命题60 定理23

如果两个物体P和S,以反比于它们的距离平方的力相互吸引,绕它们的公共重心旋转:则其中一个物体,如P,绕另一个物体S旋转所画出的椭圆的主轴,与同一个物体P以相同周期环绕固定了的另一个物体S运动所画成的椭圆的主轴,二者之比等于两个物体的和S+P比该和与另一个物体S之间的两个比例中项中前一项。

因为,如果画出椭圆是相等的,则由前一定理知,它们的周期的时间正比于物体S与物体的和S+P的比的平方根。令后一椭圆的周期时间按相同比例减小,则周期相等;但由命题15,该椭圆的主轴将按前一比值的次幂减小;即,它的立方等于S比S+P,因而它的轴比另一椭圆的轴等于S+P与S比S+P之间的两个比例中项中的前一个之间的比。反之,绕运动物体画出的椭圆的主轴比绕不动物体画出的椭圆主轴等于S+P比S+P与S之间的两个比例中项中的前一项。

证毕。