设一物体受竖直向下的均匀重力作用沿一直线上升或下落;受到的阻力同样部分正比于其速度,部分正比于其平方:如果作几条平行于圆和双曲线直径且通过其共轭直径端点的直线,而且速度正比于平行线上始自一给定点的线段,则时间正比于由圆心向线段端所作直线截取的扇形面积;反之亦然。

情形1.首先设物体上升,以D为圆心,以任意半径DB画圆的四分之一BETF,通过半径DB的端点B作不定直线BAP平行于半径DF。在该直线上设有已知点A,取线段AP正比于速度。由于阻力的一部分正比于速度,另一部分正比于速度的平方,令整个阻力正比于AP2+2BA·AP。连接DA,DP,与圆相交于E和T,令DA2表示重力,使得重力比P处的阻力等于DA2比AP2+2BA·AP;则整个上升时间正比于圆的扇形EDT。
作DVQ,分割出速度AP的变化率PQ,以及对应于给定时间变化率的扇形DET的变化率DTV;则速度的减量PQ正比于重力DA2与阻力AP2+2BA·AP的和;即(由欧几里得《几何原本》第二卷命题12),正比于DP2。而正比于PQ的面积DPQ正比于DP2,面积DTV比面积DPQ等于DT2比DP2,因而DTV正比于给定量DT2。所以,面积EDT减去给定间隔DTV后,均匀地随着未来时间的比率减小,因而正比于整个上升时间。

情形2.如果物体的上升速度像前一情形那样以长度AP表示,则阻力正比于AP2+2BA·AP;而如果重力小得不足以用DA2表示,则可以这样取BD的长度,使AB2-BD2正比于重力,再令DF垂直且等于DB,通过顶点F画出双曲线FTVE,其共轭半径为DB和DF,曲线与DA相交于E,与DP,DQ相交于T和V;则整个上升时间正比于双曲线扇形TDE。

因为在已知时间间隔中产生的速度减量PQ正比于阻力AP2+2BA·AP与重力AB2-BD2的和,即正比于BP2-BD2,但面积DTV比面积DPQ等于DT2比DP2;所以,如果作GT垂直于DF,则上述比等于GT2或者GD2-DF2比BD2,也等于GD2比BP2,由相减法知,等于DF2比BP2-BD2。所以,由于面积DPQ正比于PQ,即,正比于BP2-BD2,因而面积DTV正比于给定量DF2。所以,面积EDT在每一个相等的时间间隔内,通过减去同样多的间隔DTV,将均匀减小,因而正比于时间。
证毕。
情形3.令AP为下落物体的速度,AP2+2BA·AP为阻力,BD2-AB2为重力,角DBA为直角。如果以D为中心,B为顶点,作直角双曲线BETV与DA,DP和DQ的延长线相交于E,T,V;则该双曲线的扇形DET正比于整个下落时间。
因为速度的增量PQ,以及正比于它的面积DPQ,正比于重力减去阻力的剩余,即正比于

或BD2-BP2。而面积DTV比面积DPQ等于DT2比DP2;所以等于GT2或GD2-BD2比BP2;也等于GD2-BD2,由相减法,等于BD2比BD2-BP2。所以,由于面积DPQ正比于BD2-BP2,面积DTV正比于给定量BD2。所以面积EDT在若干相等的时间间隔内,加上同样多的间隔DTV后,将均匀增加,因而正比于下落时间。
证毕。

推论.如果以D为中心,以DA为半径,通过顶点A作一个弧At与弧ET相似,其对角也是ADT,则速度AP比物体在时间EDT内在无阻力空间由于上升所失去或由于下落所获得的速度,等于三角形DAP的面积比扇形DAt的面积;因而该速度可以由已知的时间求出。因为在无阻力的介质中速度正比于时间,所以也正比于这个扇形;在有阻力介质中,它正比于该三角形;而在这二种介质中,当它很小时,趋于相等,扇形与三角形也是如此。