863F，或20英尺英寸，余下225英尺5英寸。所以，按我们的理论，这一距离是球应在秒内下落完成的。而实验结果为220英尺。差别是微不足道的。

将其他充满空气的球作类似计算，结果列于下表。

实验14．1719年7月，德萨古里耶博士⁽¹⁾曾用球形猪膀胱重做过这种实验。他把潮湿的膀胱放入中空的木球中，在膀胱中吹满空气，使之成形为球状，待膀胱干燥后取出。然后令之自同一教堂拱顶的天窗上下落，即自272英尺高处下落；同时令一重约2磅的铅球下落。与此同时，站在教堂顶部球下落处的人观察整个下落时间；另一些人则在地面观察铅球与膀胱球下落的时间差。时间是由半秒摆测量的。其中在地面上的一台计时机器每秒摆动四次；另一台制作精密的机器也是每秒摆动四次。站在教堂顶部的人中有一个也掌握着一台这样的机器；这些仪器设计成可以随心所欲地停止或开始运动。铅球的下落时间约秒；加上上述时间差后即可得到膀胱球的下落时间。在铅球落地后，五只膀胱球晚落地的时间，第一次，秒，秒，秒，秒和秒；第两次为秒，秒，14秒，19秒和秒。加上铅球下落的时间秒，得到五只球下落的总时间，第一次为19秒，17秒，秒，22秒和21秒；第二次为秒，秒，秒，秒和21秒。在教堂观测到的时间，第一次为秒，秒，秒，秒和秒；每两次为19秒，秒，秒，24秒和秒。不过膀胱并不总是直线下落，它有时在空气中飘动，在下落中左右摇摆。这些运动使下落时间延长了，有时增加半秒，有时竟增加整整一秒。在第一次实验中，第二和第四只膀胱下落最直，第二次实验中的第一和第三只也最直。第五只球有些皱纹，这使它受到一些阻碍。我用极细的线在膀胱外圆缠绕两圈测出它们的直径。在下表中我比较了实验结果与理论结果；空气与雨水的密度比取1比860，并代入理论中求得球在下落中所应掠过的距离。

所以，我们的理论可以在极小的误差以内求出球体在空气和水中所遇到的阻力；该阻力对于速度与大小相同的球而言，正比于流体的密度。

我们曾在第6章的附注里通过摆实验证明过，在空气、水和水银中运动相等的且速度相等的球，其阻力正比于流体密度。在此，我们通过空气和水中的落体更精确地做了证明。因为摆的每次摆动都会激起流体的运动，阻碍它的返回运动；而由于这种运动，以及悬挂摆体的细线所产生的阻力，使摆体的总阻力大于在落体实验中所得到的阻力。因为在该附注中所讨论的摆实验中，一个密度与水相同的球，在空气中掠过其半径长度时，会失去其运动的部分，而由第7章中所推导并由落体实验所验证的理论，同样的球掠过同样长度所失去的动部分为，条件是设水与空气的密度比为860比1。所以，摆实验中求出的阻力（由刚才说明的原因）大于落体实验中求出的阻力；其比值约为4比3。不过，由于在空气、水和水银中摆动的阻力是出于相同的原因而增加的，因此这些介质之间的阻力比，由摆实验与由落体实验验证是同样精确的。由所有这些可以得出结论，在其他条件相同的情况下，即使在极富流动性的任意流体中运动的物体，其阻力仍正比于流体的密度。

在完成了这些证明和计算之后，我们就可以来求一个在任意流体中被抛出的球体在给定时间所失去的运动部分大约是多少。令D为球直径，V是它开始时的运动速度，T是时间，在其内球以速度V在真空中所掠过的距离比距离等于球密度比流体密度；则在该流体中被抛出的球，在另一个时间t失去其运动的部分，余下部分：所掠过的距离比在相同时间内以相同的速度V在真空中掠过的距离，等于数的对数乘以数2.302585093比数，这是由命题35推论Ⅶ所给出的结果。运动较慢时阻力略小，因为球形物体比直径相同的柱形物体更有利于运动。运动较快时阻力略大，因为流体的弹性力与压缩力并不正比于速度平方增大。不过我不拟讨论这微小的差别。

虽然通过将空气、水、水银以及类似的流体无限分割，可使之精细化，变为具有无限流体性的介质，但它们对抛出的球的阻力不会改变。因为前述诸命题所讨论的阻力来自物质的惰性；而物质惰性是物体的基本属性，总是正比于物质量。分割流体的确可以减小由于粘滞性和摩擦产生的阻力部分，但这种分割完全不能减小物质量；而如果物质量不变，其惰性力也不变；因此相应的阻力也不变，并总是正比于惰性力。要减小这项阻力，物体掠过于其中的空间的物质必须减少；在天空中，行星与彗星在其间向各方向自由穿行，完全察觉不到它们的运动变慢，所以天空中必定完全没有物质性的流体存在，除了其中也许存在着某种极其稀薄的气体与光线。

抛体在穿过流体时会激起流体运动，这种运动是由抛体前部的流体压力大于其后部流体的压力造成的；就它与各种物质密度的比例而言，这种运动在极富流动性的介质中绝不小于在空气、水和水银中。由于这种压力差正比于压力的量，它不仅激起流体的运动，还作用于抛体，使其运动受阻；所以，在所有流体中，这种阻力正比于抛体在流体中所激起的运动；即使在最精细的以太中，该阻力与以太密度的比值，也绝不会小于它在空气、水和水银中与这些流体密度的比值。

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(1)  Desaguliers, John Theophilus（1683—1744），英国科学家，曾做过大量自然哲学实验，涉及热学、力学、光学和电学等，并正确指出牛顿的“运动”（momentum＝mv）与莱布尼兹的“运动”（vis viva＝mv²）的区别。对于验证牛顿理论做出很大贡献。——译者注。

第8章

通过流体传播的运动

命题41　定理32

只有在流体粒子沿直线排列的地方，通过流体传播的压力才会沿着直线方向。

如果粒子a，b，c，d，e沿一条直线排列，压力的确可以由a沿直线传播到e；但此后粒子e将斜向推动斜向排列的粒子f和g，而粒子f和g除非得到位于其后的粒子h和k的支撑，否则无法忍受该传播过来的压力；但这些支撑着它们的粒子又受到它们的压力；这些粒子如果得不到位于更远的粒子l和m的支撑并对之传递压力的话，将也不能忍受这项压力，以此类推至于无限。所以，一旦压力传递给不沿直线排列的粒子，它将向两侧偏移，并斜向传播到无限；在压力开始斜向传递后，在到达更远的不沿直线排列的粒子时，会再次向两侧偏移直线方向；每当压力传播时遇到不是精确沿直线排列的粒子时，都发生这种情形。

证毕。

推论．如果压力的任何部分在流体中由一给定点传播时，遇到任意障碍物，则其余未受阻碍的部分将绕过该障碍物而进入其后的空间。

这也可以由以下方法加以证明。如果可能的话，令压力由点A沿直线方向向任意一侧传播；障碍物NBCK在BC处开孔，令所有压力受到阻挡，唯有其圆锥形部分APQ通过圆孔BC。令圆锥体APQ为横截面de，fg，hi分割为平截头体。当传播压力的锥体ABC在de而推动位于其后的平截头锥体degf时，该平截头锥体又在fg面推动其后的平截头锥体fgih，而该平截头锥体又推动第三个平截头锥体，以至于无限；这样，（由第三定律）当第一个平截头锥体degf推动并压迫第二个平截头锥体时，由于第二个平截头锥体fgih的反作用，它在fg面也受到同样大小的推动和压力。所以平截头锥体defg受到来自两方面，即受到锥体Ade与平截头锥体fhig的压迫；因而（由命题19情形6）不能保守其形状，除非它受到来自所有方面的相等压力。所以，它向df，eg两侧扩展的力，等于它在de，fg面上所受到的压力；而在这两侧（没有任何粘滞性与硬度，具有完全流动性）如果没有周围的流体抵抗这种扩展力，则它将向外膨胀。所以，它在df，eg两边以与压迫平截头锥体fgih相等的力压迫周围流体；因此，压力由边df，eg向两侧传播入空间NO和KL，其大小与由fg面传播向PQ的压力相同。

证毕。

命题42　定理33

在流体中传播的运动自直线路径扩散而进入静止空间。

情形1．令运动由点A通过孔BC传播，如果可能的话，令它在圆锥空间中沿自点A扩散的直线传播。先来设这种运动是在静止水面上的波；令de，fg，hi，kl等为各水波的顶点，相互间由同样多的波谷或凹处隔开。因波脊处的水高于流体KL，NO的静止部分，它将由这些波脊顶部e，g，i，l等等及d，f，h，k等等从两侧向着KL和NO流下；而因为在波谷的水低于流体KL，NO的静止部分，这些静止水将流向波谷。在第一种流体中波脊向两侧扩大，向KL和NO传播。因为由A向PQ的波运动是由波脊连续流向紧挨着它们的波谷带动的，因而不可能快于向下流动的速度；而两侧向KL和NO流下的水必定也以相同速度行进：因此，水波向KL和NO两边的传播速度，等于它们由A直接传播向PQ的速度。所以指向KL和NO两侧的整个空间中将充满膨胀波rfgr，shis，tklt，vmnv，等等。

证毕。

任何人都可以在静止水面上以实验证明这一情形。

情形2．设de，fg，hi，kl，mn表示在弹性介质中由点A相继向外传播的脉冲。设脉冲是通过介质的相继压缩与舒张实验传播的，每个脉冲密度最大的部分呈球面分布，球心为A，相邻脉冲的间隔相等。令直线de，fg，hi，kl等等表示通过孔BC传播的脉冲的最大密度的部分；因为这里的介质密度大于指向KL和NO两侧的空间，介质将与向脉冲之间的稀薄间隔扩充一样也向指向KL和NO两个方向的空间扩展；因此，介质总是在脉冲处密集，而在间隔处稀疏，进而参与脉冲运动。而因为脉冲运动的传播是由介质的密集部分向毗邻的稀薄间隔连续舒张引起的；由于脉冲沿两侧向介质的静止部分KL和NO以近似的速度舒张；所以脉冲自身向所有方向膨胀而进入静止部分KL和NO，其速度几乎与由中心A直接向外传播相同，所以将充满整个空间KLON。

证毕。

这也可以由实验证明，我们能隔着山峰听到声音，而且，如果这声音通过窗户进入室内，扩散到屋内的所有部分，则可以在每一个角落听到；这不是由对面墙壁反射回来的，而是由窗户直接传入的，可以由我们的感官判明。

情形3．最后，设任意一种运动自A通过孔BC传播。由于这种运动传播的原因是邻近中心A的介质部分扰动并压迫较远的介质部分所造成的；而且由于被压迫的部分是流体，因而运动沿所有方向向受压迫较小的空间扩散：它们将由于随后的扩散而传向静止介质的所有部分，在指向KL和NO两个方向上与先前指向直线方向PQ的相同；由此，所有的运动，一旦它通过孔BC，将开始自行扩散，并将与在其源头与中心一样，由此直接向所有方向传播。

证毕。

命题43　定理34

每个在弹性介质中颤动的物体都沿直线向所有方向传播其脉冲；而在非弹性介质中，则激发出圆运动。

情形1．颤动物体的各部分，交替地前后运动，在向前运动时压迫并驱使最靠近其前面的介质部分，并通过脉冲使之紧缩密集；在向后运动时则又使这些紧缩的介质重又舒张，发生膨胀。因此靠着颤动物体的介质部分也往复运动，其方式与颤动物体的各部分相同；而由与该物体的各部分推动介质相同的原因，介质中受到类似颤动推动的部分也转而推动靠近它们的其他介质部分，这些其他部分又以相似方式推动更远的部分，直至无限。与第一部分介质在向前时被压缩，在向后时又被舒张方式相同，介质的其他部分也在向前时被压缩，向后时膨胀。所以它们并不总是在一瞬间里同时向前或向后运动（因为如果是这样的话它们将维持相互间的既定距离，不可能发生交替的压缩和舒张）；而由于在被压缩的地方相互趋近，舒张的地方相互远离，所以当它们一部分向前运动时另一部分则向后运动，以至于无限。这种向前的运动产生压缩作用，就是脉冲，因为它们在传播运动中会冲击阻挡前面的障碍物；因而颤动物体随后所产生的脉冲将沿直线方向传播；而且由于各次颤动间隔的时间是相等的，在传播过程中又在近似相等的距离上形成不同脉冲。虽然颤动物体各部分的往复运动是沿固定而确定的方向进行的，但由前述命题，颤动在介质中引起的脉冲却是向所有方向扩展的；并将自颤动物体像颤动的手指在水面激起的水波那样，沿共心的近似球面向所有方向传播，水波不仅随着手指的运动而前后推移，还沿环绕着手指的共心圆向四面八方传播。因为水的重力起到了弹性力的作用。

情形2．如果介质是非弹性的，则由于其各部分不能因颤动物体的振动部分所产生的压力而压缩，运动将即时地向着介质中最易于屈服的部分传播，即向着颤动物体所留下空洞的部分传播。这种情形与抛体在任意介质中的运动相同。屈服于抛体的介质不向无限远处移动，而是以圆运动绕向抛体后部的空间。所以一旦颤动物体移向某一部分，屈服于它的介质即以圆运动趋向它留下的空洞部分；而且物体回到其原先位置时，介质又被它从该位置逐开，回到自己原先的位置。虽然颤动物体并不牢固坚硬，而是十分柔软的，尽管它不能通过其颤动而推动不屈服于它的介质，却仍能维持其给定的大小，则离开物体受压部分的介质总是以圆运动绕向屈服于它的部分。

证毕。

推论．因此，那种认为火焰通过周围介质沿直线方向传播其压力的看法是错误的。这种压力不可能只来自火焰部分的推力，而是来自整体的扩散。

命题44　定理35

在管道或水管中，如果水交替地沿竖直管子KL，MN上升和下降；一只摆，其在悬挂点与摆动中心之间的摆长等于水在管道中长度的一半，则水的上升与下落时间与摆的摆动时间相等。

我沿管道及其竖直管子的轴测出水的长度，并使之等于这些轴长的和；水摩擦管壁所引起的阻力忽略不计。所以，令AB，CD表示竖直管子中水的平均高度；当水在管子KL中上升到高度EF时，在管子MN中的水将下降到高度GH。令P为摆体，VP为悬线，V为悬挂点，RPQS为摆掠过的摆线，P为其最低点，PQ为等于高度AE的一段弧长。使水的运动交替加速和变慢的力，等于一只管子中水的重量减去另一只管子中水的重量；因此，当管子KL中的水上升到EF时，另一只管子中的水下降到GH，上述力是水EABF的重量的二倍，因而水的总重量等于AE或PQ比VP或PR。而使物体P在摆线上任意位置Q加速或变慢的力，（由第一编命题51推论）比其总重量等于它到最低点P的距离PQ比摆线长PR。所以，掠过相等距离AE，PQ的水和摆的运动力，正比于被运动的重量；所以，如果开始时水和摆是静止的，则这些力将使它们作等时运动，并且是共同往返的交替运动。

证毕。

推论Ⅰ．水升降往复总是在相等时间内进行的，不论这种运动是强烈或微弱。

推论Ⅱ．如果管道中水的总长度为尺（法国单位），则水下降时间为一秒，而上升时间也为一秒，循环往复以至于无限；因为在该计量单位下尺长的摆的摆动时间为1秒。

推论Ⅲ．如果水的长度增大或减小，则往复时间正比于长度比的平方根增加或缩短。

命题45　定理36

波速的变化正比于波宽⁽¹⁾的平方根。

这可以从下一个命题得到证明。

命题46　问题10

求波速。

做一只摆，其悬挂点与摆动中心间距等于波的宽度，在摆完成一次摆动的时间内，波前进的距离约等于其波宽。

我所谓的波宽，指横截面上波谷的最深处的间距，或波脊顶部的间距。令ABCDEF表示在静止水面上相继起伏的波；令A，C，E等为波峰；B，D，F等为间隔的波谷。因为波运动是由水的相继起伏实现的，所以其中的A，C，E等点在某一时刻是最高点，随后即变为最低点；而使最高点下降或最低点上升的运动力，正是被抬起的水的重量，因此这种交替起伏类似于管道中水的往复运动，因而遵从相同的上升和下降的时间规律；所以（由命题44），如果波的最高点A，C，E和最低点B，D，F的间距等于任意摆长的二倍，则最高点A，C，E将在一次摆动时间内变为最低点，而另一次摆动时间内又升到最高点。所以每通过一个波，摆将发生两次摆动；即，波在二次摆动的时间里掠过其宽度；但对于四倍于该长度的摆，其摆长等于波宽，则在该时间内摆动一次。

完毕。

推论Ⅰ．波宽等于法国尺，则波在一秒时间内通过其波宽的距离；因此一分钟内将推进尺的距离；而一小时约为11,000尺。

推论Ⅱ．大的或小的波，其速度正比于波宽的平方根而增大或减小。

上述结论以水各部分沿直线起伏为前提；但实际上，这种起伏更表现为圆；所以我在本命题中给出的时间只是近似值。

命题47　定理37

如果脉冲在流体中传播，则作交替最短往复运动的流体粒子，总是按摆动规律被加速或减速。

令AB，BC，CD等表示相继脉冲的相等距离；ABC为相继脉冲由A传播到B的直线运动方向；E，F，G为直线AC上静止介质的三个间距相等的物理点；Ee，Ff，Gg为三个极小的相等距离，上述三点在每次振动中交替往返于其间；ε，φ，γ为相同点的任意中间位置；EF，FG为物理短线，或这些点与随后移入的处所εφ，φγ和ef，fg之间的介质的线性部分，作直线PS等于直线Ee。在O点将它二等分，并以O为圆心，OP为半径作圆SIPi。令一次振动的总时间，及其成正比的部分，这样来由该圆的周长及其成正比的部分表示。使得当任意时间PH或PHsh结束时，如果作HL或hl垂直于PS，并取Eε等于PL和Pl，则物理点E位于ε。这样,按该规律作往复运动的点E,在由E经过ε到e，再通过ε回到E的过程中，将在一次摆动时间内完成一次振动，而且加速与减速程度相同。我们现在要证明介质的不同物理点会受到这种运动的推动。那么，让我们设一种介质中有这样一种受激于任意原因的运动，看看会发生什么情况。

在圆PHSh上取相等的弧HI，IK，或hi，ik，它们与圆周长的比，等于直线EF，FG比整个脉冲间隔BC，作垂线IM，KN，或im，kn；因为点E，F，G受到相继的推动作相似运动，在脉冲由B移动到C的同时，它们完成一次往复振动；如果PH或PHSh为E点开始运动后的时间，则PI或PHSi为点F开始运动以后的时间，而PK或PHSk为点G开始运动以后的时间；所以，当点前移时Eε，Fφ，Gγ分别等于PL，PM，PN，而当点返回时，又分别等于Pl，Pm，Pn。所以，当点前移时，εγ或EG＋Gγ－Ee等于EG－LN，而当它们返回时，则等于EG＋ln。但εγ是处所εγ的介质宽度或EG部分的膨胀；因而在前移时该部分的膨胀比其平均膨胀等于EF－LN比EG；而在返回时，则等于EG＋ln或EG＋LN比EG。所以，由于LN比KH等于IM比半径OP，而KH比EG等于周长PHShP比BC；即如果以V代表周长等于脉冲间隔BC的圆的半径，则上述比等于OP比V；将比例式对应项相乘，得到LN比EG等于IM比V；EG部分的膨胀，或位于处所εγ的物理点F的伸展范围，比其在原先处所EG相同部分的平均膨胀，在前移时等于V－IM，而在返回时等于V＋im比V。因此，点F在处所εγ的弹性力比其在处所EG的平均弹性力，在前移时等于比，而在返回时等于比。由相同理由，物理点E和G与平均弹性力的比，在前移时等于和比；力的差与介质平均弹性力的比等于比；即，等于比，或等于HL－KN比V；如果我们设（因为振动范围极小）HL和KN无限小于量V的话。所以，由于量V是给定的，力差正比于HL—KN；即（因为HL—KN正比于HK，而OM正比于OI或OP；HK和OP是给定的），正比于OM；即，如果在Ω二等分Ff，则正比于Ωφ。由相同的理由，物理点ε和γ上弹性的差，在物理短线εγ返回时，正比于Ωφ。而该差（即，点ε的弹性超出点γ的弹性力部分）。正是使其间的介质物理短线εγ在前移时被加速，以及返回时被减速的力；所以物理短线εγ的加速力正比于它到振动中间位置Ω的距离。所以（由第一编命题38）弧PI正确地表达了时间；而介质的线性部分εγ则按照上述规律运动，即按照摆振动规律运动；这种情形，对于组成介质的所有线性部分都是相同的。

证毕。

推论．由此可知，传播的脉冲数与颤动物体的振动次数相同，在传播过程中没有增加。因为物理短线εγ一旦回到其原先位置即处于静止；在颤动物体的脉冲，或该物体传播而来的脉冲到达它之前，将不再运动。所以，一旦脉冲不再由颤动物体传播过来，它将回到静止状态，不再运动。

命题48　定理38

设流体的弹性力正比于其密度，则在弹性流体中传播的脉冲速度正比于弹性力的平方根，反比于密度的平方根。

情形1．如果介质是均匀的，介质中脉冲间距相等，但在一种介质中其运动强于在另一种介质中，则对应部分的收缩与舒张正比于该运动；不过这种正比关系不是十分精确。然而，如果收缩与舒张不是极大，则误差难以察觉；所以，该比例可认为是物理精确的。这样，弹性运动力正比于收缩与舒张；而相同时间内相等部分所产生的速度正比于该力。所以脉冲的相对的对应部分同时往返，通过的距离正比于其收缩与舒张，速度则正比于该空间；所以，脉冲在一次往返时间内前进的距离等于其宽度，并总是紧接着其前一个脉冲进入它所遗留的位置，所以，因为距离相等，脉冲在两种介质中以相等速度行进。

情形2．如果脉冲的距离或长度在一种介质中大于另一种介质，设对应的部分在每次往复运动中所掠过的距离正比于脉冲宽度；则它们的收缩和舒张是相等的；因而，如果介质是均匀的，则以往复运动推动它们的运动力也是相等的。现在这种介质受该力的推动正比于脉冲宽度；而它们每次往返所通过的距离比例也相同。而且，一次往返所用时间正比于介质的平方根与距离的平方根的乘积；所以正比于距离。而脉冲在一次往返的时间内所通过的距离等于其宽度；即，它们掠过的距离正比于时间，因而速度相同。

情形3．在密度与弹性力相等的介质中，所有脉冲速度相同。如果介质的密度或弹性力增大，则由于运动力与弹性力同比例增大，物质的运动与密度同比例增大，产生像从前一样的运动所需的时间正比于密度的平方根增大，却又正比于弹性力的平方根减小。所以脉冲的速度仍反比于介质密度的平方根，正比于弹性力的平方根。

证毕。

本命题可以在以下问题的求解中得到进一步澄清。

命题49　问题11

已知介质的密度和弹性力，求脉冲速度。

设介质像空气一样受到其上部的重量的压迫；令A为均匀介质的高度，其重量等于其上部的重量，密度与传播脉冲的压缩介质相同。做一只摆，自悬挂点到摆动中心的长度是A：在摆完成一次往复全摆动的时间内，脉冲行进的距离等于半径为A的圆周长。

因为，在命题47的作图和证明中，如果在每次振动中掠过距离PS的任意物理短线EF，在每次往返的端点P和S都受到等于其重量的弹性力的作用，则它的振动时间，与它在长度等于PS的摆线上摆动的时间相同；这是因为相等的力在相同或相等的时间内推动相等的物体通过相等的距离。所以，由于摆动时间正比于摆长的平方根，而摆长等于摆线的半弧长，一次振动的时间比长度为A的摆的摆动时间，等于长度或PO与长度A的比的平方根。但推动物理短线EG的弹性力，当它位于端点P，S时，（在命题47的证明中）比其弹性力，等于HL－KN比V，即（由于这时K落在P上），等于HK比V；所有的这种力，或等价地，压迫短线EG的上部重量，比短线的重量，等于上部重量的高度比短线的长度EG；所以，取对应项的乘积，则使短线EG在点P和S受到作用的力比该短线的重量等于HK·A比V·EG；或等于PO·A比VV；因为HK比EG等于PO比V。所以，由于推动相等的物体通过相等的距离所需的时间反比于力的平方根，受弹性力作用而产生的振动时间，比受重量冲击而产生的振动时间，等于VV与PO·A的比的平方根，而比长度为A的摆的摆动时间，等于VV与PO·A的比的平方根，与PO与A的比的平方根的乘积；即，等于V比A。而在摆的一次往复摆动中，脉冲行进的空间等于其宽度BC。所以脉冲通距离BC的时间比摆的一次往复摆动时间等于V比A，即等于BC比半径为A的圆周长。但脉冲通过距离BC的时间比它通过等于该圆周的长度也为相同比值，所以在这样的一次摆动时间内，脉冲行进的长度等于该圆周长。

证毕。

推论Ⅰ．脉冲的速度等于，一个重物体在相同加速运动的下落中，落下高度A的一半时所获得的速度。因为如果脉冲以该下落获得的速度行进，则在该下落时间内，掠过的距离等于整个高度A；所以，在一次往复摆动中，脉冲行进的距离等于半径为A的圆周长；因为下落时间比摆动时间等于圆半径比其周长

推论Ⅱ．由于高度A正比于流体的弹性力，反比于其密度，脉冲速度反比于密度的平方根，正比于弹性力的平方根。

命题50　问题12

求脉冲距离。

在任意给定时间内，求出产生脉冲的颤动物体的振动次数。以该数除在相同时间内脉冲所通过的距离，得到的商即一个脉冲的宽度。

完毕。

附注

上述几个命题适用于光和声音的运动；因为光是沿直线传播的，它当然不能只包括一个孤立的作用（由命题41和42）。至于声音，由于它们是由颤动物体产生的，无非是在空气中传播的空气脉冲；这可以通过响亮而低沉的声音激励附近的物体震颤得到证实，像我们听鼓声所体验的那样；因为快速而短促的颤动不易于激发。而众所周知的事实是，声音落在绷在发声物体上的同音弦上时，可以激发这些弦的颤动。这还可以由声音的速度证实；因为雨水与水银的比重相互间的比约为1比，当气压计中的水银高度为30英寸时，空气与水的比重比值为约1比870，所以空气与水银的比重比值为1比11890。所以，当水银高度为30英寸时，均匀空气的重量应足以把空气压缩到我们所看到的密度，其高度必定等于356700英寸，或29725英尺；这正是我在前一命题作图中称之为A的那个高度。半径为29725英尺的圆其周长为186768英尺。而由于长英寸的摆完成一次往复摆动的时间为2秒，这一人所共知的事实意味着长29725英尺，或356700英寸的摆，作一次同样的摆动需秒。所以，在该时间内，声音可行进186768英尺，因而一秒内传播979英尺。

但在此计算中，我没有考虑空气粒子的大小，而它们是即时传播声音的。因为空气的重量比水的重量等于1比870，而盐的密度约为水的2倍；如果设空气粒子的密度与水或盐相同，而空气的稀薄状况系由粒子间隔所致，则一个空气粒子的直径比粒子中心间距约等于1比9或10，而比粒子间距约为1比8或9。所以，根据上述计算，声音在一秒内传播的距离，应在979英尺上再加，或约109英尺，以补偿空气粒子体积的作用：则声音在一秒时间行进约1088英尺。

此外，空气中飘浮的蒸汽是另一种情形不同的根源，如果要从根本上考虑声音在真实空气中的传播运动，它还很少被计入在内。如果蒸汽保持静止，则声音的传播运动在真实空气中变快，该加快部分正比于物质缺乏的平方根。因而，如果大气中含有十成真正的空气，一成蒸汽，则声运动正比于11比10的平方根加快，或比它在十一成真实空气中的传播非常近似于21比20。所以上面求出的声音运动应加入该比值，这样得出声音在一秒时间里行进1142英尺。

这些情形可以在春天和秋天看到，那时空气由于季节的温暖而稀薄，这使得其弹性力较强。而在冬天，寒冷使空气密集，其弹性力略为减弱，声运动正比于密度的平方根变慢；另一方面，在夏天时则变快。

实验测定的声音在一秒时间内行进1142英尺，或1070法国尺单位。

知道了声音速度，也可以知道其脉冲间隔。M．索维尔⁽²⁾通过他做的实验发现，一根长约5巴黎尺的开口管子发出的声音，其音调与每秒振动100次的提琴弦的声调相同。所以在声音一秒时间内通过的1070巴黎尺的空间中，有大约100个脉冲；因而一个脉冲占据约巴黎尺的空间，即约为管长的二倍。由此来看，所有开口管子发出的声音，其脉冲宽度很可能都等于管长的二倍。

此外，命题47的推论还解释了声音为什么随着发声物体的停止运动而立即消失，以及为什么在距发声物体很远处听到的声音并不比在近处持续更长久。还有，由前述原理，还使我们易于理解声音是怎样在话筒里得到极大增强的；因为所有的往复运动在返回时都被发声机制所增强。而在管子内部，声音的扩散受到阻碍，其运动衰减较慢，反射较强；因而在每次返回时都得到新的运动的推动而增强。这些都是声音的主要现象。

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(1) 即波长。——译者注。

(2)  Sauveur, Joseph，英译本误作M．Sauveur（1653—1716），法国物理学家，曾任路易十四宫廷教师，主要从事声学的各种实验研究。本实验当完成于1713年以前，牛顿在本书中对索维尔的结论做了纠正。——译者注。

第9章

流体的圆运动

假设

由于流体各部分缺乏润滑而产生的阻力，在其他条件不变的情况下，正比于使该流体各部分相互分离的速度。

命题51　定理39

如果一根无限长的固体圆柱体在均匀而无限的介质中，沿一位置给定的轴均匀转动，且流体只受到该柱体的冲击而转动，流体各部分在运动中保持均匀，则流体各部分的周期正比于它们到柱体的轴的距离。

令AFL为关于轴S均匀转动的圆柱体，令同心圆BGM，CHN，DIO，EKP等把流体分为无限个厚度相同的同心柱形固体层。因为流体是均匀的，邻接的层相互间的压力（由假设）正比于它们相互间的移动，也正比于产生该压力的相邻接的表面。如果任意一层对其内侧的压力大于或小于对其外侧的压力，则较强的压力将占优势，并对该层的运动产生加速或减速，这取决于它与该层的运动方向是一致还是相反。所以，每一层的运动都能保持均匀，两侧的压力相等而方向相反。所以，由于压力正比于邻接表面，并正比于相互间的移动，该移动将反比于表面，即反比于该表面到轴的距离。但关于轴的角运动差正比于该移动除以距离，或正比于该移动而反比于该移动除以距离；亦即，将这两个比式相乘，反比于距离的平方。所以，如果作无限直线SABCDEQ不同部分上的垂线Aa，Bb，Cc，Dd，Ee等，则反比于SA，SB，SC，SD，SE等的平方，设一条双曲线通过这些垂线的端点，则这些差的和，即总角运动，将正比于对应线段Aa，Bb，Cc，Dd，Ee的和，即（如果无限增加层数而减小其宽度，以构成均匀介质的流体）正比于与该和相似的双曲线面积AaQ，BbQ，CcQ，DdQ，EeQ等；时间则反比于角运动，也反比于这些面积。所以，任意粒子D的周期，反比于面积DdQ，即（由已知的求曲线面积法）正比于距离SD。

证毕。

推论Ⅰ．流体粒子的角运动反比于它们到柱体轴的距离，而绝对速度相等。

推论Ⅱ．如果流体盛在无限长柱体容器中，流体内又置一柱体，两柱体绕公共轴转动，且它们的转动时间正比于直径，流体各部分保持其运动，则不同部分的周期时间正比于到柱体轴的距离。

推论Ⅲ．如果在柱体和这样运动的流体上增加或减去任意共同的角运动量，则因为这种新的运动不改变流体各部分间的相互摩擦，各部分间的运动也不变；因为各部分间的移动决定于摩擦。两侧的摩擦方向相反，各部分的加速并不多于减速，将维持其运动。

推论Ⅳ．如果从整个柱体和流体的系统中消去外层圆柱的全部角运动，即得到静止柱体内的流体运动。

推论Ⅴ．如果流体与外层圆柱体是静止的，内侧圆柱体均匀转动，则会把圆运动传递给流体，并逐渐传遍整个流体；运动将逐渐增加，直至流体各部分都获得推论Ⅳ中求出的运动。

推论Ⅵ．因为流体倾向于把它的运动传播得更远，其冲击将会带动外层圆柱与它一同运动，除非该柱体受反向力作用；它的运动一直要加速到两个柱体的周期相等。但如果外柱体受力而固定不动，则它产生阻碍流体运动的作用；除非内柱体受某种作用于其上的外力推动而维持其运动，它将逐渐停留。

所有这些可以通过在静止深水中的实验加以证实。

命题52　定理40

如果在均匀无限流体中，固体球绕一已知的方向的轴均匀转动，流体只受这种球体的冲击而转动；且流体各部分在运动中保持均匀；则流体各部分的周期正比于它们到球心的距离。

情形1．令AFL为绕轴S均匀转动的球，共心圆BGM，CHN，DIO，EKP等把流体分为无数个等厚的共心球层。设这些球层是固体的。因为流体是均匀的，邻接球层间的压力（由前提）正比于相互间的移动，以及受该压力的邻接表面，如果任一球层对其内侧的压力大于或小于对外侧的压力，则较大的压力将占优势，使球层的速度被加速或减速，这取决于该力与球层运动方向一致或相反。所以每一球层都保持其均匀运动，其必要条件是球层两侧压力相等，方向相反。所以，由于压力正比于邻接表面，还正比于相互间的移动，而移动又反比于表面，即反比于表面到球心距离的平方。但关于轴的角运动差正比于移动除以距离，或正比于移动反比于距离；即，将这些比式相乘，反比于距离的立方。所以，如果在无限直线SABCDEQ的不同部分作垂线Ab，Bb，Cc，Dd，Ee等，反比于差的和SA，SB，SC，SD，SE等即全部角运动的立方，则将正比于对应线段Aa，Bb，Cc，Dd，Ee等的和，即（如果使球层数无限增加，厚度无限减小，构成均匀流体介质），正比于相似于该和的双曲线面积AaQ，BbQ，CcQ，DdQ，EeQ等；其周期则反比于角运动，还反比于这些面积。所以，任意球层DIO的周期时间反比于面积DdQ，即（由已知求面积法），正比于距离SD的平方。这正是首先要证明的。

情形2．由球心作大量无限长直线，它们与轴所成角为给定的，相互间的差相等；设这些直线绕轴转动，球层被分割为无数圆环；则每一个圆环都有四个圆环与它邻接，即，其内侧一个，外侧一个，两边还各有一个。现在，这些圆环不能受到相等的力推动，内环与外环的摩擦方向相反，除非运动的传递按情形1所证明的规律进行。这可以由上述证明得出。所以，任意一组由球沿直线向外延伸的圆环，都将按情形1的规律运动，除非设它受到两边圆环的摩擦。但根据该规律，运动中不存在这种情况，所以不会阻碍圆环按该规律运动。如果到球的距离相等的圆环在极点的转动比在黄道点快或慢，则如果慢，相互摩擦使其加速，而如果快，则使其减速；致使周期时间逐渐趋于相等，这可以由情形1推知。所以这种摩擦完全不阻碍运动按情形1的规律进行，因此该规律是成立的；即不同圆环的周期时间正比于它们到球心的距离的平方。这是要证明的第二点。

情形3．现设每个圆环又被横截面分割为无数构成绝对均匀流体物质的粒子；因为这些截面与圆运动规律无关，只起产生流体物质的作用，圆运动规律将像从前一样维持不变。所有极小的圆环都不因这些截面而改变其大小和相互摩擦，或都作相同的变化。所以，原因的比例不变，效果的比例也保持不变；即，运动与周期时间的比例不变。

证毕。

如果由此而产生的正比于圆运动的向心力，在黄道点大于极点，则必定有某种原因发生作用，把各粒子维系在其轨道上；否则在黄道上的物质总是飞离中心，并在涡旋外侧绕极点转动，再由此以连续环绕沿轴回到极点。

推论Ⅰ．因此流体各部分绕球轴的角运动反比于到球心的距离的平方，其绝对速度反比于同一平方除以到轴的距离。

推论Ⅱ．如果球体在相似而无限的且匀速运动的静止流体中绕位置给定的轴均匀转动，则它传递给流体的转动运动类似于涡旋的运动，该运动将向无限逐渐传播；并且，该运动将在流体各部分中逐渐增加，直到各部分的周期时间正比于到球的距离的平方。

推论Ⅲ．因为涡旋内部由于其速度较大而持续压迫并推动外部，并通过该作用把运动传递给它们，与此同时外部又把相同的运动量传递给更远的部分，并保持其运动量持续不变，不难理解该运动逐渐由涡旋中心向外围转移，直到它相当平复并消失于其周边无限延伸的边际。任意两个与该涡旋共心的球面之间的物质决不会被加速；因为这些物质总是把它由靠近球心处所得到的运动传递给靠近边缘的物质。

推论Ⅳ．所以，为了维持涡旋的相同运动状态，球体需要从某种动力来源获得与它连续传递给涡旋物质的相等的运动量。没有这一来源，不断把其运动向外传递的球体和涡旋内部，无疑将逐渐地减慢运动，最后不再旋转。

推论Ⅴ．如果另一只球在距中心某距离处漂浮，并在同时受某力作用绕一给定的倾斜轴均速转动，则该球将激起流体像涡旋一样地转动；起初这个新的小涡旋将与其转动球一同绕另一中心转动；同时它的运动传播得越来越远，逐渐向无限延伸，方式与第一个涡旋相同。出于同样原因，新涡旋的球体被卷入另一个涡旋的运动，而这另一个涡旋的球又被卷入新涡旋的运动，使得两只球都绕某个中间点转动，并由于这种圆运动而相互远离，除非有某种力维系着它们。此后，如果使二球维持其运动的不变作用力中止，则一切将按力学规律运动，球的运动将逐渐停止（由推论Ⅲ和Ⅳ谈到的原因），涡旋最终将完全静止。

推论Ⅵ．如果在给定处所的几只球以给定速度绕位置已知的轴均匀转动，则它们激起同样多的涡旋并伸展至无限。因为根据与任意一个球把其运动传向无限远处的相同的道理，每个分离的球都把其运动向无限远传播；这使得无限流体的每一部分都受到所有球的运动的作用而运动。所以各涡旋之间没有明确分界，而是逐渐相互介入；而由于涡旋的相互作用，球将逐渐离开其原先位置，正如前一推论所述；它们相互之间也不可能维持一确定的位置关系，除非有某种力维系着它们。但如果持续作用于球体使之维持运动的力中止，涡旋物质（由推论Ⅲ和Ⅳ中的理由）将逐渐停止，不再做涡旋运动。

推论Ⅶ．如果类似的流体盛贮于球形容器内，并由于位于容器中心处的球的均匀转动而形成涡旋；球与容器关于同一根轴同向转动，周期正比于半径的平方：则流体各部分在其周期实现正比于到涡旋中心距离的平方之前，不会作既不加速亦不减速的运动。除了这种涡旋，由其他方式构成的涡旋都不能持久。

推论Ⅷ．如果这个盛有流体和球的容器保持其运动，此外还绕一给定轴作共同角运动转动，则因为流体各部分间的相互摩擦不由于这种运动而改变，各部分之间的运动也不改变；因为各部分之间的移动决定于这种摩擦。每一部分都将保持这种运动，来自一侧阻碍它运动的摩擦等于来自另一侧加速它运动的摩擦。

推论Ⅸ．所以，如果容器是静止的，球的运动为已知，则可以求出流体运动。因为设一平面通过球的轴，并作反方向运动；设该转动与球转动时间的和比球转动时间等于容器半径的平方比球半径的平方；则流体各部分相对于该平面的周期时间将正比于它们到球心距离的平方。

推论Ⅹ．所以，如果容器关于球相同的轴运动，或以已知速度绕不同的轴运动，则流体的运动也可以求知。因为，如果由整个系统的运动中减去容器的角运动，由推论Ⅷ知，则余下的所有运动保持相互不变，并可以由推论Ⅺ求出。

推论Ⅺ．如果容器与流体是静止的，球以均匀运动转动，则该运动将逐渐由全部流体传递给容器，容器则被它带动而转动，除非它被固定住；流体和容器则被逐渐加速，直到其周期时间等于球的周期时间。如果容器受某力阻止或受不变力均匀运动，则介质将逐渐地趋近于推论Ⅷ，Ⅸ，Ⅹ所讨论的运动状态，而绝不会维持在其他状态。但如果这种使球和容器以确定运动转动的力中止，则整个系统将按力学规律运动，容器和球体在流体的中介作用下，将相互作用，不断把其运动通过流体传递给对方，直到它们的周期时间相等，整个系统像一个固体一样地运动。

附注

以上所有讨论中，我都假定流体由密度和流体性均匀的物质组成；我所说的流体是这样的，不论球体置于其中何处，都可以以其自身的相同运动，在相同的时间间隔内，向流体内相同距离连续传递相似且相等的运动。物质的圆运动使它倾向于离开涡旋轴，因而压迫所有在它外面的物质。这种压力使摩擦增大，各部分的分离更加困难；导致物质流动性的减小。又，如果流体位于任意一处的部分密度大于其他部分，则该处流体性减小，因为此处能相互分离的表面较少。在这些情形中，我假定所缺乏的流体性为这些部分的润滑性或柔软性，或其他条件所补足；否则流体性较小处的物质将联结更紧，惰性更大，因而获得的运动更慢，并传播得比上述比值更远。如果容器不是球形，粒子将不沿圆周而是沿对应于容器外形的曲线运动；其周期时间将近似于正比于到中心的平均距离的平方。在中心与边缘之间，空间较宽处运动较慢，而较窄处较快；否则，流体粒子将由于其速度较快而不再趋向边缘；因为它们掠过的弧线曲率较小，离开中心的倾向随该曲率的减小而减小，其程度与随速度的增加而增加相同。当它们由窄处进入较宽空间时，稍稍远离了中心，但同时也减慢了速度；而当它们离开较宽处而进入较窄空间时，又被再次加速。因此每个粒子都被反复减速和加速。这正是发生在坚硬容器中的情形；至于无限流体中的涡旋的状态，已在本命题推论Ⅵ中熟知。

我之所以在本命题中研究涡旋的特性，目的在于想了解天体现象是否可以通过它们做出解释；这些现象是这样的，卫星绕木星运行的周期正比于它们到木星中心距离的次幂；行星绕太阳运行也遵从相同的规律。就已获得的天文观测资料来看，这些规律是高度精确的。所以如果卫星和行星是由涡旋携带绕木星和太阳运转的，则涡旋必定也遵从这一规律。但我们在此发现，涡旋各部分周期正比于到运动中心距离的平方；该比值无法减小并化简为次幂，除非涡旋物质距中心越远其流动性越大，或流体各部分缺乏润滑性所产生的阻力（正比于使流体各部分相互分离的行进速度），以大于速度增大比率的比率增大。但这二种假设似乎是不合理的。粗糙而流动着的部分若不受中心的吸引，必倾向于边缘。在本章开头，我虽然为了证明的方便，曾假设阻力正比于速度，但实际上，阻力与速度的比很可能小于这一比值；有鉴于此，涡旋各部分的周期将大于与到中心距离平方的比值。如果像某些人所设想的那样，涡旋在近中心处运动较快，在某一界限处较慢，而在近边缘处又较快，则不仅得不到次幂关系，也得不到其他任何确定的比值关系。还是让哲学家去考虑怎样由涡旋来说明次幂的现象吧。

命题53　定理41

为涡旋所带动的物体，若能在不变轨道上环绕，则其密度与涡旋相同，且其速度与运动方向遵从与涡旋各部分相同的规律。

如果设涡旋的一小部分是固着的，其粒子或物理点相互间维持既定的位置关系，则这些粒子仍按原先的规律运动，因为密度、惯性及形状都没有改变。又，如果涡旋的一个固着或固体部分的密度与其余部分相同，并被融化为流体，则该部分也仍遵从先前的规律，其变得有流动性的粒子间相互运动除外。所以，由于粒子间相互运动完全不影响整体运动，可以忽略不计，则整体的运动与原先相同。而这一运动，与涡旋中位于中心另一侧距离相等处的部分的运动相同；因为现融为流体的固体部分与该涡旋的另一部分完全相似。所以，如果一块固体的密度与涡旋物质相同，则与它所处的涡旋部分作相同运动，与包围着它的物质保持相对静止。如果它密度较大，则它比原先更倾向于离开中心；并将克服把它维系在其轨道上并保持平衡的涡旋力，离开中心，沿螺旋线运行，不再回到相同的轨道上。由相同的理由，如果它密度较小，则将趋向中心。所以，如果它与流体密度不同，则绝不可能沿不变轨道运动。而我们在此情形中，也已经证明它的运行规律与流体到涡旋中心距离相同或相等的部分相同。

推论Ⅰ．在涡旋中转动，并总是沿相同轨道运行的固体，与携带它运动的流体保持相对静止。

推论Ⅱ．如果涡旋是密度均匀的，则同一个物体可以在距涡旋中心任意远处转动。

附注

由此看来，行星的运动并非由物质涡旋所携带；因为，根据哥白尼的假设，行星沿椭圆绕太阳运行，太阳在其公共焦点上；由行星指向太阳的半径所掠过的面积正比于时间。但涡旋的各部分绝不可能做这样的运动。因为，令AD，BE，CF表示三个绕太阳S的轨道，其中最外的圆CF与太阳共心；令里面两圆的远日点为A，B；近日点为D，E。这样，沿轨道CF运动的物体，其伸向太阳的半径所掠过的面积正比于时间，做匀速运动。根据天文学规律，沿轨道BE运动的物体，在远日点B较慢，在近日点E较快；而根据力学规律，涡旋物质在A和C之间的较窄空间里的运动应当快于在D和F之间较宽的空间；即，在远日点较慢而在近日点较快。这两个结论是相互矛盾的。以火星的远日点室女座为起点标记，火星与金星轨道间的距离，比以双鱼座为起点标记的相同轨道间的距离，大约为3比2；因而这两个轨道之间的物质，在双鱼座起点处的速度应大于在室女座起点处，比值为3比2；因为在一次环绕中，相同的物质量在相同时间里所通过的空间越窄，则在该空间里的速度越大。所以，如果地球与携带它运转的天体物质是相对静止的，并共同绕太阳转动，则地球在双鱼座起点处的速度比在室女座起点处的速度，也应为3比2。所以太阳的周日运动，在室女座起点处应长于70分钟，在双鱼座的起点处则应短于48分钟；然而，经验观测结果正相反，太阳在双鱼座起点的运动却快于在室女座起点；所以地球在室女座起点的运动快于在双鱼座起点的运动；这使得涡旋假说与天文现象严重对立，非但无助于解释天体运动，反而把事情弄糟。这些运动究竟是怎样在没有涡旋的自由空间中进行的，可以在第一编中找到解答；我将在下一编中对此作进一步论述。

第三编
宇宙体系
（使用数学的论述）

· Book Three System of the World ·

在前两编中，我已奠定了哲学的基本原理；这些原理不是哲学的，而是数学的：即，由此可以在哲学探索中进行推理——它们似乎是哲学的主要依靠；诸如物体的密度和阻力，完全没有物体的空间，以及光和声音的运动等等——现在，我要由同样的原理来证明宇宙体系的结构。

伦敦圣保罗教堂

在前两编中，我已奠定了哲学的基本原理；这些原理不是哲学的，而是数学的：即，由此可以在哲学探索中进行推理。这些原理是某些运动和力的定律和条件，这些运动和力主要是与哲学有关的；为不使它们流于枯燥贫乏，我还曾不时引入哲学附注加以说明，指出某些事物具有普适特性，它们似乎是哲学的主要依靠；诸如物体的密度和阻力，完全没有物体的空间，以及光和声音的运动等等。现在，我要由同样的原理来证明宇宙体系的结构。为使这一课题能为更多人所了解，我的确曾使用通俗的方法来写这第三编；但后来，考虑到未很好掌握这些原理的人可能不容易认识有关结论的意义，也无法排除沿袭多年的偏见，所以，为避免由这些说明引发争论，我采取了把本编内容纳入命题形式（数学方式的）的办法，读者必须首先掌握了前两编中提出的原理，才能阅读本编；我并不主张所有人都把前两编中的命题逐条研习；因为它们为数过多太费时间，甚至对于通晓数学的人而言也是如此，如果读者仔细读过定义，运动定律和第一编的前三章，即已足够。他可以直接阅读本编，至于在本编中引述的前两编中的其他命题，读者在遇到时需随时查阅。

哲学中的推理规则

规则Ⅰ

寻求自然事物的原因，不得超出真实和足以解释其现象者。

为达此目的，哲学家们说，自然不做徒劳的事，解释多了白费口舌，言简意赅才见真谛；因为自然喜欢简单性，不会响应于多余原因的侈谈。

规则Ⅱ

因此对于相同的自然现象，必须尽可能地寻求相同的原因。

例如人与野兽的呼吸；欧洲与美洲的石头下落；炊事用火的光亮与阳光；地球反光与行星反光。

规则Ⅲ

物体的特性，若其程度既不能增加也不能减少，且在实验所及范围内为所有物体所共有；则应视为一切物体的普遍属性。

因为，物体的特性只能通过实验为我们所了解，我们认为是普适的属性只能是实验上普适的；只能是既不会减少又绝不会消失的。我们当然不会因为梦幻和凭空臆想而放弃实验证据；也不会背弃自然的相似性，这种相似性应是简单的，首尾一致的。我们无法逾越感官而了解物体的广延，也无法由此而深入物体内部；但是，因为我们假设所有物体的广延是可感知的，所以也把这一属性普遍地赋予所有物体。我们由经验知道许多物体是硬的；而全体的硬度是由部分的硬度所产生的，所以我们恰当地推断，不仅我们感知的物体的粒子是硬的，而且所有其他粒子都是硬的。说所有物体都是不可穿透的，这不是推理而来的结论，而是感知的。我们发现拿着的物体是不可穿透的，由此推断出不可穿透性是一切物体的普遍性质。说所有物体都能运动，并赋予它们在运动时或静止时具有某种保持其状态的能力（我们称之为惯性），只不过是由我们曾见到过的物体中所发现的类似特性而推断出来的。全体的广延、硬度、不可穿透性、可运动性和惯性，都是由部分的广延、硬度、不可穿透性、可运动性和惯性所造成的；因而我们推断所有物体的最小粒子也都具有广延、硬度、不可穿透性、可运动性，并赋予它们以惯性性质。这是一切哲学的基础。此外，物体分离的但又相邻接的粒子可以相互分开，是观测事实；在未被分开的粒子内，我们的思维能区分出更小的部分，正如数学所证明的那样。但如此区分开的，以及未被分开的部分，能否确实由自然力分割并加以分离，我们尚不得而知。然而，只要有哪怕是一例实验证明，由坚硬的物体上取下的任何未分开的小粒子被分割开来了，我们就可以沿用本规则得出结论，已分开的和未分开的粒子实际上都可以分割为无限小。最后，如果实验和天文观测普遍发现，地球附近的物体都被吸引向地球，吸引力正比于物体所各自包含的物质；月球也根据其物质量被吸引向地球；而另一方面，我们的海洋被吸引向月球；所有的行星相互吸引；彗星以类似方式被吸引向太阳；则我们必须沿用本规则赋予一切物体以普遍相互吸引的原理。因为一切物体的普遍吸引是由现象得到的结论，它比物体的不可穿透性显得有说服力；后者在天体活动范围内无法由实验或任何别的观测手段加以验证。我肯定重力不是物体的基本属性；我说到固有的力时，只是指它们的惯性。这才是不会变更的。物体的重力会随其远离地球而减小。

规则Ⅳ

在实验哲学中，我们必须将由现象所归纳出的命题视为完全正确的或基本正确的，而不管想像所可能得到的与之相反的种种假说，直到出现了其他的或可排除这些命题、或可使之变得更加精确的现象之时。

我们必须遵守这一规则，使不脱离假说归纳出的结论。

现象

现象Ⅰ

木星的卫星，由其伸向木星中心的半径所掠过的面积，正比于运行时间；设恒星静止不动，则它们的周期时间正比于到其中心距离的次幂。

这是天文观测事实。因为这些卫星的轨道虽然不是与木星共心的圆，但却相差无几；它们在这些圆上的运动是均匀的。所有天文学家都公认木卫星的周期时间正比于其轨道半径；下表也证实了这一点。

木星卫星的周期

1天18小时27分34秒，3天13小时13分42秒，7天3小时42分36秒，16天16小时32分9秒。

庞德先生曾使用最精确的千分仪按下述方法测出木星直径及其卫星的距角。他用15英尺长的望远镜中的千分仪，在木星到地球的平均距离上，测出木卫四到木星的最大距角为大约8′16″。

木卫三的距角用123英尺长望远镜中的千分仪测出，在木星到地球的同一个距离上，该距角为4′42″。在木星到地球的同一个距离上，由其周期时间推算出另两个卫星的距角为和。

卫星到木星中心的距离

① Borelli（1608—1679），意大利天文学家，生理学家，数学家，最先提出彗星沿抛物线运动（1665）。——译者注。

② Townly；Richard（1625—1707），英国自然哲学家，曾对千分仪做出重大改进。——译者注。

③ Cassimi，G．D．（1625—1712），法国天文学家，为巴黎天文台首任台长。——译者注。

木星的直径由123英尺望远镜的千分仪测量过多次，在木星到地球的平均距离上，它总是小于40″，但从未小于38″，一般为39″。在较短的望远镜内为40″或41″；因为木星的光由于光线折射率的不同而略有扩散，该扩散与木星直径的比，在较长较完善的望远镜中较小，而在较短性能差些的镜中较大。还用长望远镜观测过木卫一和木卫三两星通过木星星体时间，从初切开始到终切开始，以及从初切结束到终切结束。由木卫一通过木星来看，在其到地球的平均距离上，木星直径为，而由木卫三则给出。还观测过木卫一的阴影通过木星的时间，由此得出木星在其到地球的平均距离上直径为约37″。我们设木星直径极为近似于，则木卫一、木卫二、木卫三和木卫四的距角分别为木星半径的5.965，9.494，15.141，和26.63。

现象Ⅱ

土星卫星伸向土星中心的半径，所掠过的面积正比于运行时间；设恒星静止不动，则它们的周期时间正比于它们到土星中心距离的次幂。

因为，正如卡西尼由其本人的观测所推算的，卫星到土星中心的距离与它们的周期时间如下：

土星卫星的周期时间

1天21小时18分27秒，2天17小时41分22秒，4天12小时25分12秒，15天22小时41分14秒，79天7小时48分00秒。

卫星到土星中心的距离（按半径计算）

观测值

由周期推算值

一般由观测推算出土卫四到土星中心的最大距角非常近似于其半径的八倍。但用装在惠更斯先生精度极高的123英尺望远镜中的千分仪发现，该卫星到土星中心的最大距角为其半径的倍。由此观测与周期推算卫星到土星中心的距离为土星环半径的2.1，2.69，3.75，8.7和25.35倍。同一望远镜观测到土星直径比环直径等于3比7；1719年5月28—29日，测得土星环直径为43″；因此，当土星处于到地球的平均距离上时，环直径为42″，土星直径为18″。这些结果是在极长的高精度望远镜中测出的，因为在这样的望远镜中，天体的像与像边缘的光线扩散比值较大，因在较短的望远镜中该值较小。所以，如果排除所有的虚光，土星的直径将不大于16″。

现象Ⅲ

五个行星，水星、金星、火星、木星和土星，在其各自的轨道上环绕太阳运转。

水星与金星绕太阳运行，可以由它们像月球一样的盈亏证明。当它们呈满月状时，相对于我们而言高于或远于太阳；当它们呈亏状时，处于太阳的一侧或另一侧相同高度上；当它呈新月状时，则低于我们或在我们与太阳之间；有时它们直接处于太阳之下，看上去像通过太阳表面的斑点。火星在与太阳的会合点附近时呈满月状，在方照点时呈凸月状，这表明它绕太阳运转。木星和土星也同样绕太阳运动，它们出现于所有位置上；因为卫星的阴影时常出现在它们的表面上，这表明它们的光亮不是自己发出的，而是借自太阳。

现象Ⅳ

设恒星静止不动，则五个行星，以及地球环绕太阳（或太阳环绕地球）的周期，正比于它们到太阳平均距离的次幂。

这个比率最先由开普勒发现，现已为所有天文学家接受；因为无论是太阳绕地球转，还是地球绕太阳转，周期时间是不变的，轨道尺度也是不变的。至于周期时间的测量，所有天文学家都是一致的。但在轨道尺度方面，开普勒和波里奥⁽¹⁾的观测推算比所有其他天文学家都精确；对应于周期值的平均距离与它们的预期值不同，但相差无几，而且绝大部分介于它们之间；如下表所示。

行星和地球绕太阳运动周期时间，按天计算，太阳保持静止。

行星与地球到太阳的平均距离

水星与金星到太阳的距离是无可怀疑的；因为它们是由行星到太阳的距角推算出的；至于地球以外的行星的距离，有关的争论都已被木星卫星的交食所平息。因为通过交食可以确定木星投影的位置；由此即可求出木星的日心经度长度。再通过比较其日心经度长度与地心经度长度，即可求出其距离。

现象Ⅴ

行星伸向地球的半径，所掠过的面积不与时间成正比；但它们伸向太阳的半径所掠过的面积正比于运行时间。

因为相对于地球而言，它们有时顺行，有时驻留，有时逆行。但从太阳看上去，它们总是顺行的，其运动接近于匀速，也就是说，在近日点稍快，远日点稍慢，因而能保持掠过面积的相等性。这在天文学家中是人所共知的命题，尤其是可以由木星卫星的交食加以证明；前面已经指出，通过这些交食，可以确定木星的日心经度长度以及它到太阳的距离。

现象Ⅵ

月球伸向地球中心的半径所掠过的面积正比于运行时间。

这可以由将月球的视在运动与其直径相比较得出。月球的运动确实略受太阳作用的干扰，但误差小而且不明显，我在罗列诸现象时予以忽略。

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(1) Boulliau, Ismael（1605—1694），法国数学家、天文学家．——译者注。

命题

命题1　定理1

使木星卫星连续偏离直线运动，停留在适当轨道上向着木星而运动的力，反比于从这些卫星的处所到木星中心距离的平方。

本命题的前一部分由现象Ⅰ和第一编命题2或3证明；后一部分则由现象Ⅰ和第一编命题4推论Ⅵ证明。

环绕土星的卫星，可以由现象推知相同结论。

命题2　定理2

使行星连续偏离直线运动，停留在其适当轨道上向着太阳运动的力，反比于这些行星到太阳中心距离的平方。

本命题的前一部分可以由现象V和第一编命题2证明；后一部分可以由现象Ⅳ和第一编命题4推论Ⅵ证明。但该部分可以极高精度由远日点的静止加以证明；因为对距离的平方反比关系的极小偏差（由第一编命题45推论Ⅰ）都足以使每次环绕中的远日点产生明显运动，而在多次环绕则会产生巨大误差。

命题3　定理3

使月球停留在环绕地球轨道的力，反比于它到地球中心距离的平方。

本命题前一部分可以由现象Ⅵ和第一编命题2或3证明；后一部分则可由月球的远地点运动极慢证明；月球在每次环绕中远地点前移3°3′，可以忽略不计。因为（由第一编命题45推论Ⅰ），如果月球到地心距离比地球半径等于D比1，则导致该运动的力反比于，即，反比于D的幂，指教为；也就是说，略大于平方反比关系，但它接近平方反比关系比接近立方反比关系强倍。而由于这项增加是太阳作用引起的（以后将讨论），在此略去不计。太阳的作用把月球自地球吸引开，约正比于月球到地球的距离；因而（由第一编命题45推论Ⅱ）比月球的向心力等于2比357.45，或接近如此；即，等于1比。如果忽略如此之小的太阳力，则余下使月球停留在其轨道上的力，它反比于D²，如果像下一个命题中那样把该力与重力作对比，这一点即可得到更充分的说明。

推论．设月球向地球表面下落时，它受到的引力反比于其高度的平方增大，如果将使月球停留在其轨道上的平均向心力先按比例比，继之按地球半径的平方，比月球与地球中心的平均距离，增大，则可以得到月球处于地球表面上时的向心力。

命题4　定理4

月球吸引地球，这一重力使它连续偏离直线运动，停留在其轨道上。

月球在朔望点到地球的平均距离，以地球半径计，托勒密和大多数天文学家推算为59，凡德林（Vendelin）和惠更斯为60；哥白尼为；司特里特⁽¹⁾为；而第谷为。但是第谷以及所有引用他的折射表的人，都认为阳光和月光的折射（与光的本性不合）大于恒星光的折射，在地平面附近约大4或5分钟，这样使月球地平视差增大了相同数值，即，使整个视差增大了十二或十五分之一。纠正该项误差，即得到距离约为地球半径的倍，接近于其他人的数值。我们设在朔望点的平均距离为地球半径的60倍；设月球的一次环绕，参照恒星时间，为27天7小时43分，与天文学家的数值相同；地球周长为123,249,600巴黎尺，法国度量制。如果月球丧失其全部运动，受使其停留在轨道上的力（命题3推论）的作用而落向地球，一分钟时间内掠过的距离为巴黎尺。这可以由第一编命题36，或（等价地）由第一编命题4推论Ⅸ推算出来。因为月球在地球半径的60倍处一分钟所掠过的轨道弧长的正矢为约巴黎尺，或更准确地说为15尺1寸1分又。因此，由于月球被引向地球的力比于距离平方增加，当在地球表面上时，该力为其在轨道上的60·60倍，而在地表附近，物体以该力下落时，一分钟内掠过距离为巴黎尺；一秒钟所掠过的距离为尺；或精确地说，为15尺1寸1分又。使地球表面上物体下落的正是这个力；因为正如惠更斯先生所发现的，在巴黎的经度上，秒摆的摆长为3巴黎尺8分又。重物体在一秒钟内下落的距离比这种摆长的一半等于圆的周长比其直径的平方（惠更斯先生已经证明过），所以为15巴黎尺1寸1分又。所以，使月球停留在其轨道上的力，在月球落到地球表面上时，变为等于我们所看到的重力。所以（由规则1和2），使月球停留在其轨道上的力，与我们通常所称的重力完全相同；因为，如果重力是另一种不同的力，则落向地球的物体会受到这二种力的共同作用而使速度加倍，一秒钟内掠过的距离则应为巴黎尺，这与实验相冲突。

本推算以假设地球静止不动为基础；因为如果地球和月球都绕太阳运动，同时又绕它们的公共重心转动，则月球与地球中心间距离为地球半径的倍；这可以由第一编命题60推算出来。

附注

本命题的证明可用下述方法作更详尽的解释。设若干个月球绕地球运动，像木星或土星体系那样；这些月球的周期时间（按归纳理由）应与开普勒发现的行星运动规律相同；因而由本编命题1，它们的向心力应反比于到地球中心距离的平方。如果其中轨道最低的一个很小，且与地球如此接近，几乎碰到最高的山峰顶尖，则使它停留在其轨道上的力，接近等于地面物体在该山顶上的重量，并可以由上述计算求出。如果同一个小月球失去使之维系在轨道上的离心力，并不再继续向前运动，则它将落向地球；下落速度与重物体自同一座山顶部实际下落速度相同，因为使二者下落的作用力是相等的。如果使最低轨道上的月球下落的力与重力不同，而该月球又像山顶上的地面物体那样被吸引向地球，则它应以二倍速度下落，因为受到这二种力的共同作用。所以，由于这二种力，即重物体的重力和月球的向心力，都指向地球中心，相似而且相等，它们只能（由规则1和2）有一个相同的原因。所以，使月球停留在其轨道上的力正是我们通常所说的重力；否则该小月球处在山顶时或则没有重力，或则以重物体下落速度的二倍下落。

命题5　定理5

木星的卫星被吸引向木星；土星卫星被吸引向土星；各行星被吸引向太阳；这些重力使它们偏离直线运动，停留在曲线轨道上。

因为木星卫星绕木星的运动，土星卫星绕土星的运动，以及水星、金星与其他行星绕太阳的运动，与月球绕地球的运动是同一种类的现象；因而，由规则2，必须归于同一种类的原因；尤其是，业已证明这些环绕运动所依赖的力都是指向木星、土星和太阳中心的；以及，这些力随着远离木星、土星和太阳按相同比率减小，而按同样的规律，远离地球的物体，其重力也作同样的减小。

推论Ⅰ．有一种重力作用指向所有行星和卫星；因为，毫无疑问，金星、水星，以及其他星球，与木星和土星都是同一类星体。而由于所有的吸引（由定律Ⅲ）都是相互的，木星也为其所有卫星所吸引，土星为其所有卫星所吸引，地球为月球所吸引，太阳也为其所有的行星所吸引。

推论Ⅱ．指向任意一颗行星的重力反比于由该处所到该行星中心距离的平方。

推论Ⅲ．由推论Ⅰ和Ⅱ，所有的行星相互间也吸引。因此，当木星和土星接近其交会点时，它们之间的相互作用会明显干扰对方的运动。所以太阳干扰月球的运动；太阳与月球都干扰海洋的运动，这将在以后解释。

附注

迄今为止，我们称使天体停留在其轨道上的力为向心力；但现已弄清，它不是别的，而是一种起吸引作用的力，此后我们即称为引力。因为根据规则1，2和4，使月球停留在其轨道上的向心力可以推广到所有行星和卫星。

命题6　定理6

所有物体都被吸引向每一个行星；物体对于任意一个行星的重量，在到该行星中心距离相等处，正比于物体各自所包含的物质的量。

很久以来，人们就已观测到，所有种类的重物体（除去空气的微小阻力造成的不等性和减速）从相同的高度落到地面的时间相等；而时间的相等性是由摆以很高精度测定的。我曾用金、银、铅、玻璃、沙子、食盐、木块、水和小麦做过实验。我用两只相等的圆形木盒，一只填充以木块，在另一只摆的摆动中心悬挂相同重量（尽可能地）的金。木盒所系的细绳都等于11英尺，使两只摆的重量与形状完全相同，受到的空气阻力也相等。把它们并排放在一起，长时间地观察它们同时往复的相等振动。因而（由第二编命题24推论Ⅰ和Ⅵ）金的物质量比木的物质量等于所有作用于金的运动力比所有作用于木的运动力；即，等于一个的重量比另一个的重量：对于其他物体也是如此。由这些相等重量的物体实验，我可以辨别出不到千分之一物质差别，如果有这种差别的话。然而，毫无疑问，指向行星的引力的特性与指向地球的相同，因为，如果设想把地球物体送入月球轨道，同时使月球失去其所有运动，然后使两者同时落向地球，则由以前所证明的可以肯定，在相同时间内物体掠过的距离与月球相等，因而，其与月球物质量的比，等于它们的重量比。还有，木星卫星的环绕时间正比于到木星中心距离的次幂，它们指向木星的加速引力反比于到木星中心的平方，即，距离相等时力也相等。所以，如果设这些卫星自相同高度落向木星，将像我们的地球物体那样，在相同时间内掠过相等距离。由相同理由，如果太阳行星自相同距离落向太阳，它们也应在相同时间内掠过相等距离。但不相等物体的相等加速力正比于物体：即是说，行星趋向太阳的重量正比于其物质的量。而且，木星及其卫星趋向太阳的重量正比于它们各自的物质量，这可以由木星卫星极为规则的运动（由第一编命题65推论Ⅲ）得到证明。因为，如果这些物体中的某几个按其物质量的比例受太阳的吸引比其他物体更强，则卫星运动会受到不相等吸引力的干扰（第二编命题65推论Ⅱ）。如果在到太阳相等距离处，任何卫星按其物质量的比例受太阳的吸引力的确大于木星所受的吸引力比其物质量，设为任意给定量d比e；则太阳中心与木卫星轨道中心间距将总是大于太阳中心与木星中心间距，约正比于上述比值的平方根，如我过去的计算那样。而如果卫星受太阳的吸引力偏小，偏小值为e比d，则卫星轨道中心到太阳的距离小于木星中心到太阳的距离，偏小值为同一比值的平方根。所以，如果在到太阳相等的距离处，任何卫星指向太阳的加速引力大于或小于木星指向太阳的加速引力的部分，则卫星轨道中心到太阳的距离将比木星到太阳距离大或小总距离的部分；即，为木星最远卫星到木星中心距离的1/5；这将使轨道的偏心变得非常明显。但卫星轨道与木星是共心的，因而木星的加速引力，以及其所有卫星指向太阳的加速引力是相等的。由相同理由，土星与其卫星指向太阳的重量，在到太阳距离相等处，正比于它们各自的物质量；月球与地球指向太阳的重量，也没有什么不同，精确地正比于它们所包含的物质质量。而按命题5推论Ⅰ和Ⅲ，它们必定有重量。

此外，每个行星所有部分指向任意其他行星的重量，其相互间的比等于各部分的物质的比；因为，如果某些部分的重量比其物质的量偏大或偏小，则整个行星将根据其所含主要成分的种类，重于或轻于它与总体的物质量的比例。这些部分在行星内部或外部是无关紧要的；因为，举例来说，设与我们在一起的地球物体被举高到月球轨道，并与月球物体作比较；如果这种物体的重量比月球以外部分的重量分别等于一个或另一个物质的量，而比其内部部分的重量则偏大或偏小，那么相类似地，这些物体的重量比整个月球的重量也将偏大或偏小；这与我们以上的证明相对立。

推论Ⅰ．物体的重量不取决它的形状和结构；因为如果重量随形状而改变，则相等的物质将会随形状的变化而变重或变轻；这与经验完全不合。

推论Ⅱ．一般地，地球附近的物体都受地球的吸引；在到地心相等距离处，所有物体的重量正比于各自包含的物质的量。这正是我们实验所及范围内所有物体的本性；因而（由规则3）也是所有物体的本性。如果以太，或任何其他物体，是完全没有重量的，或所受吸引小于其物质量，则，因为（根据亚里士多德，笛卡儿等人）这些物体与其他物体除物质形状以外并没有什么区别，通过一系列由形状到形状的变化，它最终可以变成与受吸引比其物质量最大的物体条件相同的物体；而反过来，获得其最初形状的最重的物体，也将可以逐渐失去其重量。因此，重量决定物体的形状，并且随形状的改变而改变：而这与业已证明的上一推论相矛盾。

推论Ⅲ．一切空间都不是被相等地占据着；因为如果所有空间都被相等地占据着，则在空气中流淌的流体，由于物体密度极大，其比重将不会小于水银、金或任何其他密度最大的物质的比重；因而，无论是金或其他任何物体，都不可能在空气中下落；因为，除非物体的比重大于流体比重，否则它是不会在流体中下落的。而如果在任何给定空间中的物质的量可以因稀释而减小，又何以阻止它减小到无限？

推论Ⅳ．如果所有物体的所有固体粒子密度相同，且不能不通过微孔而稀释，则虚空、空间，或真空必须得到承认。我所说的相同密度的物体，指其惯性比其体积相等者。

推论Ⅴ．引力的性质与磁力不同；因为磁力并不正比于被吸引的物质。某些物体受磁石吸引较强；另一些较弱；而大多数物体则完全不被磁石吸引。同一个物体的磁力可以增强或减弱；而且远离磁石时它不正比于距离的平方而是几乎正比于距离的立方减小，我这个判断得自较粗略的观察。

命题7　定理7

对于一切物体存在着一种引力，它正比于各物体所包含的物质的量。

我们以前已证明，所有行星相互间有吸引力；还证明过，当它们相互分离时，指向每个行星的引力反比于由各行星的处所到该行星距离的平方。因此（由第一编命题69及其推论）指向所有行星的引力正比于它们所包含的物质。

此外，任意一个行星A的所有部分都受到另一个行星B的吸引；其每一部分的引力比整体的引力等于该部分的物质比总体的物质；而（由定律Ⅲ）每个作用都有一个相等的反作用；因而反过来看，行星B也受到行星A所有部分的吸引；其指向任一部分的引力比指向总体的引力等于该部分的物质比总体的物质。

证毕。

推论Ⅰ．所以，指向任意一颗行星全体的引力由指向其各部分的引力复合而成。磁和电的吸引为我们提供了这方面的例子；因为指向总体的所有吸引力是由指向各部分的吸引力合成的。如果我们设想一颗较大的行星由许多较小的行星组合成球体而形成，则引力方面的情况也不难理解；因为在此很明显地整体的力必定是由各组成部分的力合成的。如果有人提出反驳，认为根据这一规律，地球上所有的物体必定都是相互吸引的，但却不曾在任何地方发现这种引力；我的回答是，因为指向这些物体的引力比指向整个地球的引力等于这些物体比整个地球，因而指向物体的引力必定远小于能为我们的感官所察觉的程度。

推论Ⅱ．指向任意物体的各个相同粒子的引力，反比于到这些粒子距离的平方；这可以由第一编命题74推论Ⅲ证明。

命题8　定理8

在两个相互吸引的球体内，如果到球心相等距离处的物质是相似的，则一个球相对于另一个球的重量反比于二球的距离的平方。

我在发现指向整个行星的引力由指向其各部分的引力复合而成，而且指向其各部分的引力反比于到该部分距离的平方之后，仍不能肯定，在合力由如此之多的分力组成的情况下，究竟距离的平方反比关系是精确成立，还是近似如此；因为有可能这一在较大距离上足以精确成立的比例关系在行星表面附近时会失效，在该处粒子间距离是不相等，而且位置也不相似。但借助于第一编命题75和76及其推论，我最终满意地证明了本命题的真实性，如我们现在所看到的。

推论Ⅰ．由此我们可以求出并比较各物体相对于不同行星的重量；因为沿圆轨道绕行星转动的物体的重量（由第一编命题4推论Ⅱ）正比于轨道直径反比于周期的平方；而它们在行星表面，或在距行星中心任意远处的重量（由本命题）将正比于距离的平方而变大或变小。金星绕太阳运动周期为224天小时；木卫四绕木星周期为16天小时；惠更斯卫星绕土星周期为15天小时；而月球绕地球周期为27天7小时43分；将金星到太阳的平均距离与木卫四到木星中心的最大距角，8′16″；惠更斯卫星到土星中心距角，3′4″；以及月球到地球距角10′33″作一比较，通过计算，我发现相等物体在到太阳、木星、土星和地球的中心相等距离处，其重量之间的比分别等于和。因为随着距离的增大或减小，重量按平方关系减小或增大，相等的物体相对于太阳、木星、土星和地球的重量，在到它们的中心距离为10,000；997；791和109时，即物体刚好在它们的表面上时，分别正比于10,000；943；529和435。这一重量在月球表面上为多少，将在以后求出。

推论Ⅱ．用类似方法可以求出各行星物质的量；因为它们的物质的量在到其中心距离相等处正比于引力；即，在太阳、木星、土星和地球上，分别正比于和。如果太阳视差大于或小于，则地球的物质量必定正比于该比值的立方增大或减小。

推论Ⅲ．我们也可以求出行星的密度；因为（由第一编命题72）相等且相似的物体相对于相似球体的重量，在该球体表面上，正比于球体直径；因而相似球体的密度正比于该重量除以球直径。而太阳、木星、土星和地球直径相互间的比为10,000；997；791和109；指向它们的重量比分别为10,000；943；529和435；所以，它们的密度比为和400。在此计算中，地球密度并不取决于太阳视差，而是由月球视差求出的，因此是可靠的。所以，太阳密度略大于木星，木星大于土星，而地球密度是太阳的四倍；因为太阳很热，处于一种稀薄状态。以后将会看到，月球密度大于地球。

推论Ⅳ．其他条件不变时，行星越小，其密度即按比率越大；因为这样可以使它们各自的表面引力近于相等。类似地，在其他条件相同时，它们距太阳越近，密度越大，所以木星密度大于土星，而地球大于木星；因为各行星被分置于到太阳不同距离处，使得它们按其密度的程度，享受太阳热量的较大或较小比例。地面上的水，如果送到土星轨道的地方，则会变为冰，而在水星轨道处，则会变为蒸汽而飞散；因为正比于太阳热的阳光，在水星轨道处是我们的七倍，我曾用温度计发现，七倍于夏日阳光的热会使水沸腾。毋庸置疑，水星物质必定适应其热度，因此其密度大于地球物质；这是由于对于较密的物质，自然的作用需要更强的热。

命题9　定理9

在行星表面以下，引力近似正比于到行星中心的距离减小。

如果行星由均匀密度物质构成，则本命题精确成立（由第一编命题73）。因此，其误差不会大于密度均差所产生的误差。

命题10　定理10

行星在天空中的运动将持续极长的时间。

在第二编命题40的附注中，我曾证明冻结成冰的水球，在空气中自由运动时，掠过其半径的长度时空气阻力使其失去总运动的部分；同样的比率适用于所有球，不论它有多大，速度多快。但地球的密度比它仅由水组成要大得多，我的证明如下。如果地球只是由水组成的，则凡是密度小于水的物体，因其比重较小，将漂浮在水面上。根据这一理由，如果一个由地球物质组成的球体四周为水所包围，则由于它的密度小于水，将会在某处漂浮起来，而水则下沉聚集到相反的一侧。而我们地球的状况是，其表面很大部分为海洋所包围。如果地球密度不大于水，则应在海洋中漂浮起来，并根据它稀疏的程度，在洋面上或多或少地露出，而海洋中的水则流向相反的一侧。由同样的理由，太阳的黑斑，漂浮在发光物质的上面，轻于这种物质；而不论行星是如何构成的，只要它是流体物质，所有更重的物质都将沉入中心。所以，由于我们地球表面上的普通物质为水的重量的二倍，在较深处的矿井中，物质约重三倍，或四倍，甚至五倍，所以，地球总物质量约比它由水构成时重五倍或六倍；尤其是，我已证明过，地球密度约比木星大四倍。所以，如果木星密度比水略大，则在30天里，在木星掠过459个半径长度的空间内，它在与空气密度相同的介质中约失去其运动的1/10部分。但由于介质阻力正比于其重量或密度减小，使得比水银轻倍的水其阻力也比水银小相同倍数；而空气又比水轻860倍，其阻力也小同样多倍；所以在天空中，由于行星于其中运动的介质的重量极小，其阻力几乎为零。

在第二编命题22的附注中，曾证明在地面以上200英里高处，空气密度比地面空气密度小，其比值为30比0.0000000000003998，或近似等于75,000,000,000,000比1，所以如果木星在密度等于该上层空气密度的介质中运动，则100万年中，介质阻力只使它失去百万分之一部分的运动。在地球附近的空间中，阻力只由空气、薄雾和蒸气产生。如果用装在容器底部的空气泵仔细地抽去，则在容器内下落的重物体是完全自由的，没有任何可察觉的阻力：金与最轻的物体同时下落，速度是相等的；虽然它们通过的空间长达4、6或8英尺，却在同时到达瓶底；实验证明了这一点。所以，在天空中完全没有空气和雾气，行星和彗星在这样的空间中不受明显的阻力作用，将在其中运动极长的时间。

假设1

宇宙体系的中心是不动的。

所有人都承认这一点。只不过有些人认为是地球，而另一些认为是太阳处于这个中心。让我们来看看由此会导致什么结果。

命题11　定理11

地球、太阳以及所有行星的公共重心是不动的。

因为（由运动定律推论Ⅳ）该重心或是静止的，或做匀速直线运动；而如果该重心是运动的，则宇宙的重心也运动，这与假设相矛盾。

命题12　定理12

太阳受到一个连续运动的推动，但从来不会远离所有行星的公共重心。

因为（由命题8推论Ⅱ）太阳的物质量比木星的物质量等于1067比1；木星到太阳的距离比太阳半径略大于该比率，所以木星与太阳的共同重心将落在位于太阳表面以内的一点上。由同样理由，由于太阳物质量比土星物质量等于3021比1，土星到太阳的距离比太阳半径略小于该比率，所以土星与太阳的公共重心位于太阳内略靠近表面的一点上。应用相同的计算原理，我们会发现，即使地球与所有的行星都位于太阳的同侧，全体的公共重心到太阳中心的距离也很难超出太阳直径。而在其他情形中，这两个中心间距总是更小；所以，由于该重心保持静止，太阳会因为行星的不同位置而游移不定，但决不会远离该重心。

推论．因此，地球、太阳以及所有行星的公共重心，可以看做是宇宙的中心；因为地球、太阳和所有的行星相互吸引，因而像运动定律所说的那样，根据各自吸引力的大小而持续地相互推动，不难理解，它们的运动中心不能看做是宇宙的静止中心。如果把某物体置于该中心，能使其他物体受它的吸引最大（根据常识），则优先权非太阳莫属；但因为太阳本身也在运动，固定点只能选在太阳中心相距最近处，而且当太阳密度和体积变大时，该距离会变得更小，因而使太阳运动更小。

命题13　定理13

行星沿椭圆轨道运动，其公共焦点位于太阳中心，而且，伸向该中心的半径所掠过的面积正比于运行时间。

我们以前在现象一节中已讨论过这些运动。我们既已知道这些运动所依据的原理，就由这些原理推算天空中的运动。因为行星相对于太阳的重量反比于它们到太阳中心距离的平方，如果太阳静止，各行星间无相互作用，则行星轨道为椭圆，太阳在其一个焦点上；由第一编命题1和11，以及命题13推论Ⅰ知，它们掠过的面积正比于运行时间。但行星之间的相互作用如此之小，可以加以忽略；而由第一编命题66，这种相互作用对行星绕运动着的太阳运动的干扰，小于假设太阳处于静止时所造成的影响。

实际上，木星对土星的作用不能忽略；因为指向木星的引力比指向太阳的引力（在相等距离处，命题8推论Ⅱ）等于1比1067；因而在木星和土星的交会点，因为土星到木星的距离比土星到太阳的距离约等于4比9，土星指向木星的引力比土星指向太阳的引力等于81比16·1067；或约等于1比211。由此而在土星与木星交会点产生的土星轨道摄动是如此明显，令天文学家们迷惑不解。由于土星在交会点的位置的变化，它的轨道偏心率有时增大，有时减小；它的远日点有时顺行，有时逆行，而且其平均运动交替地加速和放慢；然而它绕太阳运动的总误差，虽然是由如此之大的力产生的，却几乎可以通过把它的轨道的低焦点置于木星与太阳的公共重心（根据第一编命题67）上而完全避免（平均运动除外），所以该误差在最大时很少超过2分钟；而平均运动中，最大误差则很少超过每年2分钟。但在木星与土星交会点处，太阳指向土星，木星指向土星，以及木星指向太阳的加速引力，相互间的比约16，81和，或156,609；因而太阳指向土星与木星指向土星的引力差，比木星指向太阳的引力约为65比156,609，或为1比2409。但土星干扰木星运动的最大能力正比于这个差；所以木星轨道的摄动远小于土星。其指行星的轨道，除了地球轨道受月球的明显干扰外，其摄动都远小得多。地球与月球的公共重心沿以太阳为焦点的椭圆运动，其所向太阳的半径所掠过的面积正比于运动时间。而地球又绕该重心作每月一周的运动。

命题14　定理14

行星轨道的远日点和交点是不动的。

远日点不动可以由第一编命题11证明；轨道平面不动可以由第一编命题1证明。如果轨道平面是固定的，其交点必定也是固定的。实际上行星与彗星在环绕运动中的相互作用会造成移动，但它们极小，在此可以不予考虑。

推论Ⅰ．恒星是不动的，因为观测表明它们与行星的远日点和轨道交点保持不变位置。

推论Ⅱ．由于在地球年运动中看不到恒星的视差，它们必由于相距极远而不对我们的宇宙产生任何明显的作用。更不用说恒星无处不在地分布于整个天空，由第一编命题70知，它们的反向吸引作用抵消了相互作用。

附注

由于接近太阳的行星（即水星、金星、地球和火星）如此之小，致使相互间的作用力很小，因而它们的远日点和交点必定是固定的，除非受到木星和土星以及更远物体作用的干扰。由此我们可以用引力理论求得，行星远日点相对恒星的微小前移，它正比于各行星到太阳距离的次幂。这样，如果火星的远日点在100年时间里相对于恒星前移33′20″，则地球、金星和水星的远日点在100年里分别前移17′40″，10′53″和4′16″。由于这些运动很不明显，所以在本命题中加以忽略了。

命题15　问题1

求行星轨道的主径。

由第一编命题15，它们正比于周期的次幂，而根据该编命题60，它们各自按太阳与行星物质量的和的三次方根与太阳质量的三次方根的比而增大。

命题16　问题2

求行星轨道的偏心率和远日点。

本问题可以由第一编命题18求解。

命题17　定理15

行星的周日运动是均匀的，月球的天平动是由这种周日运动产生的。

本命题可以由第一运动定律和第一编命题66推论ⅩⅫ证明。在现象一节中已指出，木星相对于恒星的转动为9小时56分，火星为24小时39分，金星约为23小时，地球为23小时56分，太阳为天，月球为27天7小时43分。太阳表面黑斑回到日面相同位置的时间，相对于地球为天；所以相对于恒星太阳自转需。但因为由月球均匀自转而产生的太阳日长达一个月，即，等于它在轨道上环绕一周的时间，所以月球朝向轨道上焦点的面几乎总是相同的；但随着该焦点位置的变化，该面也朝一侧或另一侧偏向处于低焦点的地球，这就是月球的经度天平动；而纬度天平动是由月球纬度以及自转轴对黄道平面的倾斜所引起的。这一月球天平动理论，N. 默卡特⁽²⁾先生在1676年初出版的《天文学》一书中，已根据我写给他的信作了详尽阐述。土星最外层的卫星似乎也与月球一样地自转，总是以相同的一面朝向土星；因为它在环绕土星运动中，每当接近轨道东部时，即很难发现，并逐渐完全消失；正如M. 卡西尼所注意到的那样，这可能是由于此时朝向地球的一面上有些黑斑所致。木星最远的卫星似乎也作类似的运动，因为在它背向木星的一面上有一个黑斑，而每当该卫星在木星与我们眼睛之间通过时，它看上去总是像在木星上似的。

命题18　定理16

行星的轴小于与该轴垂直的直径。

行星各部分相等的引力，如果不使它产生自转，则必使它成为球形。自转运动使远离轴的部分在赤道附近隆起；如果行星物质处于流体状态，则这种向赤道的隆起使那里的直径增大，并使指向两极的轴缩短。所以木星直径（根据天文学家们公认的观测）在两极方向小于东西方向。由同样理由，如果地球在赤道附近不高于两极，则海洋将在两极附近下沉，而在赤道隆起，并将那里的一切置于水下。

命题19　问题3

求行星的轴与垂直于该轴的直径的比例。

1635年，我们的同胞，诺伍德⁽³⁾先生测出伦敦与约克（York）之间的距离为905,751英尺，纬度差为2°28′，求出一度长为367,196英尺，即，57,300巴黎托瓦兹。⁽⁴⁾M. 皮卡德⁽⁵⁾测出亚眠（Amien）与马尔瓦新（Malvoisine）之间的子午线弧为22′55″，推算出每度弧长为57,060巴黎托瓦兹。老M. 卡西尼测出罗西隆（Roussillon）的科里乌尔（Collioure）镇到巴黎天文台之间的子午线距离；他的儿子把这一距离由天文台延长到敦刻尔克的西塔德尔（Citadel of Dunkirk）。总距离为托瓦兹，科里乌尔与敦刻尔克之间的纬度差为。因此每度弧长为57,061巴黎托瓦兹。由这些测量可以得出地球周长为123,249,600，半径为19,615,800巴黎尺，假设地球为球形。

在巴黎的纬度上，前面已说过，重物体一秒时间内下落距离为15巴黎尺1寸分，即分。物体的重量会由于周围空气的重量而变轻。设由此损失的重量占总重量的部分；则该重物体在真空中下落时一秒钟内掠过2174分。

在长为23小时56分4秒的恒星日中，物体在距中心19,615,800尺处作匀速圆周运动，每秒钟掠过弧长1433.6尺；其正矢为0.05236516尺，或7.54064分。所以，在巴黎纬度上，使物体下落的力比物体在赤道上由于地球周日运动而产生的离心力等于2174比7.54064。

物体在赤道的离心力比在巴黎48°50′10″的纬度上使物体沿直线离开的力，等于半径与该纬度的余弦的比的平方，即等于7.54064比3.267。把这个力迭加到在巴黎纬度使物体由其重量而下落的力上，则在该纬度上，物体受未减小的引力作用而下落，一秒钟将掠过2177.267分，或15巴黎尺1寸又5.267分。在该纬度上的总引力比物体在地球赤道处的离心力等于2177.269比7.54064，或等于289比1。

所以，如果APBQ表示地球形状，它不再是球形的，而是由绕短轴PQ的转动而形成椭球；ACQqca表示注满水的管道，由极点Qq经过中心Cc通向赤道Aa；则在管道的ACca段中水的重量比在另一段QCcq中水的重量等于289比288，因为自转运动产生的离心力维持并抵消了部分的重量（在—段之中），另外288份的水维持着其余重量。通过计算（由第一编命题91推论Ⅱ），我发现，如果地球物质都是均匀的，而且没有运动，其轴PQ比直径AB等于100比101，处所Q指向地球的引力比同一处所Q指向以PC或QC为半径，以C为球心的球体的重力，等于126比125。由相同理由，处所A指向由椭圆APBQ关于轴AB转动所形成的椭球的引力，比同一处所A指向半径为AC球心为C的球体的引力，等于125比126。而处所A指向地球的引力是指向该椭球体与指向该球体的引力的比例中项；因为，当球直径PQ按101比100的比例减小时，即变为地球的形状；而这样的形状，其垂直于两个直径AB和PQ的第三个直径也按相同比例减小，即变为所说的椭球形状；在这种情形中，A处的引力都按近似相同的比例减小。所以，A处指向球心为C半径为AC的球体的引力，比A处指向地球的引力，等于126比。而处所Q指向以C为球心以QC为半径的球体的引力，比处所A指向以C为球心，AC为半径的球体的引力，等于直径的比（由第一编命题72），即等于100比101。所以，如果把三个比例，126比125，126比，以及100比101连乘，即得到处所Q指向地球的引力比处所A指向地球的引力，等于126·126·100比；或等于501比500。

由于（第一编命题91推论Ⅲ）在管道的任意一段ACca或QCcq中，引力正比于由其处所到地球中心的距离，如果这二段由平行等距的横截面加以分割，生成的部分正比于总体，则在ACca段中任意一个部分的重量比另一段中相同数目的部分的重量，等于它们的大小乘以加速引力的比，即等于101比100乘以500比501，或等于505比501。所以，如果ACca段中每一部分的由自转产生的离心力，比相同部分的重量，等于4比505，使得在被分为505等份的每一部分的重量中，离心力可以抵消其中4份，则余下的重量在两段管道中保持相等，因而流体可以维持平衡而静止。但第一部分的离心力比同一部分的重量等于1比289；即，应占的离心力，实际中占。所以，我认为，由比例的规则，如果的离心力使得管道ACca段中水的高度比QCcq段中水的高度能高出其总高度的部分，则的离心力将只能使ACca段中水的高度比另一段QCcq中水的高度高出部分；所以地球在赤道的直径比它在两极的直径为230比229。由于根据皮卡德的测算，地球的平均直径为19,615,800巴黎尺，或3923.16英里（5000尺为一英里），所以地球在赤道处比在两极处高出85,472尺，或英里。其赤道处高约19,658600尺，而两极处约19,573,000尺。

如果在自转中密度与周期保持不变，则大于或小于地球的行星，其离心力比引力，进而两极直径比赤道直径，也都类似地保持不变。但如果自转运动以任何比例加快或减慢，则离心力近似地以同一比例的平方增大或减小；因而直径的差也非常近似地以同一比率的平方增大或减小。如果行星的密度以任何比例增大或减小，则指向它的引力也以同样比例增大或减小：相反的，直径的差正比于引力的增大而减小，正比于引力的减小而增大。所以，由于地球相对于恒星的自转时间为23小时56分，而木星为9小时56分，它们的周期平方比为29比5，密度比为400比，木星的直径差比其短直径为比1，或近似为1比。所以木星的东西直径比其两极直径约为比。所以，由于它的最大直径为37″，其两极间的最小直径为。加上大约3″的光线不规则折射，该行星的视在直径为40″和；相互间的比值极近似于比。在此，假定木星星体的密度是均匀的。但如果该行星在赤道附近的密度大于在两极附近的密度，其直径比可能为12比11，或13比12，也许为14比13。

1691年，卡西尼发现，木星的东西向直径约比另一直径大1/15部分。庞德先生在1719年用他的123英尺望远镜配以优良的千分仪，测得木星两种直径如下：

所以本理论与现象是一致的；因为该行星在赤道附近受太阳光线的加热较强，因而其密度比两极处略大。

此外，地球的自转会使引力减小，因而赤道处的隆起高于两极（设地球物质密度均匀），这可以由与下述命题相关的摆实验证实。

命题20　问题4

求地球上不同区域处物体的重量并加以比较。

因为在不等长管道段中的水ACQqca的重量相等；各部分的重量正比于整段的重量，且位置相似者，相互间重量比等于总重量比，因而它们的重量相等；在各段中位置相似的相等部分，其重量的比等于管道长的反比，即反比于230比229。这种情形适用于所有与管道中的水位置相似的均匀相等的物体。它们的重量反比于管长，即反比于物体到地心的距离。所以，如果物体置于管道最顶端，或置于地球表面上，则它们的重量的比等于它们到地心距离的反比。由同样理由，置于地球表面任意其他处所的物体，其重量反比于到地球中心的距离。所以，只要假设地球是椭球体，该比值即已给定。

由此即得到定理，由赤道移向两极的物体其重量增加近似正比于二倍纬度的正矢。或者，与之等价地，正比于纬度正弦的平方；而子午线上纬度弧长也大致按相同比例增大。所以，由于巴黎纬度为48°50′，赤道纬度为00°00′，两极纬度为90°；这些弧的二倍的正矢为11,334；00,000；和20,000，半径为10,000；极地引力比赤道引力为230比229；极地引力的出超比赤道引力等于1比229；巴黎纬度的引力出超比赤道引力为比229，或等于5667比2,290,000。所以，该处总引力比另一处总引力等于2,295,667比2,290,000。所以，由于时间相等的摆长正比于引力，在巴黎纬度上秒摆摆长为3巴黎尺又分，或考虑到空气的重量，为3尺又分，而在赤道，时间相同的摆长要短1.087分。用类似的计算可制成下表。

此表表明，每度子午线长的不均匀性极小，因而在地理学上可把地球形状视为球形；如果地球密度在赤道平面附近略大于两极处的话，则尤其如此。

今天，有些到遥远的国家做天文观测的天文学家发现，摆钟在赤道附近的确比在我们这里走得慢些。首先是在1672年，M·里歇尔⁽⁶⁾在凯恩岛（island of Cayenne）注意到了这一点；当时是8月份，他正观测恒星沿子午线的移动，他发现他的摆钟相对于太阳的平均运动每天慢2分28秒。于是他制作了一只时间为秒的单摆，用一只优良的钟校准，并测量该单摆的长度；在整整10个月里他坚持每星期测量。回到法国后，他把这只摆的长度与巴黎的摆长（长3巴黎尺又分）作了比较，发现它短了分。

后来，我们的朋友哈雷博士，约在1677年到达圣赫勒拿岛（island of St. Helena），他发现与伦敦制作相同的摆钟到那里后变慢了。他把摆杆缩短了寸，或分；为此，由于在摆杆底部的螺纹失效，他在螺母和摆锤之间垫了一只木圈。

嗣后，在1682年，法林（M. Varin）和德斯海斯（M. des Hayes）发现，在巴黎皇家天文台摆动为一秒的单摆长度，为3尺又分。而用相同的手段在戈雷岛（island of Goree）测量时，等时摆的长度为3尺又分，比前者短了二分。同一年里，他们又在瓜达罗普和马丁尼古岛（islands of Guadaloupe and Martinico）发现，在这些岛的等时摆长为3尺又分。

以后，小M. 库普莱（M. Couplet）在1697年7月，在巴黎皇家天文台把他的摆钟与太阳的平均运动校准，使之在相当长时间里与太阳运动吻合。次年11月，他到里斯本，发现他的钟在24小时里比原先慢2分13秒；再次年3月，他到达帕雷巴（Paraiba），发现他的钟比在巴黎，24小时里慢4分12秒；他断定在里斯本的秒摆要比巴黎短分，而在帕雷巴短分。如果他计算的差值为分和分的话，他的工作将更出色：因为这些差值才对应于时间差2分13秒和4分12秒，但这位先生的观测太粗糙了，使我们无法相信。

后来在1699年和1700年，M. 德斯海斯再次航行美洲，他发现在凯恩和格林纳达（Granada）岛秒摆略短于3尺又分；而在圣·克里斯托弗岛（island of St. Christopher）为3尺分；在圣·多明戈岛（island of St. Domingo）为3尺7分。

1704年，弗勒⁽⁷⁾在美洲的皮尔托·贝卢（Puerto Bello）发现，那里的秒摆仅为3巴黎尺又分，比在巴黎几乎短3分；但这次观测是失败的。因为他后来到达马丁尼古岛时，发现那里的等时摆长为3巴黎尺又分。

帕雷巴在南纬6°38′；皮尔托·贝卢为北纬9°33′；凯恩、戈雷、瓜达罗普、马丁尼古、格林那达、圣·克里斯托弗和圣·多明戈诸岛分别为北纬4°55′，14°40′，15°00′，14°44′，12°06′，17°19′和19°48′，巴黎秒摆的长度比在这些纬度上的等时摆所超出的长度略大于在上表中所求出的值。所以，地球在赤道处应略高于上述推算，地心处的密度应略大于地表，除非热带地区的热也许会使摆长增加。

因为，M. 皮卡德曾发现，在冬季冰冻天气下长1英尺的铁棒，放到火中加热后，长度变为1英尺又分。后来，M·德拉希尔发现在类似严冬季节长6英尺的铁棒放到夏季阳光下曝晒后伸长为6英尺又分。前一种情形中的热比后一种强，而在后一情形中也热于人体表面；因为在夏日阳光下曝晒的金属能获得相当可观的热度。但摆钟的杆从未受过夏日阳光的曝晒，也未获得过与人体表面相等的热；因而，虽然3尺长的摆钟杆在夏天的确会比冬天略长一些，但差别很难超过分。所以，在不同环境下等时摆钟摆长的差别不能解释为热的差别；法国天文学家并没有错。虽然他们的观测之间一致性并不理想，但其间的误差是可以忽略的；他们的一致之处在于，等时摆在赤道比在巴黎天文台短，差别不小于分，不大于分。M·里歇尔在凯恩岛给出的观测是，差为分。这一差值为M·德斯海斯的观测所纠正，变为分或。其他人精度较差的观测结果约为2分。这种不一致可能部分由于观测误差，部分则由于地球内部部分的不相似性，以及山峰的高度；还部分地来自空气温度的差异。

我用的一根3尺长的铁棒，在英格兰，冬天比夏天短六分之一。因为在赤道处酷热，从M·里歇尔的观测结果分中减去这个量，尚余分，这与我们先前在本理论中得到的符合极好。M·里歇尔在凯恩岛的实验在整整10个月里每周都重复，并把他所发现的摆长与记在铁棒上的在法国的长度相比较。这种勤勉与谨慎似乎正是其他观测者所缺乏的。我们如果采用这位先生的观测，则地球在赤道比在极地处高，差值约为17英里，这证实了上述理论。

命题21　定理17

二分点总是后移的，地轴通过公转运动中的章动，每年两次接近黄道，两次回到原先的位置。

本命题通过第一编命题66推论ⅩⅩ证明；而章动的运动必定极小，的确难以察觉。

命题22　定理18

月球的一切运动，及其运动的一切不相等性，都是以上述诸原理为原因的。

根据第一编命题65，较大行星在绕太阳运动的同时，可以使较小的卫星绕它们自己运动，这些较小的卫星必定沿椭圆运动，其焦点在较大行星的中心。但它们的运动受到太阳作用的若干种方式的干扰，并像月球那样使运动的相等性遭到破坏。月球（由第一编命题66推论Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ和Ⅴ）运动越快其伸向地球的半径同时所掠过的面积越大，则其轨道的弯曲越小，因而它在朔望点较在方照点距地球更近，除非这些效应受到偏心运动的阻碍；因为（由第一编命题66推论Ⅸ）当远地点位于朔望点时，偏心率最大，而在方照点时最小；因此月球在近地点的运动，在朔望点较在方照点运动更快，距我们更近，而在远地点的运动，在朔望点较在方照点运动更慢且距我们更远。此外，远地点是前移的，而交会点则是后移的；而这并不是由规则的，而是由不相等运动造成的。因为（由第一编命题66推论Ⅶ和Ⅷ）远地点在朔望点时前移较快，在方照点时后移较慢；这种顺行与逆行的差造成年度前移。而交会点情况相反（由第一编命题66推论Ⅺ），它在朔望点是静止的，在方照点后移最快。还有，月球的最大黄纬（由第一编命题66推论Ⅹ）在月球的方照点大于在朔望点。月球的平均运动在地球的近日点较在其远日点为慢。这些都是天文学家已注意到的（月球运动的）基本不相等性。

但还有一些不相等性不为上述天文学家所认同，它们对月球运动造成的干扰迄今我们尚无法纳入某种规律支配之下。因为月球远地点和交会点的速度或每小时的运动及其均差，以及在朔望点的最大偏心率与在方照点的最小偏心率的差，还有我们称之为变差的不相等性，是（由第一编命题66推论ⅩⅣ）在一年时间内正比于太阳的视在直径的立方而增减的。此外（由第一编引理10推论Ⅰ和Ⅱ，以及命题66推论ⅩⅥ）变差是近似地正比于在朔望之间的时间的平方而增减的。但在天文学计算中，这种不相等性一般都归入月球中心运动的均差之中。

命题23　问题5

由月球运动导出木星和土星卫星的不相等运动。

运用下述方法，可以运用第一编命题66推论ⅩⅥ，由月球运动推算出木星卫星的对应运动。木星最外层卫星交会点的平均运动比月球交会点的平均运动，等于地球绕日周期与木星绕日周期的比的平方，乘以木卫星绕木星的周期比月球绕地球的周期；所以，这些交会点在100年时间里后移或前移8°24′。由同一个推论，内层卫星交会点平均运动比外层卫星交会点的平均运动等于后者的周期比前者的周期，因而也可以求出。而每个卫星上回归点的前移运动比其交会点的后移运动等于月球远地点的运动比其交会点的运动（由同一推论），因而也可以求出，但由此求出的回归点运动必须按5比9或1比2减小，其原因我不能在此解释。每个卫星的交会点最大均差和上回归点的最大均差，分别比月球的交会点最大均差和远地点最大均差，等于在前一均差的环绕时间内卫星的交会点和上回归点的运动比在后一均差的环绕时间内，月球的交会点和远地点的运动。木星上看其卫星的变差比月球的变差，由同一推论，等于这些卫星和月球分别在环绕太阳（由离开到转回）期间的总运动的比；所以最外层卫星⁽⁸⁾的变差不会超过5.2秒。

命题24　定理19

海洋的涨潮和落潮是由于太阳和月球的作用引起的。

由第一编命题66推论ⅪⅩ或ⅩⅩ可知，海水在每天都涨落各二次，月球日与太阳日一样；而且在开阔而幽深的海洋里的海水应在日、月球到达当地子午线后6小时以内达到最大高度；地处法国与好望角之间的大西洋和埃塞俄比亚海东部海域就是如此；在南部海洋的智利和秘鲁沿岸也是如此；在这些海岸上涨潮约发生在第二、第三或第四小时，除非来自深海的潮水运动受到海湾浅滩的导引而流向某些特殊去处，延迟到第五、第六或第七小时，甚至更晚。我所说的小时是由日、月抵达当地子午线，或正好低于或高于地平线时起算的；月球日是月球通过其视在周日运动经过一天后再次回到当地子午线所需的时间，小时是该时间的1/24。日、月到达当地子午线时海洋涨潮力最大；但此时作用于海水的力会持续一段时间，并由于新的虽然较小的但仍作用于它的力的加入而不断增强。这使洋面越来越高，直到该力衰弱到再也无法举起它为止，此时洋面达到最大高度。这一过程也许要持续一或两小时，而在浅海沿岸，常会持续约3小时，甚至更久。

太阳和月球激起二种运动，它们没有明显区别，却在二者之间合成一个复合运动。在日、月的会合点或对冲点，它们的力合并在一起，形成最大的涨潮和退潮。在方照点，太阳举起月球的落潮，或使月球的涨潮退落，它们的力的差造成最小的潮。因为（如经验告诉我们的那样）月球的力大于太阳的力，水的最大高度约发生在第三个月球小时。除朔望点和方照点外，单独由月球力引起的最大潮应发生在第三个月球小时，而单独由太阳引起的最大潮应发生在第三个太阳小时，这二者的复合力引起的潮应发生在一个中间时间，且距第三个月球小时较近。所以，当月球由朔望点移向方照点时，在此期间第三个太阳小时领先于第三个月球小时，水的最大高度也先于第三个月球小时到达，并以最大间隔稍落后于月球的八分点；而当月球由方照点移向朔望点时，最大潮又以相同间隔落后于第三月球小时。这些情形发生于辽阔海面上；在河口处最大潮晚于海面的最大高度。

不过，太阳和月球的影响取决于它们到地球的距离；因为距离较近时影响较大，距离较远时影响较小，这种作用正比于它们视在直径的立方。所以在冬季时太阳位于近地点，其影响较大，且在朔望点时影响更大，而在方照点时则较夏季时影响为小；每个月里，当月球处于近地点时，它引起的海潮大于此前或此后15天位于远地点时的情形。由此可知两个最大的海潮并不接连发生于两个紧连着的朔望点之后。

类似地，太阳和月球的影响还取决于它们相对于赤道的倾斜或距离；因为，如果它们位于极地，则对水的所有部分吸引力不变，其作用没有涨落变化，也不会引起交替运动。所以当它们与赤道倾斜而趋向某一极点时，它们将逐渐失去其作用力，由此知它们在朔望点激起的海潮在夏至和冬至时小于春分和秋分时。但在二至方照点引起的潮大于在二分方照点；因为这时月球位于赤道，其作用力超出太阳最多。所以最大的海潮发生于这样的朔望点，最小的海潮发生于这样的方照点，它们与二分点差不多同时；经验也告诉我们，朔望大潮之后总是紧跟着一个方照小潮。但因太阳在冬季距地球较夏季为近，所以最大和最小的潮常常出现在春分之前而不是之后，秋分之后而不是之前。

此外，日月的影响还决定于纬度位置。令ApED表示覆盖着深水的地球；C为地心；P，p为两极；AE为赤道；F为赤道外任一点；Ff为平行于该点的直线；Dd为赤道另一侧的对称平行线；L为三小时前月球的位置；H为正对着L的地球上的点；h为反面对应点；K，R为90度处的距离；CH，Ch为海洋到地心的最大高度；CK，Ck为最小高度：如果以Hh，Kk为轴作椭圆，并使该椭圆绕其长轴Hh旋转形成椭球HPKhpk，则该椭球近似表达了海洋形状；而CF，Cf，CD，Cd则表示海洋在Ff，Dd处的高度。再者，在椭圆旋转时，任意点N画出圆NM与平行线Ff，Dd相交于任意处所R，T，与赤道AE相交于S；则CN表示位于该圆上所有点R，S，T上的海洋高度。所以，在任意点F的周日运动中，最大潮水发生于F，月球由地平线上升到子午线之后3小时；此后最大落潮发生于Q处，月球落下3小时后；然后最大潮水又出现在f，月球落下地平线到达子午线后3小时；最后，又是在Q处的最大落潮，发生于月球升起后的3小时；在f处的后一次大潮小于在F的前一次大潮。因为整个海洋可以分为二个半球形潮水，半球KHk在北半球，而Khk则在另一侧，我们不妨称之为北部海潮和南部海潮。这两个海潮总是相反的，以12个月球小时为间隔交替地到达所有地方的子午线。北部国家受北部海潮影响较大，南部国家受南部海潮影响较大，由此形成海洋潮汐，在日月升起和落下的赤道以外的所有地方交替地由大变小，又由小变大。最大的潮发生于月球斜向着当地的天顶，到达地平线以上子午线之后3小时之时；而当月球改变位置，斜向着赤道另一侧时，较大的潮也变为较小的潮。最大的潮差发生在2至6时；当月球上升的交会点在白羊座（Aries）第一星附近时尤其如此。所以经验告诉我们冬季的朝潮大于晚潮，而在夏季时晚潮大于朝潮；科勒普赖斯（Colepress）和斯多尔米（Sturmy）曾观察到，在普利茅斯（Plymouth）这种高差为1英尺，而在布里斯托（Bristol）为15英寸。

但以上所讨论的海潮运动会因交互作用力而发生某种改变，水一旦发生运动，其惯性会使这种运动持续一小段时间。因而，虽然天体的作用已经消失，但海潮还能持续一段时间。这种保持压缩运动的能力减小了交替的潮差，使紧随着朔望大潮的海潮变大，也使方照小潮之后的小潮变小。因此，普利茅斯和布里斯托的交替海潮差不至于超过1英尺或15英寸，而且这两个港口的最大潮不是发生在朔望后的第一天，而是在第三天。此外，由于潮水运动在浅水海峡中受到阻碍，使得某些海峡和河口处的最大潮发生于朔望后的第四或第五天。

还有这种情况，来自海洋的潮通过不同海峡到达同一港口，而且通过某些海峡的速度快于通过其他海峡；在这种情形中，同一个海潮分为两个或更多相继而至的潮水，并复合为一种不同类型的新的运动。设两股相等的潮水自不同处所涌向同一港口，一个比另一个晚6小时；设第一股水发生于月球到达该港口子午线后第三小时。如果月球到达该子午线时正好在赤道上，则该处每6小时交替出现相等的潮，它们与同样多的相等落潮相遇，结果相互间保持平衡，这一天的水面平静安宁。如果随后月球斜向着赤道，则海洋中的潮如上所述交替地时大时小；这时，两股较大，两股较小的潮水将先后交替地涌向港口，两股较大的潮水将使水在介于它们中间的时刻达到最大高度；而在大潮与小潮的中间时刻，水面达到一平均高度，在两股小潮中间时刻水面只升到最低高度。这样，在24小时里，水面只像通常所见到的那样，不是两次，而只是一次达到最大高度，一次达到最低高度；而且，如果月球斜向着上极点，则最大潮位发生于月球到达子午线后第六或第30小时；当月球改变其倾角时，即转为落潮。哈雷博士曾根据位于北纬20°50′的敦昆王国（Kingdom of Tunquin）巴特绍港（port of Batshow）水手的观察，为我们提供了一个这样的例子。在这个港口，在月球通过赤道之后的一天内，水面是平静的；当月球斜向北方时，潮水开始涨落，而且不像在其他港口那样一天两次，而是每天只有一次；涨潮发生于月落时刻，而退潮则在月亮升起时。这种海潮随着月球的倾斜而增强，直到第七或第八天；随后的七或八天则按增强的比率逐渐减弱，在月球改变斜度，越过赤道向南时消失。此后潮水立即转为退潮；落潮发生在月落时刻，而涨潮则在月升时刻；直到月球再次通过赤道改变其倾斜。有两条海湾通向该港口和邻近水路，一条来自中国海（seas of China），介于大陆与吕卡尼亚岛（island of Leuconia）之间；另一条则来自印度洋（Indian Sea），介于大陆与波尔诺岛（island of Borneo）之间。但是否真的二股潮水通过这二条海湾而来，一条在12小时内由印度洋而来，另一条在6小时内由中国海而来，使得在第三和第九月球小时汇合在一起，产生这种运动；或者，还是由于这些海洋的其他条件造成的，我留待邻近海岸的人们去观测判断。

这样，我已解释了月球运动与海洋运动的原因。现在可以考虑与这些运动的量有关的问题了。

命题25　问题6

求太阳干扰月球运动的力。

设S表示太阳，T表示地球，P表示月球，CADB为月球轨道。在SP上取SK等于ST；令SL比SK等于SK与SP的比的平方：作LM平行于PT；如果设ST或SK表示地球向着太阳的加速引力，则SL表示月球向着太阳的加速引力。但这个力是由SM和LM二部分合成的，其中SM部分由TM表示，它干扰月球运动，正如我们曾在第一编命题66及其推论所证明过的那样。由于地球和月球是绕它们的公共重心转动的，地球绕该中心的运动也受到类似力的干扰；但我们可以把这二个力的和与这两种运动的和当做发生于月球上来考虑，以线段TM和ML表示力的和，它与这二者都相似。力ML（其平均大小）比使月球在距离PT处沿其轨道绕静止地球运动的向心力，等于月球绕地球运动周期与地球绕太阳运动周期的比的平方（由第一编命题66推论ⅩⅦ）；即，等于27天7小时43分比365天6小时9分的平方，或等于1000比178725；或等于1比。但在该编命题4中我们曾知道，如果地球和月球绕其公共重心运动，则其中一个到另一个的平均距离约为个地球平均半径；而使月球在距地球个地球半径的距离PT上沿其轨道绕静止地球转动的力，比使它在相同时间里在60个半径距离处转动的力，等于比60：而这个力比地球上的重力非常近似于1比60·60。所以，平均力ML比地球表面上的引力等于比，或等于1比638092.6；因此，由线TM，ML的比例也可以求出力TM；而它们正是太阳干扰月球运动的力。

完毕。

命题26　问题7

求月球沿圆形轨道运动时其伸向地球的半径所掠过面积的每小时增量。

我们曾在前面证明过，月球通过其伸向地球的半径掠过的面积正比于运行的时间，除非月球运动受到太阳作用的干扰；在此，我们拟求出其变化率的不相等性，或者，受到这种干扰的面积或运动的每小时增量。为使计算简便，设月球轨道为圆形，除现在要考虑的情况外其余不相等性一概予以忽略；又因为太阳距离极远，可进一步设直线SP和ST是平行的。这样，力LM总是可以用其平均量TP代替，力TM也可以由其平均量3PK代替。这些力（由运动定律推论Ⅱ）合成力TL；而通过在半径TP上作垂线LE，这个力又可以分解为力TE，EL；其中力TE的作用沿半径TP的方向保持不变，对于半径TP掠过的面积TPC既不加速也不减速；但EL沿垂直方向作用在半径TP上，它使掠过面积的加速或减速正比于它使月球的加速或减速。月球的这一加速，在其由方照点C移向会合点A过程中，在每一时刻都正比于生成加速力EL，即，正比于，令时间由月球的平均运动，或（等价地）由角CTP，或甚至由弧CP来表示。垂直于CT作CG等于CT；设直角弧AC被分割为无限多个相等的部分Pp等，这些部分表示同样无限多个相等的时间部分。作pk垂直于CT，TG与KP，kp的延长线相交于F，f；则FK等于TK，而Kk比PK等于Pp比Tp，即，比值是给定的；所以FK·Kk，或面积FKkf，将正比于，即正比于EL；合成以后，总面积GCKF将正比于在整个时间CP中作用于月球的所有力EL的和而变化；所以也正比于该总和所产生的速度，即正比于掠过面积CTP的加速度，或正比于其变化率的增量。使月球在距离TP上绕静止地球以27天7小时43分的周期CADB运行的力，应使落体在时间CT内掠过长度，同时获得一个与月球在其轨道上相等的速度。这已由第一编命题4推论Ⅸ证明过。但由于TP上的垂线Kd仅为EL的三分之一，在八分点处等于TP或ML的一半，所以在该八分点处力EL最大，超出力ML的比率为3比2；所以它比使月球绕静止地球的其周期运行的力，等于100比，或11915；而在时间CT内所产生的速度等于月球速度的部分；而在时间CPA内则按比率CA比CT或TP产生一个更大的速度。令在八分点处最大的EL力以面积FK·Kk，或与之相等的矩形表示；则该最大力在任意时间CP内所产生的速度比另一个较小的力EL在相同时间所产生的速度，等于矩形CP比面积KCGF；而在整个时间CPA内所产生的速度相互间的比等于矩形比三角形TCG，或等于直角弧CA比半径TP；所以，在全部时间内所产生的后一速度正比于月球速度的部分。在这个正比于面积的平均变化率的月球速度上（设该平均变化率以数11915表示），加上或减去另一个速度的一半；则和11915＋50或11965表示在朔望点A面积的最大变化率；而差11915－50或11865表示在方照点的最小变化率。所以，在相等的时间里，在朔望点与在方照点所掠过的面积的比等于11965比11865。如在最小变化率11865上再加上一个变化率，它比前两个变化率的差100，等于四边形FKCG比三角形TCG，或等价地，等于正弦PK的平方比半径TP的平方（即等于Pd比TP），则所得到的和表示月球位于任意中间位置P时的面积变化率。

但上述结果仅在假设太阳和地球静止时才成立，这时的月球会合周期为27天7小时43分。但由于月球的实际会合周期为29天12小时44分，变化率增量必须按与时间相同的比率扩大，即按1,080,853比1,000,000增大。这样，原为平均变化率部分的总增量，现在变为部分；所以月球在方照点的面积变化率比在朔望点的变化率等于11023－50比11023＋50，或等于10973比11073；至于比月球在任意中间位置P的变化率，则等于10,973比10973＋Pd；即，假设TP＝100。

所以，月球伸向地球的半径在每个相等的时间小间隔内掠过的面积，在半径为一的圆中，近似地正比于数219.46与月球到最近的一个方照点的二倍距离的正矢的和。在此设在八分点的变差为其平均量。但如果在该处的变差较大或较小，则该正矢也必须按相同比例增大或减小。

命题27　问题8

由月球的小时运动求它到地球的距离。

月球通过其伸向地球的半径所掠过的面积，在每一时刻都正比于月球的小时运动与月球到地球距离平方的乘积。所以月球到地球的距离正比于该面积的平方根，反比于其小时运动的平方根而变化。

完毕。

推论Ⅰ．因此可以求出月球的视在直径；因为它反比于月球到地球的距离。请天文学家验证这一规律与现象的一致程度。

推论Ⅱ．因此也可以由该现象求出月球轨道，比迄今为止所做的更加精确。

命题28　问题9

求月球运动的无偏心率轨道的直径。

如果物体沿垂直于轨道的方向受到吸引，则它掠过的轨道，其曲率正比于该吸引力，反比于速度的平方，我取曲线曲率相互间的比，等于相切角的正弦或正切与相等的半径的最后的比，在此设这些半径是无限缩小的。月球在朔望点对地球的吸引，是它对地球的引力减去太阳引力2PK后的剩余（见命题25插图），后者则为月球与地球指向太阳的加速引力的差。而在方照点时，该吸引力是月球指向地球的引力与太阳力KT的和，后者使月球趋向于地球。设N等于，则这些吸引力近似正比于和，或正比于178725N·CT²－2000AT²·CT，和178725N·AT²＋1000CT²·AT。因为，如果月球指向地球的加速引力可以数178725表示，则把月球拉向地球的，在方照点为PT或TK的平均力ML，即为1000，而在朔望点的平均力TM即为3000；如果由这个力中减去平均力ML，则余下2000，这正是我们在前面称之为2PK的在朔望点把月球自地球拉开的力。但月球在朔望点A和B的速度比其在方照点C和D的速度等于CT比AT，与月球由伸向地球的半径在朔望点掠过面积的变化率，比在方照点掠过面积的变化率的乘积；即，等于11073CT比10973AT。将该比式倒数的平方乘以前一个比式，则月球轨道在朔望点的曲率比其在方照点的曲率，等于120,406,729·178725AT⁴·CT²·N－120,406,729·2000AT²·CT比122,611,329·178,725AT²·CT²·N＋122,611,329·1000CT⁴·AT，即，等于2,151,969AT·CT·N－24,081AT³比2,191,371AT·CT·N＋12,261CT³。

因为月球轨道形状是未知的，我们可以先设它为椭圆DBCA，地球位于它的中心，且长轴DC在方照点之间，短轴AB在朔望点之间。由于该椭圆平面以一个角运动绕地球转动，我们要求其曲率的轨道应在一个不含这种运动的平面上画出，我们应考虑月球在这一平面上运动时画出的轨道的形状，也就是说，应考虑图形Cpa，其上的每一个点p应这样求得：设P为椭圆上表示月球位置的点，作Tp等于TP，并使得角PTp等于太阳自最后一个方照点C以来的视在运动；或者（等价地）使得角CTp比CTD等于月球的会合环绕时间比它环绕周期，或等于29天12小时44分比27天7小时43分。所以，如我们取角CTa比直角CTA等于该比值，并取Ta长度与TA相等，即可使a位于轨道Cpa的上回归点，C位于上回归点。但我通过计算发现，该轨道Cpa在顶点a的曲率与以TA为间隔，以T为中心的圆的曲率的差，比该椭圆在顶点A的曲率与同一个的曲率的差，等于角CTP与角CTp的比的平方；而椭圆在A的曲率比圆的曲率等于TA与TC的比的平方；该圆的曲率比以T为中心以TC为半径的圆的曲率等于TC比TA；但后一圆的曲率比椭圆在C的曲率等于TA与TC的比的平方；而椭圆在顶点C的曲率与后一圆的曲率的差，比图形Tpa在顶点C的曲率与同一个圆的曲率的差，等于角CTp与角CTp的比的平方。所有这些关系都易于从切角及其差的正弦导出。但对这些比式作比较，我们即发现，图形Cpa在a处的曲率比其C处的曲率等于比AT²·CT；在此，数表示角CTP与CTp的平方差再除以较小的角CTP的平方；或表示（等价地）时间27天7小时43分与29天12小时44分的平方差除以时间27天7小时43分的平方。

所以，由于a表示月球的朔望点，C表示方照点，上述比值必定等于上面求出的月球轨道在朔望点的曲率与在方照点的曲率的比值。所以，为求出比值CT比AT，可将所得到比式的外项与中项相乘，再除以AT·CT，得到如下方程：2062.79CT⁴－2,151,969N·CT³＋368,676N·AT·CT²＋36,342AT²·CT²－362,047N·AT²·CT＋2,191,371N·AT³＋4051.4AT⁴＝0。如果令项AT与CT的和N的一半为1，x是它们的差的一半，则CT＝1＋x，AT＝1－x。把这些值代入方程，求解以后得x＝0.00719；因此，半径CT＝1.00719，半径AT＝0.99281，这两个数的比大约等于比。所以月球在朔望点到地球的距离比其在方照点的距离（不考虑偏心率）等于比；或者取整数比，等于69比70。

命题29　问题10

求月球的变差。

这种不相等性部分地归因于月球轨道的椭圆形状，部分地归因于由月球伸向地球的半径所掠过面积变化率的不相等性。如果月球P沿椭圆DBCA绕处于该椭圆中心的静止地球转动，其伸向地球的半径TP掠过的面积CTP正比于运行时间；椭圆的最大半径CT比最小半径TA等于70比69；则角CTP的正切比由方照点C起算的平均运动角的正切，等于椭圆半径TA比其半径TC，或等于69比70。但月球由方照点行进到朔望点所掠过的面积CTP，应以这种方式被加速，使得月球在朔望点的面积变化率比在方照点的面积变化率等于11,073比10,973；而在任意中间点P的变化率与在方照点变化率的差则应正比于角CTP的正弦的平方；如果将角CTP的正切按数10,973与数11,073的比的平方根减小，即按68,687,77比69减小，则可以足够精确地求出它。因此，角CTP的正切比平均运动的正弦等于68.6877比70；在八分点处，平均运动等于45°，角CTP将为44°27′28″，当从45°的平均运动中减去它后，将剩下最大变差32′32″。所以，如果月球是由方照点到朔望点的，应当仅掠过90°的角CTA。但由于地球的运动造成太阳视在前移，月球在赶上太阳之前需掠过一个大于直角的角CTa，它与直角的比等于月球的会合周期比自转周期，即等于29天12小时44分比27天7小时43分。因此所有绕中心T的圆心角都要按相同比例增大；而原为32′32″的最大变差，按该比例增大后，变为35′10″。

这就是在太阳到地球的平均距离上，月球的变差，在此未考虑大轨道曲率的差别，以及在新月和月面呈凹形时太阳对月球的作用大于满月和月面呈凸形时。在太阳到地球的其他距离上，最大变差是一个比值复合，它正比于月球会合周期的平方（在一年中的月份是已知的），反比于太阳到地球距离的立方。所以，在太阳的远地点，如果太阳的偏心率比大轨道的横向半径为比1000，则最大变差为33′14″，而在近地点，则为37′11″。

迄此我们研究了无偏心率的轨道变差，在其中月球在八分点到地球的距离正好是它到地球的平均距离。如果月球由于其轨道偏心率的存在而致使到地球的距离时远时近，则其变差也会时大时小。我将变差的这种增减留给天文学家们通过观测做出推算。

命题30　问题11

求在圆轨道上月球交会点的每小时运动。

令S表示太阳，T为地球，P为月球，NPn为月球轨道，Npn为该轨道在黄道平面上的投影；N，n为交会点，nTNm为交会点连线的不定延长线；PI，PK是直线ST，Qq上的垂线；Pp是黄道面上的垂线；A，B是月球在黄道面上的朔望点；AZ是交会点连线Nn上的垂线；Q，q是月球在黄道面上的方照点，PK是方照点连线Qq上的垂线。太阳干扰月球运动的力（由命题25）由二部分组成，一部分正比于直线LM，另一部分正比于直线MT；前一个力使月球被拉向地球，而后一个力则把它拉向太阳，方向是平行于连接地球与太阳的连线ST。前一个力LM的作用沿着月球轨道平面的方向，因而对月球在轨道上的位置变化无作用，在此不予考虑；后一个力MT使月球轨道平面受到干扰，其作用与力3PK或3IT相同。而且这个力（由命题25）比使月球沿圆轨道绕静止地球在其周期时间内以匀速转动的力，等于3IT比该圆半径乘以数178.725，或等于IT比半径乘以59.575。但在此处，以及以后的所有计算中，我都假设月球到太阳的连线与地球到太阳的连线相平行；因为这两条连线的倾斜在某种情况下足以抵消一切影响，如同在另一些情况下使之产生一样；我们现在是在研究交会点的平均运动，不考虑这些不重要的却只会使计算变得繁杂的细节。

设PM表示在最小时间间隔内掠过的弧段，ML为一短线，月球在相同时间内在上述的力3IT的冲击下可掠过它的一半；连接PL，MP，并把它们延长到m和l，并与黄道平面相交，在Tm上作垂线PH。由于直线ML平行于黄道面，所以绝不会与该平面内的直线ml相交，因此它们也平行，因而三角形LMP，lmp相似。又因MPm在轨道平面内，当月球在处所P处运动时，点m落在通过轨道交会点N，n的直线Nn上。而因为使小线段LM的一半得以产生的力，若全部同时作用于点P，则可以产生整个线段，使月球沿以LP为弦的弧运动；也就是说，可以使月球由平面MPmT进入平面LPlT；所以该力使交会点产生的角运动等于角mTl。但ml比mP等于ML比MP；而由于时间给定，MP也给定，ml正比于矩形ML·mP，即，正比于矩形IT·mP。如果Tml是直角，角mTI正比于，所以正比于，即（因为Tm与mP，TP与PH是正比的），正比于；所以，因为TP给定，正比于IT·PH。但如果角Tml或STN不是直角，则角mTl将更小，正比于角STN的正弦比半径，或AZ比AT。所以，交会点的速度正比于IT·PH·AZ，或正比于三个角TPI，PTN和STN正弦的乘积。

如果这些角是直角，像交会点在方照点，月球在朔望点那样，小线段ml将移到无限远处，角mTl与角mPl相等。但在这种情形中，角mPl比月球在相同时间内绕地球的视在运动所成的角PTM，等于1比59.575。因为角mPl等于角LPM，即等于月球偏离直线路径的角度；如果月球引力消失，则该角可以由太阳力3IT在该给定时间内单独产生；而角PTM等于月球偏直线路径的角；如果太阳力3IT消失，则这个角也可以由停留在其轨道上的月球在相同时间内单独生成。这两个力（如上所述）相互间的比等于1比59.575。所以由于月球的平均小时运动（相对于恒星）为⁽⁹⁾，在此情形中的交会点运动将为。但在其他情形中，小时运动比等于三个角TPI，PTN和STN正弦（或月球到方照点的距离，月球到交会点的距离，以及交会点到太阳的距离）的乘积比半径的立方。而且每当某一个角的正弦由正变负，或由负变正时，逆行运动必变为顺行运动；而顺行运动必变为逆行运动。因此，只要月球位于任意一个方照点与距该方照点最近的交会点之间，交会点总是顺行的。在其他情形中它都是逆行的，而由于逆行大于顺行，交会点逐月后移。

推论Ⅰ．因此，如果由短弧PM的端点P和M向方照点连线Qq作垂线PK，Mk，并延长与交会点连线Nn相交于D和d，则交会点的小时运动将正比于面积MPDd乘以直线AZ的平方。因为令PK，PH和AZ为上述的三个正弦，即PK为月球到方照点距离的正弦，PH为月球到交会点距离的正弦，AZ为交会点到太阳距离的正弦；交会点的速度正比于乘积PK·PH·AZ。但PT比PK等于PM比Kk；所以，因为PT和PM是给定的，Kk正比于PK。类似地，AT比PD等于AZ比PH，所以PH正比于矩形PD·AZ；将这些比式相乘，PK·PH正比于立方容积Kk·PD·AZ，而PK·PH·AZ正比于Kk·PD·AZ²；即，正比于面积PDdM与AZ²的乘积。

推论Ⅱ．在交会点的任意给定位置上，它们的平均小时运动为在朔望点月球小时运动的一半，所以比16秒等于交会点到朔望点距离正弦的平方比半径的平方，或等于AZ²比AT²。因为，如果月球以均匀运动掠过半圆QAq，则在月球由Q到M的时间内，所有面积PDdM的和，将构成面积QMdE，它以圆的切线QE为界；当月球到达点n时，这些面积的和又构成直线PD所掠过的面积EQAn：但由于当月球由n前移到q时，直线PD将落在圆外，掠过以圆切线qe为界的面积nqe，因为交会点原先是逆行的，现在变为顺行，该面积必须从前一个面积中减去，而由于它等于面积QEN，所以剩下的是半圆NQAn。所以，当月球掠过半圆时，所有的面积PDdM的和也等于该半圆；当月球掠一个整圆时，这些面积的和也等于该整圆面积。但当月球位于朔望点时，面积PDdM等于弧PM乘以半径PT；而所有的与之相等的面积的总和，在月球掠过一个整圆的时间内，等于整个圆周乘以圆半径；这个乘积在圆面积增大一倍时，变为前一个面积的和的二倍。所以，如果交会点以其在月球朔望点所获得的速度匀速运动，则它们掠过的距离为实际上的二倍；所以，如果它们是匀速运动的，则其平均运动所掠过的距离与它们实际上以不均匀运动所掠过的距离相等，但仅仅为它们以在月球朔望点获得的速度所掠过的距离的一半。因此，如果交会点在方照点，由于其最大小时运动为，对应的平均小时运动为。而由于交会点的小时运动处处正比于AZ²与面积PDdM的乘积，所以，在月球的朔望点，交会点的小时运动也正比于AZ²与面积PDdM的乘积，即（因为在朔望点掠过的面积PDdM是给定的），正比于AZ²，所以，平均运动也正比于AZ²；所以，当交会点不在方照点时，该运动比等于AZ²比AT²。

命题31　问题12

求月球在椭圆轨道上的交会点小时运动。

令Qpmaq表示一个椭圆，其长轴为Qq，短轴为ab；QAqB是其外切圆；T是位于这两个圆的公共中心的地球；S是太阳，p是沿椭圆运动的月球；pm是月球在最小时间间隔内掠过的弧长；N和n是交会点，其连线为Nn；pK和mk为轴Qq上的垂线，向两边的延长线与圆相交于P和M，与交会点连线相交于D和d。如果月球伸向地球的半径掠过的面积正比于运行时间，则椭圆交会点的小时运动将正比于面积pDdm与AZ²的乘积。

因为，令PF与圆相切于P，延长后与TN相交于F；pf与椭圆相交于p，延长后与同一个TN相交于f，两条切线在轴TQ上相交于Y；令ML表示在月球沿圆转动掠过弧PM的时间内，月球在上述力3IT或3PK作用下横向运动所掠过的距离；而ml表示在相同时间内月球受相同的力3IT或3PK作用沿椭圆转动的距离；令LP和lp延长与黄道面相交于G和g，作FG和fg，其中FG的延长线分别在c，e和R分割pf，pg和TQ；fg的延长线在r分割TQ。因为圆上的力3IT或3PK比椭圆上的力3IT或3pK等于PK比pK，或等于AT比aT，前一个力产生的距离ML比后一个力产生的距离ml等于PK比pK；即，因为图形PYKp与FYRc相似，等于FR比cR。但（因为三角形PLM，PGF相似）ML比FG等于PL比PG，即（由于Lk，PK，GR相平行），等于pl比pe，即比（因为三角形plm，cpe相似）等于lm比ce；其反比等于LM比lm，或等于FR比cR，FG比ce也是如此。所以，如果fg比ce等于fy比cY，即等于fr比cR（即，等于fr比FR乘以FR比cR，即等于fT比FT，乘以FG比ce），因为两边的FG比ce消去，余下fg比FG和fT比FT，所以fg比FG等于fT比FT；所以，由FG和fg在地球T上所划分的角相等。但这些角（由我们在前述命题中所证明的）就是与月球在圆上掠过弧pM，在椭圆上掠过弧Pm的同时，交会点的运动；因而交会点在圆上与在椭圆上的运动相等。因此，可以说，如果fg比ce等于fY比cY，即，如果fg等于，即有如此结果。但因为三角形fgp，cep相似，fg比ce等于fg比cp；所以fg等于；所以，实际上由fg划分的角比由FG所划分的前一个角，即是说，交会点在椭圆上的运动比其在圆上的运动，等于fg或比前一个fg或，即等于fP·cY比fY·cp，或等于fP比fY乘以cY比cp；即，如果ph平行于TN，与FP相交于h，则等于Fh比FY乘以FY比FP；即，等于Fh比FP或Dp比DP，所以等于面积Dpmd比面积DPMd。所以，由于（由命题30推论Ⅰ）后一个面积与AZ²的乘积正比于交会点在圆上的小时运动，则前一个面积与AZ²的乘积将正比于交会点在椭圆上的小时运动。

证毕。

推论．所以，由于在交会点的任意给定位置上，在与月球由方照点运动到任意处所m的时间内，所有的面积pDdm的和，就是以椭圆的切线QE为边界的面积mpQEd；且在一次环绕中，所有这些面积的和，就是整个椭圆的面积；交会点在椭圆上的平均运动比交会点在圆上的平均运动等于椭圆比圆；即，等于Ta比TA，或69比70。所以，由于（由命题30推论Ⅱ）交会点在圆上的平均小时运动比16s35th16iv36v等于AZ²比AT²，如果取角16s21th3iv30v比角16s35th16iv36v等于69比70，则交会点在椭圆上的平均小时运动比16s21th3iv30v等于AZ²比AT²；即，等于交会点到太阳距离的正弦的平方比半径的平方。

但月球伸向地球的半径在朔望点掠过面积的速度大于其在方照点，因此在朔望点时间被压缩了，而在方照点则延展了；把整个时间合起来交会点的运动作了类似的增加或减少，但在月球的方照点面积变化率比在月球的朔望点面积变化率等于10,973比11,073；因而在八分点的平均变化率比在朔望点的出超部分，以及比在方照点的不足部分，等于这两个数的和的一半11,023比它们的差的一半50。因此，由于月球在其轨道上各相等的小间隔上的时间反比于它的速度，在八分点的平均时间比在方照点的出超时间，以及比在朔望点的不足时间，近似等于11,023比50。但是我发现在由方照点到朔望点时，面积变化率大于在方照点的最小变化率的出超部分，近似正比于月球到该方照点距离的正弦的平方；所以在任意处所的变化率与在八分点的平均变化率的差，正比于月球到该方照点距离正弦的平方，与45度正弦平方，或半径平方的一半的差；而在八分点与方照点之间各处所上时间的增量，与在该八分点到朔望点之间各处所上时间的减量，有相同比值。但在月球掠过其轨道上各相等小间隔的同时，交会点的运动正比于该时间加速或减速；这一运动，当月球掠过PM时，（等价地）正比于ML，而ML正比于时间的平方变化。因此，交会点在朔望点的运动，在月球掠过其轨道上给定的小间隔的同时，正比于数11,073与数11,023的比值的平方而减小，而其减量比剩余运动等于100比10,973；它比总运动近似等于100比11,073。但在八分点与朔望点之间的处所上的减量，与在该八分点与方照点之间的处所上的增量，比该减量近似等于在这些处所上的总运动比在朔望点的总运动，乘以月球到该方照点距离正弦的平方与半径平方的一半的差，比半径平方的一半。所以，如果交会点在方照点，我们可取二个处所，一个在其一侧，另一个在另一侧，它们到八分点的距离，与另二个距离相等，一个是到朔望点，另一个是到方照点，并由在朔望点和八分点之间的两个处所的运动减量上，减去在该八分点与方照点之间的另两个处所的运动增量，则余下的减量将等于在朔望点的减量，这可以由计算而简单地证明；所以，平均减量，应该从交会点平均运动中减去，它等于在朔望点减量的4/1。交会点在朔望点的总小时运动（设此时月球伸向地球的半径所掠过的面积正比于时间）为32s42th7iv。又，我们已经证明交会点运动的减量，在与月球以较大速度掠过相同的空间的时间内，比该运动等于100比11,073；所以这一减量为17th43iv11v。由上面求出的平均小时运动16s21th3iv30v中减去其1/4 4th25iv48v，余下16s16th37iv42v，这就是它们的平均小时运动的正确值。

如果交会点不在方照点，设两个点分别在其一侧和另一侧，且到朔望点距离相等，则当月球位于这些处所时，交会点运动的和，比当月球在相同处所而交会点在方照点时它们的运动的和，等于AZ²比AT²。而由于刚才论述的原因而产生的运动减小量，其相互间的比，以及余下的运动相互间的比，等于AZ²比AT²；而平均运动正比于余下的运动。所以，在交会点的任意给定处所，它们的实际平均小时运动比16s16th37iv42v等于AZ²比AT²；即，等于交会点到朔望点距离正弦的平方比半径的平方。

命题32　问题13

求月球交会点的平均运动。

年平均运动是一年中所有平均小时运动的和。设交会点位于N，并每经过一个小时后都回到其原先的位置；使得它尽管有这样的运动，却相对于恒星保持位置不变；而与此同时，太阳S由于地球的运动看上去像是离开交会点，以均匀运动行进直到完成其视在年运动。令Aa表示给定短弧，它由总是伸向太阳的直线TS与圆NAn的交点在给定时间间隔内掠过；则平均小时运动（由上述证明）正比于AZ²，即（因为AZ与ZY成正比），正比于AZ与ZY的乘积，即，正比于面积AZYa；而从一开始算起的所有平均小时运动的和正比于所有面积aYZA的和，即，正比于面积NAZ。但最大的AZYa等于弧Aa与圆半径的乘积；所以，在整个圆上所有这样的乘积的和与所有最大乘积的和的比，等于整个圆的面积比整个圆周长与半径的乘积，即，等于1比2。但对应于最大乘积的小时运动是16s16th37iv42v，而在一个恒星年的365天6小时9秒中，总和为；所以，其一半为，就是对应于整个圆的交会点平均运动。在太阳由N运动到A的时间内，交会点的运动比等于面积NAZ比整个圆。

这一结果是以交会点每经过一个小时都回到其原先位置为前提的，这样，经过一次完全环绕后，太阳在年终时又出现在它曾在年初时离开的同一个交会点上。但是，因为交会点的运动是同时进行的，所以太阳必定要提前与交会点相遇；现在我们来计算所缩短的时间。由于太阳在一年中要移动360度，同一时间里交会点以其最大运动而移动，或39.6355度；在任意处所N的交会点平均运动比其在方照点的平均运动，等于AZ²比AT²；太阳运动比交会点在N处的平均运动等于360AT²比39.6355AZ²；即，等于9.0827646AT²比AZ²。所以，如果我们设整个圆的周长NAn分割成相等的小部分Aa，则当圆静止时，太阳掠过短弧Aa的时间，比当圆交会点一起绕中心T转动时太阳掠过同一短弧的时间，等于9.0827646AT²与9.0827646AT²＋AZ²的反比；因为时间反比于掠过短弧的速度，而该速度又是太阳与交会点速度的和。所以，如果以扇形NTA表示太阳在交会点不动时掠过弧NA的时间，而该扇形的无限小部分ATα。表示它掠过短弧Aa的小时间间隔；且（作aY垂直于Nn）如果在AZ上取dZ为这样的长度，使得dZ与ZY的乘积比扇形的极小部分ATa等于AZ²比9.0827646AT²＋AZ²；也就是说，dZ比等于AT²比9.0827646AT²＋AZ²；则，dZ与ZY的乘积将表示在弧Aa被掠过的同时，由于交会点的运动而造成的时间减量；如果曲线NdGn是点d的轨迹，则曲线面积NdZ在整个面积NA被掠过的同时将正比于总的时间流量；所以，扇形NAT超出面积NdZ的部分正比于总时间。但因为在短时间内的交会点运动与时间的比值亦较小，面积AaYZ也必须按相同比例减小；这可以在AZ上取线段eZ为这样的长度，使它比AZ的长度等于AZ²比9.0827646AT²＋AZ²；因为这样的话eZ与ZY的乘积比面积AZYa等于掠过弧Aa的时间减量比交会点静止时掠过它的总时间；所以，该乘积正比于交会点运动的减量。如果曲线NeFn是点e的轨迹，则这种运动的减量的总和，总面积NeZ，将正比于在掠过弧AN的时间内的总减量；而余下的面积NAe正比于余下的运动，这一运动正是在太阳与交会点以其复合运动掠过整个弧NA的时间内，交会点的实际运动。现在，半圆面积比图形NeFn的面积由无限级数方法求出约为793比60。而对应于或正比于整个圆的运动为；因而对应于二倍图形NeFn的运动为，把它从前一运动中减去后余下，这就是交会点在它与太阳的两个会合点之间相对于恒星的总运动；从太阳的年运动360°中减去这项运动，余下，这是太阳在相同会合点之间的运动。但这一运动比360°的年运动，等于刚才求出的交会点运动比其年运动，因此它为；这就是一个回归年中交会点的平均运动。在天文表中，它为。差别不足总运动的部分，它似乎是由于月球轨道的偏心率，以及它与黄道面的倾斜引起的。这个轨道的偏心率使交会点运动的加速过大；在另一方面，轨道的倾斜使交会点的运动受到某种阻碍，因而获得适当的速度。

命题33　问题14

求月球交会点的真实运动。

在正比于面积NTA－NdZ（在前一个图中）的时间内，该运动正比于面积NAe，因而是给定的；但因为计算太困难，最好是使用下述作图求解。以C为中心，取任意半径CD作圆BEFD；延长DC到A使AB比AC等于平均运动比交会点位于方照点的平均真实运动（即，等于比）；因而BC比AC等于这些运动的差比后一运动，即等于1比。然后通过点D作不定直线Gg，与圆相切于D；如果取角BCE，或BCF等于太阳到交会点距离的二倍，它可以通过平均运动求出，并作AE或AF与垂线DG相交于G，取另一个角，使它比在朔望之间的交会点总运动（即比9°11′3″）等于切线DG比圆BED的总周长，并在它们由方照点移向朔望点时，在交会点的平均运动中加上这后一个角（可用角DAG），而在它们由朔望点移向方照点时，由平均运动中减去这个角，即得到它们的真实运动；因为由此求出的真实运动与设时间正比于面积NTA－NdZ，且交会点运动正比于面积NAe所求出的真实运动近似吻合；任何人通过验算都会发现：这正是交会点运动的半月均差。但还有一个月均差，只是它在求月球黄纬时是不必要的；因为既然月球轨道相对于黄道面倾斜的变差受两方面不等性的支配，一个是半月的，另一个是每月的，而这一变差的月不等性与交会点的月均差，能够相互抵消校正，所以在计算月球的黄纬时二者都可以略去不计。

推论．由本命题和前一命题可知，交会点在朔望点是静止的，而在方照点是逆行的，其小时运动为16s19th26iv；在八分点交会点运动的均差为1°30′；所有这些都与天文现象精确吻合。

附注

马金（Machin）先生，格列山姆（Gresham）教授和亨利·彭伯顿博士⁽¹⁰⁾分别用不同方法发现了月球交会点运动。本方法的论述曾见诸其他场合。他们的论文，就我所看到的，都包括两个命题，而且相互间完全一致，马金先生的论文最先到达我的手中，所以收录如下。

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(1) Streete，Thomas（1622—1689），英国天文学家。——译者注。

(2) N. Mercator（1619—1687），古丹麦数学家、天文学家。——译者注。

(3) Norwood，Richard（1590—1665），英国数学家、航海家。——译者注。

(4) Toise，法国旧时长度单位，等于1.949米。——译者注。

(5) J. Picard，1620—1682，英译本误作M. Picard，法国天文学家。——译者注。

(6) M. Richer（1630—1696），法国天文学家、物理学家。——译者注。

(7) Feuille，Louis（1660—1732），法国天文学家、植物学家。——译者注。

(8) 指木卫四。——译者注。

(9) m，s，th，iv，v均为角度单位，1m＝1/60度；1s＝1/60m；1th＝1/60s；1iv＝1/60th；1v＝1/60iv。——译者注。

(10) Henry Pemberton（1694—1771），英国物理学家，数学家，他是《原理》第三版的主持人，曾将《原理》译为英文，对宣传牛顿学说有过巨大贡献。——译者注。

月球交会点的运动

命题1

太阳离开交会点的平均运动由太阳的平均运动与太阳在方照点以最快速度离开交会点的平均运动的几何中项决定。

令T为地球的处所，Nn为任意给定时刻的月球交会点连线，KTM为其上的垂线，TA为绕中心旋转的直线，其角速度等于太阳与交会点相互分离的角速度，使得介于静止直线Nn与旋转直线TA之间的角总是等于太阳与交会点间的距离。如果把任意直线TK分为TS和SK两部分，使它们的比等于太阳的平均小时运动比交会点在方照点的平均小时运动，再取直线TH等于TS部分与整个线段TK的比例中项，则该直线正比于太阳离开交会点的平均运动。

因为以T为中心，以TK为半径作圆NKnM，并以同一个中心，以TH和TN为半轴作椭圆NHnL；在太阳离开交会点通过弧Na的时间内，如果作直线Tba，则扇形面积NTa表示在相同时间内太阳与交会点的运动的和。所以，令极小弧aA为直线Tba按上述规律在给定时间间隔内匀速转动所掠过，则极小扇形TAa正比于在该时间内太阳与交会点向两个不同方向运动的速度的和。太阳的速度几乎是均匀的，其不等性如此之小，不会在交会点的平均运动中造成最小的不等性。这个和的另一部分，即交会点速度的平均量，在离开朔望点时按它到太阳距离正弦的平方增大（由本编命题31推论），并在到达方照点同时太阳位于K时有最大值，它与太阳速度的比等于SK比TS，即，等于（TK比TH的平方差，或）矩形KHM比TH²。但椭圆NBH将表示这两个速度的和的扇形ATa分为ABba和BTb两部分，且正比于速度。因为，延长BT到圆交于β，由点B向长轴作垂线BG，它向两边延长与圆相交于点F和f；因为空间ABba比扇形TBb等于矩形ABβ比BT²（该矩形等于TA和TB的平方差，因为直线AB在T被等分，而在B未被等分），所以当空间ABba在K处为最大时，该比值与矩形KHM比HT²相等。但上述交会点的最大平均速度与太阳速度的比也等于这一比值；因而在方照点扇形ATa被分割成正比于速度的部分。又因为矩形KHM比HT²等于FBf比BG²，且矩形ABβ等于矩形FBβ，所以在K处也是最大的小面积ABba比余下的扇形TBb等于矩形ABβ比BG²。但这些面积的比总是等于矩形ABβ比BT²；所以位于处所A的小面积ABba按BG与BT的平方比值小于它在方照点的对应小面积，即，按太阳到交会点距离的正弦的平方比值减小。所以，所有小面积ABba的和，即空间ABN，正比于在太阳离开交会点后掠过弧NA的时间内交会点的运动；而余下的空间，即椭圆扇形NTB，则正比于同一时间里的太阳平均运动。而因为交会点的平均年运动是在太阳完成其一个周期的时间内完成的，交会点离开太阳的平均运动比太阳本身的平均运动等于圆面积比椭圆面积；即，等于直线TK比直线TH，后者是TK与TS的比例中项；或者，等价地，等于比例中项TH比直线TS。

命题2

已知月球交会点的平均运动，求其真实运动。

令角A为太阳到交会点平均位置的距离，或太阳离开交会点的平均运动。如果取角B，其正切比角A的正切等于TH比TK，即等于太阳的平均小时运动与太阳离开交会点的平均小时运动的比的平方根，则当交会点位方照点时，角B为太阳到交会点的真实距离。因为连接FT，由前一命题的证明，角FTN为太阳到交会点平均位置的距离，而角ATN为太阳到交会点真实位置的距离，这二个角的正切的比等于TK比TH。

推论．因此，角FTA为月球交会点的均差；该角的正弦，其在八分点的最大值比半径等于KH比TK＋TH。但在其他任意处所A该均差的正弦比最大正弦等于角FTN＋ATN的和的正弦比半径；即，近似等于太阳到交会点平均位置的二倍距离（即2FTN）的正弦比半径。

附注

如果交会点在方照点的平均小时运动为，即在一个回归年中为，则TH比TK等于数9.0827646与数10.0827646的比的平方根，即等于18.6524761比19.6524761。所以，TH比HK等于18.6524761比1；即，等于太阳在一个回归年中的运动比交会点的平均运动。

但如果月球交会点在20个儒略年中的平均运动为386°50′16″，如由观测运用月球理论所推算的那样，则交会点在一个回归年中的平均运动为，TH比HK等于360°比；即，等于18.61214比1，由此交会点在方照点的平均小时运动为。交会点在八分点的最大均差为1°29′57″。”

命题34　问题15

求月球轨道相对于黄道平面的倾斜的每小时变差。

令A和a表示朔望点；Q和q为方照点；N和n为交会点；P为月球在其轨道上的位置；p为该位置在黄道面上的投影；mTL与上述相同，为交会点的即时运动，如果在Tm上作垂线PG，连接pG并延长与Tl相交于g，再连接Pg，则角PGg为月球在P时月球轨道相对于黄道面的倾角；角Pgp为经过一个短时间间隔后的同一个倾角；所以角GDg就是倾角的即时变差。但这个角GPg比角GTg等于TG比PG乘以Pp比PG。所以，如果设时间间隔为一小时，则由于角GTg（由命题30）比角等于IT·PG·AZ比AT³，角GPg（或倾角的小时变差）比角等于比AT³。

完毕。

在此假定月球沿圆形轨道匀速运动。但如果轨道是椭圆的，交会点的平均运动将按短轴与长轴的比而减小，如前面所证明的那样；而倾角的变差也将按相同比例减小。

推论Ⅰ．在Nn上作垂线TF，令pM为月球在黄道面上的小时运动；在QT上作垂线pK，Mk，并延长与TF相交于H和h；则IT比AT等于Kk比Mp；而TG比Hp等于TZ比AT；所以，IT·TG等于，即，等于面积HpMh乘以比值：所以倾角的小时变差比等于面积HpMh乘以比AT³。

推论Ⅱ．如果地球和交会点每经过一小时都被从新处所拉回并立即回到其原先的处所，使得其位置在一整个周期月内都是已知的，则在这个月里倾角的总变差比等于在点p转运一周的时间内（考虑到要计入它们的符号＋或－）产生的所有的面积HpMh的和，乘以比Mp·AT³，即，等于整个圆QAqa乘以比2Mp·AT²。

推论Ⅲ．在交会点的给定位置上，平均小时变差（如果它均匀保持一整个月，即可以产生月变差）比等于比2AT²，或等于比PG·4AT；即（因为Pp比PG等于上述倾角的正弦比半径，而比4AT等于二倍角ATn比四倍半径），等于同一个倾角的正弦乘以交会点到太阳的二倍距离的正弦比四倍的半径平方。

推论Ⅳ．当交会点在方照点时，由于倾角的小时变差（由本命题）比角等于比AT³，即，等于比2AT，即，等于月球到方照点二倍距离的正弦乘以比二倍半径，而在交会点的这一位置上，在月球由方照点移动到朔望点的时间内（即在走完此段距离所需的小时内），所有小时变差的和比同样多的角的和，或比5878″，等于月球到方照点所有二倍距离的正弦的和乘以，比同样多的直径的和；即，等于直径乘以比周长；即，如果倾角为5°1′，则等于比22，或等于278比10,000。所以，在上述时间内，由所有小时变差组成的总变差为163″，或2′43″。

命题35　问题16

求在给定时刻月球轨道相对于黄道平面的倾角。

令AD为最大倾角的正弦，AB为最小倾角的正弦。在C二等分BD；以C为中心，BC为半径作圆BGD。在AC上取CE比EB等于EB比二倍BA。如果在给定时刻取角AEG等于交会点到方照点的二倍距离，并在AD上作垂线GH，则AH即为所求的倾角的正弦。

因为GE²等于

所以，由于2EC是已知的，GE²正比于AH。现在令AEg表示在任意时间间隔之后交会点到方照点的二倍距离，则由于角GEg是已知的，弧Gg正比于距离GE。但Hh比Gg等于GH比GC，所以，Hh正比于矩形GH·Gg，或正比于GH·GE，即正比于GE²，或正比于；即正比于AH与角AEG的正弦的乘积。所以，如果在任意一种情况下，AH为倾角的正弦，则它与倾角的正弦以相同的增量增大（由前一命题推论Ⅲ），因而总是与该正弦相等。而当点G落在点B或D上时，AH等于这一正弦，所以它总是与之相等。

在本证明中，我没表示交会点到方照点二倍距离的角BEG均匀增大；因为我无法详细地考查每一分钟的不等性。现在设BEG是直角，在此情形中，Gg为交会点到太阳二倍距离的小时增量；则（由前一命题推论Ⅲ）在同一情形中倾角的小时变差比等于倾角的正弦AH乘以交会点到太阳的二倍距离直角BEG的正弦比半径的平方；即，等于平均倾角的正弦AH比四倍半径；即，由于平均倾角约为，等于其正弦896比四倍半径40,000，或等于224比10,000。但对应于BD的总变差，即两个正弦的差，比该小时变差等于直径BD比弧Gg，即等于直径BD比半圆周长BGD，乘以交会点由方照点移动到朔望点的时间小时，比一小时，即等于7比11乘以比1。所以把所有这些比式复合，得到总变差BD比等于比110,000，即等于29,645比1000；由此得出变差BD为。

这就是不考虑月球在其轨道上位置时的倾角的最大变差；因为，如果交会点在朔望点，倾角不因月球位置的变化而受影响。但如果交会点位于方照点，则月球在朔望点时的倾角比它在方照点时小2′43″，如我们以前所证明的那样（前一命题推论Ⅳ）；而当月球在方照点时，由总平均变差中减去上述差值的一半，即余下15′2″；而月球在朔望点时加上相同值，即变为17′45″。所以，如果月球位于朔望点，交会点由方照点移动到朔望点的总变差为17′45″；而且，如果轨道倾角为5°17′20″时交会点位于朔望点，则当交会点位于方照点而月球位于朔望点时，倾角为4°59′35″。所有这些都得到了观测的证实。

当月球位于朔望点，而交会点位于它们与方照点之间时，如果要求轨道的倾角，可令AB比AD等于4°59′35″的正弦比5°17′20″的正弦，取角AEG等于交会点到方照点的二倍距离；则AH就是所要求的倾角的正弦。当月球到交会点的距离为90°时，这一轨道倾角与这一轨道倾角的正弦是相等的。在月球的其他位置上，由于倾角的变差而引起的这种月份不等性，在计算月球黄纬时得到平衡，并可以通过交会点运动的月份不等性（像以前所说的那样）予以消除，因而在计算黄纬时可以忽略不计。

附注

通过对月球运动的上述计算，我希望能证明运用引力理论可以由其物理原因推算出月球的运动。运用同一个理论我进一步发现，根据第一编命题66推论Ⅳ，月球平均运动的年均差是由于月球轨道受到变化着的太阳作用的影响所致。这种作用力在太阳的近地点较大，它使月球轨道发生扩散；而在太阳的远地点较小，这时轨道复得以收缩。月球在扩散的轨道上运动较慢，而在收缩的轨道上运动较快；调节这种不等性的年均差，在太阳的远地点和近地点都为零。在太阳到地球的平均距离上，它达到约11′50″；在其他正比于太阳中心均差的距离上，在地球由远日点移向近日点时，它叠加在月球的平均运动上，而当地球在另外半圆上运行时，它应从其中减去。取大轨道半径为1000，地球偏心率为，则该均差，当它取最大值时，按引力理论计算，为11′49″。但地球的偏心率似乎应再大些，均差也应以与偏心率相同的比例增大。如果设偏心率为，则最大均差为11′51″。

我还发现，在地球的近日点，由于太阳的作用力较大，月球的远地点和交会点的运动比地球在远日点时要快，它反比于地球到太阳距离的立方；由此产生出这些正比于太阳中心均差的运动年均差。现在，太阳运动反比于地球到太阳距离的平方而变化；这种不等性所产生的最大中心均差为1°56′20″，它对应于上述太阳的偏心率。但如果太阳运动反比于距离的平方，则这种不等性所产生的最大均差为2°54′30″；所以，由月球远地点和交会点的运动不等性所产生的最大均差比2°54′30″等于月球远地点的平均日运动和它的交会点的平均日运动，比太阳的平均日运动。因此，其远地点平均运动的最大均差为19′43″，交会点平均运动的最大均差为9′24″。当地球由其近日点移向远日点时，前一项均差是增大的，后一项是减小的；而当地球位于另外半个圆上时，则情况相反。

通过引力理论我还发现，当月球轨道的横向直径穿过太阳时，太阳对月球的作用略大于该直径垂直于地球与太阳的连线之时；因而月球的轨道在前一种情形中大于后一种情形。由此产生出月球平均运动的另一种均差，它决定于月球远地点相对于太阳的位置，当月球远地点位于太阳的八分点时最大，而当远地点到达方照点或朔望点时为零；当月球远地点由太阳的方照点移向朔望点时，该均差叠加在平均运动上，而当远地点由朔望点移向方照点时，则应从中减去。我将称这种均差为半年均差，当远地点位于八分点时为最大，就我根据现象的推算，约达3′45″：这正是它在太阳到地球的平均距离上的量值。但它反比于太阳距离的立方而增大或减小，所以当距离为最大时约3′34″，距离最小时约3′56″。而当月球远地点不在八分点时，它即变小，与其最大值的比等于月球远地点到最近的朔望点或方照点的二倍距离的正弦比半径。

按同样的引力理论，当月球交会点连线通过太阳时，太阳对月球的作用略大于该连线垂直于太阳与地球的连线时；由此又产生出一种月球平均运动的均差，我称之为第二半年均差；它在交会点位于太阳的八分点时为最大，在交会点位于朔望点或方照点时为零；在交会点的其他位置上，它正比于两个交会点之一到最近的朔望点或方照点的二倍距离正弦。如果太阳位于距它最近的交会点之后，它叠加在月球的平均运动上，而位于其前时则应从中减去；我由引力理论推算出，在有最大值的八分点，在太阳到地球的平均距离上，它达到47″。在太阳的其他距离上，交会点位于八分点的最大均差反比于太阳到地球的距离的立方；所以在太阳的近地点它达到约49″，而在远地点约为45″。

由同样的引力理论，月球的远地点位于与太阳的会合处或相对处时，以最大速度顺行；而在与太阳成方照位置时为逆行；在前一种情形中，偏心率获得最大量，而在后一种情形有最小值，这可以由第一编命题66推论Ⅶ，Ⅷ和Ⅸ证明。这些不等性，由这几个推论可知，是非常大的，并产生出我称之为远地点半年均差的原理；就我根据现象所作的近似推算，这种半年均差的最大值可达约12°18′。我们的同胞霍罗克斯⁽¹⁾最先提出月球沿椭圆运动，地球位于其下焦点的理论。哈雷博士作了改进，把椭圆中心置于一个中心绕地球均匀转动的本轮之上；该本轮的运动产生了上述远地点的顺行和逆行，以及偏心率的不等性。设月球到地球的平均距离分为100,000等份，令T表示地球，TC为占5505等份的月球平均偏心率。延长TC到B，使得最大半年均差12°18′的正弦比半径TC正比于CB；以C为中心，CB为半径，作圆BDA，它即是所说的本轮，月球轨道的中心位于其上，并按字母BDA的顺序转动。取角BCD等于二倍年角差（argument），或等于太阳真实位置到月球远地点一次校正的真实位置的二倍距离，则CTD为月球远地点的半年均差，TD为其轨道偏心率，它所指向的远地点位置现已得到二次校正。但由于月球的平均运动，其远地点的位置和偏心率，以及轨道长轴为200,000均为已知，由这些数据，通过人所共知的方法即可求出月球在其轨道上的实际位置以及它到地球的距离。

在地球位于近日点时，太阳力最大，月球轨道中心运动比在远日点时快，它反比于太阳到地球距离的立方。但是，因为太阳中心的均差是包含在年角差中的，月球轨道中心在本轮BDA上运动较快，反比于太阳到地球距离的平方。所以，如果设它反比于到轨道中D的距离，则运动更快，作直线DE指向经一次校正的月球远地点，即，平行于TC；取角EDF等于上述年角差减去月球远地点到太阳的顺行近地点距离的差；或者，等价地，取角CDF等于太阳实际近点角（anomaly）在360°中的余角；令DF比DC等于大轨道偏心率的二倍高度比太阳到地球的平均距离，与太阳到月球远地点的平均日运动比太阳到其自己的近地点的平均日运动的乘积，即，等于比1000乘以比，或等于3比100；设月球轨道的中心位于F，绕以D为中心以DF为半径的本轮转动，同时点D沿圆DABD运动：因为用这样的方法，月球轨道的中心即绕中心（掠过某种曲线），其速度近似于正比于太阳到地球距离的立方，一如它所应当的那样。

计算这种运动很困难，但用以下近似方法可变得容易些。像前面一样，设月球到地球的平均距离为100,000个等份，偏心率TC为5505个等份，则CB或CD为，而DF为等份，该线段在距离TC处对着地球上的张角，是由轨道中心自D向F运动时所产生的；将该线段DF沿平行方向延长一倍，在由月球轨道上焦点到地球的距离上相对于地球的张角与DF的张角相同，该张角是由上焦点的运动产生的；但在月球到地球的距离，这一二倍线段2DF在上焦点处，在与第一个线段DF相平行的位置，相对于月球的张角，它是由月球的运动所产生的，因而可称之为月球中心的第二均差；在月球到地球的平均距离上，该均差近似正比于由直线DF与点F到月球连线所成夹角的正弦，其最大值为2′55″。但由直线DF与点F到月球连线所成的夹角，既可以由月球的平均近点角减去角EDF求得，也可以在月球远地点到太阳远地点的距离上叠加月球到太阳的距离求得；而且半径比这个角的正弦等于2′25″比第二中心均差：如果上述和小于半圆，则应加上；而如果大于半圆，则应减去。由这一经过校正的月球在其轨道上的位置，可以求出日月球在其朔望点的黄纬。

地球大气高达35或40英里，它折射了太阳光线。这种折射使光线散射并进入地球的阴影；这种在阴影边缘附近的弥散光展宽了阴影。因此，我在月食时，在这一由视差求出的阴影上增加了1或分。

不过，月球理论应得到现象的检验和证实，首先是在朔望点，其次是在方照点，最后是在八分点；愿意在格林尼治（Greenwich）皇家天文台做这项工作的人，无论是谁，都会发现，在旧历1700年12月的最后一天下午假设太阳和月球的下述平均运动是绝无错误的：太阳的平均运动为，其远地点为；月球的平均运动为，其远地点为；其上升交会点为；而格林尼治天文台与巴黎皇家天文台之间的子午线差为零时9分20秒：但月球及其远地点的平均运动尚无法足够精确地获得。

命题36　问题17

求太阳使海洋运动的力。

太阳干扰月球运动的力ML或PT（由命题25），在月球方照点，比地表重力，等于1比638092.6；而在月球朔望点，力TM—LM或2PK是该量值的二倍。但在地表以下，这些力正比于到地心距离而减小，即正比于比1；因而前一个力在地表上比重力等于1比38,604,600；这个力使与太阳相距90度处的海洋受到压迫。但另一个力比它大一倍，使不仅正对着太阳，而且正背着太阳处的海洋都被托起；这两力的和比重力等于1比12,868,200。因为相同的力激起相同的运动，无论它是在距太阳90度处压迫海水，或是在正对着或正背着太阳处托起海水，上述力的和就是太阳干扰海洋的总力，它所起的作用与全部用以在正对着或正背着太阳处托起海洋，而在距太阳90度处对海洋完全不发生作用，是一样的。

这正是太阳干扰任意给定处所的海洋的力。与此同时太阳位于该处的顶点，并处于到地球的平均距离上。在太阳的其他位置上，该托起海洋的力正比于太阳在当地地平线上二倍高度的正矢，反比于到地球距离的立方。

推论．由于地球各处的离心力是由于地球周日自转引起的，它比重力等于1比289，它在赤道处托起的水面比在极地处高85,427巴黎尺，这已经在命题19中证明过，因而太阳的力，它比重力等于1比12,868,200，比该离心力等于289比12,868,200，或等于1比44,527，它在正对着和正背着太阳处所能托起的海水高度，比距太阳90度处的海面仅高出1巴黎尺又寸；因为该尺度比85,472尺等于1比44,527。

命题37　问题18

求月球使海洋运动的力。

月球使海洋运动的力可以由它与太阳力的比求出，该比值可以由受动于这些力的海洋运动求出。在布里斯托（Bristol）下游3英里的阿文（Avon）河口处，春秋天日月朔望时水面上涨的高度（根据萨缪尔·斯多尔米的观测）达45英尺，但在方照时仅为25英尺。前一个高度是由这些力的和造成的，后一高度则由其差造成。所以，如果以S和L分别表示太阳和月球位于赤道且处于到地球平均距离处的力，则有L＋S比L－S等于45比25，或等于9比5。

在普利茅斯（Plymouth）（根据萨缪尔·科里普莱斯的观测）潮水的平均高度约为16英尺，春秋季朔望时比方照时高7或8英尺。设最大高差为9英尺，则L＋S比L－S等于比，或等于41比23；这一比例与前一比例吻合极好。但因为布里斯托的潮水很大，我们宁可以斯多尔米的观测为依据；所以，在获得更可靠的观测之前，还是使用9比5的比值。

因为水的往复运动，最大潮并不发生于日月朔望之时，而是像我们以前所说过的那样，发生于朔望后的第三小时；或（自朔望起算）紧接着月球在朔望后越过当地子午线第三小时；或宁可说是（如斯多尔米的观测）新月或满月那天后的第三小时，或更准确地说，是新月或满月后的第十二小时，因而落潮发生在新月或满月后的第四十三小时。不过在这些港口它们约发生在月球到达当地子午线后的第七小时；因而紧接着月球到达子午线，在月球距太阳或其方照点超前18或19度时。所以，夏季和冬季中高潮并不发生在二至时刻，而发生于移出至点其整个行程的约十分之一时，即约36或37度时。由类似方法，最大潮发生于月球到达当地子午线之后，月球超过太阳或其方照点约自一个最大潮到紧接其后的另一个最大潮之间总行程的1/10之时。设该距离为约度；在该月球到朔望点或方照点的距离上，太阳力使受月球运动影响而产生的海洋运动的增加或减少，比在朔望点或方照点时要小，其比例等于半径比该距离二倍的余弦，或比37度角的余弦；即比例为10,000,000比7,986,355；所以，在前面的比式中，S的处所必须由0.7986355S来代替。

还有，月球在方照点时，由于它倾斜于赤道，它的力必定减小；因为月球在这些方照点上，或不如说在方照点后度上，相对于赤道的倾角为23°13′；太阳与月球驱动海洋的力都随其相对于赤道的倾斜而约正比于倾角余弦的平方减小；因而在这些方照点上月球的力仅为0.8570327L；因此我们得到L＋0.7986355S比0.8570327L－0.7986355S等于9比5。

此外，月球运动所沿的轨道直径，不考虑其偏心率，相互比为69比70；因而月球在朔望点到地球的距离，比其在方照点到地球的距离，在其他条件不变的情况下，等于69比70；而它越过朔望点度，激起最大海潮时到地球的距离，以及它越过方照点度，激起最小海潮时到地球的距离，比平均距离，等于69.098747和69.897345比。但月球驱动海洋的力反比于其距离的立方变化；因而在这些最大和最小距离上，它的力比它在平均距离上的力，等于0.9830427和1.017522比1。由此我们又得到1.017522L·0.7986355S比0.9830427·0.8570327L－0.7986355S等于9比5；S比L等于1比4.4815。所以，由于太阳力比重力等于1比12,868,200，月球力比重力等于1比2,871,400。

推论Ⅰ．由于海水受太阳力的吸引能升高1英尺又英寸，月球力可使它升高8英尺又英寸；这两个力合起来可以使水升高英尺；当月球位于近地点时可高达英尺，尤其是当风向与海潮方向相同时更是如此。这样大的力足以产生所有的海洋运动，并与这些运动的比例相吻合；因为在那些由东向西自由而开阔的海洋中，如太平洋，以及位于回归线以外的大西洋和埃塞俄比亚海上，海水一般都可以升高6，9，12或15英尺；但据说在极为幽深而辽阔的太平洋上，海潮比大西洋和埃塞俄比亚海的要大；因为要使海潮完全隆起，海洋自东向西的宽度至少需要90度。在埃塞俄比亚海上，回归线以内的水面隆起高度小于温带：因为在非洲和南美洲之间的洋面宽度较窄。在开阔海面的中心，当其东西两岸的水面未同时下落时不会隆起，尽管如此，在我们较窄的海域里，它们还是应交替起伏于沿岸；因此在距大陆很远的海岛上一般只有很小的潮水涨落。相反，在某些港口，海水轮流地灌入和流出海湾，波涛汹涌地奔突往返于浅滩之上，涨潮与落潮必定比一般情形大；如在英格兰的普利茅斯和切斯托·布里奇（Chepstow Bridge），诺曼底的圣米歇尔山和阿弗朗什镇（mountainsof St. Michael，and the town of Avranches，in Normandy），以及东印度的坎贝⁽²⁾和勃固⁽³⁾（Cambaia and Pegu in the East Indies）。在这些地方潮水如此汹涌，有时淹没海岸，有时又退离海岸数英里远。海潮的涨落受潮流和回流的作用总要使水面升高或下落30，40或50英尺以上才停止。同样的道理可说明狭长的浅滩或海峡的情况，如麦哲伦海峡（Magellanic straits）和英格兰附近的浅滩。在这些港口和海峡中，由于潮流和回流极为汹涌使海潮得到极大增强。但面向幽深而辽阔海洋的陡峭沿岸，海潮不受潮流和回流的冲突影响而可以自由涨落，潮位比关系与太阳和月球力相吻合。

推论Ⅱ．由于月球驱动海洋的力比重力等于1比2,871,400，很显然这种力在静力学或流体静力学实验，甚至在摆实验中都是微不足道的。仅仅在海潮中这种力才表现出明显的效应。

推论Ⅲ．因为月球使海洋运动的力比太阳的类似的力为4.4815比1，而这些力（由第一编命题66推论ⅩⅣ）又正比于太阳和月球的密度与它们的视在直径立方的乘积，所以月球密比太阳密度等于4.4815比1，而反比于月球直径的立方比太阳直径的立方；即（由于月球与太阳平均视在直径为和32′12″）等于4891比1000。但太阳密度比地球密度等于1000比4000；因而月球密度比地球密度等于4891比4000，或等于11比9。所以，月球比重大于地球比重，而且上面陆地较多。

推论Ⅳ．由于月球的实际直径（根据天文学家的观测）比地球的实际直径等于100比365，月球物质的质量比地球物质的质量等于1比39.788。

推论Ⅴ．月球表面的加速引力约比地球表面的加速引力小三倍。

推论Ⅵ．月球中心到地球中心的距离比月球中心到地球与月球的公共重心的距离为40.788比39.788。

推论Ⅶ．月球中心到地球中心的平均距离约为（在月球的八分点）个地球最大半径；因为地球的最大半径为19,658,600巴黎尺，而地球与月球中心的平均距离，为个这种半径，等于1,187,379,440巴黎尺。这一距离（由前一推论）比月球中心到地球与月球公共重心的距离为40.788比39.788；因而后一距离为1,158,268,534英尺。又由于月球相对于恒星的环绕周期为27天7小时分，月球在一分钟时间内掠过的角度的正矢为12,752,341比半径1,000,000,000,000,000；而该半径比该正矢等于1,158,268,534尺比14.7706353尺。所以，月球在使之停留在其轨道上的力作用下落向地球时，一分钟时间内可掠过14.7706353尺；如果把这个力按比的比例增大，则可由命题3的推论求得在月球轨道上的总引力；月球在这个力的作用下，一分钟时间内可下落14.8538067尺。在月球到地球距离的1/60处，即在距离地球中心197,896,573尺处，物体因其重量而在一秒钟时间内可下落14.8538067尺。所以，在19,615,800尺的距离处，即在一个平均地球半径处，重物体在相同时间内可下落15.11175尺，或15尺，1寸，又分。这是在45度纬度处物体下落的情形。由以前在命题20中列出的表，在巴黎纬度上下落距离约略长分。所以，通过这些计算，重物体在巴黎纬度上的真空中一秒钟内可下落距离极接近于15巴黎尺，1寸，分。如果从引力中减去由于地球自转而在该纬度上产生的离心力从而使之减小，则重物体一秒内可下落15尺1寸又分。这正是我们以前在命题14和19中得到的重物体在巴黎纬度上实际下落速度。

推论Ⅷ．在月球的朔望点，地球与月球中心的平均距离等于60个地球最大半径，再减去约1/30个半径；而在月球的方照点，相同的中心距离为个地球半径；因为由命题28，这两个距离比月球在八分点的平均距离等于69和70比。

推论Ⅸ．在月球的朔望点，地球与月球中心的平均距离是60个平均地球半径又半径；而在月球的方照点，相同的平均中心距离为61个平均地球半径减去个半径。

推论Ⅹ．在月球的朔望点，其平均地平视差在0，30，38，45，52，60，90度的纬度上分别为57′20″，57′16″，57′14″，57′12″，57′10″，57′8″，57′4″。

在上述计算中，我未考虑地球的磁力吸引，因为其量值极小而且未知：如果一旦能把它们求出来，则对于子午线的度数，不同纬度上等时摆的长度，海洋的运动规律，以及太阳和月球的视在直径求月球视差，都可以通过现象更准确地测定，我们也就有可能使这些计算更加精确。

命题38　问题19

求月球形状。

如果月球是与我们的海水一样的流体，则地球托起其最近点与最远点的力比月球使地球上正对着与正背着月球的海面被托起的力，等于月球指向地球的加速引力比地球指向月球的加速引力，再乘以月球直径比地球直径。即等于39.788比1乘以100比365，或等于1081比100。所以，由于我们的海洋被托起尺，月球流体即应被地球力托起93尺；因此月球形状应是椭球，其最大直径的延长线应通过地球中心，并比与它垂直的直径长186尺。所以，月球的这一形状，必定是从一开始就具备了的。

推论．因此，这正是月球指向地球的一面总是呈现出相同形状的原因；月球球体上其他任何位置上的部分都不能是静止的，而是永远处于恢复到这一形状的运动之中；但是，这种恢复运动，必定进行得极慢，因为激起这种运动的力极弱；这使得永远指向地球的一面，根据命题17中的理由，在被转向月球轨道的另一个焦点时，不能被立即拉回来而转向地球。

引理1

如果APEp表示密度均匀的地球，其中心为C，两极为P，p，赤道为AE；如果以C为中心，CP为半径，作球体Pape，并以QR表示一个平面，它与由太阳中心到地球中心的连线成直角；再设位于该球外侧的地球边缘部分PapAPepE的各粒子，都倾向于离开平面QR的一侧或另一侧，离开的力正比于粒子到该平面的距离；则首先，位于赤道AE上，以及均匀分布于地球之外并以圆环形式环绕着地球的所有粒子的合力和作用，促使地球绕其中心转动，比赤道上距平面QR最远的点A处同样多的粒子的合力和作用，促使地球绕其中心作类似的转动，等于1比2。该圆运动是以赤道与平面QR的公共交线为轴而进行的。

因为，以K为中心，IL为直径，作半圆INL。设半圆周INL被分割为无数相等部分，由各部分N向直径IL作正弦NM。则所有正弦NM的平方的和等于正弦KM的平方的和，而这两个和加在一起等于同样多个半径KN的平方的和；所以所有正弦NM的平方和仅为同样多个半径KN的平方和的一半。

现在设圆周AE被分割为同样多个小的相等部分，从每一个这样部分F向平面QR作垂线FG，也从点A作垂线AH，则使粒子F离开平面QR的力（由题设）正比于垂线FG；而这个力乘以距离CG则表示粒子F推动地球绕其中心转动的能力。所以，一个粒子位于F的这种能力比位于A的能力等于FG·GC比AH·HC；即，等于FC²比AC²：因而所有粒子F在其适当处所F的总能力，比位于A的同样多的能力，等于所有的FC²的和比所有AC²的和，即（由以上所证明过的）等于1比2。

证毕。

因为这些粒子是沿着离开平面QR的垂线方向发生作用的，并且在平面的两侧是相等的，它们将推动赤道圆周与坚固的地球球体一同绕既在平面QR上又在赤道平面上的轴转动。

引理2

仍设相同的条件，则，其次，分布于球体各处的所有粒子推动地球绕上述轴转动的合力或能力，比以圆环形状均匀分布于赤道圆周AE上的同样多的粒子推动整个地球作类似转动的合力，等于2比5。

因为，令IK为任意平行于赤道AE的小圆，令Ll为该圆上两个相等粒子，位于球体Pape之外；在垂直于指向太阳的半径的平面QR上，作垂线LM，lm，则这两个粒子离开平面QR的合力正比于垂线LM，lm。作直线Ll平行于平面Pape，并在X处二等分之；再通过点X作Nn平行于平面QR，与垂线LM，lm相交于N和n；再在平面QR上作垂线XY。则推动地球沿相反方向转动的粒子L和l的相反的力正比于LM·MC和lm·mC；即，正比于LN·MC＋NM·MC，和LN·mC－nm·mC；或LN·MC＋NM·MC和LN·mC－NM·mC，而这二者的差LN·Mm－NM·（MC＋mC）正是二粒子推动地球转动的合力。这个差的正数部分LN·Mm，或2LN·NX，比位于A的两个同样大小的粒子的力2AH·HC，等于LX²比AC²；其负数部分，NM·（MC＋mC），或2XY·CY，比位于A的两个相同粒子的力2AH·HC，等于CX²比AC²。因而，这两部分的差，即两个粒子L和l推动地球转动的合力，比上述位于处所A的两个粒子推动地球作类似转动的力，等于LX²－CX²比AC²。但如果设圆IK的周边IK被分割为无数个相等的小部分L，则所有的LX²比同样多的IX²等于1比2（由引理1）；而比同样多的AC²则等于IX²比2AC²；而同样多的CX²比同样多的AC²等于2CX²比2AC²。所以，在圆IK周边上所有粒子的合力比在A处同样多粒子的合力等于IX²－2CX²比2AC²；所以（由引理1）比圆AE周边上同样多粒子的合力等于IX²－2CX比AC²。

现在，如果设球直径Pp被分割为无数个相等部分，在其上对应有同样多个圆IK，则每个圆周IK上的物质正比于IX²；因而这些物质推动地球的力正比于IX²乘以IX²－2CX²；因而同样多物质的力，如果它位于圆周AE上，则正比于IX²乘以AC²。所以，分布于球外所有圆环上所有物质粒子的总力，比位于最大圆周AE上同样多粒子的总力，等于所有的IX²乘以IX²－2CX²比同样多的IX²乘以AC²，即，等于所有的AC²－CX²乘以AC²－3CX²比同样多的AC²－CX²乘以AC²；即等于所有的AC⁴－4AC²·CX²＋3CX⁴比同样多的AC⁴－AC²·CX²；即，等于流数⁽⁴⁾为AC⁴－4AC²·CX²＋3CX⁴的总流积量，比流数为AC⁴－AC²·CX²的总流积量；所以，运用流数方法知，等于AC⁴·CX²比；即，如果以总的Cp或AC代替CX，则等于比；即等于2比5。

证毕

引理3

仍设相同条件，则，第三，由所有粒子的运动而产生的整个地球绕上述轴的转动，比上述圆环绕相同轴转动的运动，等于地球的物质比环的物质，再乘以四分之圆周弧的平方的三倍比该圆直径平方的二倍，即等于物质与物质的比，乘以数925,275比数1,000,000。

因为，柱体绕其静止轴的转动比与它一同旋转的内切球体的运动，等于四个相等的平方比这些平方中三个的内切圆，而该柱体的运动比环绕着球与柱体的公共切线的极薄的圆环的运动，等于二倍柱体物质比三倍环物质；而均匀连续围绕着柱体的环的运动，比同一个环绕其自身直径作周期相等的均匀转动运动，等于圆的周长比其二倍直径。

假设Ⅱ

如果地球的其他部分都被除去，仅留下上述圆环单独在地球轨道上绕太阳作年度环绕，同时它还绕其自身的轴作日自转运动，该轴与黄道平面倾角为度，则不论该环是流体的，或是由坚硬而牢固物质所组成的，其二分点的运动都保持不变。

命题39　问题20

求二分点的岁差。

当交会点位于方照点时，月球交会点在圆轨道上的中间（middle）小时运动为；其一半（出于前面解释过的理由）为交会点在这种轨道上的平均小时运动，这种运动在一个回归年中为20°11′46″。所以，由于月球交会点在这种轨道上每年后移20°11′46″，则如果有多个月球，每个月球的交会点的运动（由第一编命题66推论ⅩⅥ）将正比于其周期时间，如果一个月球在一个恒星日内沿地球表面环绕一周，则该月球交会点的年运动比20°11′46″等于一个恒星日23小时56分，比月球周期27天7小时43分，即，等于1436比39,343。围绕着地球的月球环交会点也是如此，不论这些月球是否相互接触，是否为流体而形成连续环，是否为坚硬不可流动的固体环。

那么，让我们令这些环的物质量等于地球整个外缘PapAPepE，它们都在球体Pape以外（见引理2插图）；图为该球体比地球外缘部分等于ac²比AC²－aC²，即（由于地球的最小半径PC或aC比地球的最大半径AC等于229比230），等于52,441比495；如果该环沿赤道环绕地球，并一同环绕直径转动，则环运动（由引理3）比其内的球运动等于459比52,441再乘以1,000,000比925,275，即，等于4590比485,223；因而环运动比环与球体运动的和等于4590比489,813。所以，如果环是固着在球体上的，并把它的运动传递给球体，使其交会点或二分点后移，则环所余下的运动比前一运动等于4590比489,813；由此，二分点的运动将按相同比例减慢。所以，由环与球体所组成的物体的二分点的年运动，比运动20°11′46″等于1436比39,343再乘以4590比489,813，即，等于100比292,369。但使许多月球的交会点（由于上述理由），因而使环的二分点后移的力（即，在命题30插图中的力3IT），在各粒子中都正比于这些粒子到平面QR的距离；这些力使粒子远离该平面：因而（由引理2），如果环物质扩散到整个球的表面，形成PapAPepE的形状，构成地球外缘部分，则所有粒子推动地球绕赤道的任意直径，进而推动二分点运动的合力或能力，将按2比5比以前减小。所以，现在二分点的年度逆行比20°11′46″等于10比73,092；即，应为。

但因为赤道平面与黄道平面是斜交的，这一运动还应按正弦91,706（即度的余弦）比半径100,000的比值减小；余下的运动为，这就是由太阳力产生的二分点年度岁差。

但月球驱动海洋的力比太阳驱动海洋的力约为4.4815比1；月球驱动二分点的力比太阳力也为相同比例。因此，月球力使二分点产生的年度岁差为，二者的合力造成的总岁差为，这一运动与现象是吻合的；因为天文学观测给出的二分点岁差为约50″。

如果地球在其赤道处高于两极处英里，则其表面附近的物质较中心处稀疏；而二分点的岁差则随高差增大而增大，又随密度增大而减小。

迄此我们已讨论了太阳、地球、月球和诸行星系统的情形，以下需要研究的是彗星。

引理4

彗星远于月球，位于行星区域。

天文学家们认为彗星位于月球以外，因为看不到它们的日视差，而其年视差表明它们落入行星区域；因为如果地球位于它们与太阳之间，则按各星座顺序沿直线路径运动的所有彗星，在其显现的后期比正常情况运行得慢或逆行；而如果地球相对于它们处在太阳的对面，则又比正常情况快；另一方面，沿各星座逆秩运动的彗星，如果地球介于它们与太阳之间，则在其显现的后期快于正常情况；而如果地球在其轨道的另一侧，则又太慢或逆行。这些现象主要是由地球相对于其运动路径的不同位置决定的，与行星的情形相同，行星运动看起来有时逆行，有时很慢，有时很快，顺行，这要由地球运动与行星运动的方向相同或相反来决定。如果地球与行星运动方向相同，但由于地球绕太阳的角运动较快，使得由地球伸向彗星的直线会聚于彗星以外部分，由在地球上看来，由于彗星运动较慢，它显现出逆行；甚至即使地球慢于彗星，在减去地球的运动之后，彗星的运动至少也显得慢了；但如果地球与彗星运动方向相反，则彗星运动将因此而明显加快；由这些视在的加速、变慢或逆行运动，可以用下述方法求出彗星的距离。令rQA，rQB，rQC为观测到彗星初次显现时的黄纬，rQF为其消失前所最后测出的黄纬。作直线ABC，其上由直线QA和QB，QB和QC所截开的部分AB，BC相互间的比等于前三次观测之间的两段时间的比。延长AC到G，使AG比AB等于第一次与最后一次观测之间的时间比第一次与第二次观测之间的时间；连接QG。如果彗星的确沿直线匀速运动，而地球或是静止不动，或是也类似地沿直线做匀速运动，则角rQG为最后观测到彗星的黄纬，因而，彗星与地球运动的不等性即产生表示黄纬差的角FQG，如果地球与彗星反向运动，则该角叠加在角rQG上，彗星的视在运动加速；但如果彗星与地球同向运动，由它应从中减去，彗星运动或是变慢，或可能变为逆行，像我们刚才解释过的那样。所以，这个角主要由地球运动而产生，可恰当地视为是彗星的视差，在此忽略不计彗星在其轨道上不相等运动所引起的增量或减量。由该视差可以这样推算出彗星距离。令S表示太阳，acT表示大轨道，a为第一次观测时地球的位置，C为第三次观测时地球的位置，T为最后一次观测彗星时地球的位置，Tr为作向白羊座首星的直线。取角rTV等于角rQF，即，等于地球位于T时彗星的黄纬；连接ac并延长到g，使ag比ac等于AG比AC；则g为最后一次观测时，如果地球沿直线ac匀速运动所达到的位置。所以，如果作gr平行于Tr。并使角等于角rQG，则该角rgV等于由位置g所看到的彗星的黄纬，而角TVg则为地球由位置g移到位置T所产生的视差；所以位置V为彗星在黄道平面上的位置。一般而言这个位置V低于木星轨道。

由彗星路径的弯曲度也可求出相同的结果；因为这些星体几乎沿大圆运动，而且速度极大；但在它们路径的末端，当其由视差产生的视在运动部分在其总视在运动中占很大比例时，它们一般地都偏离这些大圆，这时地球在一侧，而它们偏向另一侧；因为相对于地球的运动，这些偏折必定主要是由视差所产生的；偏折量如此之大，按我的计算，彗星隐没位置尚远低于木星。由此可推知，当它们位于近地点和近日点而接近我们时，通常低于火星和内层行星的轨道。

彗头的光亮也可进一步证实彗星的接近。因为天体的光亮是受之于太阳的，在远离时正比于距离的四次幂而减弱；即由于其到太阳距离的增加而正比于平方，又由于其视在直径的减小而正比于平方。所以，如果彗星的光的量与其视在直径是给定的，则其距离就可以取彗星到一颗行星的距离正比于它们的直径反比于亮度的平方根而求出。在1682年出现的彗星，弗莱姆斯蒂德⁽⁵⁾先生使用16英尺望远镜配置千分仪，测出它的最小直径为2′00″；但位于其头部中央的彗核或星体不超过这一尺度的十分之一，因而其直径只有11″或12″；但它的头部光亮和辉光却超过1680年的彗星，与第一或第二星等的恒星差不多。设土星及其环的亮度为其四倍；因为环的亮度几乎等于其内部的星体，星体的视在直径约为21″，因而星体与环的复合亮度与一个直径30″的星体相等，由此推知该彗星的距离比土星的距离，反比于1比，正比于12″比30″；即等于24比30，或4比5。另外，海威尔克（Hewelcke）告诉我们，1665年4月的彗星，亮度几乎超过所有恒星，甚至比土星的光彩更加生动；因为该彗星比前一年年终时出现的另一颗彗星更亮，与第一星等的恒星差不多。其头部直径约6′，但通过望远镜观测发现，其彗核仅与行星差不多，比木星还小；较之土星环内的星体，它有时略小，有时与之相等。所以，由于彗星头部直径很少超过8′或12′，而其彗核部分的直径仅为头部的十分之一或十五分之一，这似乎表明彗星的视在尺度一般与行星相当。但由于它们的亮度常常与土星相近，而且，有时还超过它，很明显所有的彗星在其近日点时或是低于土星，或在其上不远处；有人认为它们差不多与恒星一样远，实在荒谬之至；因为如果真是如此，则彗星得自太阳的光亮绝不可能超过行星得自恒星的光亮。

迄此为止我们尚未考虑彗星由于其头部为大量浓密的烟尘所包围而显得昏暗，彗头在其中就像在云雾中一样总是暗淡无光。然而，物体越是为这种烟尘所笼罩，它必定越能接近太阳，这使得它所反射的光的量与行星不相上下。因此彗星很可能落到远低于土星轨道的地方，像我们通过其视差所证明的那样。但最重要的是，这一结论可以由彗尾加以证明，彗尾必定或是由彗星产生的烟尘在以太中扩散而反射阳光形成的，或是由其头部的光所形成的。如果是第一种情形，我们必须缩短彗星的距离，否则只能承认彗头产生的烟尘能以不可思议的速度在巨大的空间中传播和扩散；如果是后一情形，彗头和彗尾的光只能来自彗核。但是，如果设想所有这些光都集聚在其核部之内，则核部本身的亮度必远大于木星，尤其是当它喷射出巨大而明亮的尾部时。所以，如果它能以比木星小的视在直径反射出比木星多的光，则它必定受到多得多的阳光照射，因而距太阳极近；这一理由将使彗头在某些时候进入金星的轨道之内，即，在这时，彗星淹没在太阳的光辉之中，像它们有时所表现的那样，喷射出像火焰一样的巨大而明亮的彗尾；因为，如果所有这些光都集聚到一颗星体上，它的亮度不仅有时会超过金星，还会超过由许多金星所合成的星体。

最后，由彗头的亮度也能推出相同结论。当彗星远离地球趋近太阳时其亮度增加，而在由太阳返向地球时亮度减少。因此，1665年的彗星（根据海威尔克的观测），从它首次被发现时起，一直在失去其视在运动，因而已通过其近地点；但它头部的亮度却逐日增强，直至淹没在太阳光之中，彗星消失。1683年的彗星（根据海威尔克的观测），约在7月底首次出现，其速度很慢，每天在其轨道上只前进约40或45分；但从那时起，其日运动逐渐增快，直到9月4日，达到约5度；因而，在这整个时间间隔里，该彗星是趋近地球的。这也可以由以千分仪对其头部直径的测量来证明；在8月6日，海威尔克发现它只有6′5″，这还包括彗发（coma），而到9月2日，他发现已变为9′7″；因而在其运动开始时头部远小于结束时，虽然在开始时，由于接近太阳，其亮度远大于结束时，正像海威尔克所指出的那样。所以在这整个时间间隔里，由于它是离开太阳的，尽管在靠近地球，但亮度却在减小。1618年的彗星，约在12月中旬，1680年的彗星，约在同一个月底，达到其最大速度，因而是位于近地点的，但它们的头部最大亮度，却出现在两周以前，当时它们刚从太阳光中显现，彗尾的最大亮度出现得更早些，那时距太阳更近。前一颗彗星的头部（根据赛萨特⁽⁶⁾的观测），12月1日超过第一星等的恒星；12月16日（位于近地点），其大小基本不变，但其亮度和光芒却大为减小。1月7日，开普勒由于无法确定其彗头而放弃观测。12月12日，弗莱姆斯蒂德先生发现，后一颗彗星的彗头距太阳只有9度，亮度不足第三星等。12月15日和17日，它达到第三星等，但亮度由于落日的余晖和云雾而减弱。12月26日，它达到最大速度，几乎位于其近地点，出现在近于飞马座口（mouth of Pegasus）的地方，亮度为第三星等。1月3日，它变为第四星等。1月9日，第五星等。1月13日，它被月光淹没，当时月光正在增强。1月25日，它已不足第七星等。如果我们取在近地点两侧相等的时间间隔作比较，就会发现，在两个时间间隔很大但到地球距离相等时，彗头的所表现的亮度是相等的，在近地点趋向太阳的一侧时达到最大亮度，在另一侧消失。所以，由一种情况与另一种情况的巨大的亮度差，可以推断出，在太阳附近的大范围里出现的彗星属于前一种情况，因为其亮度呈规则变化，并在彗头运动最快时最大，因而位于近地点，除非它因继续靠近太阳而增大亮度。

推论Ⅰ．彗星的光芒来自对太阳光的反射。

推论Ⅱ．由上述理由可类似地解释为什么彗星总是频繁出现在太阳附近而在其他区域很少出现。如果它们在土星以外是可见的，则应更频繁地出现于背向太阳一侧；因为在距地球更近的一些地方，太阳会使出现在其附近的彗星受到遮盖或淹没。然而，我通过考查彗星历史，发现在面向太阳的一侧出现的彗星四倍或五倍于在背向太阳的一侧；此外，被太阳光辉所淹没的彗星无疑也绝不是少数：因为落入我们的天区的彗星，既不射出彗尾，又不为阳光所映照，无法为我们的肉眼所发现，直到它们距我们比距木星更近时为止。但是，在以极小半径绕太阳画出的球形天区中，远为更大的部分位于地球面向太阳的一侧；在这部分空间里彗星一般受到强烈照射，因为它们在大多数情况下都接近太阳。

推论Ⅲ．因此很明显地，天空中没有阻力存在；因为虽然彗星是沿斜向路径运行的，并有时与行星方向相反，但它们的运动方向有极大自由，并可以将运动保持极长时间，甚至在与行星逆向运动时也是如此。如果它们不是行星中的一种，沿着环形轨道作连续运动的话，则我的判断必错无疑；按某些作者的观点，彗星只不过是流星而已，其根据是彗星在不断变化，但是证据不足；因为彗头为巨大的气团所包围，该气团底层的密度必定最大；因而我们所看到的只是气团，而不是彗星星体本身。这和地球一样，如果从行星上看，毫无疑问，只能看到地球上云雾的辉光，很难透过云雾看到地球本身。这也和木星带一样，它们由木星上云雾组成，因为它们相互间的位置不断变化，我们很难透过它们看到木星实体；而彗星实体必定更是深藏在其浓厚的气团之内。

命题40　定理20

彗星沿圆锥曲线运动，其焦点位于太阳中心，由彗星伸向太阳的半径掠过的面积正比于时间。

本命题可以由第一编命题13推论Ⅰ与第三编命题8，12，13相比较而得证。

推论Ⅰ．如果彗星沿环形轨道运动，则轨道是椭圆；而周期时间比行星的周期等于它们主轴的次幂相比。因而彗星在其轨道上绝大部分路程中都较行星为远，因而其长轴更长，完成环绕时间更长。因此，如果彗星轨道的主轴比土星轨道轴长四倍，则彗星环绕时间比土星环绕时间，即比30年，等于（或8）比1，因而为240年。

推论Ⅱ．彗星轨道与抛物线如此接近，以至于以抛物线代替之没有明显误差。

推论Ⅲ．因而，由第一编命题16推论Ⅶ，每颗彗星的速度，比在相同距离处沿圆轨道绕太阳旋转的行星的速度，近似等于行星到太阳中心的二倍距离与彗星到太阳中心距离的比的平方根。设大轨道的半径或地球椭圆轨道的最大半径包含100,000,000个部分；则地球的平均日运动掠过1,720,212个部分，小时运动为个部分。因而彗星在地球到太阳的平均距离处，以比地球速度等于比1的速度运动时，日运动掠过2,432,747个部分，小时运动为个部分。而在较大或较小距离上，其日运动或小时运动比这一日运动或小时运动等于其距离的平方根的反比，因而也是给定的。

推论Ⅳ．所以，如果该抛物线的通径四倍于大轨道半径，而该半径的平方设为包括100,000,000个部分，则彗星由其伸向太阳的半径每天掠过的面积为个部分，小时运动的面积为个部分。但是，如果其通径以任何比例增大或缩小，则日运动或小时运动的面积将反比于该比值的平方根减小或增大。

引理5

求通过任意个已知点的抛物线类曲线。

设这些点为A，B，C，D，E，F等，它们到任意给定直线HN的位置是给定的，作同样多个垂线AH，BI，CK，DL，EM，FN等。

情形1．如果点H，I，K，L，M，N等的间隔HI，IK，KL等是相等的，取b，2b，3b，4b，5b等为垂线AH，BI，CK等的一次差；其二次差为c，2C，3c，4c等；三次差为d，2d，3d，4d等；即，与AH－BI＝b一样，BI－CK＝2b，CK－DL＝3b，DL＋EM＝4b，－EM＋FN＝5b等；于是，b－2b＝c，以此类推，直至最后的差，在此为f。然后，作任意垂线RS，它可看做是所求曲线的纵坐标，为求该纵坐标长度，设间隔HI，IK，KL，LM等为单位长度，令AH乘以乘以乘以乘以＋SM＝t；将这一方法不断使用直至最后一根垂线ME，并在由S到A的诸项HS，IS等的前面加上负号；而在点S另一侧诸项SK，SL等的前面加上正号；正负号确定以后，RS＝a＋bp＋cq＋dr＋es＋ft＋……

情形2．如果点H，I，K，L等的间隔HI，IK等不相等，取垂线AH，BI，CK等的一次差b，2b，3b，4b，5b等，除以这些垂线间的间隔；再取它们的二次差c，2c，3c，4c等，除以每两个垂线间的间隔；再取三次差d，2d，3d等，除以每三个垂线间的间隔；再取四次差e，2e等除以每四个垂线间的间隔，以此类推下去；即，按这种方法进行，等，则等，而等。求出这些差之后，令AH＝a，－HS＝p，p乘以－IS＝q，q乘以＋SK＝r，r乘以＋SL＝s，s乘以＋SM＝t；将这一办法一直使用到最后一根垂线ME；则纵坐标RS＝a＋bp＋cq＋dr＋es＋ft＋……

推论．由此可以近似地求出所有曲线的面积；因为，只要求得了欲求其面积的曲线上的若干点，即可以设一抛物线通过这些点，该抛物线的面积即近似等于所求曲线的面积；而抛物线的面积总是可以用众所周知的几何方法求得的。

引理6

彗星的某些观测点已知，求彗星在点间任意给定时刻的位置。

令HI，IK，KL，LM（在前一插图中）表示各次观测的时间间隔；HA，IB，KC，LD，ME为彗星的五次观测经度；HS为由第一次观测到所求经度之间的给定时间。则如果设规则曲线ABCDE通过点A，B，C，D，E，由上述引理可以求出纵坐标RS，而RS即为所求的经度。

用同样的方法，由五个观测可以求出彗星在任意给定时刻的经度。

如果观测经度的差很小，比如只有4或5度，则三或四次观测即足以求出新的经度和纬度；但如果差别很大，如有10或20度，则应取五次观测。

引理7

通过给定点P作直线BC，其两部分为PB，PC，两条位置已定的直线AB，AC与它相交，则PB与PC的比可以求出。

设任意直线PD通过给定点P与二条已知直线中的一条AB相交；把它向另一条已知直线AC一侧延长到E，使PE比PD为给定比值。令EC平行于AD。作CPB，则PC比PB等于PE比PD。

完毕。

引理8

令ABC为一抛物线，其焦点为S。在Ⅰ点被二等分的弦AC截取扇形ABCA⁽⁷⁾，其直径Iμ，顶点为μ。在Iμ的延长线上取μO等于Iμ的一半，连接OS，并延长到ξ，使Sξ等于2SO。设一彗星沿CBA运动，作ξB，交AC于E，则点E在弦AC上截下的一段近似正比于时间。

因为，如果连接EO，与抛物线弧ABC相交于Y，再作μX与同一段弧相切于顶点μ，与EO相交于X，则曲线面积AEXμA比曲线面积ACYμA等于AE比AC；因而，由于三角形ASE比三角形ASC也为同一比值，整个面积ASEXμA比整个面积ASCYμA等于AE比AC。但因为ξO比SO等于3比1，而EO比XO为同一比值，SX平行于EB；因而，连接BX则三角形SEB等于三角形XEB。所以，如果在面积ASEXμA上迭加上三角形EXB，再在得到的和中减去三角形SEB，余下的面积ASBXμA仍等于面积ASEXμA，因而比面积ASCYμA等于AE比AC。但面积ASBYμA近似等于面积ASBXμA；而该面积ASBYμA比面积ASCYμA等于掠过弧AB的时间比掠过整个AC弧的时间；所以，AE比AC近似地为时间的比。

证毕。

推论．当点B落在抛物线顶点μ上时，AE比AC精确地等于时间的比。

附注

如果连接μξ与AC相交于δ，在其上取ξn比μB等于27MI比16Mμ，作Bn，则该Bn分割弦AC比以前更精确地正比于时间；但点n取在点ξ的外侧或内侧，应根据点B距抛物线顶点较点μ远或近来决定。

引理9

直线Iμ和μM，以及长度，相互间相等。

因为4Sμ是属于顶点μ的抛物线的通径。

引理10

延长Sμ到N和P，使μN比μI的1/3，SP比SN等于SN比Sμ；在彗星掠过弧AμC的时间内，如果设它的运动速度为等于SP的高度，则它掠过的长度等于弦AC。

如果彗星在上述时间内在点μ的速度为假设它沿与抛物线相切于点μ的直线匀速运动的速度，则它以伸向点S的半径所掠过的面积等于抛物线面积ASCμA；因而由所掠过切线的长度与长度Sμ所围成的面积比长度AC和SM围成的面积，等于面积ASCμA比三角形ASC，即等于SN比SM。所以AC比在切线上掠过的长度等于Sμ比SN。但由于彗星的速度SP（由第一编命题16推论Ⅵ）比速度Sμ，等于SP与Sμ的反比的平方根，即等于Sμ比SN，因而以该速度掠过的长度比在相同时间内在切线上掠过的长度，等于Sμ比SN。所以，由于AC，以及以这个新速度所掠过的长度与在切线上掠过的长度有相同比值，它们之间也必定相等。

证毕。

推论．所以，彗星以高度为的速度运动时，在同一时间内可近似掠过弦AC。

引理11

如果彗星失去其所有运动，并由高度SN或处向太阳落下，并且在下落中始终受到太阳的均匀而持续的拉力，则在等于它沿其轨道掠过弧AC所用的时间内，它下落的空间等于长度Iμ。

因为在与彗星掠过抛物线弧AC相等的时间内，它应（由前一引理）以高度SP处的速度掠过弦AC；因而（由第一编命题16推论Ⅶ），如果设它在相同时间内在其自身引力作用下沿一半径为SP的圆运动，则它在该圆上掠过的长度比抛物线弧AC的弦应等于1比。所以，如果它以在高度SP处被吸引向太阳的重量自该高度落向太阳，则它（由第一编命题16推论Ⅸ）应在上述的一半时间内掠过上述弦的一半的平方，再除以四倍的高度SP，即它应掠过空间。但由于彗星在高度SN处指向太阳的重量比它在SP处指向太阳的重量等于SP比Sμ，彗星以其在高度SN处的重量由该高度落向太阳时，应在相同时间内掠过距离；即掠过等于长度Iμ或μM的距离。

命题41　问题21

由三个给定观测点求沿抛物线运动的彗星轨道。

这一问题极为困难，我曾尝试过许多解决方法；在第一编的问题中，有几个就是我专门为此而设置的，但后来我发现了下述解法，它比较简单。

选择三个时间间隔近似相等的观测点；但应使彗星在一个时间间隔里的运动快于在另一间隔里；即，使得时间的差比时间的和等于时间的和比600天；或使点E落在点M附近指向Ⅰ而不是指向A的一侧。如果手头上没有这样的直接观测点，必须由引理6求出一个新的。

令S表示太阳；T，t，T表示地球在地球轨道上的三个位置；TA，tB，TC为彗星的三个观测经度；V为第一次与第二次观测的时间间隔；W为第二与第三次的时间间隔；X为在整个时间V＋W内彗星以其在地球到太阳的平均距离上运动的速度所掠过的长度，该长度可以由第三编命题40推论Ⅲ求出；而tV为落在弦Tt上的垂线。在平均观测经度tB上任取一点B作为彗星在黄道平面上的位置；由此处向太阳S作直线BE，它比垂线tV等于SB与St²的乘积比一直角三角形斜边的立方，该三角形一直角边为SB，另一直角边为彗星在第二次观测时纬度相对于半径tB的正切。通过点E（由引理7）作直线AEC，其由直线TA和TC所截的两段AE与EC相互间的比，等于时间V比W：则A和C为彗星为第一和第三次观测时在黄道平面上的近似位置，如果B设定为第二次观测位置的话。

在以I为二等分点的AC上，作垂线Ii。通过B作AC的平行线。再设想作直线Si，与AC相交于λ，完成平行四边形iIλμ。取Iδ等于3Iλ；通过太阳S作直线σξ等于3Sδ＋3iλ。则，删去字母A，E，C，I，由点B向点ξ作新的直线BE，使它比原先的直线BE等于距离BS与量的比的平方。通过点E再按与先前一样的规则作直线AEC；即，使得其部分AE和EC相互间的比等于观测间隔V比W。这样，A和C即为彗星更准确的位置。

在以I为二等分点的AC上作垂线AM，CN，IO，其中AM和CN为第一和第三次观测纬度比半径TA和TC的正切。连接MN，交IO于O。像先前一样作矩形iIλμ。在IA延长线上取ID等于。再在MN上向着N一侧取MP，使它比以上求得的长度X等于地球到太阳的平均距离（或地球轨道的半径）与距离OD的比的平方根。如果点P落在N上，则A，B和C为彗星的三个位置，通过它们可以在黄道平面上做出彗星轨道。但如果P不落在N上，则在直线AC上取CG等于NP，使点G和P位于直线NC的同侧。

用由设定点B求得点E，A，C，G相同的方法，可以由任意设定的其他点b和β求出新的点e，a，c，g和ε，a，k，γ。再通过G，g，和γ作圆Ggγ与直线TC相交于Z；则Z为彗星在黄道平面上的一个点。在AC，ac，ak上取AF，af，aø分别等于CG，cg，ky；通过点F，f和ø作圆Ffø，交直线AT于X；则点为彗星在黄道平面上的另一点，再在点X和Z上向半径TX和TZ作彗星的纬度切线，则彗星在其轨道上的两个点确定。最后，如果（由第一编命题19）作一条以S为焦点的抛物线通过这两个点，则该抛物线就是彗星轨道。

完毕。

本问题作图的证明是以前述诸引理为前提的，因为根据引理7，直线AC在E比例于时间分割，像它在引理8中那样；而BE，由引理11，是黄道平面上直线BS或Bξ的一部分，介于弧ABC与弦AEC之间；MP（由引理10推论）则该弧的弦长，彗星在其轨道上在第一和第三次观测之间掠过它，因而等于MN，在此设定B是彗星在黄道平面上的一个真实位置。

然而，如果点B，b，β不是任意选取的，而是接近真实的，则较为方便。如果可以粗略知道黄道平面上的轨道与直线tB的交角AQt，以该角关于Bt作直线AC，使它比等于SQ与St的比的平方根；再作直线SEB使其部分EB等于长度Vt，则点B可以确定，我们把它用于第一次观测。然后，消去直线AC，再根据前述作图法重新画出AC，进而求出长度MP，并在tB上按下述规则取点b：如果TA与TC相交于Y，则距离Yb比距离YB等于MP比MN再乘以SB与Sb的比的平方根。如果愿意把相同的操作再重复一次的话，即可以求出第三个点β；但如果按这一方法行事，一般地两个点即已足够；因为如果距离Bb极小，则可在点F，f和Gg，求出后作直线Ff和Gg，它们将在所求的点X和Z与TA和TC相交。

例

我们来研究1680年的彗星。下表显示它的运动情况，是由弗莱姆斯蒂德观测记录，并由他本人做出推算的，哈雷博士根据该观测记录又做了校正。

可以把我的观测数据补充进来。

这些观测数据是用7英尺望远镜配以千分仪得到的，准线调在望远镜的焦点上；我们用这些仪器测定了恒星的相互位置，以及彗星相对于恒星的位置。令A表示英仙座（Perseus）左侧的第四颗亮星（贝耶尔⁽⁸⁾的o星），B表示左侧第三颗亮星（贝耶尔的ξ星），C表示同侧第六颗星（贝耶尔的n星），D，E，F，G，H，I，K，L，M，N，O，Z，α，β，γ，δ表示同侧的其他较小的星；令p，P，Q，R，S，T，V，X表示对应于上述观测的彗星位置；设AB的距离为部分，AC为部分；BC为，而HO比HI等于7比6，把它延长，自恒星D和E之间穿过，使得恒星D到该直线距离为。LM比LN等于2比9，延长之并通过恒星H。这样恒星间的相互位置得到确定。

之后，庞德先生又再次观测了这些恒星的相互位置，得到的经度和纬度与上表相吻合。

彗星相对于上述恒星的位置确定如下：

旧历2月25日，星期五，下午8点半，彗星位于p处，到E星的距离小于，大于，因而近似等于；角ApE稍钝，但几乎为直角。因为由A向pE作垂线，彗星到该垂线的距离为。

同晚9点半，彗星位于P，到E星距离大于，小于，因而近似为AE，或。但彗星到由A作向PE的垂线距离为。

2月27日，星期日，下午8点一刻，彗星位于Q，到O星的距离等于O星与H星的距离；QO的延长线自K和B星之间穿过。由于云雾的干扰，我无法很准确地测定恒星位置。

3月1日，星期二，下午11点，彗星位于R，恰好位于K和C星连线上，这使得直线CRK的CR部分略大于，略小于，因而，或。

3月2日，星期三，下午8点，彗星位于S，距C星约；F星到直线CS的延长线距离为；B星到同一条直线的距离为F星距离的5倍；直线NS的延长线自H和I之间穿过，距H星较I星近约6倍。

3月5日，星期六，下午11点半，彗星位于T，直线MT等于，直线LT的延长线自B和F间穿过，距F比距B近四或五倍，在BF线上F一侧截下五分之一或六分之一；MT的延长线自空间BF以外B一侧通过，距B星较距F星近四倍。M是颗很小的星，很难为望远镜发现；但L星很暗，大约为第八星等。

3月7日，星期一，下午9点半，彗星位于V，直线Vα的延长线自B和F之间穿过，在BF上F一侧截下BF的，比直线Vβ等于5比4。彗星到直线αβ的距离为。

3月9日，星期三，下午8点半，彗星位于X，直线γx等于；由δ星作向直线γx的垂线为γδ的。

同晚12，彗星位于Y，直线γY等于γδ的，或略小一点，也许为γδ的；由δ星作向直线γY的垂线约等于γδ的或。但由于彗星极接近于地平线，很难辨认，因而其位置的确定精度不如以前的高。

我根据这些观测，通过作图和计算推算出彗星的经度和纬度；庞德先生通过校正恒星的位置也更准确地测定了彗星的位置，这些准确位置都已在前面的表中列出。我的千分仪虽然不是最好的，但其在经度和纬度方面的误差（由我的观测推算）很少超过一分。彗星（根据我的观测）的运动，在末期开始由它在2月底时掠过的平行线向北方明显的倾斜。

现在，为了由上述观测数据中推算出彗星的轨道，我选择了弗莱姆斯蒂德的三次观测（12月21日，1月5日和1月25日）；设地球轨道半径包括10,000部分，求出St为9842.1部分，Vt为455部分。然后，对于第一次观测，设tB为5657部分，求得SB为977，第一次观测时BE为412，Sμ为9053，iλ为413；第二次观测时BE为421，OD为10,186，X为8528.4，PM为8450，MN为8475，NP为25；由此，在第二次计算中得到，距离tb为5640；这样，我最后算出距离TX为4775，TZ为11,322。根据这些数值求出的轨道，我发现，彗星的下降交会点位于，上升交会点位于；其轨道平面相对于黄道平面的倾角为，顶点（或彗星的近日点）距交会点8°38′，位于，南纬37°34′。通径为236.8；由彗星伸向太阳的半径每天掠过的面积，在设地球轨道半径的平方为100,000,000时，为93,585；彗星在该轨道上沿着星座顺序方向运动，在12月8日下午00时04分到达其轨道顶点或近日点；所有这些，我是使用直尺和罗盘，在一张很大的图上获得的，为适合地球轨道的半径（包含10,000个部分），该图取该半径等于英寸；而各角的弦是在自然正弦表上求得的。

最后，为检验彗星是否确定在这一求出的轨道上运动，我用算术计算配合以直尺和罗盘，求出了它在该轨道上对应于观测时间的位置，结果列于下表：

但后来哈雷博士以算术计算法求出了比作图法精确得多的彗星轨道；其交会点在和之间摆动，转道平面对黄道平面的倾角为，彗星也是在12月的8日003时04分到达其近日点。他发现近日点到彗星轨道的下降交会点距离为9°20′，抛物线的通径为2430部分；由这些数据通过精确的算术计算，他求出对应于观测时间的彗星位置，列于下表：

这颗彗星早在11月时已出现，在萨克森的科堡（Coburg, in Saxony），哥特弗里德·基尔希⁽⁹⁾先生于旧历这个月的4日、6日和11日都作过观测；由观测到的该彗星相对于最接近的恒星的位置，有时是以二英尺镜获得的，有时是以十英尺镜获得的；由科堡与伦敦的经度差11°；再由庞德先生观测的恒星位置，哈雷博士推算出彗星的位置如下：

出现在伦敦的时间，11月3日17时2分，彗星在，北纬1°17′45″。

11月5日15时58分，彗星位于，北纬1°6′。

11月10日16时31分，彗星距位于的两颗星距离相等，按贝耶尔的表示为δ和T；但它还没有完全到达二者的连线上，而与该线十分接近。在弗莱姆斯蒂德的星表中，当时δ星位于，约北纬1°41′，而T是位于，南纬；这两颗的中点为，北纬。令彗星到该直线的距离为约10′或12′；则彗星与该中点的经度差为7′；纬度差为；因此，该彗星位于，约北纬26′。

第一次观测到的彗星相对于某些小恒星的位置具有所期望的所有精度；第二次观测也足够精确。第三次观测精度最低，误差可能达6′或7′，但不会更大。该彗星的经度，在第一次也是最精确的观测中，按上述抛物线轨道计算，位于，其北纬为1°25′7″，到太阳的距离为115,546。

哈雷博士进一步指出，考虑到有一颗奇特的彗星以每575年的相等时间间隔出现过四次（即，在朱里乌斯·恺撒〔Julius Gaesar〕被杀后的9月份⁽¹⁰⁾；〔在纪元〕531年，兰帕迪乌斯和奥里斯特斯〔Lampadius and Orestes〕执政；〔在〕1106年的2月；以及1680年底；它每次出现都有很长很明亮的尾巴，只是在恺撒死后那一次，由于地球位置不方便，它的尾部没有这样惹人注目），他推算出它的椭圆轨道，其长轴为1,382,957部分，在此，地球到太阳的平均距离为10,000部分；在该轨道上，彗星运行周期应为575年；其上升交会点在，轨道平面与黄道平面交角为61°6′48″，彗星在该平面上的近日点为25″，到达该点时间为12月7日23时9分，在黄道平面上近日点到上升交会点的距离为9°17′35″，其共轭轴为18,481.2，据此，他推算出彗星在这椭圆轨道上的运动。由观测得到的，以及由该轨道计算出的彗星位置，都在下表中列出。

对这颗彗星的观测，自始至终都与在刚才所说的轨道上计算出的彗星运动完全吻合，一如行星运动与由引力理论推算出的运动相吻合，这种一致性明白无误地显示出每次出现的都是同一颗彗星，而且它的轨道也已正确地得出。

在上表中我们略去了11月16日，18日，20日和23日的几次观测，因为它们不够精确。在这几次时间里，许多人都在观测这颗彗星。旧历11月17日，庞修（Ponthio）和他的同事在罗马于早晨6时（即伦敦5时10分）将准线对准恒星，测出彗星位于，南纬0°41′。他们的观测记录可以在庞修发表的一篇关于这颗彗星的论文中找到。切里奥（Cellio）当时在场，他在致卡西尼的一封信中报告说，该彗星在同一时刻位于，南纬0°30′。伽列特（Gallet）在阿维尼翁（Avignon）于同一小时（即，在伦敦早晨5时42分）发现它位于，纬度为零。但根据理论计算，当时该彗星应位于8°16′45″，南纬0°53′7″。

11月18日，在罗马早晨6时30分（即伦敦5时40分），庞修观测到彗星位于13°30′，南纬1°20′；而切里奥发现在，南纬1°00′。但在阿维尼翁的早晨5时30分，伽列特看到它在，南纬1°00′。在法国的拉弗累舍大学（University of La Fleche），早晨5时（即伦敦的5时9分），安果（Ango）发现它位于两颗小恒星中间，其中一颗是室女座南肢右侧三颗星中位于中间的一颗，贝耶尔以Ψ标记；另一颗是该肢上最靠外的一颗，贝耶尔记以θ。因此，彗星当时位于，南纬50′。哈雷博士告诉我，在新英格兰（New England）纬度为⁽¹¹⁾的波士顿（Boston），当天早晨5时（即伦敦早晨9时44分），该彗星位于约，南纬1°30′。

11月19日时，在剑桥（Cambridge）发现，该彗星（根据一位年轻人的观测）距角宿一（Spica）约西北2°。当时角宿一位于，南纬2°1′59″。同一天早晨5时，在新英格兰的波士顿，彗星距角宿一，纬度为40'。同一天，在牙买加岛（island of Jamaica）,它距角宿一。同一天，阿瑟·斯多尔（Arthur Storer）先生，在弗吉尼亚地区的马里兰（Maryland in the confines of Virginia），在位于亨丁·克里克（Hunting Creek）附近的纬度为的帕图森河（river Patuxent）边，早晨5时（即伦敦10时），看到彗星刚好在角宿一之上，几乎与它重合，相互间距离约为度。比较这些观测后，我认为，在伦敦9时44分时，彗星位于，南纬约1°25′。而理论则给出，南纬1°26′54″。

11月20日，帕多瓦（Padua）的天文学教授蒙特纳里⁽¹²⁾，在威尼斯（Venice）早晨6时（即伦敦5时10分）看到彗星位于，南纬1°30′。同一天在波士顿，它距角宿一偏东4°，因而大约位于。

11月21日，庞修及其同事在早晨时观测到彗星位于，南纬1°16′；切里奥发现在；安果在早晨5时发现在；蒙特纳里发现在。同一天，在牙买加岛，它位于m起点处，纬度大约与角宿一相同，即2°2′。同一天，在东印度巴拉索尔（Ballasore）的早晨5时（即，伦敦的前一天夜里11时20分），彗星位于角宿一以东7°35′，在角宿一与天秤座的连线上，因而位于南纬1°11′；5时40分以后（即伦敦早晨5时），它位于，南纬1°16′。根据理论计算，它应位于，南纬1°53′35″。

11月22日，蒙特纳里发现彗星在；但在新英格兰的波士顿发现它约在，纬度几乎与以前相同，即1°30′。同一天，在巴拉索尔早晨5时，观测到彗星位于，所以在伦敦的早晨5时，彗星约在。同一天早晨时，胡克博士发现它约在3°30′，位于角宿一和天狮座的连线上，但没有完全重合，而是略偏北一点。这一天，以及随后的几天，蒙特纳里也发现，由彗星向角宿一所作的直线自天狮座南侧很近处通过。天狮座与角宿一的连线在处以2°25′角与黄道平面相交；如果彗星位于该直线上的处，则它的纬度应为2°26′；但由于胡克和蒙特纳里都认为彗星位于该直线以北极小距离处，其纬度必定还要小些。在20日，根据蒙特纳里的观测，它的纬度几乎与角宿一相同，即约1°30′。但胡克、蒙特纳里和安果又都认为，这一纬度是连续增加的，因而在22日，它应明显大于1°30′；取2°26′和1°30′两个极限值的中间值，则纬度应为1°58′。胡克和蒙特纳里同意彗尾指向南宿一。但胡克认为略偏向该星南侧，而蒙特纳里认为略偏北侧；因而，其倾斜很难发现；彗尾应平行于赤道，相对于对日点略偏北。

旧历11月23日，纽伦堡（Nuremberg）早晨5时（即伦敦早晨时），齐默尔曼（Zimmerman）先生看到彗星位于，南纬2°31′，这一位置是由它相对于恒星位置推算的。

11月24日日出之前，蒙特纳里发现彗星位于天狮座与角宿一连线北侧的12°52′，因而其纬度略小于2°38′；前面已说过，由于蒙特纳里、安果和胡克都认为这一纬度是连续增加的，所以在24日应略大于1°58′，取其平均值，当为2°18′，没有明显误差。庞修和伽列特则认为纬度是减小的；而切里奥，以及在新英格兰的观测者认为其纬度保持不变，即约为1°，或。庞修和切里奥的观测较粗糙，在测地平经度与纬度时尤其如此，伽列特的观测也一样。蒙特纳里、胡克、安果和新英格兰的观测者们采用的测量彗星相对于恒星位置的方法比较好，庞修和切里奥有时也用这种方法。同一天，在巴拉索尔早晨5时，彗星位于；因而在伦敦早晨5时，它约在，而根据理论计算，彗星这时应在。

11月25日，日出以前，蒙特纳里看到彗星约在；而切里奥同时发现彗星位于室女座右侧亮星与天秤座南端的连线上；这条直线与彗星路径相交于，而理论值为约在。

由所有这些易于看出，这些观测在其相互吻合的水准上而言，与理论也是一致的；这种一致性表明自11月4日至3月9日所出现的是同一颗彗星。该彗星的轨迹两次越过黄道平面，因而不是一条直线。它不是在天空中相对的位置上，而是在室女座末端与摩羯座（Capricorn）起点上与黄道平面相交，间隔弧度约98°；因而该彗星路径极大地偏离大圆轨道；因为在11月里，它向南偏离黄道平面至少为3°；而在随后的12月时则向北倾斜达29°；根据蒙特纳里的观测，彗星在其轨道上落向太阳与自太阳处扬起的相互间视在倾角在30°以上。这个彗星掠过九个星座，即自末端到首端，它在掠过座之后开始被发现；任何其他理论都无法解释彗星在如此大的天空范围内进行的规则运动。这一彗星的运动还是极不相等的；因为约在11月20日时，它每天掠过约5°。然后在11月26日到12月12日之间速度放慢，在天的时间里，它只掠过40°，但随后它的速度又加快了，每天约掠过5°，直至其运动再次减速。一个能在如此之大的空间范围内恰如其分地描述如此不相等的运动，又与行星理论具有相同定律，而且得到精确的天文学观测印证的理论，绝不可能是别的什么，而只能是真理。

我绘制了一张插图，在彗星轨道的平面上表示出这一彗星的实际轨道，以及它在若干位置上喷射出的尾巴，这样做应该没有什么不妥之处。在这张图中，ABC表示彗星轨道，D为太阳，DE为轨道轴，DF为交会点连线，GH为地球轨道球面与彗星轨道平面的交线，I为彗星在1680年11月4日的位置；K为同年11月11日位置；L为同年11月19日位置；M为12月12日位置；N为12月21日位置；O为12月29日位置；P为次年1月5日位置；Q为1月25日位置；R为2月5日位置；S为2月25日位置；T为3月5日位置；V为3月9日位置。为了确定其彗尾长度，我进行了如下观测：

11月4日和6日，彗尾未出现；11月11日，彗尾刚刚出现，但在10英尺望远镜中长度不超过；11月17日，庞修发现彗尾长超过15°；11月18日，在新英格兰看到彗尾长达30°，并直指太阳，延伸到位于的火星；11月19日，在马里兰看到彗尾长为15°或20°；12月10日（根据弗莱姆斯蒂德的观测），彗尾自蛇夫座（Ophiuchus）蛇尾与天鹰座（Aquila）南翼的δ星，即自贝耶尔星表上的A，ω，b星之间的距离中间穿过。因而彗尾末梢在，北纬约。12月11日，它上升到天箭座（Sagitta）头部（贝耶尔的α，β星），即，北纬38°34′；12月12日，彗尾通过天箭座中部，没有延伸很远；尾端约在，北纬。不过读者必须清楚，这些都是彗尾中最亮的部分的长度；因为，在晴朗的夜空里，也可能观测到较暗的光，12月12日5时40分，根据庞修在罗马的观测，彗尾一直延伸到天鹅座（Swan）尾星以上10°，彗尾边缘距这颗星45′，指向西北。但在这前后彗尾上端的宽度约3°；因而其中部约在该星南方2°15′，其上端位于*22°，北纬61°；因此彗尾长约70°；12月21日，它几乎延伸到仙后座（Cassiopeia）的座椅上，等于到β星和Schedir星的距离，并使得它到这两个星中的一个的距离，等于这两个星之间的距离，因而彗尾末端在，纬度为；12月29日，彗尾与Scheat座左侧接触，充满介于仙女座（Andromeda）北部两足间的空间，长达54°；尾端位于，纬度为35°；1月5日，它触及仙女座右胸处的π星和左腰间的μ星；根据我们的观测，长约40°；但已开始弯曲，凸部指向南方；并在彗头附近与通过太阳和彗头的圆成4°夹角；而在末端则与该圆成10°或11°夹角；彗尾的弦与该圆夹角为8°。1月13日，彗尾位于Alamech与Algol之间，亮度仍足以看到；但位于英仙（Perseus）座帝κ星的末端已暗淡。彗尾末端到通过太阳与彗星的圆的距离为3°50′，彗尾的弦与该圆夹角为。1月25日和26日，彗尾亮度微弱，长约6°或7°；经过一或两个夜晚后，在极为晴朗的天空，它延伸长度为12°或更多，亮度很暗，难以看到；但它的轴仍精确指向御夫（Auriga）座东肩上的亮星，因而偏离对日点北侧10°角。最后，2月10日，我在望远镜中只看到2°长的彗尾；因为更弱的光无法通过玻璃。但庞修写道，他在2月7日看到彗尾长达12°。2月25日，彗星失去彗尾直到消失。

现在，如果回顾一下前面讨论的彗星轨道，并充分顾及该彗星的其他现象，则人们应对彗星是像行星一样的坚硬、紧密、牢固和持久的星体的说法感到满意；因为，如果它们仅是地球、太阳和其他行星的蒸气或雾气，则当它在太阳附近通过时便立即消散；因为太阳的热正比于其光线的密度，即反比于受照射处所到太阳距离的平方。所以，在12月8日，彗星位于其近日点，它到太阳的距离与地球到太阳的距离的比，约为6比1000，这时太阳给彗星的热比太阳给我们的热等于1,000,000比36，或28,000比1。我试验过，沸腾的水的热大于夏天阳光晒干土壤水分的热约三倍；红热的铁的热（如果我的猜测正确的话）又大于沸腾的水的热约三或四倍。所以，当彗星位于近日点时，晒干其土壤的太阳热约2000倍于红热的铁的热。而在如此强烈的热中，蒸气和薄雾，以及所有的挥发性物质，都会立即发散而消失。

所以，这颗彗星必定从太阳得到极大的热量，并能保持极长的时间；因为直径一英寸的铁球烧至红热后暴露在空气中，一小时时间里很难失去所有的热；而更大的球将比例于其直径而保持更长的时间，因为其表面（与之接触的周围空气冷却速度即比例于它）与所含热物质量的比值较小；所以，与我们的地球同样大的红热铁球，即直径约40,000,000英尺，将很难在数目相同的天数里，或在多于50,000年的时间里冷却。不过我推测由于某些尚不明了的原因，热量保持时间的增加要小于直径增大的比例；我企盼着用实验给实际比值。

还应进一步考虑到，在12月里，彗星刚受到太阳加热之后，的确比在11月里未到达近日点时射出长得多也亮得多的彗尾；一般而言，最长而最辉煌的彗尾总是发生在刚刚通过邻近太阳之处。所以，彗星接受的热导致了巨大的彗尾：由此，我想我可以推论，彗尾不是别的，正是极细微的蒸汽，它由于彗头或彗核接收的热而喷射出来。

不过，关于彗尾有三种不同的看法：有些人认为它只不过是太阳光通过被认为是透明的彗头后射出的光束；另一些人提出，彗尾是由彗头射向地球的光发生折射形成的；最后，还有一些人则设想，彗尾是由彗头所不断产生的云雾或蒸汽，它们总是向背对着太阳的方向放出。第一种看法不能为光学所接受；因为在暗室中看到的太阳光束，只不过是光束在弥漫于空气中的尘埃和烟雾粒子上反射的结果；因此，在浓烟密布的空气中，这种光束以很强的亮度显现，并对眼睛产生强烈作用；在比较纯净的空气中，光束亮度较弱，不易于被察觉；而在天空中，根本没有可以反射阳光的物质，因而绝不可能看到光束。光不是因为它成为光束，而是因为它被反射到我们的眼睛，才被看到的；因为视觉唯有光线落到眼睛上才得以产生；所以，在我们看见彗尾的地方，必定有某种反射光的物质存在：不然的话，由于整个天空是受太阳的光同等地照亮的，它的任何一部分都不可能显得比其他部分更亮些。第二种看法面临许多困难。我们看到的彗尾从来都不像常见的折射光那样带有斑斓的色彩；由恒星和行星射向我们的纯净的光表明以太或天空介质完全不具备任何折射能力：因为，正像人们所指出的那样，埃及人（the Egyptians）有时看到恒星带有彗发，因为这种情况很罕见，我们宁可把它归因于云雾的折射；而恒星的跳耀与闪烁则应归因于眼睛与空气二者的折射；因为，当把望远镜放在眼睛前时，这种跳耀与闪烁便立即消失。由于空气与蒸腾的水汽的颤动，光线交替地在眼睛瞳孔狭小的空间里摆动；但望远镜物镜口径很大，不会发生这种事情；因此，闪烁是由于前一种情形造成的，在后一情形中则不存在；在后一情形中闪烁的消失证明通过天空正常照射过来的光没有经过任何可察觉的折射。可能会有人提出异议，说有的彗星看不到彗尾，因为它受到的光照很弱，而次级光则更弱，不能为眼睛所知觉，正因为如此，恒星的尾部不会出现，我们的回答是，利用望远镜可以使恒星的光增加100倍，但还是看不到尾巴；而行星的光更亮，也还是没有尾巴；但彗星有时有着巨大的彗尾，同时彗头却暗淡无光。这正是1680年彗星所发生的情形，当时，在12月里，它的亮度尚不足第二星等，但却射出明亮的尾巴，延伸长度达40°，50°，60°或70°甚至更长；其后，在1月27日和28日，当彗头变为第七星等的亮度时，彗尾（仍像上述的那样）却清晰可辨，虽然已经暗淡了，仍长达6°或7°，如果计入更难以看到的弱光，它甚至长达12°以上。但在2月9日和10日，肉眼已看不到彗头，我在望远镜中还看到2°长的彗尾。再者，如果彗尾是由于天体物质的颤动引起的，并根据其在天空中的位置偏向背离太阳的一侧，则在天空中的相同位置上彗尾的指向应当相同。但1680年的彗星，在12月28日小时时，在伦敦看到位于，北纬28°6′；当时太阳在。而1577年的彗星，在12月29日位于，北纬28°40′，太阳也大约在。在这二次情形里，地球在天空的位置相同；但在前一情形彗尾（根据我的以及其他人的观测）向北偏离对日点的角度为度；而在后一情形里（根据第谷的观测）却向南偏离21度。所以，天体物质颤动的说法得不到证明，彗尾现象必定只能通过其他反光物质来解释。

彗尾所遵循的规律，也进一步证明彗尾由彗头产生，并指向背着太阳的部分：彗尾处在通过太阳的彗星轨道平面上，它们总是偏离对日点而指向彗头沿轨道运动时所留下的部分。对于位于该平面内的旁观者而言，彗尾出现在正对着太阳的部分；但当旁观者远离该平面时，这种偏离即明显起来，而且日益增大。在其他条件不变的情况下，彗尾对彗星轨道的倾斜较大，以及当彗头接近于太阳时，这种偏离较小，尤其当在彗头附近取这种偏离角时更是如此。没有偏离的彗尾看上去是直的，而有偏离的彗尾则以某种曲率弯折。偏离越大，曲率越大；而且在其他条件相同情况下，彗尾越长，曲率越大；因较短的彗尾其曲率很难察觉。在彗头附近偏离角较小，但在彗尾的另一端则较大；这是因为彗尾的凸侧对应着产生偏离的部分，位于自太阳引向彗头的无限直线上。而且位于凸侧的彗尾，比凹侧更长更宽，亮度更强，更鲜艳夺目，边缘也更清晰。由这些理由即易于明白彗尾的现象取决于彗头的运动，而不取决于彗头在天空被发现的位置；所以，彗尾并不是由天空的折射所产生的，而是彗头提供了形成彗尾的物质。因为，和在我们的空气中一样，热物体的烟雾，或是在该物体静止时垂直上升，或是当该物体斜向运动时沿斜向上升，在天空中也是如此，所有的物体被吸引向太阳，烟雾和水汽必定（像我们已说过的那样）自太阳方向升起，或是当带烟物体静止时垂直上升，或是当物体在其整个运动过程中不断离开烟雾的上部或较高部分原先升起的位置时而斜向上升；烟雾上升速度最快时斜度最小，即，在放出烟雾的物体邻近太阳时，在其附近的烟雾斜度最小。但因为这种斜度是变化的，烟柱也随之弯曲；又因为在前面的烟雾放出较晚，即，自物体上放出的时间较晚，因而其密度较大，必定反射的光较多，边界也更清晰。许多人描述过彗尾的突发性不确定摆动，以及其不规则形状，关于此我不拟讨论，因为可能是由于我们的空气的对流，以及云雾的运动部分遮掩了彗尾所致；或者，也许是由于当彗星通过银河时把银河的某部分误认为是彗尾的一部分所致。

至于何以彗星的大气能提供足够多的蒸汽充满如此巨大的空间，我们不难由地球大气的稀薄性得到理解；因为在地表附近的空气占据的空间850倍于相同重量的水；因而850英尺高的空气柱的重量与宽度相同但仅1英尺高的水柱相等。而重量等于33英尺高水柱的空气柱，其高度将伸达大气顶层：所以，如果在这整个空气柱中截去其下部850英尺高的一段，余下的上半部分重量与32英尺水柱相等：由此（以及由得到多次实验验证的假设，即空气压力正比于周围大气的重量，而重力反比于到地球中心距离的平方），运用第二编命题22的推论加以计算，我发现，在地表以上一个地球半径的高度处，空气比地表处稀薄的程度，远大于土星轨道以内空间与一个直径1英寸的球形空间的比；因而，如果我们的大气层仅厚1英寸，稀薄程度与地表以上一个地球半径处相同，则它将可以充满整个行星区域，直至土星轨道，甚至更远得多。所以，由于极远处的空气极为稀薄，彗发或彗星的大气到其中心一般十倍高于彗核表面，而彗尾上升得更高，因而必极为稀薄；虽然由于彗星的大气密度很大，星体受到太阳的强烈吸引，空气和水汽粒子也同样相互吸引，在天空与彗尾中的彗星空气并没有极度稀薄到这种程度，但由这一计算来看，极小量的空气和水汽足以产生出彗尾的所有现象，是不足为奇的；因为由透过彗尾的星光即足以说明它们的稀薄。地球的大气在太阳光的照耀下，虽然只有几英里厚，却不仅足以遮挡和淹没所有星辰的光，甚至包括月球本身；而最小的星星也可以透过同样被太阳照耀的厚度极大的彗星并为我们所看到，而且星光没有丝毫减弱。大多数彗尾的亮度，一般都不大于我们的一到二英寸厚的空气，在暗室中对由百叶窗孔进入的太阳光束的反射亮度。

我们可以很近似地求出水汽由彗头上升到彗尾末端所用的时间，方法是由彗尾末端向太阳作直线，标出该直线与彗星轨道的交点；因为位于尾端的水汽如果是沿直线从太阳方向升起的，必定是在彗头位于该交点处时开始其上升的。的确，水汽并没有沿直线升离太阳，但保持了在它上升之前从彗星所得到的运动，并将这一运动与它的上升运动相复合，沿斜向上升；因而，如果我们作一平行于彗尾长度直线相交于其轨道；或干脆（因为彗星作曲线运动）作一稍稍偏离彗尾直线或长度方向的直线，则可以得到这一问题的更精确的解。运用这一原理，我算出1月25日位于彗尾末端的水汽，是在12月11日以前由彗头开始上升的，因而整个上升过程用了45天；而12月10日所出现的整个彗尾，在彗星到达其近日点后的两天时间内已停止其上升。所以，蒸汽在邻近太阳处以最大速度开始上升。其后受其重力影响以不变的减速度继续上升；它上升得越高，就使彗尾加长得越多；持续可见的彗尾差不多全是由彗星到达其近日点以后升腾起的蒸汽形成的；原先升起的蒸汽形成彗尾末端，直到距我们的眼睛，以及距使它获得光的太阳太远以前，都是可见的，而那以后即不可见。同样道理，其他彗星的彗尾较短，很快消失，这些彗尾不是自彗头快速持续地上升而形成的，而是稳定持久的蒸汽和烟尘柱体，以持续许多天的缓慢运动自彗头升起，而且从一开始就加入了彗头的运动，随之一同通过天空。在此我们又有了一个理由，说明天空是自由的，没有阻力的，因为在天空中不仅行星和彗星的坚固星体，而且像彗尾那样极其稀薄的蒸汽，都可以以极大自由维持其高速运动，并且持续极长时间。

开普勒把彗尾上升归因于彗头大气；而把彗尾指向对日点归因于与彗尾物质一同被拖曳的光线的作用；在如此自由的空间中，像以太那样微细的物质屈服于太阳光线的作用，这想象起来并不十分困难，虽然这些光线由于阻力太大而不能使地球上的大块物质明显地运动。另一位作者猜想有一类物质的粒子具有轻力原理（principle of levity），如同其他物质具有重力一样；彗尾物质可能就属于前一种，它从太阳升起就是轻力在起作用；但是，考虑到地球物体的重力正比于物体的物质，因而对于相同的物质量既不会太大也不会太小，我倾向于相信是由于彗尾物质很稀薄造成的。烟囱里的烟的上升是由它混杂于其间的空气造成的。热气上升致使空气稀薄，因为它的比重减小了，进而在上升中裹携飘浮于其中的烟尘一同上升；为什么彗尾就不能以同样方式升离太阳呢？因为太阳光线在介质中除了发生反射和折射外，对介质不产生别的作用；反射光线的粒子被这种作用加热，进而使包含于其中的以太物质也加热。它获得的热使物质变得稀薄，而且，因为这种稀薄作用使原先落向太阳的比重减小，进而上升，并裹携组成彗尾的反光粒子一同上升。但蒸汽的上升又进一步受到环绕太阳运动的影响；其结果是，彗尾升离太阳，同时太阳的大气与其天空物质或者都保持静止，或者只是随着太阳的转动而以慢速度绕太阳运动。这些正是彗星在太阳附近时，其轨道弯度较大，彗星进入太阳大气中密度较大因而较重的部分，致使彗星上升的原因：根据这一解释，彗星必定放出有巨大长度的彗尾；因为这时升起的彗尾还保持着自身的适当运动，同时还受到太阳的吸引，必定与彗头一样沿椭圆绕太阳运动，而这种运动又使它总是追随着彗头，又自由地与彗头相连接。因为太阳吸引蒸汽脱离彗头而落向太阳的力并不比彗头吸引它们自彗尾下落的力更大。它们必定只能在共同的重力作用下，或是共同落向太阳，或是在共同的上升运动中减速；所以，（无论是出于上述原因或是其他原因）彗尾与彗头轻易地获得并自由地保持了相互间的位置关系，完全不受这种共同重力的干扰或阻碍。

所以，在彗星位于近日点时升起的彗尾将追随彗头伸延至极远处，并与彗头一同经过许多年的运动之后再次回到我们这里，或者干脆在此过程中逐渐稀薄而完全消失；因为在此之后，当彗头又落向太阳时，新而短的彗尾又会以缓慢运动而自彗头放出；而这彗尾又会逐渐地剧烈增长，当彗星位于近日点而落入太阳大气低层时尤其如此；因为在自由空间中的所有蒸汽总是处在稀薄和扩散的状态中；因此所有彗星的彗尾在其末端都比头部附近宽。而且，也不是不可能，逐渐稀薄扩散的蒸汽最终在整个天空中弥漫开来，又一点一点地在引力作用下向行星集聚，汇入行星大气。这与我们地球的构成绝对需要海洋一样，太阳热使海洋蒸发出足够量的蒸汽，集结成云雾，再以雨滴形式落回，湿润大地，使作物得以滋生繁茂；或者与寒冷一同集结在山顶上（正如某些哲学家所合理猜测的那样），再以泉水或河流形式流回；看来对于海洋和行星上流体的保持来说彗星似乎是需要的，通过它的蒸发与凝结，行星上流体因作物的繁衍和腐败被转变为泥土而损失的部分，可以得到持续的补充和产生；因为所有的作物的全部生长都来自于流体，以后又在很大程度上腐变为干土；在腐败流体的底部总是能找到一种泥浆；正是它使固体的地球的体积不断增大；而如果流体得不到补充，必定持续减少，最终干涸殆尽。我还进一步猜想，正是主要来自于彗星的这种精气（spirit），它确乎是我们空气中最小最精细也是最有用的部分，才是维持与我们同在的一切生命所最需要的。

彗星的大气，在脱离彗星进入彗尾进而落向太阳时，是无力而且收缩的，因而变得狭窄，至少在面对太阳的一面是如此；而在背离太阳的一面，当少量大气进入彗尾后，如果海威克尔所证述的现象准确的话，又再次扩张。但它们在刚受太阳最强烈的加热后看上去最小，因而射出的彗尾最长也最亮；也许，在同一时刻，彗核为其大气底层又浓又黑的烟尘所包围；因为强烈的热所生成的烟都是既浓且黑。因此，上述彗星的头部在其到太阳与地球距离相等处，在通过其近日点后显得比以前暗；12月里，彗星亮度一般为第三星等，但在11月里它为第一或第二星等；这使得看见这两种现象的人把前者当做比后者大的另一颗彗星。因为在11月19日，剑桥的一位年轻人看见了这颗彗星，虽然暗淡无光，但也与室女座角宿一相同；它这时的亮度还是比后来为亮。而在旧历11月20日，蒙特纳里发现它超过第一星等，尾长超过2度。斯多尔先生（在写给我的一封信中）说12月里彗尾体积最大也最亮，但彗头却小了，而且比11月日出前所见小得多；他推测这一现象的原因是，彗头原先有较大的物质量，而以后则逐渐失去了。

我又由相同的理由发现，其他彗星的头部，在使其彗尾最大且最亮的同时，自己显得既暗又小。因为在巴西（Brazil），新历1668年3月5日，下午7时，瓦伦丁·艾斯坦瑟尔（Valetin Estancel）在地平线附近看到彗星，在指向西南方处彗头小得难以发现，但其上扬的彗尾之亮，足以使站在岸上的人看到其倒影；它像一簇火焰自西向南延伸达23度，几乎与地平线平行。但这一非常的亮度只持续了三天，以后即日见减弱；而且随着彗尾亮度的减弱，其体积却在增大：有人在葡萄牙（Portugal）也发现它跨越天空的四分之一，即45度，横贯东西方向，极为明亮，虽然在这些地方还看不见整个彗尾，因为彗头尚潜藏在地平线以下：由其彗尾体积的增加和亮度的减弱来看，它当时正在离开太阳，而且距其近日点很近，与1680年彗星相同。我们还在《撒克逊编年史》（Saxon Chronicle）中读到，类似的彗星曾出现于1106年，“彗星又小又暗（与1680年彗星相同），但其尾部却极为明亮，像一簇巨大的火焰自东向北划过天空”，海威尔克也从达勒姆（Durham）的修道士西米昂（Simeon）那里看到相同的记录。这颗彗星出现在2月初傍晚的西南方天空；由此，由其彗尾的位置，我们推断其彗头在太阳附近。马太·帕里斯（Matthew Paris）说，“它距太阳约一腕尺（cubit）远，自三点（不是六点）直到九点，伸出很长的尾巴”。亚里士多德在《气象学》（Meteorology）第6章第一节中描述过绚丽的彗星，“看不到它的头部，因为它位于太阳之前，或者至少隐藏在阳光之中；但次日也有可能看到它了；因为，它只离开太阳很小一段距离，刚好落在它后面一点。头部散出的光因（尾部的）辉光太强而遮挡，还是无法看到。但以后（即如亚里士多德所说）（尾部的）辉光减弱，彗星（的头部）恢复了其本来的亮度；现在（尾部的）辉光延伸到天空的三分之一（即，延伸到60°）。这一现象发生于冬季（第101届奥林匹克运动会的第四年），并上升到奥利安（Orion）神⁽¹³⁾的腰部，在那里消失”。1618年的彗星正是这样，它从太阳光下直接显现出来，带着极大的彗尾，亮度似乎等于，如果不是超过的话，第一星等；但后来，许多的其他彗星比它还亮，但彗尾却短；据说其中有些大如木星，还有的大如金星，甚至大如月亮。

我们已指出彗星是一种行星，沿极为偏心的轨道绕太阳运动；而且与没有尾部的行星一样，一般地，较小的星体沿较小的轨道运动，距太阳也较近，彗星中其近日点距太阳近的很可能一般较小，它们的吸引力对太阳作用不大。至于它们的轨道横向直径，以及环绕周期，我留待它们经过长时间间隔后沿同一轨道回转过来时再比较求出。与此同时，下述命题会对这一研究有所助益。

命题42　问题22

修正以上求得的彗星轨道。

方法1．设轨道平面的位置是根据前一命题求出的；由极为精确的观测选出彗星的三个位置，它们相互间距离很大。设A表示第一次观测与第二次之间的时间间隔，B为第二与第三次之间的时间；以这二段时间中之一彗星位于其近日点为方便，或至少距它不太远。由所发现的这些视在位置，运用三角学计算，求出彗星在所设轨道平面上的实际位置；再由这些求得的位置，以太阳的中心为焦点，根据第一编命题21，运用算术计算画出圆锥曲线。令由太阳伸向所求出的位置的半径所掠过的曲线面积为D和E；即，D为第一次观测与第二次之间的面积，E为第二与第三次之间的面积；再令T表示由第一编命题16求出的以彗星速度掠过整个面积D＋E所需的总时间。

方法2．保持轨道平面对黄道平面的倾斜不变，令轨道平面交会点的经度增大20′或30′，把它称做P。再由彗星的上述三个观测位置求出在这一新的平面上的实际位置（方法与以前一样）；并且也求出通过这些位置的轨道，在两次观测间由同一半径掠过的面积，称为d和e；令t表示掠过整个面积d＋e所需的总时间。

方法3．保持方法1中的交会点经度不变，令轨道平面对于黄道平面的倾角增加20′或30′，新的角称为Q。再由彗星的上述三个视在位置求出它位在这一新平面上的位置，并且也求出通过它们的轨道在几次观测之间掠过的两个面积，称为δ和ε；令T表示掠过总面积δ＋ε所用的总时间。

然后，取C比1等于A比B；G比1等于D比E；g比1等于d比e；γ比1等于δ比ε；令S为第一与第三次观测之间的真实时间；适当选择符号＋和－，求出这样的数m和n，使得2G－2C＝mG－mg＋nG－nγ；以及2T－2S＝mT－mt＋nT－nT成立。在方法1中，如果I表示轨道平面对黄道平面的倾角，K表示交会点之一的经度，则I＋nQ为轨道平面对黄道平面的实际倾角，而K＋mP表示交会点的实际经度。最后，如果在方法1，2和3中分别以量R，γ和ρ表示轨道的通径，以表示轨道的横向直径，则R＋mγ－mR＋np－nR为实际通径，而为彗星所掠过的实际轨道的横向直径；求出了轨道的横向直径也就可以求出彗星的周期。

完毕。

但彗星的环绕周期，以及其轨道的横向直径只能通过对不同时间出现的彗星加以比较才能足够精确地求出。如果，在经过相同的时间间隔后，发现几个彗星掠过相同的轨道，我即可以由此推断它们都是同一颗彗星，沿同一条轨道运行；然后由它们的环绕时间即可以求出轨道的横向直径，而由此直径即可以求出椭圆轨道本身。

为达到这一目的，需要计算许多彗星的轨道，并假设这些轨道是抛物线；因为这种轨道总是与现象近似吻合，不仅1680年彗星的抛物线轨道，我比较后发现与观测相吻合，而且类似于1664年和1665年出现的那颗著名彗星，经海威尔克的观测，并由他本人的观测计算出的经度和纬度，也都吻合，只是精度较低。但由哈雷博士根据相同观测再次算出的彗星位置；以及由这些新位置确定的轨道来看，该彗星的上升交会点在55″；其轨道与黄道平面的交角为21°18′40″；在该彗星轨道上，近日点估计距交会点49°27′30″，其近日点位于，日心南纬16°01′45″；彗星在伦敦时间旧历11月24日11时52分（下午），或但泽（Danzig）13时8分位于其近日点；如果设太阳到地球的距离包含100,000个部分，抛物线的通径为410,286。彗星在这一计算轨道上的近似位置与观测的吻合程度，体现在哈雷博士列出的表中。

1665年初的2月，白羊座的第一星，以下称之为γ，位于，北纬7°8′58″；白羊座第二星位于，北纬8°28′16″；另一颗第七星等的星，我称之为A，位于，北纬8°28′33″。旧历2月7日7时30分在巴黎（即2月7日8时37分在但泽）该彗星与γ和A星构成三角形，直角顶点在γ；彗星到γ星的距离等于γ与A星的距离，即，等于大圆的1°19′46″；因而在平行γ星的纬度上它位于1°20′26″。所以，如果从γ星的经度中减去1°20′26″，则余下彗星的经度。M·奥佐⁽¹⁴⁾由他的这一观测把彗星定位在附近；而根据胡克博士绘制的彗星运动图，它当时位于。我取这两端的中间值。

奥佐根据同一观测认为彗星位于北纬7°4′或7°5′；但他如取彗星与γ星的纬度差等于γ星与A星的纬度差，即7°3′39″，将更好些。

2月22日7时30分在伦敦，即但泽的2月22日8时46分，根据胡克博士的观测和绘制的星图，以及M·派蒂特⁽¹⁵⁾依据M·奥佐的观测而以相同方式绘制的星图，彗星到A星的距离为A星到白羊座第一星间距离的1/5，或15′57″；彗星到A星与白羊座第一星连线的距离为同一个1/5距离的1/4，即4′，因而，彗星位于，北纬8°12′36″。

3月1日伦敦7时0分，即但泽3月1日8时16分，观测到彗星接近白羊座第二星，它们之间的距离，比白羊座第一星与第二星之间的距离，根据胡克博士的观测，等于4比45，而根据哥第希尼（Gottignies）的观测，则为2比23。因而，胡克博士认为彗星到白羊座第二星的距离为8′16″，而哥第希尼认为是8′5″；或者，取二者的平均值，为8′10″。但根据哥第希尼，当时彗星已越出白羊座第二星一天行程的四或五分之一，即约1′35″（他与M·奥佐相当一致），或者，根据胡克博士，没有这么大，也许只有1′。因而，如果在白羊座第一星的经度上增加1′，而其纬度上增加8′10″，则得到彗星经度，纬度为北纬8°36′26″。

3月7日巴黎7时30分，即但泽3月7日7时37分，M·奥佐观测到彗星到白羊座第二星的距离等于该星到A星的距离，即，52′29″；彗星与白羊座第二星的经度差为45′或46′，或者，取平均值，45′30″；故而，彗星位于，在M·派蒂特依据M·奥佐的观测绘制的星图上，海威尔克测出彗星纬度为8°54′。但这位制图师没能准确把握彗星运动末端的轨道曲率；海维留在M·奥佐自己根据观测绘制的星图上校正了这一不规则曲率，这样，彗星纬度为8°55′30″。在进一步校正这种不规则性后，纬度变为8°56′或8°57′。

3月9日也曾发现过这颗彗星，当时它大约位于，北纬。

这颗彗星持续三个月可见。这期间它几乎掠过六个星座，有一天几乎掠过20°。它的轨迹偏离大圆极大，向北弯折，并在运动末期改为直线逆行；尽管它的轨迹如此不同寻常，上表所载表明，理论自始至终与观测相吻合，其精度不小于行星理论与观测值的吻合程度；但我们还应在彗星运动最快时减去约2′，在上升交会点与近日点的夹角中减去12′，或使该角等于49°27′18″。这两颗彗星（这一颗与前一颗）的年视差非常显著，这一视差值证明了地球在地球轨道上的年运动。

这一理论同样还由1683年的彗星运动得到证明，它出现了逆行，轨道平面与黄道平面几乎成直角，其上升交会点（根据哈雷博士的计算）位于；其轨道平面与黄道交角为83°11′；近日点位于；如果地球包含100,000部分，则其近日点到太阳距离为56,020；它到达近日点时间为7月2日3时50分。哈雷博士计算的彗星到轨道上位置与弗莱姆斯蒂德观测值在下表中比较列出。

这理论还得到了1682年彗星的逆行运动的进一步印证。其上升交会点（根据哈雷博士的计算）位于；轨道平面相对于黄道平面交角为17°56′00″；近日点为2°52′50″；如果地球轨道半径为100,000部分，其近日点到太阳距离为58,328。彗星到达近日点时间为9月4日7时39分。弗莱姆斯蒂德先生的观测位置与我们的理论计算值对比列于下表：

1723年出现的彗星逆行运动也证明了这一理论。该彗星的上升交会点（根据牛津天文学萨维里（Savilian）讲座教授布拉德雷⁽¹⁶⁾先生的计算）为，轨道与黄道平面交角49°59′。其近日点位于，如果取地球轨道半径包含1,000,000个部分，其近日点距太阳998,651，达到近日点时间为9月16日16时10分。布拉德雷先生计算的彗星在轨道上位置，与他本人，他的叔父庞德先生，以及哈雷博士的观测位置并列于下表中。

这些例子充分证明，由我们的理论推算出的彗星运动，其精度绝不低于由行星理论推算出的行星运动；因而，运用这一理论，我们可以算出彗星的轨道，并求出彗星在任何轨道上的环绕周期；至少可以求出它们的椭圆轨道横向直径和远日点距离。

1607年的逆行彗星，其轨道的上升交会点（根据哈雷博士的计算）位于；轨道平面与黄道平面交角为17°2′；其近日点位于；如果地球轨道半径包含100,000部分，则其近日点到太阳距离为58,680；彗星到达近日点时间为10月16日3时50分；这一轨道与1682年看到的彗星轨道极为一致。如果它们不是两颗不同的彗星，而是同一颗彗星，则它在75年时间内完成一次环绕；其轨道长轴比地球轨道长轴等于比1，或近似等于1778比100。该彗星远日点到太阳的距离比地球到太阳的平均距离约为35比1；由这些数据即不难求出该彗星的椭圆轨道。但所有这些的先决条件是假定经过75年的间隔后，该彗星将沿同一轨道回到原处，其他彗星似乎上升到更远的深处，所需要的环绕时间也更长。

但是，因为彗星数目很多，远日点到太阳的距离又很大，它们在远日点的运动又很慢，这使得它们相互间的引力对运动造成干扰；轨道的偏心率和环绕周期有时会略为增大，有时会略为减小。因而，我们不能期待同一颗彗星会精确地沿同一轨道以完全相同的周期重现：如果我们发现这些变化不大于由上述原因所引起者，即足以使人心满意足了。

由此又可以对为什么彗星不像行星那样局限在黄道带以内，而是漫无节制地以各种运动散布于天空各处做出解释；即，这样的话，彗星在远日点处运动极慢，相互间距离也很大，他们受相互间引力作用的干扰较小：因此，落入最低处的彗星，在其远日点运动最慢，而且也应上升得最高。

1680年出现的彗星在其近日点到太阳的距离尚不到太阳直径的六分之一；因为它的最大速度发生于这一距太阳最近点，以及太阳大气密度的影响，它必定在此遇到某种阻力而减速；因而，由于在每次环绕中都被吸引得更接近于太阳，最终将落入太阳球体之上。而且，在其远日点，它运动最慢，有时更会进一步受到其他彗星的阻碍，其结果是落向太阳的速度减慢。这样，有些恒星，经过长时间地放出光和蒸汽的消耗后，会因落入它们上面的彗星而得到补充；这些老旧的恒星得到新鲜燃料的补充后即变为新的恒星，并焕发出新的亮度。这样的恒星是突然出现的，开始时光彩夺目，随后即慢慢消失。仙女座出现的正是这样一颗恒星；1572年11月8日的时候，考尔耐里斯·杰马（Cornelius Gemma）还不曾看到它，虽然那天晚上他正在观测这片天空，而天空完全晴朗；但次日夜（11月9日）他看到它比任何其他彗星都明亮得多，不亚于金星的亮度。同月11日第谷·布拉赫也看到它，当时它正处于最大亮度；那以后他发现它慢慢变暗；在16个月的时间里即完全消失。在11月里它首次出现时，其光度等于金星，12月时亮度减弱了一些，与木星相同。1573年1月，它已小于木星，但仍大于天狼星（Sirius），2月底3月初时与天狼星相等。在4月和5月时它等于第二星等；6、7、8月里为第三星等；9、10和11月，第四星等；12月和1574年1月为第五星等；2月为第六星等；3月完全消失。开始时其色泽鲜艳明亮，偏向于白光；后来有点发黄；1573年3月变为红色，与火星或Aldebaran相同；5月时变为灰白色，像我们看到的土星；以后一直保持这一颜色，只是越来越暗。巨蛇座（Serpentarius）右足上的星也是这样，开普勒的学生在旧历1604年9月30日观测到它，当时亮度超过木星，虽然前一天夜里还没见过它；自那时起它的亮度慢慢减弱，经过15或16个月后完全消失。据说正是一颗这样的异常亮星促使希帕克观测恒星，并绘制了恒星星表。至于另一些恒星，它们交替地出现，隐没，亮度逐渐而缓慢地增加，又很少超过第三星等，似乎属于另一种类，它们绕自己的轴转动，具有亮面与暗面，交替地显现这两个面。太阳、恒星、和彗尾所放出的蒸汽，最终将在引力作用下落入行星大气，并在那里凝结成水和潮湿精气；由此再通过缓慢加热，逐渐形成盐、硫磺、颜料、泥浆、土壤、沙子、石头、珊瑚，以及其他地球物质。

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(1) Horrox，Jeremiah（1618—1641），又作Horrocks。英国天文学家。——译者注。

(2) 在今印度。——译者注。

(3) 在今缅甸。——译者注。

(4) fluxion，流数，为牛顿所采用的量。——译者注。

(5) Flamsteed，John（1646—1719），英国天文学家，以精密观测著称。——译者注。

(6) J. B. Cysat（1586—1657），瑞士天文学家。——译者注。

(7) 英译本为ABCI，当误。——译者注。

(8) Bayer，Johan，（1572—1625），德国天文学家。——译者注。

(9) Gottfried Kirch，（1639—1710），德国天文学家。他与他的妻子、儿子、女儿都是著名天文学家。——译者注。

(10) 恺撒于公元前44年3月被刺杀。——译者注。

(11) 英译本误作。——译者注。

(12) Montenari, Geminiano，（1633-1687），意大利天文学家。——译者注。

(13) 即猎户座。——译者注。

(14) Auzout, Adrien，（1622—1691），法国天文学家。——译者注。

(15) Petit, Pierre，（1594—1677），法国天文学家、数学家。——译者注。

(16) Bradley, James，（1693—1762），英国天文学家。——译者注。

总释

· General Scholium ·

涡旋假说面临许多困难。每颗行星通过伸向太阳的半径掠过正比于环绕时间的面积，涡旋各部分的周期正比于它们到太阳距离的平方；但要使行星周期获得到太阳距离的3/2次幂的关系，涡旋各部分的周期应正比于距离的3/2次幂——然而，即便这些星体沿其轨道维持运动可能仅仅是由引力规律的作用，但它们绝不可能从一开始就由这些规律中自行获得其规则的轨道位置——这个最为动人的太阳、行星和彗星体系，只能来自一个全能全智的上帝（Being）的设计和统治。

1703年的牛顿画像

涡旋假说面临许多困难。每颗行星通过伸向太阳的半径掠过正比于环绕时间的面积，涡旋各部分的周期正比于它们到太阳距离的平方；但要使行星周期获得到太阳距离的3/2次幂的关系，涡旋各部分的周期应正比于距离的3/2次幂。而要使较小的涡旋关于土星、木星以及其他行星的较小环绕得以维持，并在绕太阳的大涡旋中平稳不受干扰地进行，太阳涡旋各部分的周期则应当相等；但太阳和行星绕其自身的轴的转动，又应当对应于属于它们的涡旋运动，因而与上述这些关系相去甚远。彗星的运动极为规则，是受制于与行星运动相同的规律支配的，但涡旋假说却完全无法解释；因为彗星以极为偏心的运动自由地通过同一天空中的所有部分，绝非涡旋说可以容纳。

在我们的空气中抛体只受到空气的阻碍。如果抽去空气，像在波义耳先生所制成的真空里面那样，阻力即消失；因为在这种真空里一片羽毛（a bit of fine）与一块黄金的下落速度相等。同样的论证必定也适用于地球大气以上的天体空间；在这样的空间里，没有空气阻碍运动，所有的物体都畅通无阻地运动着；行星和彗星都依照上述规律沿着形状和位置已定的轨道进行着规则的环绕运动；然而，即便这些星体沿其轨道维持运动可能仅仅是由引力规律的作用，但它们绝不可能从一开始就由这些规律中自行获得其规则的轨道位置。

六个行星在围绕太阳的同心圆上转动，运转方向相同，而且几乎在同一个平面上。有十个卫星分别在围绕地球、木星和土星的同心圆上运动，而且运动方向相同，运动平面也大致在这些行星的运动平面上；鉴于彗星的行程沿着极为偏心的轨道跨越整个天空的所有部分，不能设想单纯力学原因就能导致如此多的规则运动；因为它们以这种运动轻易地穿越了各行星的轨道，而且速度极大；在远日点，它们运动最慢，滞留时间最长，相互间距离也最远，因而相互吸引造成的干扰也最小。这个最为动人的太阳、行星和彗星体系，只能来自一个全能全智的上帝（Being）的设计和统治。如果恒星都是其他类似体系的中心，那么这些体系也必定完全从属于上帝的统治，因为这些体系的产生只可能出自于同一份睿智的设计；尤其是，由于恒星的光与太阳光具有相同的性质，而且来自每个系统的光都可以照耀所有其他的系统：为避免各恒星的系统在引力作用下相互碰撞，他便将这些系统分置在相互很远的距离上。

上帝不是作为宇宙之灵而是作为万物的主宰来支配一切的；他统领一切，因而人们惯常称之为“我主上帝”（παγτοκρατωρ）或“宇宙的主宰”；须知God（上帝）是一个相对词，与仆人相对应，而且Deity（神性）也是指上帝对仆人的统治权，绝非有如那些认定上帝是宇宙之灵的人们所想象的那样，是指其自治权。至高无上的上帝作为一种存在物必定是永恒的、无限的、绝对完美的；但一种存在物，无论它多么完美，只要它不具有统治权，则不可称之以“我主上帝”；须知我们常说，我的上帝，你的上帝，以色列人的上帝，诸神之神，诸王之王；但我们不说我的永恒者，你的永恒者，以色列人的永恒者，神的永恒者；我们还不说，我的无限者，或我的完美者：所有这些称谓都与仆人一词不构成某种对应关系。上帝这个词⁽¹⁾一般用以指君主；但并不是每个君主都是上帝。只有拥有统治权的精神存在者才能成其为上帝：一个真实的、至上的或想象的统治才意味着一个真实的、至上的或想象的上帝。他有真实的统治意味着真实的上帝是能动的，全能全智的存在物；而他的其他完美性，意味着他是至上的，最完美的。他是永恒的和无限的，无所不能的，无所不知的；即，他的延续从永恒直达永恒；他的显现从无限直达无限；他支配一切事物，而且知道一切已做的和当做的事情。他不是永恒和无限，但却是永恒的和无限的；他不是延续或空间，但他延续着而且存在着。他永远存在，且无所不在；由此构成了延续和空间。由于空间的每个单元都是永存的，延续的每个不可分的瞬间都无所不在的，因而，万物的缔造者和君主不能是虚无和不存在。每个有知觉的灵魂，虽然分属于不同的时间和不同的感觉与运动器官，仍是同一个不可分割的人。在延续中有相继的部分，在空间中有共存的部分，但这两者都不存在于人的人性和他的思维要素之中；它们更不存在于上帝的思维实体之中。每一个人，只要他是个有知觉的生物，在其整个一生以及其所有感官中，他都是同一个人。上帝也是同一个上帝，永远如此，处处如此。不论就实效而言，还是就本质而言，上帝都是无所不在的，因为没有本质就没有实效。一切事物都包含在他⁽²⁾之中并且在他之中运动；但却不相互影响：物体的运动完全无损于上帝；无处不在的上帝也不阻碍物体的运动。所有的人都同意至高无上的上帝的存在是必要的。所有的人也都同意上帝必然永远存在而且处处存在。因此，他必是浑然一体的，他浑身是眼，浑身是耳，浑身是脑，浑身是臂，浑身都有能力感觉、理解和行动；但却是以一种完全不属于人类的方式，一种完全不属于物质的方式，一种我们绝对不可知的方式行事。就像盲人对颜色毫无概念一样，我们对全能的上帝感知和理解一切事物的方式一无所知。他绝对超脱于一切躯体和躯体的形状，因而我们看不到他，听不到他，也摸不到他；我们也不应当向着任何代表他的物质事物礼拜。我们能知道他的属性，但对任何事物的真正本质却一无所知。我们只能看到物体的形状和颜色，只能听到它们的声音，只能摸到它们的外部表面，只能嗅到它们的气味，尝到它们的滋味；但我们无法运用感官或任何思维反映作用获知它们的内在本质：而对上帝的本质更是一无所知。我们只能通过他对事物的最聪明，最卓越的设计，以及终极的原因来认识他；我们既赞颂他的完美，又敬畏并且崇拜他的统治：因为我们像仆人一样地敬畏他；而没有统治，没有庇佑，没有终极原因的上帝，与命运和自然无异。盲目的形而上学的必然性，当然也是永远存在而且处处存在的，但却不能产生出多种多样的事物。而我们随时随地可以见到的各种自然事物，只能来自一个必然存在着的存在物的观念和意志。无论如何，用一个比喻，我们可以说，上帝能看见，能说话，能笑，能爱，能恨，能盼望，能给予，能接受，能欢乐，能愤怒，能战斗，能设计，能劳作，能营造；因为我们关于上帝的所有见解，都是以人类的方式得自某种类比的，这虽然不完备，但也具有某种可取之处。我们对上帝的谈论就到这里，而要做到通过事物的现象了解上帝，实在是非自然哲学莫属。

迄此为止我们以引力作用解释了天体及海洋的现象，但还没有找出这种作用的原因。它当然必定产生于一个原因，这个原因穿越太阳与行星的中心，而且它的力不因此而受丝毫影响；它所发生的作用与它所作用着的粒子表面的量（像力学原因所惯常的那样）无关，而是取决于它们所包含的固体物质的量，并可向所有方向传递到极远距离，总是反比于距离的平方减弱。指向太阳的引力是由指向构成太阳的所有粒子的引力所合成的，而且在离开太阳时精确地反比于距离的平方，直到土星轨道，这是由行星的远日点的静止而明白无误地证明了的；而且，如果彗星的远日点也是静止的，这一规律甚至远及最远的彗星远日点。但我迄今为止还无能为力于从现象中找出引力的这些特性的原因，我也不构造假说；因为，凡不是来源于现象的，都应称其为假说；而假说，不论它是形而上学的或物理学的，不论它是关于隐秘的质的或是关于力学性质的，在实验哲学中都没有地位。在这种哲学中，特定命题是由现象推导出来的，然后才用归纳方法做出推广。正是由此才发现了物体的不可穿透性，可运动性和推斥力，以及运动定律和引力定律。对于我们来说，能知道引力的确实存在着，并按我们所解释的规律起作用，并能有效地说明天体和海洋的一切运动，即已足够了。

现在我们再补充一些涉及某种最微细的精气的事情，它渗透并隐含在一切大物体之中；这种精气的力和作用使物体粒子在近距离上相互吸引，而且在相互接触时即粘连在一起，使带电物体的作用能延及较远距离，既能推斥也能吸引附近的物体；并使光可以被发射、反射、折射、衍射，并对物体加热；而所有感官之受到刺激；动物肢体在意志的驱使下运动，也是由于这种精气的振动，沿着神经的固体纤维相互传递，由外部感觉器官通达大脑，再由大脑进入肌肉。但这些事情不是寥寥数语可以解释得清的，而要精确地得到和证明这些电的和弹性精气作用的规律，我们还缺乏必要而充分的实验。

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(1) 原注：Pocock博士由阿拉伯语中表示君主（Lord）的词du（间接格为di）推演出拉丁词Deus。在此意义上，诗篇82.6和《约翰福音》10.35中的国王（prices）称为神。而《出埃及记》4.16和7.1中的摩西的兄亚伦称摩西为上帝，法老也称他为上帝。而在相同意义上已故国王的灵魂，在以前被异教徒称为神，但却是错误的，因为他们没有统治权。

(2) 原注：这是古代人的看法。如在西赛罗的《论神性》（De natura deorum）第一章中的毕达哥拉斯，维吉尔《农事诗》（Geogics）第四章第220页和《埃涅阿斯记》（Aeneid）第六章第721页中的泰勒斯，阿那克西哥拉，维吉尔。斐洛在《寓言》（Allegories）第一卷开头。阿拉托斯在其《物象》（Phoeromena）开头。也见于圣徒的写作：如《使徒行传》17章27、28节中的保罗，《约翰福音》14章2节，《申命记》4章39节和10章14节中的摩西。《诗篇》139篇7，8，9，节中的大卫。《列王记·上》8章27节中的所罗门。《约伯记》22章12，13，14节。《耶利米书》23章23，24节。崇拜偶像的人认为太阳，月亮星辰，人的灵魂，以及宇宙的其他部分都是至上的上帝的各个部分，因而应当受到礼拜，但却是错误的。

译后记

· Postscript of Chinese Version ·

爱因斯坦说过：“至今还没有可能用一个同样无所不包的统一概念，来代替牛顿的关于宇宙的统一概念。而要是没有牛顿的明晰的体系，我们到现在为止所取得的收获就会成为不可能。”

中共中央党校教授王克迪博士（2005年摄于剑桥大学三一学院苹果树前）

无论从科学史还是整个人类文明史来看，牛顿的《自然哲学之数学原理》（以下简称《原理》）都是一部划时代的巨著。在科学的历史上，《原理》是经典力学的第一部经典著作，也是人类掌握的第一个完整的科学的宇宙论和科学理论体系，其影响所及遍布经典自然科学的所有领域，在其后的300年时间里一再取得丰硕成果。就人类文明史而言，《原理》的发表，表明人类文明发展到系统全面地认识自然进而有可能利用自然和改造自然的阶段，其影响所及，在英国本土成就了工业革命，而在法国则诱发了启蒙运动和大革命，在社会生产力和基本社会制度两方面都有直接而丰富的成果。迄今为止，还没有第二个重要的科学或其他学术理论取得如此之大的成就和影响。

从科学研究内部来看，《原理》示范了一种现代科学理论体系的样板，包括理论体系结构、研究方法和研究态度、如何处理人与自然的关系等多个方面的内容。在科学的社会史方面，《原理》出版前后的社会环境和学术背景对于日后的科学建制化发展和现代国家制定学术政策和科技政策都有借鉴意义。此外，《原理》及其作者与同时代著名人物的互动关系也是科学史研究和其他学术史研究中经久不息的话题。

《原理》达到的理论高度是前所未有的，其后也不多见。爱因斯坦说过：“至今还没有可能用一个同样无所不包的统一概念，来代替牛顿的关于宇宙的统一概念。而要是没有牛顿的明晰的体系，我们到现在为止所取得的收获就会成为不可能。”实际上，牛顿在《原理》中讨论的问题及其处理问题的方法，至今仍是大学数理专业中教授的内容，而其他专业的学生学到的关于物理学、数学和天文学的知识，无论在深度和广度上都没有达到《原理》的高度。

凡此种种，决定了《原理》的永恒价值。

牛顿生前《原理》总共发表了三个版本，第一版发表于1687年，第二版发表于1713年，第三版发表于1726年，全部由拉丁文写就。牛顿死于1727年。《原理》的第一个英文译本由第三版翻译而来，出版于1729年。在1802年，又出现了根据《原理》第一版翻译的英文译本。

1729年的英译本《原理》译者是莫特（Andrew Motte）。1930年，美国学者、科学史家卡约里（Florian Cajori）在莫特的英译本基础上用现代英文校订出版，成为20世纪里读者群最大的《原理》标准版本。60年代初，美国科学史家科恩（I.B.Cohen）和法国科学史家科瓦雷（Alexander Koyré）合作，根据《原理》第一版的英译本（译者Robert Thorp）也推出了《原理》的现代英文版。

我国清末学者李善兰曾经翻译《原理》，但未能完成。1931年，著名学者、翻译家郑太朴根据《原理》第二版的德文译本（译者J.Ph.Wolfer）译出中文本《自然哲学之数学原理》，由商务印书馆收入《汉译世界名著》丛书出版。

《原理》的第二个中文版本由我于1990、1991两年译出，纳入《自然哲学之数学原理·宇宙体系》一书，于1992年由武汉出版社出版。

《原理》的修订本由陕西人民出版社和武汉出版社于2001年联合推出。修订本改正了目前发现的前一译本中的错误讹误，删去牛顿写的通俗本第三编“宇宙体系”和卡约里写的附录，定名为《自然哲学之数学原理》。为了尽可能保留《原理》的本来面目和历史价值，修订本恢复了牛顿的亲密合作者哈雷为《原理》所作的全部插图。

修订本为书中各部分加写了“导读”。这是一件令人深感惶恐的工作。一般而言，凡是受过现代数学和物理训练的读者，读懂牛顿的《原理》应当是没有问题的，不需要导读；但是我同意，对于中等阅读能力的读者，适当的引导和解释是必要的。导读意在点明牛顿写作的重点、有关背景，让读者尽可能全面地了解牛顿。文中反映的是我本人对牛顿及《原理》的认识，疏漏偏颇在所难免，希望没有误导读者。

此项工作付梓前不久，惊悉钱临照院士逝世，我深感悲痛。钱老是我进入牛顿译介工作的引路人，他的恩德我将永志不忘。

此次北京大学出版社再次将《原理》收入“北京大学通识教育经典名著阅读计划书目”之《科学素养文库·科学元典丛书》，令人倍感兴奋。

付梓前有机会再次对译稿作进一步订正，并附上在英伦拜谒牛顿故地所摄照片数帧，甚感欣慰。

王克迪

2005年9月30日