命题3 问题1

求在均匀介质中沿直线上升或下落的物体的运动,其所受阻力正比于其速度,还有均匀重力作用于其上。

设物体上升,令任意给定矩形BACH表示重力;而直线AB另一侧的矩形BADE表示上升开始时的介质阻力。通过点B,关于直角渐近线AC,CH作一双曲线,与垂线DE,de相交于G,g;上升的物体在时间DGgd内掠过距离EGge;在时间DGBA内掠过整个上升距离EGB;在时间ABKI内掠过下落距离BFK;在时间IKki内掠过下落距离KFfk;而物体在此期间的速度(正比于介质阻力)分别为ABED,ABedo,ABFI,ABfi;物体下落所获得的最大速度为BACH。

因为,把矩形BACH分解为无数小矩形Ak,Kl,Lm,Mn等,它们将正比于在同样多相等时间间隔内产生的速度增量;则o,Ak,Al,Am,An等正比于总速度,因而(由命题)正比于每个时间间隔开始时的介质阻力。取AC比AK,或ABHC比ABkK等于第二个时间间隔开始时的重力比阻力;则从重力中减去阻力,ABHC,KkHC,LlHC,MmHC等等,将正比于在每个时间间隔开始时使物体受到作用的绝对力,因而(由定律I)正比于速度的增量,即,正比于矩形Ak,Kl,Lm,Mn等等,因而(由第一编引理1)组成几何级数。所以,如果延长直线Kk,Ll,Mm,Nn等等使之与双曲线相交于qrst等,则面积ABqK,KqrL,LrsM,MstN等将相等,因而与相等的时间以及相等的重力相似。但面积ABqK(由第一编引理7推论Ⅲ和引理8)比面积Bkq等于Kq,或AC比,即等于重力比第一个时间间隔中间时刻的阻力。由类似理由,面积qKLrrLMssMNt等等比面积qklrrlmssmnt等等,等于重力比第二,第三,第四等等时间间隔中间时刻的阻力。所以,由于相等于面积BAKgqKLrrLMssMNt等等相似于重力,面积Bkgqklrrlmssmnt等等也相似于每个时间间隔中间时刻的阻力,即(由命题),相似于速度,也相似于掠过的距离。取相似量以及面积Bkq,Blr,Bms,Bnt等等的和,它将相似于掠过的总距离;而面积ABqK,ABrL,ABsM,ABtN等等也与时间相似。所以,下落的物体在任意时间ABrL内掠过距离Blr,在时间LrtN内掠过距离rlnt

完毕。

上升运动的证明与此相似。

推论Ⅰ.物体下落所能得到的最大速度比任意已知时间内得到的速度等于连续作用于它之上的已知重力比在该时间末阻碍它运动的阻力。

推论Ⅱ.时间作算术级数增加时,物体在上升中最大速度与速度的和,以及在下落中它们的差,都以几何级数减少。

推论Ⅲ.在相等的时间差中,掠过的距离的差也以相同几何级数减少。

推论Ⅳ.物体掠过的距离是两个距离的差,其一正比于开始下落后的时间,另一个则正比于速度;而这两个(距离)在开始下落时相等。