命题35 问题7

如果一种稀薄介质由极小的,静止的,大小相等且自由分布于相等距离处的粒子组成:求一球体在这种介质中匀速运动所受到的阻力。

情形1.设一有相同直径与高度的圆柱体沿其轴向在同一种介质中以相同速度运动;设介质的粒子落在球或柱体上以尽可能大的力反弹回来。由于球体的阻力(由前一命题)仅为柱体阻力的一半,而球体比柱体等于2比3,且柱体把垂直落于其上的粒子以最大的力反弹回来,传递给它们的速度是其身的二倍;可知柱体匀速运动掠过其轴长的一半时,传递给粒子的运动比柱体的总运动,等于介质密度比柱体密度;而球体在向前匀速运动掠过其直径长度时,传递给粒子相同的运动量;在它匀速掠过其直径的三分之二的时间内,它传递给粒子的运动比球体的总运动等于介质的密度比球体密度。所以,球遇到的阻力,与在它匀速通过其直径的三分之二的时间内使其全部运动被抵消或产生出来的力的比,等于介质的密度比球体的密度。

情形2.设介质粒子碰撞球体或柱体后并不反弹;则与粒子垂直碰撞的柱体把自己的速度直接传递给它们,因而遇到的阻力只有前一情形的一半,而球体遇到的阻力也只有其一半。

情形3.设介质粒子以某种既不是最大,也不为零的平均速度自球体反弹回来;则球的阻力为第一种情形的阻力与第二种情形的阻力的比例中项。

完毕。

推论Ⅰ.如球体与粒子都是无限坚硬的,而且完全没有弹性力,因而也没有反弹力,则球体的阻力比在该球在掠过其直径的三分之四的时间内使其全部运动被抵消或产生的力,等于介质的密度比球体密度。

推论Ⅱ.其他条件不变时,球体阻力正比于速度平方变化。

推论Ⅲ.其他条件不变时,球体阻力正比于直径平方变化。

推论Ⅳ.其他条件不变时,球体阻力正比于介质密度变化。

推论Ⅴ.球体阻力正比于速度平方,直径平方,以及介质密度三者的乘积。

推论Ⅵ.因此可以这样表示球体的运动及其阻力,令AB为时间,在其中球体由于均匀维持的阻力而失去全部运动,作AD,BC垂直于AB。令BC为全部运动,通过点C,以AD,AC为渐近线,作双曲线CF。延长AB到任意点E。作垂线EF与双曲线相交于F。作平行四边形CBEG,作AF交BC于H。如果球体在任意时间BE内,在无阻力介质中,以其初始运动BC均匀掠过由平行四边形表示的距离CBEG,则在有阻力介质中相同时间内掠过由双曲线面积表示的距离CBEF;在该时间末它的运动由双曲线的纵坐标EF表示,失去的运动部分为FG。在同一时间之末其阻力由长度BH表示,失去的阻力部分为CH。所有这些可以由第二编命题5推论Ⅰ和Ⅲ导出。

推论Ⅶ.如果在时间T内球体受均匀阻力R的作用失去其全部运动M,则相同的球体在时间t内,在阻力R正比于速度平方减小的有阻力介质中失去其运动M的部分,而余下部分;所掠过的距离比它在相同时间t内以均匀运动M所掠过的距离,等于数的对数乘以数2.302585092994,比数,因为双曲线面积BCFE比矩形BCGE也是该数值。